北师大版高二数学选修2-1空间向量试卷及答案
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A
A 1 D
C
B B 1
C 1 图
高二数学（选修2-1）空间向量试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的
代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝
2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
2
．如图，ABCD
—A 1B
1C
1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝
4
1
1B A ，则BE 1
与DF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
1715 B ．
2
1 C ．17
8 D ．
2
3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、
A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
10
30
B ．
2
1
C ．1530
D ．10
15
4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离
（ ）
A ．
5
15 B ．
5
5 C ．
5
5
2 D ．
105
5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧
棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）
A ．
a 42 B ．
a 82 C ．a 4
2
3 D ．
a 2
2
6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）
A ．
6
3 B ．
3
3 C ．
3
3
2 D ．
2
3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝
2
1
PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）
A ．
6
21 B ．
3
3
8 C
60210 D ．30
210
8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，
90=∠ACB ，侧棱21=AA ，
D ，
E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）
A ．
3
2
B ．
37
C ．
2
3 D ．
7
3 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32
3
1=
AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．65π
D ．
3
2π
10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，
CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）
A ．
6
6
B ．
3
3
16 C ．316
D ．16
11．有以下命题：
①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C
一定共面；
③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。其中正确的命题是：（ ）
（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③
12. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若=，
=，AA =1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
（A ） ++-2121 (B)++21
21
（C ）+--2121 （D ）+-2
1
21
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．
13．已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =
，||a b λ+=
且0λ>，则
λ= ____________.
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．
15． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到
截面1AEC F 的距离 ． 16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平
面D B EF 的距离 ．
17．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1
所成角的正弦值 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共60分）．
18．（15分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二
面角的大小 19．（15分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．
20．（15分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．
C1