8公倍数与最大公倍数

专题八公倍数与最小公倍数

知识概要

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4、6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12、15、18]=180。

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：

（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。

（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。

（3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。

（4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）×[12，16]=12×16。

最大公约数与最小公倍数的不同与相同点

通常我们用分解质因数的方法来求几个数的最小公倍数。

用分解质因数的方法来求两个数的最小公倍数，用这两个数共有的质因数去除，一直除到所得商是互质数为止，然后把所有的除数和最后两个数连乘起来。

用短除法求三个数的最小公倍数的方法和求两个数的最小公倍数的方法一样，但是要除到两两互质为止。三个数是最小公倍数必须包括三个数全部共有的质因数和每两个数共有的质因数，以及各自独立的质因数。

基本训练

1．按照从小到大的顺序，写出50以内6与8的倍数，公倍数和最小公倍数

（1）6的倍数有（）。

（2）8的倍数有（）。

（3）6和8的公倍数有（）。

（4）6与8的最小公倍数是（）。

（5）把6与8的倍数和公倍数分别填在下面的圈里。

（1）30的质因数有（），42的质因数有（），30和42共有的质

5．找出每组数的最小公倍数填［］里

６和５[ ] 15和10[ ] 6和9[ ]

12和8[ ] 8和10[ ] 6和4[ ] 6．直接在（）里写出最大公因数，在[ ]里写出最小公倍数

7和21（）[ ] 3和7（）[ ]

99和1（）[ ] 13和5（）[ ] 11和12（）[ ] 6和8（）[ ]

7．用分解质因数的方法求下面各组数的最大公因数和最小公倍数

（1）18和24 （2）45和80 （3）36和12

（4）91和26 （5）63和54 （6）39和52

8．求下面每组数的最小公倍数

（1）6，8和10 （2）9，5和18 （3）12，16和8

（4）12，16和24 （5）20，15和30 （6）32，24和18 9．求15，30和40的最小公倍数有下面两种不同的算法，哪个对？不对的错在哪里？

14．解决问题

（1）人民公园是1路和3路汽车的起点站。1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车2次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？

（2）某汽车站停着甲、乙、丙三辆汽车，一天它们同时开出车站，已知甲车3天回站一次，乙车4天回站一次，丙车5天回站一次。至少要过几天，这三辆车再次在车站会合？如果开出这一天是星期二，那么下次会合是星期几？

（3）三位好朋友，每人相隔不同的天数到少年宫活动一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。这一次三人是星期六在少年宫相逢，至少还要多少天三人才能在少年宫相逢？相逢时是星期几？

（4）有一块长方形的纸板，它的长和宽分别是8厘米和6厘米。至少要多少块这样的长方形，才可以拼成一个正方形？试画出图形？

（5）一个自然数分别除以3、7，余数都是2.求适合条件的最小数。

（6）两个数的最大公因数是15，最小公倍数是45.求这两个数的积。

（7）校园内有一条192米长的路，原来在这条路旁每隔8米放了一盆花，现在要改成每隔6米放一盆花。有多少盆花可以放在原来的位置上不动？

（8）有一批砖，每块长45厘米，宽30厘米。至少要用多少块这样的砖才能铺成一块正方形砖地？

（9）已知两个数的最大公因数是15，这两个数的积是675.求这两个数的最小公倍数。

提高训练

1．填空题

（1）一个数既是7的倍数，又是56的因数，这个数可能是（）。

（2）一个数既是12的倍数，又是15的倍数，在200以内这样的数有（）个，最小的是（），最大的是（）。

（3）200以内12，18和24的公倍数有（），其中最小的一个是（）。

（4）在自然数中，最小的合数加上最小的奇数，和是（），最小的质数加上最大一位数，和是（）。

（5）385是三个连续质数的乘积，这三个质数分别是（），（），（）。

（6）一个数是4的倍数，又有约数6，还能整除36，这个数是（）。

（7）互质的两个数的积是60，那么这两数可能是（）和（）或（）和（）。（8）有四个小朋友，他们的年龄恰好分别相差1岁，他们的年级的乘积是360，其中最

大的一个（）岁。

（9）10以内所有质数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

（10）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是45，如果甲数是9，则乙数是（）；如果甲数是45，则乙数是（）。

（11）三个连续奇数的和是21，这三个连续奇数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

（12）有两个互质数，又是合数，它们的最小公倍数是90，这两个数分别是（）和（）。

（13）一个不能被3，6，9整除的数，如果加上8，就能被3，6，9整除了，这个数最小是（）。

（14）甲数=a×b×c,乙数=a×c×d，这两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

（15）有两个不同的两位数，它们的和是50，它们的最大公因数是5，这两个数分别是（）和（）。

（16）两个啮合的齿轮，一个有21个齿，另一个有30个齿。其中某一对指定的齿，从第一次相啮到第二次相啮，每个齿轮各要转动（）周。

（17）已知a,b的最大公因数是12，最小公倍数是72，且a,b不成倍数关系，求a,b各是（）。

（18）甲数是乙数的三分之一。甲、乙两数的最大公因数是54，乙数是（）。

（19）一排电线杆，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米。如果起点的一根电线杆不移动，至少再隔（）又有一根电线杆不需要移动。

（20）一筐苹果（100多个）按每份3个分，多1个；每份5个分，多3个；每份7个分，少2个，这筐苹果有（）个。

2．解决问题

（1）有一叠练习本，数量为40~50本，不论是分给6个同学，还是8个同学，都不好分完，这叠练习本共有多少本？

（2）一袋奶糖，每4颗一份，余2颗；如果每5颗一份或6颗一份，仍然余2颗，这袋奶糖至少有多少颗？

（3）暑假期间王老师每4天来学校一次，李老师每8天来学校一次，张老师每6天来学校一次，如果7月15日他们三人同一天返校，下一次三人同一天返校是几月几日？

（4）有一种电子表，每到整点响一次铃，每过9分亮一次灯，如果中午12时整它既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时？

（5）排练团体操时，若队伍变成8行、12行、15行、20行都能成为长方形，那么最少需要多少人参加团体操？

（6）从甲地到乙地，原来每隔50米安放一根电线，加上两端两根共有53根，现在改成每隔100米安装一根电线杆，除两端两根不需要移动外，中途还有几根可以不必移动？

（7）有一堆苹果，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，这堆苹果至少有多少个？

（8）一架机器上有两个相连接的齿轮，一个有28个齿，一个有16个齿。其中两个指定的齿从第一相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少周？

（9）一个自然数除以6余5，除以7余6，除以8余7求合适条件的最小数。

（10）a与18的最大公因数是6，最小公倍数是36，a等于几？