北师大版高二数学选修2-1空间向量试卷及答案

A
A 1 D
C
B B 1
C 1 图
高二数学（选修2-1）空间向量试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的
代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝
2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
2
．如图，ABCD
—A 1B
1C
1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝
4
1
1B A ，则BE 1
与DF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
1715 B ．
2
1 C ．17
8 D ．
2
3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、
A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
10
30
B ．
2
1
C ．1530
D ．10
15
4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离
（ ）
A ．
5
15 B ．
5
5 C ．
5
5
2 D ．
105
5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧
棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）
A ．
a 42 B ．
a 82 C ．a 4
2
3 D ．
a 2
2
6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）
A ．
6
3 B ．
3
3 C ．
3
3
2 D ．
2
3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝
2
1
PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）
A ．
6
21 B ．
3
3
8 C
60210 D ．30
210
8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，
90=∠ACB ，侧棱21=AA ，
D ，
E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）
A ．
3
2
B ．
37
C ．
2
3 D ．
7
3 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32
3
1=
AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．65π
D ．
3
2π
10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，
CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）
A ．
6
6
B ．
3
3
16 C ．316
D ．16
11．有以下命题：
①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C
一定共面；
③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。

其中正确的命题是：（ ）
（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③
12. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若=，
=，AA =1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
（A ） ++-2121 (B)++21
21
（C ）+--2121 （D ）+-2
1
21
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．
13．已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =
，||a b λ+=
且0λ>，则
λ= ____________.
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．
15． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到
截面1AEC F 的距离 ． 16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平
面D B EF 的距离 ．
17．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1
所成角的正弦值 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共60分）．
18．（15分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二
面角的大小 19．（15分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．
20．（15分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．
C1
21．（15分）已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点． （1）求证：E 、F 、D 、B 共面；
（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离； （3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．
参考答案
一、1．C ；2．A ；3．B ；4．A ；5．A ；6．C ；7．A ；8．B ； 9．D ；10．B ； 11．A ；
12．C ； 二、13．3 14
15．36 16．1； 17．5
10 三、
18． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由
01=B A 可解得1n ＝（1，1，1）
011=C A
易知2n ＝（0，0，1），
所以，=
3
3
所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos
33或 π－a rccos 3
3．
19．证明：如图建立空间直角坐标系，
则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，0，－1） A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1）
设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、μ、
νR ∈，且均不为0）
设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，
由0= 可得 01⋅n 即 01=n
0= 01⋅n 01n
解得：1＝（1，1，－1）
由 012=⋅B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅B n
012=⋅B n 012=⋅B n 012=⋅B n
解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ，
所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ． 20．（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面PAD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．
（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．
∵PA ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．
于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由
AE =a ，∠EAF =60°，得AF =
2a ，EF =2
3a ，∴E （0，23,21a a ） 于是，CD a a AE
},2
3
,21,0{=={－a ，a ，0}
设AE 与CD 的夹角为θ，则由
cos θ|
|||CD AE CD AE ⋅420
)()2
3()21(00
23
21)(02
22222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为
4
2． 21．解：（1）略．
（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,2
1,
0(),1,1,21
(F E 设.),,(的法向量是平面BDEF z y x n = )1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥DF DF 由
得⎪⎩
⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅021
0z y DF n y x DB n 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z y x 令)2
1,1,1(,1--==y 得．
设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．
.2
3
)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=A
.
12
2
2,cos ||||.
22
23223
||||,cos ,
2
3
)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯=⨯<∴=-++-==-++-=A A A A n D A A A O A 又 即点A 1到平面B DFE 的距离为1．
（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A
.
45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面。