计算机中的集合运算知识讲解
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1.3 集合与集合之间的关系
计算机中的集合
定义1 设A，B是两个集合 1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，
记为AB。同时称A是B的子集。 2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则
称A等于B，记为A=B。
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）每个集合是它自己的子集。
集合与集合之间的关系称为包含关系。
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计算机中的集合
真子集：
对于两个集合A与B，如果A B，并且A
B，
就说集合A是集合B的真子集，记作A
B
（或B
A）
空集是任何非空集合的真子集．
全集： 如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素， 这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示I表示．
A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩(A∪C)
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计算机中的集合
定理3 设A，B，C为三个集合，则 1）A A∪B， A∩B A； 2）若 A C 且 B C，则 A∪B C； 3）若 C A 且 C B，则 C A∩B 。
定理4 设A，B为两个集合，则下面三式等价。 1）A B 2）A∪B = B 3) A∩B=A
集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设 其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。
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计算机中的集合 肥东圣泉中学初中部 ● 信息组
1.2 集合的表示法
计算机中的集合
文字表示法 用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 { 在座的同学 } { 高等数学中的积分公式 }
元素列举法 将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 { 1，2，3，4，5} { 风，马，牛 } { 2，4，6，8，10，… }
谓词表示法 { x︱p(x) } p 表示 x 所满足的性质。 { x︱x2 = 1 } { y︱y 是开区间 (a,b) 上的连续函数 }
{ 使 x2 = 1 的实数 } { 1，-1 } { x︱x2 = 1 }
那么符合上述条件的集合M共有__6_个____个．
分析：集合M满足两个条件：①是集合{7，13，20}的真子集； ②其中至多含有一个奇数，即M的元素中或者没有奇数
或者仅有一个奇数．还要注意空集 是符合条件的．
由上得M可能是 ，{ 20 }，{ 7 }，{ 13 }，{ 7，20 }，
{ 13，20 }．
运算。
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定理6 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则 1) A\B A ； 2) A\A = ； 3) X\A = A ；A\X = ； 4) A\ = A ； \A = ； 5) A∩(B\C)= (A∩B) \( A∩C) ； 6) A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C) 7) (A\B)\C=A\(B∪C) ； 8) A\(B∪C) = (A\B) ∩(A\C) ； 9) A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C) 。
定理5 设A，B为两个集合，则 1）( A∪B) = A∩B 2）( A∩B) = A∪B
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2.3 集合的宏运算
计算机中的集合
定义3 设A,B是两个集合，A\B = { x︱xA∧xB }，称 A\B 为 A 和 B 的差集，称 \ 为集合差运算。
由差运算、交运算、补运算的定义知 A\B = A∩B。 由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏
称A是A关于X的补集，称 为补运算。
定理1 设X是集合，A，B是X的子集。则 1）(A) =A； 2）若A B，则B A； 3）若A = B，则A= B ； 4）X= ，=X。
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2.2 集合的交运算和并运算
计算机中的集合
定义2 设A，B是两个集合 1）A∩B = { x︱xA∧xB }， 称A∩B为A与B的交集，称∩为集合交运算。 2）A∪B = { x︱xA∨xB }， 称A∪B为A与B的并集，称∪为集合并运算。
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补集：
一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），
记作 C S A
即 C S A＝｛x│x S，且x
A｝．
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1.4 幂集
计算机中的集合
定义2 设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集， 记为 2A。
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定理2 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合， 则
1）A∩A=A， A∪A=A 2）A∩A = ， A∪A =X 3）A∩X=A， A∪X=X 4）A∩ = ， A∪ =A 5）A∩B= B∩A， A∪B= B∪A 6）(A∩B) ∩C = A∩ (B∩C), (A∪B) ∪C = A∪ (B∪C) 7）A∩(B ∪C) = (A∩B) ∪(A∩C)
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计算机中的集合
第一节 集合的基本概念
1.1 个体与集合之间的关系 1.2 集合的表示法 1.3 集合与集合之间的关系 1.4 幂集
第二节 集合的基本运算
2.1 集合的补运算 2.2 集合的交运算和并运算 2.3 集合的宏运算
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例：如图，I为全集，集合M，N满足：
M N ≠ ，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：
MN
I N
M
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例：如果集合M满足M {7，13，20}，且M中至多含有一个奇数，
2A ={ x x A }
定理1 设集合A是有限集合， A = n，则 2A = 2 A。
定理2 设 A,B 是两个集合。那么 A=B 当且仅当 2A = 2B。
Fra Baidu bibliotek
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第二节 集合的基本运算
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2.1 集合的补运算（一元运算）
定义1 设X是集合，A是X的子集。 A={ x xX ∧ xA }
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集合的特殊情况 不含任何元素的集合称为空集，记为 或 { }。 只含一个元素的集合称为单元素集，记为{ a }。 含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。
常用集合的字母表示： 自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集 分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示． 有时还用Q＋表示正有理数集，用R－表示负实数集，等等．
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1.1 个体与集合之间的关系 什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。 1.莫斯科大学的那汤松教授说：
凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2.复旦大学的陈建功教授说：
凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条 件的物，称它们的全部谓之一集。 3.南开大学的杨宗磐教授说： 集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体， 可以抽象。 4. 集合论之父 G.Cantor（1845-1918）说：
1.3 集合与集合之间的关系
计算机中的集合
定义1 设A，B是两个集合 1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，
记为AB。同时称A是B的子集。 2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则
称A等于B，记为A=B。
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）每个集合是它自己的子集。
集合与集合之间的关系称为包含关系。
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真子集：
对于两个集合A与B，如果A B，并且A
B，
就说集合A是集合B的真子集，记作A
B
（或B
A）
空集是任何非空集合的真子集．
全集： 如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素， 这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示I表示．
A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩(A∪C)
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定理3 设A，B，C为三个集合，则 1）A A∪B， A∩B A； 2）若 A C 且 B C，则 A∪B C； 3）若 C A 且 C B，则 C A∩B 。
定理4 设A，B为两个集合，则下面三式等价。 1）A B 2）A∪B = B 3) A∩B=A
集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设 其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。
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1.2 集合的表示法
计算机中的集合
文字表示法 用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 { 在座的同学 } { 高等数学中的积分公式 }
元素列举法 将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 { 1，2，3，4，5} { 风，马，牛 } { 2，4，6，8，10，… }
谓词表示法 { x︱p(x) } p 表示 x 所满足的性质。 { x︱x2 = 1 } { y︱y 是开区间 (a,b) 上的连续函数 }
{ 使 x2 = 1 的实数 } { 1，-1 } { x︱x2 = 1 }
那么符合上述条件的集合M共有__6_个____个．
分析：集合M满足两个条件：①是集合{7，13，20}的真子集； ②其中至多含有一个奇数，即M的元素中或者没有奇数
或者仅有一个奇数．还要注意空集 是符合条件的．
由上得M可能是 ，{ 20 }，{ 7 }，{ 13 }，{ 7，20 }，
{ 13，20 }．
运算。
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定理6 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则 1) A\B A ； 2) A\A = ； 3) X\A = A ；A\X = ； 4) A\ = A ； \A = ； 5) A∩(B\C)= (A∩B) \( A∩C) ； 6) A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C) 7) (A\B)\C=A\(B∪C) ； 8) A\(B∪C) = (A\B) ∩(A\C) ； 9) A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C) 。
定理5 设A，B为两个集合，则 1）( A∪B) = A∩B 2）( A∩B) = A∪B
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2.3 集合的宏运算
计算机中的集合
定义3 设A,B是两个集合，A\B = { x︱xA∧xB }，称 A\B 为 A 和 B 的差集，称 \ 为集合差运算。
由差运算、交运算、补运算的定义知 A\B = A∩B。 由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏
称A是A关于X的补集，称 为补运算。
定理1 设X是集合，A，B是X的子集。则 1）(A) =A； 2）若A B，则B A； 3）若A = B，则A= B ； 4）X= ，=X。
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2.2 集合的交运算和并运算
计算机中的集合
定义2 设A，B是两个集合 1）A∩B = { x︱xA∧xB }， 称A∩B为A与B的交集，称∩为集合交运算。 2）A∪B = { x︱xA∨xB }， 称A∪B为A与B的并集，称∪为集合并运算。
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补集：
一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），
记作 C S A
即 C S A＝｛x│x S，且x
A｝．
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1.4 幂集
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定义2 设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集， 记为 2A。
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定理2 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合， 则
1）A∩A=A， A∪A=A 2）A∩A = ， A∪A =X 3）A∩X=A， A∪X=X 4）A∩ = ， A∪ =A 5）A∩B= B∩A， A∪B= B∪A 6）(A∩B) ∩C = A∩ (B∩C), (A∪B) ∪C = A∪ (B∪C) 7）A∩(B ∪C) = (A∩B) ∪(A∩C)
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1.1 个体与集合之间的关系 1.2 集合的表示法 1.3 集合与集合之间的关系 1.4 幂集
第二节 集合的基本运算
2.1 集合的补运算 2.2 集合的交运算和并运算 2.3 集合的宏运算
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例：如图，I为全集，集合M，N满足：
M N ≠ ，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：
MN
I N
M
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计算机中的集合
例：如果集合M满足M {7，13，20}，且M中至多含有一个奇数，
2A ={ x x A }
定理1 设集合A是有限集合， A = n，则 2A = 2 A。
定理2 设 A,B 是两个集合。那么 A=B 当且仅当 2A = 2B。
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第二节 集合的基本运算
计算机中的集合
2.1 集合的补运算（一元运算）
定义1 设X是集合，A是X的子集。 A={ x xX ∧ xA }
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集合的特殊情况 不含任何元素的集合称为空集，记为 或 { }。 只含一个元素的集合称为单元素集，记为{ a }。 含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。
常用集合的字母表示： 自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集 分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示． 有时还用Q＋表示正有理数集，用R－表示负实数集，等等．
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1.1 个体与集合之间的关系 什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。 1.莫斯科大学的那汤松教授说：
凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2.复旦大学的陈建功教授说：
凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条 件的物，称它们的全部谓之一集。 3.南开大学的杨宗磐教授说： 集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体， 可以抽象。 4. 集合论之父 G.Cantor（1845-1918）说：