计算机中的集合运算知识讲解
集合及运算的知识点总结
集合及运算的知识点总结一、集合的概念及表示方法1. 集合的概念集合是由一些特定的事物组成的整体。
这些事物称为集合的元素，元素可以是任何事物，可以是数字、字母、形状、人、动物等。
集合通常用大写字母表示，而集合中的元素用花括号{}括起来表示。
例如：集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示A是一个包含1、2、3、4、5这几个元素的集合。
2. 集合的表示方法除了用花括号{}表示集合外，还可以用以下方法来表示集合：a. 列举法：直接列出集合中的所有元素。
b. 描述法：通过描述集合的特征来表示集合。
例如：偶数集合{2, 4, 6, 8, 10}可以用描述法表示为{2n | n∈N，n≤5}。
二、集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、补集和差集。
1. 并集并集是指将两个集合中的所有元素放在一起组成的一个新的集合。
并集通常表示为A∪B。
例如：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集交集是指两个集合中共同的元素组成的一个新的集合。
交集通常表示为A∩B。
例如：设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
3. 补集补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素组成的一个新的集合。
补集通常表示为A-B。
例如：设A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5}，则A-B = {1, 2}。
4. 差集差集是指一个集合去掉另一个集合中的相同元素后的新集合。
差集通常表示为A△B。
例如：设A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}，则A△B = {1, 2, 6, 7}。
三、集合的运算法则1. 并集的运算法则a. 交换律：A∪B = B∪A。
b. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
c. 对偶性：(A∪B)' = A'∩B'。
2. 交集的运算法则a. 交换律：A∩B = B∩A。
集合的基本运算互补集
集合的基本运算互补集集合的基本运算：互补集在集合论中，集合的基本运算包括并集、交集和补集。
其中，互补集是补集的一种特殊形式，它在集合论中扮演着重要的角色。
本文将重点探讨集合的互补集以及相应的性质和应用。
一、互补集的定义互补集是指在给定的全集中，与某个集合A不相交的所有元素所构成的集合。
具体地说，设U为全集，A为U的子集，则A的互补集记为A'或者U-A。
二、互补集的性质互补集具有以下性质：1. 对于任何集合A，有A ∪ A' = U，即A与它的互补集的并集等于全集U。
2. 对于任何集合A，有A ∩ A' = ∅，即A与它的互补集的交集为空集。
3. 对于任何集合A，有(A')' = A，即互补集的互补集等于原集合。
三、互补集的应用互补集在实际问题中有着广泛的应用。
下面以几个例子来说明：1. 布尔代数互补集在布尔代数中具有重要作用。
在布尔代数中，集合的互补运算对应逻辑电路中的非门。
通过对集合进行补集运算，可以得到与原集合互斥的元素。
在逻辑电路中，非门将输入信号取反，与集合的互补运算的概念是一致的。
2. 集合运算互补集在集合运算中也起到重要的作用。
通过对集合的互补集进行运算，可以得到补集与原集合的运算结果。
例如，(A ∪ B)' = A' ∩ B'，即两个集合的并集的互补集等于两个集合的互补集的交集。
3. 概率论互补集在概率论中也有着重要的应用。
在概率论中，事件的互补事件指的是不发生该事件的事件。
通过对事件的互补事件进行分析，可以得到事件的概率与互补事件概率的关系。
例如，事件A与其互补事件A'的概率之和等于1，即P(A) + P(A') = 1。
四、总结互补集是集合论中的重要概念，它在布尔代数、集合运算和概率论等领域都有着广泛的应用。
互补集的定义简洁明了，与其他集合的基本运算相互联系，具有一系列重要的性质。
通过对互补集的运算和分析，可以帮助我们更好地理解集合论，并在实际问题中应用集合的基本运算。
示范教案(集合的基本运算并集、交集)
示范教案(集合的基本运算-并集、交集)第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法引入集合的概念，讲解集合的定义介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等举例说明集合的表示方法及其应用1.2 集合的基本运算介绍集合的基本运算，包括并集、交集、补集等讲解并集的定义及其运算规则讲解交集的定义及其运算规则第二章：集合的并集运算2.1 并集的定义与性质讲解并集的定义及其表示方法介绍并集的性质，如交换律、结合律等举例说明并集的性质及其应用2.2 并集的运算规则讲解并集的运算规则，如两个集合的并集等于它们的交集的补集等举例说明并集的运算规则及其应用2.3 并集的计算方法介绍并集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解并集计算方法的步骤及其应用第三章：集合的交集运算3.1 交集的定义与性质讲解交集的定义及其表示方法介绍交集的性质，如交换律、结合律等举例说明交集的性质及其应用3.2 交集的运算规则讲解交集的运算规则，如两个集合的交集等于它们的并集的补集等举例说明交集的运算规则及其应用3.3 交集的计算方法介绍交集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解交集计算方法的步骤及其应用第四章：集合的混合运算4.1 混合运算的定义与性质讲解混合运算的定义及其表示方法介绍混合运算的性质，如分配律等举例说明混合运算的性质及其应用4.2 混合运算的运算规则讲解混合运算的运算规则，如并集与交集的运算规则等举例说明混合运算的运算规则及其应用4.3 混合运算的计算方法介绍混合运算的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解混合运算计算方法的步骤及其应用第五章：集合的应用举例5.1 集合在实际问题中的应用举例说明集合在实际问题中的应用，如统计数据处理、网络管理等讲解集合运算在实际问题中的重要性5.2 集合运算的综合应用举例说明集合运算在实际问题中的综合应用，如数据挖掘、图论等讲解集合运算的综合应用的方法及其步骤5.3 集合运算的拓展与应用介绍集合运算的拓展与应用，如模糊集合、多集等讲解集合运算的拓展与应用的方法及其步骤第六章：集合运算的练习题与解答6.1 集合运算的基础练习提供一些基础的集合运算练习题，如并集、交集的计算等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.2 集合运算的进阶练习提供一些进阶的集合运算练习题，如混合运算、集合的应用等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.3 集合运算练习题的解答与解析对练习题进行解答，解释解题思路和方法分析练习题的难度和考察点，帮助学生掌握集合运算的知识点第七章：集合运算的常见错误与注意事项7.1 集合运算的常见错误分析学生在集合运算中常见的错误，如概念混淆、运算规则错误等举例说明这些错误的产生原因和解题方法7.2 集合运算的注意事项提醒学生在进行集合运算时需要注意的事项，如符号使用、运算顺序等讲解注意事项的重要性及其在解题中的应用7.3 集合运算的解题技巧与策略介绍学生在解题时可以采用的集合运算技巧与策略，如化简、分解等讲解技巧与策略的运用方法和适用场景第八章：集合运算在实际问题中的应用案例分析8.1 集合运算在图论中的应用介绍集合运算在图论中的应用，如图的连通性、网络流等分析实际案例，讲解集合运算在图论问题中的作用和意义8.2 集合运算在数据挖掘中的应用介绍集合运算在数据挖掘中的应用，如数据预处理、特征选择等分析实际案例，讲解集合运算在数据挖掘问题中的作用和意义8.3 集合运算在其他领域的应用介绍集合运算在其他领域的应用，如计算机科学、经济学等分析实际案例，讲解集合运算在其他问题中的作用和意义第九章：集合运算的拓展与研究动态9.1 集合运算的拓展介绍集合运算的拓展方向，如模糊集合、多集、粗糙集等讲解拓展领域的研究动态和应用前景9.2 集合运算的研究方法与技术介绍集合运算的研究方法，如逻辑推理、数学建模等讲解研究技术在集合运算中的应用方法和实例9.3 集合运算的学术交流与资源共享介绍集合运算领域的学术交流与资源共享平台，如学术会议、期刊等鼓励学生积极参与学术交流，分享研究成果和经验第十章：总结与展望10.1 集合运算的教学总结总结本课程的教学内容和目标，强调集合运算的重要性和应用价值回顾学生在学习过程中的收获和不足，提出改进教学方法的建议10.2 集合运算的学习展望鼓励学生继续深入学习集合运算及相关领域知识，提高解决问题的能力展望集合运算在未来的发展趋势和应用前景，激发学生的学习兴趣和动力重点和难点解析1. 第一章至第五章的章节内容，主要涉及集合的基本概念、基本运算以及应用举例。
集合的知识点公式归纳总结
集合的知识点公式归纳总结集合的知识点公式归纳总结一、引言集合是数学中重要的基础概念之一，广泛应用于各个数学分支以及其他学科领域。
本文旨在对集合的基本性质、运算、特殊集合等知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用集合相关的知识。
二、集合的基本定义1. 集合的概念：集合是由一些元素组成的整体或集合。
2. 集合的表示方法：通常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示，集合的元素用花括号{}括起来。
3. 集合的元素：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，元素与集合的关系用属于符号∈表示，不属于用∉表示。
三、集合的基本性质1. 集合的相等性：两个集合A和B相等，当且仅当A的所有元素都是B的元素，而B的所有元素也都是A的元素。
记作A = B。
2. 集合的包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作A ⊆ B。
3. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，通常用大写字母U表示。
四、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集是同时属于A和B的元素的集合，记作A ∩ B。
2. 并集：集合A和集合B的并集是属于A或B的元素的集合，记作A ∪ B。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A - B。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是全集U中不属于A的元素的集合，记作A'或A的补集。
五、集合的特殊集合1. 自然数集：包含0和正整数的集合，记作N。
2. 整数集：包括负整数、0和正整数的集合，记作Z。
3. 有理数集：包括所有能表示为两个整数的比值的数的集合，记作Q。
4. 无理数集：不能表示为两个整数的比值的数的集合。
5. 实数集：包括有理数和无理数的集合，记作R。
六、集合的常用公式1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪ C)3. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)4. 德摩根定律：(A ∩ B)' = A' ∪ B'，(A ∪ B)' = A' ∩ B'七、集合的应用举例1. 集合的分类：- 奇数集合：包含所有奇数的集合，记作O = {x | x ∈ Z, x为奇数}。
集合的基本运算教案
集合的基本运算教案第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义引入集合的概念，解释集合是由明确的、相互区别的对象组成的整体。
通过实例讲解集合的表示方法，如列举法、描述法等。
1.2 集合的元素介绍集合中元素的性质，如确定性、互异性、无序性。
解释元素与集合之间的关系，明确元素属于或不属于一个集合。
1.3 集合的类型分类介绍集合的常见类型，如自然数集、整数集、实数集等。
讲解集合的子集概念，即一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。
第二章：集合的运算2.1 集合的并集介绍并集的定义，即两个集合中所有元素的集合。
讲解并集的表示方法，如用符号“∪”表示。
举例说明并集的运算规则和性质。
2.2 集合的交集解释交集的定义，即两个集合共有的元素的集合。
展示交集的表示方法，如用符号“∩”表示。
分析交集的运算规则和性质。
2.3 集合的补集引入补集的概念，即在全集范围内不属于某个集合的元素的集合。
讲解补集的表示方法，如用符号“∁”表示。
探讨补集的运算规则和性质。
第三章：集合的运算规则3.1 集合的德摩根定理讲解德摩根定理的内容，包括德摩根律的两种形式。
分析德摩根定理在集合运算中的应用。
3.2 集合分配律介绍分配律的概念，即集合的并集和交集的运算规律。
解释分配律在集合运算中的重要性。
3.3 集合恒等律讲解集合恒等律，即集合的并集和交集与集合本身的关系。
探讨集合恒等律在集合运算中的应用。
第四章：集合的应用4.1 集合的划分介绍集合的划分概念，即把一个集合分成几个子集。
讲解集合划分的表示方法，如用符号“÷”表示。
举例说明集合划分的应用。
4.2 集合的包含关系解释集合的包含关系，即一个集合是否包含另一个集合的所有元素。
探讨集合包含关系的性质和运算规则。
4.3 集合在数学中的应用分析集合在数学领域中的应用，如几何、代数等。
通过实例讲解集合在其他学科领域的应用。
第五章：集合的练习题及解答5.1 集合的基本概念练习题及解答设计关于集合定义、元素、类型等基本概念的练习题。
集合知识点归纳总结
集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。
3. 集合的关系：包含关系、相等关系、互斥关系等。
4. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等运算。
二、集合的分类1. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，全集是指定范围内的所有元素的集合。
2. 子集与真子集：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集；若两个集合既有子集关系又不相等，则称前者为后者的真子集。
3. 有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数无限的集合称为无限集。
三、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素都放在一起，得到的新集合即为并集。
2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合的元素，得到的新集合称为差集。
4. 补集：相对于某个全集，与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。
四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。
2. 集合的应用场景：数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。
3. 集合的问题求解：通过集合的运算和性质，解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。
五、集合的常用性质与定理1. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
2. 对称差：两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。
3. 德摩根定律：集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。
4. 集合的基数：集合的基数是指集合中元素的个数。
5. 区间表示法：用数轴上的区间来表示集合。
六、集合的应用举例1. 数学中的集合：数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。
2. 数据库中的集合：数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。
3. 概率论中的集合：概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
在本文中，将对集合的定义、特性、运算、等价关系以及常用的集合表示法进行全面总结。
一、集合的定义和表示集合是由一些特定对象所组成的整体，在集合中，每个对象被称为集合的元素。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
一般情况下，如果元素x属于集合A，我们会用x∈A来表示。
集合的表示有多种方式，常见的有以下几种：1. 列举法：直接列举出集合中的所有元素，用大括号括起来。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 描述法：通过给定元素的特征或者满足的条件来描述集合。
例如，集合B = {x | x 是自然数，且 x < 10}。
3. 符号法：用符号来表示集合的特定性质。
例如，N 表示自然数集合，R 表示实数集合。
二、集合的特性1. 互异性：集合中的元素都是互不相同的，即集合中不会出现重复的元素。
2. 无序性：集合中的元素没有顺序，元素之间的排列顺序不影响集合的性质。
3. 集合的基数：集合中元素的个数称为集合的基数，用n(A)来表示。
三、集合的运算1. 并集：表示将两个集合中的所有元素合并在一起，用符号∪表示。
例如，A ∪ B 表示集合A和集合B的并集。
2. 交集：表示两个集合中共有的元素，用符号∩表示。
例如，A ∩ B 表示集合A和集合B的交集。
3. 差集：表示一个集合中除去另一个集合中共有的元素，用符号-表示。
例如，A - B 表示集合A除去集合B中的元素所得到的差集。
4. 补集：表示一个集合相对于全集中除去该集合的元素所得到的差集，用符号'表示。
例如，A' 表示集合A的补集。
5. 子集：如果一个集合的所有元素都在另一个集合中，我们称这个集合为另一个集合的子集，用符号⊆表示。
例如，A ⊆ B 表示集合A是集合B的子集。
6. 相等：如果两个集合具有相同的元素，则这两个集合相等，用符号=表示。
集合的基础知识点
集合的基础知识点一、什么是集合集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。
集合中的元素可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等等。
集合的概念在数学中具有重要的地位，它是其他数学概念的基础。
二、集合的表示方法集合可以用不同的方式表示和描述，常见的表示方法有两种：1.列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A由元素1、2、3组成，可以表示为A={1, 2, 3}。
2.描述法：通过给出满足某种条件的元素来表示集合。
例如，集合B由大于0且小于10的整数组成，可以表示为B={x | 0 < x < 10}。
三、集合的基本操作集合作为一个整体，可以进行一些基本的操作，包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
记作A∪B，表示为A和B的并集。
2.交集：找出两个集合中共有的元素，组成一个新的集合。
记作A∩B，表示为A和B的交集。
3.差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素，得到一个新的集合。
记作A-B，表示为A和B的差集。
4.补集：对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集是指在全集U中但不在集合A中的元素所组成的集合。
记作A’，表示为A的补集。
四、集合的基本性质集合具有一些基本的性质，包括空集、子集和幂集等。
1.空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。
空集是任何集合的子集。
2.子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合被称为另一个集合的子集。
记作A⊆B，表示A是B的子集。
3.幂集：对于给定集合A，它的幂集是指由A的所有子集所组成的集合。
记作P(A)。
五、集合的运算律集合的运算满足一些基本的运算律，包括交换律、结合律、分配律和幂等律等。
1.交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
2.结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
数学公式知识：集合运算的求交、并及其应用
数学公式知识：集合运算的求交、并及其应用集合运算是一个非常重要的数学概念，它涉及到非常多的领域，如离散数学、图论、概率论等等。
其中，求交、并是最基本也是最常见的集合运算，在解决各种问题时都能起到非常重要的作用。
首先，我们来介绍一下集合及其运算的概念。
集合是一个由一些确定的元素所组成的整体，相同的元素只能出现一次。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}就是一个集合，其中元素1、2、3、4、5只出现了一次。
集合中的元素可以是任何东西，比如数字、字母、其他集合等等。
接下来，我们来介绍一下集合的基本运算：求交、并。
求集合的交，就是找出两个或多个集合中所有相同的元素，合并成一个新的集合。
例如，假设有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，那么它们的交集就是{3, 4}，即A∩B={3,4}。
求集合的并，就是将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合，其中相同的元素只出现一次。
例如，A和B的并集就是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，即A∪B={1,2,3,4,5,6}。
那么，集合运算的应用有哪些呢？其实，求交、并是我们在日常生活中经常会用到的，比如：1、在统计学中，我们需要求出某些事件同时发生的概率，这时就需要用到集合求交的运算。
例如，计算同一天内同时出现雷暴和雨天气的概率，在求概率公式中，我们需要计算这两个事件的交集。
2、在计算任务的进度时，我们经常会用到并集的运算。
例如，假如一个任务分为A、B、C三个子任务，每个子任务有各自的进度，当计算总进度时，我们需要将三个子任务的进度相加，即用并集的运算求出总任务的进度。
3、在计算求解某些数学问题时，我们也会用到求交、并的运算。
例如，计算公共因数、公因数的个数时，就需要用到求交、并的运算。
总之，集合与集合运算是日常生活中不可或缺的一部分，也是计算机科学、数学等领域中必不可少的基础知识。
在实际运用中，要灵活掌握求交、并的积极方法，并结合具体的场景进行应用，这样才能更好地解决问题。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是数学中常见的一个概念，也是许多其他数学分支的基础。
本文将对集合的定义、基本操作、集合运算以及一些常见的集合类型进行总结，以帮助读者更好地理解和应用集合概念。
一、集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母表示，元素则用小写字母表示。
例如，集合A = {a, b, c, d} 表示由元素a、b、c、d 组成的集合。
集合中的元素没有顺序之分，而且每个元素只出现一次。
如果一个元素x属于集合A，我们可以写作x ∈ A。
如果元素y不属于集合A，我们可以写作y ∉ A。
二、基本操作1. 并集：如果x是A或B中的元素，则x属于A∪B。
A∪B 表示以原集合A和B中的所有元素构成的新集合。
2. 交集：如果x是A和B中的元素，则x属于A∩B。
A∩B 表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。
3. 差集：如果x是A中的元素，但不是B中的元素，则x属于A-B。
A-B 表示在集合A中，但不在集合B中的元素组成的新集合。
4. 补集：对于全集U和集合A，A的补集表示U中不属于A的元素组成的集合。
三、集合运算除了基本操作以外，还有一些常见的集合运算，如幂集、笛卡尔积等。
1. 幂集：幂集是指一个集合的所有子集构成的集合。
记作P(A)。
例如，集合A = {1, 2}，那么它的幂集P(A) = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }。
2. 笛卡尔积：如果A和B是两个集合，它们的笛卡尔积表示为A×B，它是所有形如(a, b)的有序对构成的集合，其中a属于A，b属于B。
四、常见的集合类型1. 自然数集：N = {0, 1, 2, 3, ...}2. 整数集：Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}3. 有理数集：Q = { p/q | p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0 }4. 实数集：R = [ -∞, +∞ ]5. 复数集：C = { a + bi | a ∈ R, b ∈ R, i^2 = -1}五、应用举例集合的概念在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
集合重叠知识点总结图解
集合重叠知识点总结图解一、集合的定义和基本运算1.1 集合的定义集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
比如，{1, 2, 3, 4, 5}就是一个集合，它包含了1、2、3、4、5这5个数。
集合中的对象可以是数字、字母、甚至是其他集合。
1.2 集合的运算（1）并集运算对于两个集合A和B，它们的并集记作A ∪ B，表示A和B中所有的元素组成的集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
（2）交集运算对于两个集合A和B，它们的交集记作A ∩ B，表示A和B共有的元素组成的集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
1.3 补集和差集运算（1）补集运算对于集合A，A的补集记作 A'，表示所有不属于A的元素组成的集合。
例如，A = {1, 2, 3, 4, 5}，全集为U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，则A' = {6, 7, 8, 9, 10}。
（2）差集运算对于两个集合A和B，A减去B的差集记作 A - B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
例如，A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5}，则A - B = {1, 2}。
二、重叠集合的性质2.1 交换律和结合律对于并集和交集运算，都满足交换律和结合律。
即A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)。
2.2 吸收律对于并集和交集运算，都满足吸收律。
即A ∪ (A ∩ B) = A，A ∩ (A ∪ B) = A。
2.3 分配律对于并集和交集运算，也满足分配律。
即A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。
集合运算中的交集与并集
交集的应用
数据库查询
查询共有数据
逻辑判断
判断是否共有元 素
交集运算
求解交集结果
并集的性质
集合合并
包含所有元素
概率统计统计所有可能情 况来自数据整合整合多个数据集
集合运算总结
交集
求解共有元素 集合交集运算 数据筛选
并集
整合所有元素 并集运算规则 数据汇总
差集
去除重复元素 集合差集运算 数据清洗
交集表示
$A \cap B$
并集表示
$A \cup B$
交集与并集的应用
数据库查询
常用交集与并集 操作
数学运算
常用集合运算解 决问题
交集与并集的性质
交换律
$A \cap B B \cap A$
结合律
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
● 02
第2章 交集的性质
交集的空集
01 空集定义
任何集合与空集的交集都是空集
02 示例
$A \cap \emptyset \emptyset$
03
交集的恒等元素
恒等元素性质
任何集合与自己的交集等 于自己
数学公式
$A \cap A = A$
交集的补集
补集关系
两个集合的交集 与其中一个集合
集合运算中的交集与并集
汇报人：大文豪
2024年X月
第1章 简介 第2章 交集的性质 第3章 交集运算的实际应用 第4章 并集的性质 第5章 并集运算的实际应用 第6章 总结
集合的基本运算相关知识点
集合的基本运算是集合论中的重要内容，涉及到集合的交、并、差和补运算。
在数学和计算机科学中，集合的基本运算是解决问题和推理的基础。
本文将介绍集合的基本运算及其相关知识点。
一、集合的定义集合是由一些确定的事物组成的整体，这些事物称为集合的元素。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
集合中的元素是无序的，且不重复。
例如，集合A={1, 2, 3}，表示A是由元素1、2和3组成的集合。
二、集合的基本运算1.交集交集运算是指给定两个集合，求出两个集合共有的元素所组成的集合。
用符号∩表示交集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
2.并集并集运算是指给定两个集合，求出两个集合所有元素的组合所组成的集合。
用符号∪表示并集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3.差集差集运算是指给定两个集合，求出第一个集合减去与第二个集合交集后的元素所组成的集合。
用符号－表示差集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4.补集补集运算是指给定一个全集和一个子集，求出子集相对于全集的差集所组成的集合。
用符号’表示补集。
例如，全集U={1, 2, 3, 4}，集合A={2, 3}，则A’={1, 4}。
三、集合运算的性质1.交换律集合的交集和并集满足交换律，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
2.结合律集合的交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3.分配律集合的交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
4.互补律集合的补集满足互补律，即(A’)’=A。
四、集合运算的应用1.逻辑推理集合运算可以用于逻辑推理中。
通过对集合的交、并、差和补运算，可以分析给定条件的关系和推导出新的结论。
高一集合的运算知识点
高一集合的运算知识点一、集合的概念与表示方法集合是由一些确定的对象（称为元素）构成的整体，元素是确定的、互不相同的。
集合可以用描述法或列举法表示，例如：1. 描述法：{x | x 是正奇数} 表示所有正奇数构成的集合；2. 列举法：A = {1, 2, 3, 4, 5} 表示集合 A 包含元素 1, 2, 3, 4, 5。
二、集合的基本运算1. 并集：A ∪ B 表示包含集合 A 和集合 B 中所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
2. 交集：A ∩ B 表示同时属于集合 A 和集合 B 的元素组成的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4}，则A ∩ B = {3}。
3. 差集：A - B 表示属于集合 A 但不属于集合 B 的元素组成的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4}，则 A - B = {1, 2}。
4. 互斥：A 和 B 互斥表示A ∩ B = ∅，即集合 A 和集合 B 没有共同的元素。
例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则 A 和 B 互斥。
三、集合的扩展运算1. 幂集：集合 A 的幂集表示包括 A 的所有子集（包括空集和A 本身）的集合。
例如，A = {1, 2}，则 A 的幂集为 {{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
2. 交叉积：A × B 表示由集合 A 中的元素和集合 B 中的元素按照一定规则组成的所有有序对构成的集合。
例如，A = {1, 2}，B = {a, b}，则 A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}。
四、集合的运算性质1. 交换律：对于任意集合 A、B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A。
2. 结合律：对于任意集合 A、B、C，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)。
数学集合知识点总结公式
数学集合知识点总结公式一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是由若干个元素组成的整体。
集合用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示，元素用逗号隔开，整体用大括号括起来表示，比如集合A={a, b, c, d}。
如果一个元素a属于集合A，我们用a∈A来表示，如果一个元素b不属于集合A，我们用b∉A来表示。
1.2 集合的表示方法集合可以通过列举法、描述法和图示法进行表示。
列举法是将集合中的元素逐个列举出来，例如A={1, 2, 3, 4}；描述法是通过给出一个性质或条件描述集合中的元素，例如A={x|x是偶数}；图示法是通过画出集合的示意图表示，例如在数轴上表示实数集合。
1.3 空集和全集空集是不包含任何元素的集合，用∅或{}表示。
全集是包含所有可能元素的集合，通常用U表示。
1.4 集合之间的关系包含关系：如果集合B中的每个元素都属于集合A，那么称集合A包含集合B，记作B⊆A。
相等关系：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么称它们相等，记作A=B。
互斥关系：如果两个集合A和B没有共同的元素，那么称它们为互斥的，记作A∩B=∅。
1.5 子集和真子集如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
如果一个集合A是集合B的子集但同时也不等于集合B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
二、集合运算2.1 并集如果两个集合A和B中的元素合并在一起构成的集合，那么称为两个集合的并集，记作A∪B。
并集的特点是包含两个集合中的所有元素，不重复。
2.2 交集如果两个集合A和B中的元素共同拥有的集合，那么称为两个集合的交集，记作A∩B。
交集的特点是包含两个集合中共同的元素。
2.3 差集如果集合A中的元素去掉属于集合B的元素，那么得到的集合称为A相对于B的差集，记作A-B。
差集的特点是包含属于集合A但不属于集合B的元素。
2.4 补集如果集合A的全集为U，那么集合A相对于全集U的差集称为A的补集，记作A'或者~A。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。
2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。
3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。
二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。
3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。
四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。
2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。
3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。
五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。
2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。
5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。
7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。
集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。
2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。
3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。
数据结构集合运算
数据结构集合运算数据结构是计算机科学中重要的基础知识之一，它主要研究数据元素之间的逻辑关系和运算。
集合是一种常见的数据结构，它用于表示一组互不相同的元素。
集合运算是对多个集合之间进行操作的一种技术，它包括并集、交集、差集和补集等。
并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并为一个集合，其中不包含重复的元素。
对于两个集合A和B来说，它们的并集记作A∪B。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
交集是指两个或多个集合中共有的元素。
对于两个集合A和B来说，它们的交集记作A∩B。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的交集为A∩B={3}。
差集是指属于一个集合A但不属于另一个集合B的元素。
对于两个集合A和B来说，它们的差集记作A-B。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的差集为A-B={1,2}。
补集是指在全集中不属于一些给定集合的元素构成的集合。
对于一个集合A来说，它的补集记作A'或A的反集。
例如，集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则集合A的补集为A'={4,5}。
除了上述基本的集合运算，还有其他一些常用的集合运算，如对称差集和笛卡尔积等。
对称差集是指两个集合中所有不属于交集的元素构成的集合。
对于两个集合A和B来说，它们的对称差集记作A△B。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的对称差集为A△B={1,2,4,5}。
笛卡尔积是指将两个集合的每个元素依次配对组成的新集合。
对于两个集合A和B来说，它们的笛卡尔积记作A×B。
例如，集合A={1,2}，集合B={3,4}，则它们的笛卡尔积为A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}。
在集合运算中，常常需要通过数据结构来存储和操作集合。
常见的实现方式包括数组和链表等。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中重要的概念，它是由一组确定的对象组成的。
在数学和计算机科学中，集合是一个基础概念，它被广泛应用于各个领域。
本文将对集合的定义、运算、性质以及常见应用进行总结。
一、集合的定义集合是指具有某种特定特征的一组对象的集合体。
集合中的对象称为元素。
可以用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中的元素1、2、3属于集合A。
集合可以用描述法或列举法表示。
描述法是通过描述集合的成员所满足的条件来表示集合，例如A={x|x是正整数，1≤x≤5}。
列举法是直接列举出集合中的元素，例如A={1, 2, 3}。
二、集合的运算1. 并集：集合A和集合B的并集是包含了A和B的所有元素的集合，记作A∪B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：集合A和集合B的交集是包含了A和B共有元素的集合，记作A∩B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A-B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'。
例如，A={1, 2}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的性质1. 互异性：集合中的元素各不相同，即集合中的元素是互不相等的。
2. 无序性：集合中的元素之间没有顺序关系，集合中元素的排列顺序对集合的定义没有影响。
3. 包含关系：一个集合包含另一个集合，当且仅当第一个集合中的所有元素都是第二个集合中的元素。
4. 幂集：集合A的幂集是包含A的所有子集的集合。
例如，A={1, 2}，则A的幂集为{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
四、集合的应用1. 概率论：在概率论中，集合被广泛应用于描述随机事件，例如样本空间、事件等。
集合的知识点重点总结归纳
集合的知识点重点总结归纳集合的知识点重点总结归纳一、引言集合是数学中最基本的概念之一，它广泛应用于数学、逻辑、计算机科学等领域。
本文将对集合的相关知识点进行总结归纳，旨在帮助读者更深入地理解集合的概念、性质和运算法则。
二、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的、不重复的元素组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
2. 元素与集合的关系：若一个元素属于某个集合，我们称它为该集合的元素。
反之，若一个元素不属于某个集合，我们称它为该集合的非元素。
3. 空集与全集：没有元素的集合称为空集，用符号∅表示。
包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
2. 描述法：通过描述元素的特征来表示集合。
例如，集合B={x | x是正整数}表示B是由所有正整数组成的集合。
四、集合的运算法则1. 并集：对于两个集合A和B，它们的并集是包含A和B中所有元素的集合，用符号∪表示。
即A∪B={x | x∈A或x∈B}。
2. 交集：对于两个集合A和B，它们的交集是包含A和B中共同元素的集合，用符号∩表示。
即A∩B={x | x∈A且x∈B}。
3. 差集：对于两个集合A和B，A中属于而B中不属于的元素构成的集合称为A相对于B的差集，用符号A-B表示。
即A-B={x | x∈A且x∉B}。
4. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称A和B为互斥集。
5. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B 的子集，用符号A⊆B表示。
若集合A是集合B的子集且A≠B，则称A为B的真子集，用符号A⊂B表示。
6. 补集：对于集合A而言，全集U中不属于A的元素构成的集合称为A的补集，用符号A'表示。
即A'={x | x∈U且x∉A}。
五、集合的性质1. 唯一性：在同一个集合中，每个元素都是独一无二的，不允许重复。
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谓词表示法 { x︱p(x) } p 表示 x 所满足的性质。 { x︱x2 = 1 } { y︱y 是开区间 (a,b) 上的连续函数 }
{ 使 x2 = 1 的实数 } { 1，-1 } { x︱x2 = 1 }
计算机中的集合
计算机中的集合
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计算机中的集合
第一节 集合的基本概念
1.1 个体与集合之间的关系 1.2 集合的表示法 1.3 集合与集合之间的关系 1.4 幂集
第二节 集合的基本运算
2.1 集合的补运算 2.2 集合的交运算和并运算 2.3 集合的宏运算
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集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设 其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。
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1.2 集合的表示法
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文字表示法 用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 { 在座的同学 } { 高等数学中的积分公式 }
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补集：
一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），
记作 C S A
即 C S A＝｛x│x S，且x
A｝．
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1.4 幂集
计算机中的集合
定义2 设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集， 记为 2A。
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例：如图，I为全集，集合M，N满足：
M N ≠ ，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：
MN
I N
M
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计算机中的集合
例：如果集合M满足M {7，13，20}，且M中至多含有一个奇数，
定理5 设A，B为两个集合，则 1）( A∪B) = A∩B 2）( A∩B) = A∪B
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2.3 集合的宏运算
计算机中的集合
定义3 设A,B是两个集合，A\B = { x︱xA∧xB }，称 A\B 为 A 和 B 的差集，称 \ 为集合差运算。
由差运算、交运算、补运算的定义知 A\B = A∩B。 由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏
那么符合上述条件的集合M共有__6_个____个．
分析：集合M满足两个条件：①是集合{7，13，20}的真子集； ②其中至多含有一个奇数，即M的元素中或者没有奇数
或者仅有一个奇数．还要注意空集 是符合条件的．
由上得M可能是 ，{ 20 }，{ 7 }，{ 13 }，{ 7，20 }，
{ 13，20 }．
2A ={ x x A }
定理1 设集合A是有限集合， A = n，则 2A = 2 A。
定理2 设 A,B 是两个集合。那么 A=B 当且仅当 2A = 2B。
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第二节 集合的基本运算
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2.1 集合的补运算（一元运算）
定义1 设X是集合，A是X的子集。 A={ x xX ∧ xA }
A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩(A∪C)
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定理3 设A，B，C为三个集合，则 1）A A∪B， A∩B A； 2）若 A C 且 B C，则 A∪B C； 3）若 C A 且 C B，则 C A∩B 。
定理4 设A，B为两个集合，则下面三式等价。 1）A B 2）A∪B = B 3) A∩B=A
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集合的特殊情况 不含任何元素的集合称为空集，记为 或 { }。 只含一个元素的集合称为单元素集，记为{ a }。 含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。
常用集合的字母表示： 自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集 分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示． 有时还用Q＋表示正有理数集，用R－表示负实数集，等等．
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1.1 个体与集合之间的关系 什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。 1.莫斯科大学的那汤松教授说：
凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2.复旦大学的陈建功教授说：
凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条 件的物，称它们的全部谓之一集。 3.南开大学的杨宗磐教授说： 集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体， 可以抽象。 4. 集合论之父 G.Cantor（1845-1918）说：
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定理2 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合， 则
1）A∩A=A， A∪A=A 2）A∩A = ， A∪A =X 3）A∩X=A， A∪X=X 4）A∩ = ， A∪ =A 5）A∩B= B∩A， A∪B= B∪A 6）(A∩B) ∩C = A∩ (B∩C), (A∪B) ∪C = A∪ (B∪C) 7）A∩(B ∪C) = (A∩B) ∪(A∩C)
运算。
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定理6 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则 1) A\B A ； 2) A\A = ； 3) X\A = A ；A\X = ； 4) A\ = A ； \A = ； 5) A∩(B\C)= (A∩B) \( A∩C) ； 6) A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C) 7) (A\B)\C=A\(B∪C) ； 8) A\(B∪C) = (A\B) ∩(A\C) ； 9) A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C) 。
集合与集合之间的关系称为包含关系。
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真子集：
对于两个集合A与B，如果A B，并且A
B，
就说集合A是集合B的真子集，记作A
B
（或B
A）
空集是任何非空集合的真子集．
全集： 如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素， 这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示I表示．
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1.3 集合与集合之间的关系
计算机中的集合
定义1 设A，B是两个集合 1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，
记为AB。同时称A是B的子集。 2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则
称A等于B，记为A=B。
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）每个集合是它自己的子集。
称A是A关于X的补集，称 为补运算。
定理1 设X是集合，A，B是X的子集。则 1）(A) =A； 2）若A B，则B A； 3）若A = B，则A= B ； 4）X= ，=X。
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2.2 集合的交运算和并运算
计算机中的集合
定义2 设A，B是两个集合 1）A∩B = { x︱xA∧xB }， 称A∩B为A与B的交集，称∩为集合交运算。 2）A∪B = { x︱xA∨xB }， 称A∪B为A与B的并集，称∪为集合并运算。
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