报童问题模型
报童卖报问题
报童卖报问题摘要：这个问题解决的是报刊亭购进报纸数量。
通过分析上月报纸的销售量得出上月的平均期望x =243.3，方差S=13，最后通过计算分析得出，当报纸数量n=248时，利润)(n G =99.5最大。
正文：一． 问题的重述设某报刊亭报纸的购进价为0.6元，售出价为1元，退回价为0.4元，问该报 亭每天应购进几份报纸，才能使收益最大？并求出最大收益。
二．符号的约定b 购进价格 a 零售价格c 退回价格 n 报纸数量 S 方差x 平均期望)(n G 利润函数 )(r p 概率密度函数三.模型的基本假设假设外界环境不变.假设这个月卖报量服从上个月分布,并服从正态分布.假设-∞到0的概率为0. 四．模型的建立与求解根据上面的符号约定，显然有c b a >>。
设报童每天购进n 份报纸，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n 、等于n 或大于n ；并由分析计算可知，上月报童卖报的平均期望x =243.3，方差S=13。
记报童每天购进n 份报纸时平均收入为)(n G ，考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以∑∑∞+==-+----=10)()()()])(()[(n G n r nr r nf b a x f r n c b r b a ）（ (4.2-1)问题归结为在)(r f .a.b.c 已知时，求n 使)(n G 最大。
通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量，这时)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，这样(4.2-1)式变为：∑∑∞+==-+----=10)()()()])(()[(n G n r nr r np b a x p r n c b r b a ）（ (4.2-2)计算⎰-----=nr nP b a dr r P c b n nP b a dn dG0)()()()()()(⎰+∞-+n drr P b a )()(⎰⎰+∞-+--=n ndrr P b a dr r P c b 0)()()()(，令 0=dn dG得： c b ba dr r P dr r P nn--=⎰⎰∞+)()(0(4.2-3) 使报童日平均收入达到最大购进量n 应满足(4.2-3) ，因为⎰+∞=01)(dr r P 所以(4.2-3)式可变为cb ba dr r P dr r P n n--=-⎰⎰00)(1)(即有⎰--=nc a ba dr r P 0)( (4.2-4)根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图4.3）很容易从(4.2-4)式确定购进图4.3在图中，用21,P P 分别表示曲线)(r P 下的两块面积，则(4.2-3)式又可记作：cb b a p p --=21 所以(4.2-3)式表明：购进的份数n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a －b 与退回一份赔的钱b －c 之比。
报童 数学建模
报童诀窍一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则()()()()[]()()()∑∑=∞+=-+----=n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)()()()()[]()()()⎰⎰∞-+----=n ndr r np b a dr r p r n c b r b a n G 0计算()()()()⎰---=ndrr p c b n np b a dndG 0()()()()dr r p b a n np b a n ⎰∞-+--令0=dndG 得dndG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n⎰⎰∞-+---=02得到()()cb b a drr p dr r p nn --=⎰⎰∞n 应满足上式。
报童模型
n2 k 0
k n 1
(a b)(n 1) p
k
E (n 1)= (a b)k (b c)(n 1 k ) pk
k n 1
(a b)(n 1) p
k
所以
E (n) E (n 1) (b c) pk (a b)
rn rn
根据已知需求量 r 的分布规律 f(r)，得平均收入为
G n E (Y ) a b r b c n r f r
r 0 n r n 1
a b nf r
问题归结为在 f(r),a,b,c已知时，求n 使G (n)最大。
报童的诀窍
模型分析：
购进量由需求量确定，需求量是随机变量。假定报童已 经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的统计规律性， 即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是 f r r 0,1,2,
有了f r和
a, b, c 。就可以建立关于购进量的优化模型。
模型建立：
r 假设每天购进量是n份，需求量 r 是随机变量，可以 大于n，可以等于n，也可以小于n。所以报童每天 的收入也是随机变量。那么，作为优化模型的目标 函数不能取每天的收入，而应该取长期卖报的日平 均收入，即报童每天收入的期望值。
所以 E (n) E f (r , n)） （
= (a b)k (b c)(n k ) pk (a b)npk
k 0 k n
n 1
设进货量为n时，期望收益E(n)最大，则应有不等式 E(n) ≥ E(n+1)且E(n) ≥ E(n－1)
9-报童问题
Qiu canhua, Tongji University
超额预售问题的解法
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。 再多售一张机票就要蒙受400美元的损失， co = $. X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预 订数量减少一个就蒙受100美元的损失， cu = $100.。 最佳的 X* 应当满足
Qiu canhua, Tongji University
有不确定因素的决策问题
这三个问题有以下几个方面的共同点： 都有一个决策变量 X (报纸供应量；出发时间；多预售的 座位）和一个随机变量 Y (报纸需求量；实际路程时间； 持票而未登机人数）。这两个变量共同决定结果。但是我 们必须先选定 X 的数值，然后才能看到Y的数值。 都有一个 X 大于 Y 的单位成本（过量成本） (未售出的报 纸；一名因客满而未能乘机的乘客；提前一分钟）。 都有一个Y 大于X 的单位成本（不足成本）(差一份报纸； 一个空座；晚到一分钟）。 都需要测算 Y 的概率分布。
Qiu canhua, Tongji University
报童问题 II的解
设 X为留作自售的份数， Y 为明天的报纸需求。. {X > Y} 意味着留得太多，否则可以前一天卖给另一报贩， 每份可赚0.40元，所以每份损失利润 co = 0.40 元。 {X < Y} 意味着留得太少，每份前一天只卖了0.40元，留着 可卖0.50元, 多卖 cu = 0.50-0.40 = 0.10元。 最 优解X* 应满足
P{Y>X*} 表示需求Y大于X*的概率。 P{Y<X*} 表示需求Y小于X*的概率。 CuP{Y>X*} 第X*件产品售出时所带来的收益； CoP{Y<X*} 第X*件产品未售出时所带来的损失。
报童问题
报 童 问 题 模 型【问题的提出]】报童每天清晨以b 元从报社购进报纸，然后以零售价a 出售，晚上将没有卖出的报纸以退回价c 元退回给报社，其中a>b>c.问：报童应该如何确定报纸的每天的购进量，才能使利润最大？【问题的分析】根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律。
已知售出一份赚 a-b ；退回一份赔 b-c 。
【做出假设】假设报童的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( =r r f ．每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．【模型的建立]】记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以∑∑+==-+----=∞1n 0)()()()])(()[()(G n r r r nf b a r f r n c b r b a n （1）)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大．【模型求解】通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成dr r np b a dr r p r n c b r b a n G n n ⎰⎰-+----=0∞)()()()])(()[()(计算：由以下公式：))(,()())(,()(d ),(d d ),(F )()()()(x x f x x x f x y y x f xF dyy x f x x x x x ϕϕψψψϕψϕ'-'+==⎰⎰以及dy y x f dy y x f A A ⎰⎰∞∞→=00),(lim ),(得：)()()()()()()()(d dG 10n np b a dr r p b a n np b a dr r p c b nn n ---+-+--=⎰⎰∞+即：r r p c b r r p b a n n d )()(d )()(dndG 10⎰⎰∞+---= 令0=dndG .得到 c b b a drr p dr r p n n--=⎰⎰∞+10)()( （2） 根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(2)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作cb b a P P --=21 因为当购进n 份报纸时，⎰=ndr r p P 01)(是需求量r 不超过n 的概率：⎰∞+=12)(n dr r p P 是需求量r 超过n 的概率。
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3
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
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4
问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
报童问题模型
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1
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
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2
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
等于每天收入的期望
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2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
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4、报童问题的推广与应用
报童问题模型
§2 报 童 问 题 模 型[问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a >b>c ．这就是说，报童售出一份报纸赚a -b ，退回一份赔b-c ．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．[问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f ．有了)(r f 和a ，b ，c ，就可以建立关于购进量的优化模型了．假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入．[模型的建立及求解] 记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大．通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成计算令0 dndG .得到使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为01)(dr r p ，所以(3)式又可表为根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作因为当购进n 份报纸时， n dr r p P 01)(是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率：n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.。
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报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。
()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。
报童问题模型
§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。
报童模型——精选推荐
报童模型关于报童卖报的问题摘要报童模型在1956年⾸次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着⼤量的学者或经济领域的⼈⼠对它进⾏研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，⼈们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算⽅法和理论⽅法来使这些⾮量化的因素最⼤化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是⼜不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。
报童模型中关于有限理性涉及到的问题与⽅法到如今已将发展到很多⽅⾯，在随机因素⽅⾯⾸先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，⼈们尽量通过具体的推算⽅法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最⼤化的有限理性决策。
本论⽂讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出⼏种可能的⽅案,通过求解,找出⼀个最优的⽅案来订报,使得报童赢利取得最⼤期望值或报童损失的最⼩期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最⼤。
本⽂⾸先建⽴了最⼤期望值和最⼩期望值的模型，然后分别⽤连续的⽅法和离散的⽅法求解，最后得出结论。
尽管报童赢利最⼤期望值和损失最⼩期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。
关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散引⾔在报童模型中，有限理性决策主要⾯对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最⼤化期望收益或最⼩化期望损失。
本⽂⾸先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进⾏研究的部分⽂献成果。
再得出有报童模型有限理性的发展。
⼀、问题重述报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,⾃然地假设a>b>c.也就是说,报童售出⼀份报纸赚a-b,退回⼀份赔b-c,。
试为报童筹划⼀下每天购进报纸的数量，使得收⼊最⼤，那么报童每天要购进多少份报纸？⼆、模型分析如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。
报童模型.doc
缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。
在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言1不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。
报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。
如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。
然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。
但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。
对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。
这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。
在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。
其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。
报童模型
缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。
在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。
报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。
如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。
然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。
但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。
对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。
这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。
在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。
其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。
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1.60
1995
0.37
521
0.86
2817
0.57
概率
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75
在标准正态分布函数表中查找正态标准值小于等于Z的概率.
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应用历史A/F 比率选取需求预测的正态分布函数
▪ 从预测,猜测等得出初始预测值. ▪ 欧耐尔 Hammer 3/2 的初始预测值为 3200 套. ▪ 计算历史数据的 A/F 比率:
A/F 比率
实际需求 预测
▪ 确定正态标准分布的均值:
680
EPIC 2MM S/S FULL
740
EPIC 4/3
1020
WMS EPIC 4/3
1060
JR HAMMER 3/2
1220
HAMMER 3/2
1300
HAMMER S/S FULL
1490
EPIC 3/2
2190
ZEN 3/2
3190
ZEN-ZIP 4/3
3810
WMS HAMMER 3/2 FULL
误差A*/F 比率**
-50
1.56
37
0.69
-3
1.02
7
0.96
报童模型——物流案例
关于确定订货量的参考方法——报童模型引言：报童模型的引入：公司目前采用的订货策略是根据现有的资金最大限度的采购原蜜，对于其科学性，我们暂时保留意见，下面我们将引入一种更加有说服力的确定订货量的方法——报童模型。
一、已知数据：年销量/产量output=5000吨; 年产值sales=14250万；利税B=777万；年库存总费用H=700万；单位原蜜购买成本c=9000元/吨；二、使用报童模型求解小蜜蜂工厂原蜜订货量问题的几点假设：1、假设小蜜蜂工厂的库存模型为单周期的。
依据：虽然由表中可以看出小蜜蜂每年的采购次数为5次，但是实际上这5次采购是发生在全国5个不同的采购基地，并且是花种花期都不同，故可以将其分开来单独处理。
(例如五月份采购入库的是洋槐花蜜，需满足全年的洋槐花蜜的需求)。
2、由于市场上蜂蜜行业的现状是供不应求，因此工厂存货过多导致的超储成本主要是库存维持成本，而不是传统意义上的对多余库存作处理价售出而造成的损失；3、若工厂存货不足，则导致欠储成本。
基于综合因素的考虑，我们假定欠储成本包括两个部分：一是机会损失，即本应该获得的利润损失（=售价—成本）；二是由缺货引起的商家信誉受损或客户流失造成的损失(用x表示)。
三、无预算约束的报童模型公式: F(q*)=c u/(c u+c o)其中，F(X)为蜂蜜需求分布函数（可能是正态分布函数，也可能是负指数分布等），c u 表示欠储成本，c o表示超储成本。
根据假设：欠储成本=机会利润损失+客户流失损失(c u=p-c+x);超储成本=库存维持费用(h)处理后的报童模型公式：F(q*)= (p-c+x) /( p-c+x+h)即q*=F-1[(p-c+x) /( p-c+x+h)]单位库存费用h=年库存总费用/平均库存水平=4098元/(年*吨)；单位产品平均售价p=年产值/年销量=28500元/吨；1、缺货不存在客户流失的情况（更符合实际情况，因蜂蜜目前属于供不应求产品，即x=0）直接将数据带入公式计算，查需求分布函数值表，最后可求得最优订货量。
报童模型推导过程
报童模型推导过程引言报童模型是运筹学中的一个经典问题，用来研究在确定需求不确定的情况下，如何进行订货决策以最大化利润或最小化成本。
该模型可以应用于各种销售场景，如零售业、餐饮业等。
本文将详细介绍报童模型的推导过程，以帮助读者更好地理解该模型的基本原理和应用方法。
问题描述在介绍推导过程之前，我们首先来明确报童模型的问题描述和假设条件。
假设一个报摊要在每天早上采购某种报纸供应给顾客，报纸当日的需求是随机的，报刊杂志店的利润等于报纸售价与进货价之间的差值，当售出的报纸数量超过需求时，超过的部分将无法销售并造成损失。
问题描述如下： - 每天早上只能进行一次订货，订货量为Q， - 报纸的需求量是随机的且服从已知的概率分布，可以假设为离散分布， - 报纸进货价格为C，售价为P，超过需求的报纸不可退还，且销售价格与需求量无关。
根据以上描述，我们的目标是通过确定订货量Q来使得期望利润最大化或者期望成本最小化。
推导过程为了求解最优的订货量Q，我们需要先通过数学推导建立相应的模型。
第一步：建立利润函数我们假设需求的概率分布为离散变量，其中每个需求量和对应的概率分别为d和P(d)。
那么对于每个可能的需求量d，利润可以表示为售价P与进货价C之差乘以实际售出的报纸数量min(d,Q)。
因此，对于每个订货量Q，我们可以计算出对应的利润。
定义利润函数f(Q)为：f(Q)=P⋅min(d,Q)−C⋅Q第二步：计算期望利润为了得到期望利润，我们需要计算利润函数对应于每个可能的需求量的加权平均值。
因此，期望利润E(Q)可以表示为：(d)⋅f(Q)E(Q)=∑Pd第三步：求解最优订货量我们的目标是通过求解最优订货量Q来使期望利润最大化或者最小化。
针对最大化期望利润的情况，我们需要对利润函数求导并找到使导数等于0的订货量。
第四步：求导计算对利润函数f(Q)进行求导，我们得到：df(Q)=P⋅I(Q>d)−CdQ其中，I(Q > d)为指示函数，当Q > d时取值为1，否则为0。
报童模型推导过程
报童模型推导过程一、背景介绍报童模型是指在零售店等场景中，为了最大化收益和最小化损失而进行的一种库存管理策略。
其基本思想是在每个订货周期结束时，根据需求量和库存量来决定下一个订货周期的订单量。
这种模型适用于需求不稳定的情况下，但需要考虑到过多的库存会增加成本，过少的库存则会导致销售机会损失。
二、模型假设1. 需求量符合泊松分布；2. 订货时间间隔固定；3. 订货成本和销售收益不考虑时间价值；4. 库存不允许超卖。
三、数学推导1. 假设每个订货周期为T，则需求量D符合参数为λT的泊松分布，即D~Poisson(λT)。
2. 假设每个单位产品的成本为c，每个单位产品的售价为r，则单次订单量Q应该使得期望收益最大化。
因此有：E[profit] = E[revenue] - E[cost]= rE[sales] - cE[order]= rEQ - cQ其中E[sales]表示销售额期望值，E[order]表示订货成本期望值，EQ 表示销售量期望值。
令E[profit]对Q求导数为0，则有：rλT - c = 0Q* = λT/c即最优订单量Q*等于需求率λ乘以订货周期T再除以单位产品的成本c。
3. 由于库存不允许超卖，因此需要保证最小库存量S不小于期望销售量EQ。
因此有：S = EQ = λT4. 最后，由于需求量D符合泊松分布，因此可以通过设置安全库存量来控制超卖的概率。
假设安全库存量为s，则在订货周期内出现超卖的概率为：P(D > Q* + s) = P(D > λT/c + s)= 1 - F(D <= λT/c + s)其中F表示累积分布函数。
如果要控制超卖的概率不超过α，则可以根据泊松分布的性质计算出对应的安全库存量s。
四、实际应用1. 确定订货周期T：根据产品特性和市场需求确定合适的订货周期。
2. 计算最优订单量Q*：根据产品成本和售价计算出最优订单量。
3. 确定最小库存量S：根据需求率和订货周期计算出最小库存量。
2.3报童问题模型
demand uncertainty order placed (and delivered) before demand is known unmet demand is lost unsold inventory at the end of the period is discard (or salvaged at lower value)
Demand d(i) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Probability p(i) 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04 0.02 0.01 Cumulative Prob. P(i) = Pr( D < d(i) ) 0.01 0.03 0.07 0.15 0.24 0.35 0.51 0.71 0.82 0.92 0.96 0.98 0.99
0 n
n
结果解释Βιβλιοθήκη p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
n
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n
n
2
p(r)
取n 使
P a b 1 P2 b c
P1~卖不完的概率，a-b ~售出一 份赚的钱
P2~卖超的概率，b-c ~退回一 份赔的钱
15
16 17
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0.02
0.01 0.01
0.98
0.99 1.00
0.02
0.01 0.00
13-17
LLBean: Expected Profit
报童模型的概念
报童模型概念解析
说到这个报童模型，它可是个讲究学问的玩意儿，不是光摆龙门阵那么简单。
咱们四川人讲究实在，这个模型啊，就是帮咱们商家在进货时心里头有本账，不得亏心也不得贪心。
你想嘛，就像我们卖报纸的报童，每天清早起来，心里头要盘算好今天进多少报纸合适。
进多了，万一卖不脱，晚上风一吹，报纸就跟竹叶儿样飘，心疼得慌；进少了，客人来买没得货，那生意不就跑了？
报童模型就是来帮这个忙的，它告诉你，在有限的资金和资源下，咋个进货才能赚得最多，亏得最少。
这就像我们打麻将，手里头牌好，还要会看形势，晓得啥子时候该冲啥子时候该守。
用这个模型，商家们可以像精算师一样，把成本、收益、风险都算得巴巴适适的。
比如说，卖水果的，就能根据天气、节假日这些来调整进货量，避免烂在库房里头。
所以啊，别看报童模型听起来高大上，其实跟咱们四川人的生活息息相关。
咱们四川人做事，讲究的就是个“度”，不多不少，刚刚好。
报童模型，就是帮咱们找到这个“度”的好帮手。
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§2 报童问题模型
[问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设为a>b>c．这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．
[问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是)
f．有了)
(r
r
f和a，b，c，
,2,1,0
)(
r
(
就可以建立关于购进量的优化模型了．
假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n，等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入．
[模型的建立及求解] 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概率是)
f，所以
(r
问题归结为在)
f，a，b，c已知时，求n使G(n)最大．
(r
通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)
f转化为概率密度函数)
(r
(r
p，(1)式变成
计算
令0=dn dG
.得到
使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为⎰∞
=01)(dr r p ，所以(3)式又可表为
根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作
因为当购进n 份报纸时，⎰=n dr r p P 01)(是需
求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率：
⎰∞=n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完
的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖
不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱
a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.。