第八章 组合变形

iz = 0⇒ ay = − yF
2
三、中性轴方程
F zF z yF y 令 σ = − 1 + 2 + 2 = 0 A iy iz
令y=0，得到中性轴 在z轴上的截距az 2 z zF = 0⇒ = − iy 1+ 2 az zF iy
因ay与 yF 异号， az与 zF 异号，故中性轴与偏心压 力作用点分别位于坐标原 点(截面形心)的两侧。
l
cos α tan α
即：FDx= FDsinα=2Wtanα， FDy= FDcosα=2W 2）画内力图。
2Wtanα FAx A FAy α B A W C D B FDx D FDy
l B W
轴力图
A
+
D
σ
剪力图
A D
+
B
弯矩图
Wl
-
σmax σmin
W
3）确定许可载荷W
N M D 8W tan α 10Wl = + 3 ≤ [σ ] σ eq max = + 2 A Wz πd d
b)脆性材料梁
F Pab = + ≤ [σ t ] σ max t A (a + b) Wz σ max c = F − Pab ≤ [σ c ] A ( a + b) W z
6)中性轴位置
F M ( x) y σ= + =0 A Iz F Iz ⇒ y=− AM (x)
即最大拉应力和最大压应 力均须满足强度条件。 【例8-2】若图示AB梁的直径 为d，材料为塑性材料且其许 用应力为[σ]，确定许可载荷W 【解】1）求AB梁的约束反力
*§8-3 偏心压缩和截面核心
一、偏心压缩的概念 当短柱上的压力与轴线平行但 不与轴线重合时即为偏心压缩 二、截面上应力方程 轴力产生的应力 σ ′ = − 弯矩My产生的应力
F zF z Myz σ ′′ = =− Iy Iy
F A
B(y, z)• F O x z
M z = F yF
x z O
F •A(yF, zF) y 截 面 形 心
第八章 组合变形
§8-1 组合变形和叠加原理 §8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8-3 偏心压缩和截面核心 §8-4 扭转与弯曲的组合 §8-5 拉伸压缩与扭转组合变形
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形的概念 由两种或两种以上的基本变形组合而成的复合变形。 二、叠加原理（叠加法） 叠加原理（叠加法） 分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构 件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组 载荷对应着一种基本变形。 分别计算每一组基本变形各自引起的应力、内力、应 变和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变 形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。
【例8-4】若短柱的截面为 矩形，试确定其截面核心。
A z D
b
O B C h
y
【解】1）求iy2、 iz2
I y b2 2 iy = = A 12 h 2 = iz 12
2
2）写ay i、 azi
AB边： ay=-h/2， az=∞ BC边： ay= ∞ ， az= -b/2 CD边： ay=h/2， az=∞ DA边：ay= ∞ ， az= b/2 3）求yFi 、 zFi
l FAx A FAy α α C C D
l B W
∑ F ix = − F Ax + F D sin α = 0 F D = 2W ∑ m A ( F i ) = l F D cos α − 2Wl = 0 ⇒ F Ax = 2W ∑ m D ( F i ) = l F Ay − Wl = 0 F Ay = W
by y 4 z F + F sin θ + arctan F ≥ −1 a zF b a
2 2
【解】1）设椭圆方程为
z = b sin θ 2）椭圆边缘上任一点的 应力均应不大于零，即
y = a cos θ
F zF z yF y σ = − 1 + 2 + 2 ≤ 0 A iy iz
F A a C A F F + P b B F y B F σ' O z
【解】1)当梁上只有F作用 时，其轴力图和应力图为：
F 正应力：σ ′ = A
2)当梁上只有P作用时， 其弯矩图和应力图为 正应力：σ ′′ =
M ( x) y Iz
A A
a
P b B C σmin B σ''
Pab/(a+b) + C
与通过各边的中性轴 对应的yFi 、 zFi为
b
O
h6
y C
B
h
截面核心是一个菱形。
【例8-5】短柱的截面为椭 圆，试确定其截面核心。 z a y
b
z F ⋅ b sin θ + y F ⋅ a cos θ ≥ 0 1+ 2 2 iy iz
b 2 iy = 4
2
a 2 iz = 4
2
O
4 yF 4 zF 1+ sin θ + cos θ ≥ 0 b a
A
B
当偏心力F作用在截面核 心内（含边界）时，截面 上便不会出现拉应力。 六、截面核心求解步骤 求截面对形心主惯性轴的 惯性半径的平方iy2、 iz2 ； 写出通过截面诸边界的中 性轴的截距ay i、 azi； 由截距公式求偏心压力的 诸作用点yFi 、 zFi ； 连接偏心压力的诸作用点 构成一个封闭区域。
B
2)求圆轴CD截面之间的扭矩、画扭矩图和应力图
T max = − 0.4 × 10 = −2 kN⋅ m 2
A C − 2kN·m D τmax T B
= T max τ max Wt
3)画圆轴弯矩图和正应力图
M max = 2 kN⋅ m M max σ max = Wz A
【解】1)对圆轴作受力分析
∑m
轴
( F i ) = mC − m D = 100Q − 200 P = 0 ⇒ Q = 2 P = 20 kN
∑m ∑m
A
( F i ) = 800 R B − 600 P − 100Q = 0 ⇒ R B = 10 kN
( F i ) = 200 P + 700Q − 800 R A = 0 ⇒ R A = 20 kN
π d 3 [σ ] ⇒W ≤ 8d tan α + 10πl
【例8-3】用应变片测得弹性模量为E的矩形截面杆上 下表面的轴向线应变分别为εa、 εb ，试求拉力P及其 偏心距e。 【解】1）将P向轴线平移
M e = Pe
P Me εb P e εa P e z b P Me h εb εa
2）由虎克定律得
ay = − i i ⇒ yF = − yF ay
2 y
2 y
2 z
2 z
AB边： yF=h/6， zF =0 BC边： yF=0， zF =b/6 CD边： yF=-h/6， zF =0 DA边： yF=0， zF =-b/6 4）画截面核心
A z D
b6
i i az = − ⇒ zF = − zF az
【例8-6】图示传动轴，两轮分别受力P、Q作用使系 统处于平衡状态。若已知P = 10 kN，轴材料的许用应 力 [σ] = 120 MPa。不计轮和轴的自重，试分别按第三 强度理论和第四强度理论设计轴的直径d。 400
100 A RA Q C Q D P P RB P Q 500 200 B 200
i =− z ay yF
2
设欲使截面上点C(r, s)的 应力为零，显然它必位于 中性轴上。其坐标满足
iy az = − zF
2
知
zF s yF r 1+ 2 + 2 = 0 iy iz
截距ay、az 逐渐增大，中 性轴逐渐远离截面形心。
当中性轴与截面边缘相切 时，整个截面上就只有一 种压应力。 图示为一受压短柱的横截 面， 取形心O为坐标原点。
1P 1 P 12 Pe Ebh(ε a + ε b) σ = a = + Me = + ε a A E bh b 3 P = E E Wz h 2 ⇒ = σ b = 1 P − M e = 1 P − 12 Pe e = h(ε a − ε b) ε b E E A W z E bh b h3 6(ε a + ε b )
M y = F zF
y
弯矩Mz产生的应力 F yF y Mz y σ ′′′ = =− Iz Iz
点B(y,z)的总应力
F F zF z F yF + σ = σ ′ + σ ′′ + σ ′′′= − + A Iy Iz y
zF z yF y ⇒ 1 + 2 + 2 = 0 iy iz
注意： 注意：由于弯曲时横截面上的剪力引起的最大剪应力 一般远小于横截面上的正应力，也远小于扭矩引起的 最大剪应力，故在组合变形的应力计算中，若无特别 要求，由剪力引起的剪应力一般都可忽略，故在作组 合变形构件的内力图时剪力图一般不必画出。
§8-2 拉伸压缩与弯曲的组合
一、拉伸压缩与弯曲组合变形的概念 构件受横向力和纵向力共同作用或受纵向偏心外力作 用时横截面上有轴力和弯矩的组合变形。 二、例题 【例8-1】写图示简支梁的强 度条件并确定中性轴位置。
令 iy =
iz = Iz A
Iy A
—横截面对y轴 的惯性半径
—横截面对z轴 的惯性半径
显然中性轴是一条直线 四、截面应力分布特征 令z=0，得到中性轴 在y轴上的截距ay
1+ yF y i
2 z
F zF z yF y 则 σ = − 1 + 2 + 2 A iy iz
3)F、P同时作用时正应力
F M ( x) y σ = σ ′ + σ ′′ = + A Iz
σ σmax
5)梁处于单向应力状 态，强度条件为 a)塑性材料梁
σ max = F Pab + ≤ [σ ] A ( a + b) W z
4)整个梁正应力在C截 面上下边缘取得极值
σ
Leabharlann Baidumax min
=
F MC F Pab ± = ± A Wz A ( a + b) W z
2 2
2
2
≤ −1
即 zF + yF ≤ 1 b 4 a 4 3）画截面核心 z a
a/4 b/4
O
y
b
它是一个椭圆。
§8-4 扭转与弯曲的组合
一、扭转与弯曲组合变形的概念 轴同时受到扭转外力偶和横向外力作用时横截面上的 内力有扭矩和弯矩的组合变形。 二、例题
三、注意事项 叠加可能是代数叠加也可能是几何叠加； 应力、内力、应变和位移与外载荷须成线性关系； 结构存在几何非线性时不能用叠加原理； 叠加结果与外载荷加载秩序无关。 四、解题步骤 将构件所受外载荷简化成几组载荷，使每组载荷只 产生一种基本变形，分别作出相应的内力图； 由基本变形应力的计算方法，分别计算每一种基本 变形在截面上引起的应力，将对应点的应力叠加，确 定其应力状态及危险点的位置； 由危险点的应力状态和构件材料选用合适的强度理 论进行强度计算。
D z C b. c. O E .a y .e
当中性轴与角点E和A的连 线重合时，因直线EA的截 距为已知，故由截距公式 可确定出偏心力F的作用 点a的坐标。 同理，当中性轴依次与AB、 BC 、 CD 、 DE重合时， 由截距公式可确定出偏心 力F的作用点b、c、d、e 的坐标。 截面核心。 封闭区域abcde为截面核心 截面核心
x z • D2 • O • az F • y
图示阴影部分受拉，另一 部分受压。 平行于中性轴且与横截面 边缘相切的D1点离中性轴 最远，有最大压应力。 同理，D2点有最大拉应力。
五、截面核心的概念
p x z F •(yF, zF) O y q .C(r, s)
该式表明：偏心压力F必 在一条直线上运动。 当偏心压力F在直线上运 动时，可得到一系列通过 点C的中性轴，即中性轴 绕点C转动。 当偏心压力力F逐渐靠近 截面形心即坐标(yF, zF )逐 渐减小，由截距公式
b yF sin θ + arctan ≥− a zF
1 y 4 zF + F b a
2 2
by − 1 ≤ sin θ + arctan F ≤ 1 因 a zF
故
−
1 zF yF 4 + b a