【中学思维导图】图解人教版高中数学新课标选修2-2

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人教A版高中数学选修2-2课件2.3归纳法

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立． ____________
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立．
数学归纳法上述证明方法叫做_________________ ．
想一想
1. 利用数学归纳法证明与正整数有关的问题时，能缺少步骤 (1)或步骤(2)吗？为什么？提示：步骤 (1) 和 (2) 都不能缺少．因为若缺少步骤 (1) ，步骤 (2)中的假设可能不成立；若缺少步骤(2)，只能保证(1)中检验
过的n0命题成立，但不能保证n0以后的正整数成立．
2．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示：不一定．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一用数学归纳法证明恒等式 1 1 1 1 1 例1 已知 n∈ N* ，证明： 1－＋－＋…＋－＝ 2 3 4 2n－ 1 2n 1 1 1 ＋＋…＋ . n＋ 1 n＋ 2 2n 1 1 1 【证明】 (1)当 n＝ 1 时，左边＝ 1－＝，右边＝，等式 2 2 2 成立； (2)假设当 n＝ k(k≥ 1，且 k∈ N* )时等式成立，即 1 1 1 1 1 1 1 1 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ . 2 3 4 2k－ 1 2k k＋ 1 k＋ 2 2k
第二章
推理与证明
2．3
数学归纳法
学习导航
学习目标实例 ― ― → 数学归纳法的原理 ― ― →
了解应用
用数学归纳法证明一些简单的数学命题重点难点重点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题．难点：数学归纳法的原理理解．
新知初探思维启动
数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行: n0(n0∈N*) 时命题成立; (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值____________

高中数学人教A版选修2-2课件第二章 2.3 数学归纳法

−
2��1+2.
答案:D
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2.用数学归纳法证明 13+23+33+…+n3=��2(n4+1)2(n∈N*).
证明:(1)当 n=1 时,左边=13=1,右边=12×422=1, ∴等式成立;
(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,
即 13+23+33+…+k3=��2(k4+1)2,
+
1 3��+4
−
1 ��+1
>
25 24
+
1 3��+2
+
1 3��+4
−
2 3(��+1)
.
目录退出
因为 1
3��+2
+
1 3��+4
=
6(��+1) 9��2+18k+8
>
6(��+1) 9��2+18k+9
+
1 2��+2
D.2��1+1
−
1 2��+2
解析:f(n+1)=��+1 2
+
��+1 3+…+21��
+
1 2��+1
+
2��1+2,
∴f(n+1)-f(n)=2��1+1

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -=(3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

高中数学必修全思维导图-思维导图数学必修二

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

【人教.高中.数学】选修2-2：第二章2.3数学归纳法【PPT课件】

答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6

类型 4 归纳—猜想—证明(规范解答)
[典例 4] (本小题满分 12 分)在数列{an}中，a1＝2， an＋1＝ban＋bn＋1＋(2－b)2n(n∈N*)，b＞0.
(1)求 a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式并加以证明．审题指导：(1)根据 an 与 an＋1 的递推关系，分别令 n

2．“假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳假设起着已知条件的作用，“n＝k＋1 时命题也成立”则是求证的目标．在证明“n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出 n＝k＋1 时命题也成立．

(2)在推证“n＝k＋1 时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．

[变式训练] 用数学归纳法证明：212＋312＋412＋…＋n12 ＜1－n1(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12. 因为14＜12，所以不等式成立．

即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除．则当 n＝k＋1 时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋ [(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝ [k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
答案：B

3．用数学归纳法证明 1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝qnq＋－2－1 q
(n∈N*，q≠1)，在验证 n＝1 等式成立时，等式左边的式
子是( )
A．1

人教版高中数学知识框架思维导图(04)-按章节整理(含目录高清版)

几何意义
归纳
合情推理
猜想
类比
推理
演绎推理
推理与证明
三段论
大前提、小前提、结论
综合法
由因导果
分析法
执果索因
直接证明
证明
间接证明
1.验证 = 0 （初始值）命题成立；
2.若 = ( ≥ 0 )时命题成立，证明 = + 1时命题也成立.
数学归纳法
两个原理
反设、归谬、结论
反证法
分类加法计算原理和分步乘法计算原理
1.f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为 =
对称性
2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(
2
+
2
, )
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
最值
一次、二次函数、反比例函数、双勾函数
基本初等函数
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
分段函数
利用对称性求函数
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
函数图象
及其变换
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
②减法：( + i)－( + i)＝(－c)＋(b－d)i；
③乘法：( + i)·( + i)＝(c－bd)＋(d＋bc)i；
运算
④除法：
+i
+i
=
(+i)(−i)
(+i)(−i)

高中数学人教A版选修2-2课件：2-3 数学归纳法

分析:求f'(x)→得到式子an+1≥(an+1)2-1→利用数学归纳法证明 an≥2n-1(n∈N*)
2 ∴an+1≥(an+1)2-1= �� + 2��.
1 3
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练 2】用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n, 不等式 1 +
栏目导引
重难聚焦
第一章
三角函数
(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢? ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的. ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n 处在哪个位置. ③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
证明:(1)当 n=2
右边. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立, 即 111 4 1 右边 4
=
2+1 2×2
=
3 , 所以左边= 4
11 9
1 9
· … · 11 ��
2
1 ��
所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)(2)知,对任意 n≥2,n∈N*等式恒成立.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练 1】用数学归纳法证明 12+32+52+…+(2n-1)2=

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.2.1、2(1)

自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
数学选修2-2
第一章导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
数学选修2-2
第一章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.

高二数学人教A版(2019)选择性必修第一、二册思维导图

空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量基本定理空间向量的应用空间向量及其运算的坐标表示线性运算数量积运算空间向量的相关概念：空间向量的定义、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量、直线的方向向量.共面向量定理：如果两个向量不共线那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使共线向量定理：对任意两个空间向量的充要条件是存在实数使空间向量的夹角：两个非零向量的夹角记作如果那么向量互相垂直记作数量积：已知两个非零向量则叫做的数量积记作即空间向量的数量积的运算律：（）结合律（）交换律；（）分配律空间向量线性运算的运算律：交换律：；结合律：，分配律：，空间向量基本定理：如果三个向量不共面那么对任意一个空间向量存在唯一的有序实数组使得基底和基向量：叫做空间的一个基底都叫做基向量单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.由空间向量基本定理可知对空间中的任意向量均可以分解为三个向量使空间直角坐标系的相关概念：坐标轴、空间直角坐标系、坐标向量、坐标平面、右手直角坐标系.空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.空间向量运算的坐标表示：设空间两点间的距离公式：设是空间中任意两点则平面的法向量：若直线取直线的方向向量称向量为平面的法向量空间中直线、平面的平行空间中直线、平面的垂直空间中的距离、夹角问题线线平行：设分别是直线的方向向量则使得线面平行：设是直线的方向向量是平面的法向量则面面平行：设分别是平面的法向量则使得线线垂直：设直线的方向向量分别为则线面垂直：设直线的方向向量为平面的法向量为则使得面面垂直：设平面的法向量分别为则异面直线所成角：若异面直线所成的角为其方向向量分别是则线面角：设直线与平面所成的角为直线的方向向量为平面的法向量为则二面角：若平面的法向量分别是和夹角为则直线和圆的方程直线的倾斜角与斜率直线的方程倾斜角与斜率：已知直线的倾斜角为则直线的斜率为直线的斜率：经过两点的直线的斜率公式为两直线平行和垂直的判定：设两条直线的斜率分别为（）；（）点斜式方程：斜截式方程：两点式方程：一般式方程：不同时为直线的交点坐标与距离公式圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系两直线的交点坐标：方程组的解就是两直线交点的坐标两点间的距离公式：间的距离公式为点到直线的距离公式：点到直线的距离两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为则两平行线的距离标准方程：圆心为半径为的圆的标准方程一般方程：直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交，有两个公共点相切，只有一个公共点相离，没有公共点判断直线与圆的位置关系的方法代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）相交，有两个公共点相切，包括外切和内切，只有一个公共点相离，包括外离和内含，没有公共点圆锥曲线的方程椭圆椭圆的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于的点的轨迹叫做椭圆椭圆的几何性质抛物线抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做拋物线点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线焦点在轴上，，范围：，顶点坐标，，，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.焦点在轴上，，范围，顶点坐标，，，双曲线双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数小于的点的轨迹叫做双曲线双曲线的几何性质共同性质：；关于轴、轴、原点对称；焦距，长轴长，短轴长；离心率两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.共同性质：；关于轴、轴、原点对称；焦距，实轴长，虚轴长；离心率焦点在轴上，，范围：，顶点坐标：，焦点在轴上，，范围，顶点坐标：，渐近线：渐近线：抛物线的几何性质顶点：；离心率：焦点：准线：开口方向：向右关于轴对称焦点：准线：开口方向：向左关于轴对称范围：，焦点：准线：开口方向：向上关于轴对称范围：，焦点：准线：开口方向：向下关于轴对称范围：，范围：，一元函数的导数及其应用导数的概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率：比值，即叫做函数从到的平均变化率导数（瞬时变化率）：在处可导并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率记作或即基本初等函数的导数导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值函数的最大（小）值导数的几何意义：函数在处的导数就是切线的斜率，即这就是导数的几何意义导函数的概念：当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，称为的导函数简称导数的导函数有时也记作，即若为常数，则；若，且，则；若，则；若，则；若，且，则；特别地，若，则；若，且，则；特别地，若，则；函数和、差的求导法则：函数积、商的求导法则：；；复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作复合函数的导数求法：一般地，对于复合函数，导数为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积函数的单调性与导函数的正负之间的关系：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减判断函数的单调性的步骤：第步，确定函数的定义域；第步，求出导数的零点；第步，用的零点将的定义域划分为若干个区间列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性导数与函数图象的关系：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.极值的定义：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值求函数极值的步骤：解方程，当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值最值的定义：如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值求函数最值的步骤：求函数在区间上的极值将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值画函数图象的步骤：求出函数的定义域；求导数及函数的零点；用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；画出的大致图象。

(人教版)高中数学选修2-2课件：章末高效整合2

第二章推理与证明
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
答案： D
数学选修2-2
第二章推理与证明
知能整合提升
热点考点例析
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解析：观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 答案： A
数学选修2-2
第二章推理与证明
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(
数学选修2-2
第二章推理与证明
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[思维点击]
数学选修2-2
第二章推理与证明
知能整合提升
热点考点例析
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数学选修2-2
第二章推理与证明
知能整合提升
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∵a>1，且x1<x2，
∴ax1<ax2，x1－x2<0.
又∵x1>－1，x2>－1，
数学选修2-2
第二章推理与证明
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
阶段质量评估
数学选修2-2
第二章推理与证明
知能整合提升
热点考点例析
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数学选修2-2
第二章推理与证明