2014年重庆高考理科数学试题含答案(Word版)
2014年重庆高考理科数学试题
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内表示复数(12)i i -的点位于( ).A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2. 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列3. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )$.0.4 2.3A y x =+ $.2 2.4B y x =- $.29.5C y x =-+ $.0.3 4.4C y x =-+4. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===r r r，且(23)a b c -⊥r r r ，则实数k =（ ） 9.2A - .0B .C 3 D.1525.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A.12s >B.35s >C.710s >D.45s >6. 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.学科zxxk7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72 【答案】B【解析】试题分析：8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.39.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16810.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤【答案】A二、填空题.11. 设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9},()U U n N n A B A B =∈≤≤===I 则ð______.所以答案应填：14-. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B 、C ， 若6=PA ， AC =8，BC =9，则AB =________. 【答案】4 【解析】 试题分析：由切割线定理得：2PA PB PC =⋅,设PB x =，则||9PC x =+所以，()369,x x =+即29360x x +-=，解得：12x =-（舍去），或3x =又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACP BAP ∆∆:、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯==所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.16.若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.由图可知：()min 1522f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭,由题意得：215222a a ++≤，解这得:11,2a -≤≤ 所以答案应填：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.zxxk三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值. 【答案】（I ）2,6πωϕ==-；（II 315+【解析】试题分析：（I ）由函数图像上相邻两个最学科网高点的距离为π求出周期，再利用公式2T πω=求出ω的值；考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.故X 的分布列为X1 2 3P1742 4384 112从而()174314712342841228E X =⨯+⨯+⨯=考点：1、组合；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 19. （本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分）如题（19）图，四棱锥ABCD P -中，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21. （Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角C PM A --的正弦值.由0,0,n AP n MP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r 得111113-3023330442x z x y z ⎧+=⎪⎪⎪-+=⎪⎩故可取1531,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分） 已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定,a b 的值； （Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性；（Ⅲ）若()f x 有极值，求c 的取值范围.21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =.所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=1121242223CP PP x === 考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用. 22.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 设2111,22(*)n n n a a a a b n N +==-++∈（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221nn a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.当1n =时结论显然成立.即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！21。
2014·重庆(理科数学)
2014·重庆卷(理科数学)1．[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．A [解析] i(1－2i)＝2＋i ，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限． 2．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列2．D [解析] 因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．3．[2014·重庆卷] 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ^＝0.4x ＋2.3B ．y ^＝2x －2.4C ．y ^＝－2x ＋9.5D ．y ^＝－0.3x ＋4.43．A [解析] 因为变量x 与y 正相关，则在线性回归方程中，x 的系数应大于零，排除B ，D ；将x ＝3，y ＝3.5分别代入A ，B 中的方程只有A 满足，故选A.4．[2014·重庆卷] 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0C ．3 D.1524．C [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.5．[2014·重庆卷] 执行如图1-1所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >455．C [解析] 第一次循环结束，得s ＝1×910＝910，k ＝8；第二次循环结束，得s ＝910×89＝45，k ＝7；第三次循环结束，得s ＝45×78＝710，k ＝6，此时退出循环，输出k ＝6.故判断框内可填s >710.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q6．D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．7．[2014·重庆卷] ( )A ．54B ．60C ．66D ．727．B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S ＝12×3×4＋3×52＋2＋52×4＋2＋52×5＋3×5＝60.8．[2014·重庆卷] 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 8．B [解析] 不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫432＝53.9．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．1689．B [解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A 33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A 33种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有C 12A 22A 22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A 33(2A 33＋C 12A 22A 22)＝120(种)．10．，[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2410．A [解析] 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sinA sinB sinC ＝R 3≥8.11．[2014·重庆卷] 设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．11．{7，9} [解析] 由题知∁U A ＝{4，6，7，9，10}， ∴(∁U A )∩B ＝{7，9}． 12．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．12．－14 [解析] f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )＝12log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14.13．[2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．13．4±15 [解析] 由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.∵△ABC 为等边三角形，∴|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，∴222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋12＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 14．[2014·重庆卷] 过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________．14．4 [解析] 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即36＝PB ·(PB ＋9)∴PB ＝3，∴PC ＝12.由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB＝∠CP A ，∴△P AB ∽△PCA ，∴AB CA ＝PB，即AB ＝PB ·CA ＝3×86＝4.15．[2014·重庆卷] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．15. 5 [解析] 由题意，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2＝4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝（1－0）2＋（2－0）2＝ 5.16．[2014·重庆卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围是________．16.⎣⎡⎦⎤－1，12 [解析] 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则①当x <－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1>5；②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3，故52≤f (x )≤5；③当x >12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1>52.综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需a 2＋12a＋2≤52，解得－1≤a ≤12.17．，，[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．17．解：(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.18．，[2014·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)18．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.19．，[2014·重庆卷]如图1-3所示，四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长； (2)求二面角A -PM -C19．解：(1)如图所示，连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ∩ BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知，BM →＝14BC →＝⎝⎛⎭⎫－34，－14，0，从而OM →＝OB →＋BM →＝⎝⎛⎭⎫－34，34，0，即M ⎝⎛⎭⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a ＞0，则AP →＝(－3，0，a )，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，a .因为MP ⊥AP ，所以MP →·AP →＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝⎛⎭⎫－3，0，32，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，32，CP →＝⎝⎛⎭⎫3，0，32.设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AP →＝0, n 1·MP →＝0，得⎩⎨⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝⎛⎭⎫1，533，2.由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0，得⎩⎨⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155，故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105. 20．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．20．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0.因为上式总成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值．当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164>0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式． (2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理科数学1.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ＝0.4x ＋2.3B ．y ＝2x －2.4C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.44.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.1525.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s >12 B ．s >35 C ．s >710 D ．s >45题图 题图 6.已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2>0，q ：“x >1”是“x >2”( )A ．p ∧qB ．⌝p ∧⌝qC ．⌝p ∧qD ．p ∧⌝q7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．54 B ．60 C ．66 D ．728.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B.53 C.94D ．3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．16810.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A ．bc (b ＋c )>8 B ．ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12 D ．12≤abc ≤2411.设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10},A ＝{1,2,3,5,8},B ＝{1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B ＝__ .12.函数()()2log 2f x x =的最小值为_ _.13.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．14.过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________．15.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．16.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 17.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．18.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)19.如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长；(2)求二面角A -PM -C 的正弦值．20.已知函数f (x )＝a e 2x －b e -2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．21.如图所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22.设a 1＝1，a n +1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．。
2014年高考理科数学重庆卷-答案
10 9
k 1
10 9 8 10
∴判断框的条件是 S 7 ，故选：C. 10
【提示】程序运行的 S 9 8 k ，根据输出 k 的值，确定 S 的值，从而可得判断框的条件.
10 9
k 1
【考点】程序框图，判断语句，循环语句
1 / 11
6.【答案】D
【解析】根据指数函数的图像可知 p 为真命题.由于“ x 1 ”是“ x 2 ”的必要不充分条件，所以 q 为假 命题，所以 q 为真命题，所以 p q 为真命题.故选：D.
2
4
4
【提示】利用对数的运算性质可得
f
(x)
log2
x
1 2
2
1 4
，即可求得
f
(x)
最小值.
【考点】对数函数，二次函数的性质 13.【答案】 4 15
【解析】由题意可知圆的圆心为 C(1, a) ，半径 r 2 ，则圆心 C 到直线 ax y 2 0 的距离
3 / 11
d | a a 2 | | 2a 2 | .
4 / 11
②当 -2 x 1 时， f (x) 2x 1 x 2 x 3 ，故 5 f (x) 5 ；
2
2
③当 x 1 时， f (x) 2x 1 x 2 3x 1> 5 .
2
2
综合①②③可知 f (x) 5 ，要使不等式恒成立，则需 a2 1 a 2 5 ，解得 1 a 1 .故答案为：1 a 1 .
2014 年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）答案解析
一、选择题 1.【答案】A 【解析】 i(1 2i) 2 i ，其在复平面内对应的点为 (2,1) ，位于第一象限，故选：A. 【提示】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数 z 化为 a bi(a，bR) 的形式，分析实部和虚部的符 号，即可得到答案. 【考点】复数的基本运算，复数在复平面中的表示 2.【答案】D 【解析】因为在等比数列中 an，a2n，a3n， 也成等比数列，所以 a3，a6，a9 成等比数列，故选：D.
全国高考重庆市数学理试卷及答案精校版
2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.1525.执行如题（5）图所示的程序框图，学科 网若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ） A.12s>B.35s >C.710s >D.45s >6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >； :"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）8.** B.60 C.66 D.72设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34 B.35 C.49D.3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、学科 网2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） 10.** B.120 C.144 D.3已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.216b)+ab(a > C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤ 二、填空题11.设全集=⋂==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______. 12.函数)2(log log )(2x x x f ⋅=的最小值为_________.13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，学 科网则实数=a _________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________. 16. 若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，学 科网则实数a 的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，学 科 网从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.19.（本小题满分12分）如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，3,2π=∠=BADAB，M为BC上一点，且APMPBM⊥=,21.（1）求PO的长；（2）求二面角CPMA--的正弦值。
2014年重庆高考数学试题及答案Word完整版
2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限.C 第三象限 .D 第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 D a 3,a 6,a 9成等比数列 3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =-.29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且（2a -3b ）⊥c , 则实数k ＝（ ）9.2A - .0B .C 3 D 215 5. 5. 执行如图（5）所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件（ ）A s ＞21 B s ＞53 C s ＞107 D s ＞54 6.已知命题 :p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49 D.3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.310.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.)(c a ac +C.126≤≤abcD.12≤abc ≤24二、填空题11.设全集=⋂==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则______.12.函数)2(log log )(2x x x f ⋅=的最小值为_________.13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程，ρsin 2θ-4sin θ=0 (ρ≥0，0≤θ＜ 2∏ )则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________.16. 若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.19.（本小题满分12分）如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21. （1）求PO 的长；（2）求二面角C PM A --的正弦值。
2014年重庆市高考数学试卷(理科)
2014年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.44．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．728．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．16810．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=．12．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n对所有的n∈N*成立，+1证明你的结论．2014年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A．【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．2．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，故选：D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex ﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B={7，9} ．【分析】由条件利用补集的定义求得∁U A，再根据两个集合的交集的定义求得（∁A）∩B．U【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．【解答】解：∵f（x）=log 2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==．故答案为：．【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可．【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：所以E（X）=．【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到•=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴•=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ===﹣故sinθ==【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF 1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；对所有的n∈N*成立，（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1证明你的结论．【分析】（Ⅰ）若b=1，利用a n=+b，可求a2，a3；证明{（a n﹣1）+12}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{a}的通项公式；n=f（a n），令c=f（c），即c=﹣（Ⅱ）设f（x）=，则a n+11，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；﹣1）2=（a n﹣1）2+1，又（a n+1∴{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（a n﹣1）2=n﹣1，∴a n=+1（n∈N*）；=f（a n），（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．＜1．下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；＜1设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，）＞f（1）=a2，∴c=f（c）＞f（a2k+1＞a2，∴1＞c＞a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c=f（c）＜f（a2k+2＜1，∴c＜a2k+3＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，∴a2（k+1）对所有的n∈N*成立．综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．。
2014年重庆市高考理科数学
2014年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限D.第四象限 【答案】A【解析】(12)2i i i -=+，故表示复数的点在第一象限内。
选择A 。
【分值】5分【解题思路】先将原虚数式化简，再判断虚部与实部的正负，实部为横坐标虚部为纵坐标。
直接判断该点位于第几象限。
【考查方向】本题考查复数的计算（乘法）和复数的几何意义，属于容易题。
【易错点】实部虚部所对应的坐标轴记反了。
2. 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）A.1a 、3a 、9a 成等比数列B.2a 、3a 、6a 成等比数列C.2a 、4a 、8a 成等比数列D.3a 、6a 、9a 成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质：下标成等差，对应项成等比，知选D 。
【分值】5分【解题思路】观察各个选项中给出的数列，若它们下标成等差则为等比数列。
【考查方向】本题考查等比数列的简单性质，属容易题。
【易错点】容易将下标成等比的一组数列当成等比数列。
3. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） A. 0.4 2.3y x =+B. 2 2.4y x =-C. 29.5y x =-+D. 0.3 4.4y x =-+ 【答案】A【解析】由线性回归方程过点(,)x y ，将选择支逐一代入验证，只有A 适合，故选A 。
【分值】5分【解题思路】回归直线方程过样本点中心，所以将点()3,3.5带入选项中的直线方程检验，若符合，则即为所选。
【考查方向】本题考查线性回归方程的基本特点，涉及验证法，是容易题。
【易错点】不少学生忽略了书本上回归直线方程过样本点中心这句话。
2014年重庆市高考理科数学试卷及参考答案与试题解析
2014年重庆市高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在复平面内复数Z＝i(1－2i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数＝3,＝3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.＝0.4x＋2.3B.＝2x－2.4C.＝－2x＋9.5D.＝－0.3x＋4.44.(5分)已知向量＝(k,3),＝(1,4),＝(2,1)且(2－3)⊥,则实数k＝( )A.－B.0C.3D.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是( )A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞6.(5分)已知命题p：对任意x∈R,总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.728.(5分)设F1,F2分别为双曲线－＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b,|PF1|•|PF2|＝ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.39.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16810.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是( )A.bc(b＋c)＞8B.ab(a＋b)＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10},A＝{1,2,3,5,8},B＝{1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B＝.12.(5分)函数f(x)＝log2•log(2x)的最小值为.13.(5分)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a＝.三、选做题：考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA＝6,AC ＝8,BC＝9,则AB＝.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π),则直线l 与曲线C的公共点的极径ρ＝.16.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,－≤φ＜)的图象关于直线x＝对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值；(Ⅱ)若f()＝(＜α＜),求cos(α＋)的值.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注：若三个数字a,b,c 满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)19.(13分)如图,四棱锥P－ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝,M为BC上的一点,且BM＝,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长；(Ⅱ)求二面角A－PM－C的正弦值.20.(12分)已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4－c.(Ⅰ)确定a,b的值；(Ⅱ)若c＝3,判断f(x)的单调性；(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.21.(12分)如图,设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,＝2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.(12分)设a1＝1,an＋1＝＋b(n∈N*)(Ⅰ)若b＝1,求a2,a3及数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若b＝－1,问：是否存在实数c使得a2n ＜c＜a2n＋1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.2014年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在复平面内复数Z＝i(1－2i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z化为a＝bi(a,b∈R)的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.【解答】解：∵复数Z＝i(1－2i)＝2＋i∵复数Z的实部2＞0,虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A.【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z化为a＝bi(a,b∈R)的形式,是解答本题的关键.2.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解：A项中a3＝a1•q2,a1•a9＝•q8,(a3)2≠a1•a9,故A项说法错误,B项中(a3)2＝(a1•q2)2≠a2•a6＝•q6,故B项说法错误,C项中(a4)2＝(a1•q3)2≠a2•a8＝•q8,故C项说法错误,D项中(a6)2＝(a1•q5)2＝a3•a9＝•q10,故D项说法正确,故选：D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数＝3,＝3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.＝0.4x＋2.3B.＝2x－2.4C.＝－2x＋9.5D.＝－0.3x＋4.4【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解：∵变量x与y正相关,∴可以排除C,D；样本平均数＝3,＝3.5,代入A符合,B不符合,故选：A.【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.(5分)已知向量＝(k,3),＝(1,4),＝(2,1)且(2－3)⊥,则实数k＝( )A.－B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的数量积等于0,得到关于k的方程,解方程即可.【解答】解：∵＝(k,3),＝(1,4),＝(2,1)∴2－3＝(2k－3,－6),∵(2－3)⊥,∴(2－3)•＝0'∴2(2k－3)＋1×(－6)＝0,解得,k＝3.故选：C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出错.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是( )A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞【分析】程序运行的S＝××…×,根据输出k的值,确定S的值,从而可得判断框的条件.【解答】解：由程序框图知：程序运行的S＝××…×,∵输出的k＝6,∴S＝××＝,∴判断框的条件是S＞,故选：C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.(5分)已知命题p：对任意x∈R,总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【分析】由命题p,找到x的范围是x∈R,判断p为真命题.而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题,然后根据复合命题的判断方法解答.【解答】解：因为命题p对任意x∈R,总有2x＞0,根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件,故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D.【点评】判断复合命题的真假,要先判断每一个命题的真假,然后做出判断.7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图：三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC＝5,FC＝2,AD＝BE＝5,DF＝5∴几何体的表面积S＝×3×4＋×3×5＋×4＋×5＋3×5＝60.故选：B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.(5分)设F1,F2分别为双曲线－＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b,|PF1|•|PF2|＝ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|＝ex＋a,|PF2|＝ex－a,结合条件可得a＝b,从而c＝＝b,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex＋a,|PF2|＝ex－a,∵|PF1|＋|PF2|＝3b,|PF1|•|PF2|＝ab,∴2ex＝3b,(ex)2－a2＝ab∴b2－a2＝ab,即9b2－4a2－9ab＝0,∴(3b－4a)(3b＋a)＝0∴a＝b,∴c＝＝b,∴e＝＝.故选：B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中档题.9.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意,分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列,②、因为3个歌舞类节目不能相邻,则分2种情况讨论中间2个空位安排情况,由分步计数原理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列,有A33＝6种情况,排好后,有4个空位,2、因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22＝4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在2端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2＝48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22＝2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6＝72种；则同类节目不相邻的排法种数是48＋72＝120,故选：B.【点评】本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要计算或分类简便.10.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是( )A.bc(b＋c)＞8B.ab(a＋b)＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式,利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解：∵△ABC的内角A,B,C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋,∴sin2A＋sin2B＝－sin2C＋,∴sin2A＋sin2B＋sin2C＝,∴2sinAcosA＋2sin(B＋C)cos(B－C)＝,2sinA(cos(B－C)－cos(B＋C))＝,化为2sinA[－2sinBsin(－C)]＝,∴sinAsinBsinC＝.设外接圆的半径为R,由正弦定理可得：＝2R,由S＝,及正弦定理得sinAsinBsinC＝＝,即R2＝4S,∵面积S满足1≤S≤2,∴4≤R2≤8,即2≤R≤,由sinAsinBsinC＝可得,显然选项C,D不一定正确,A.bc(b＋c)＞abc≥8,即bc(b＋c)＞8,正确,B.ab(a＋b)＞abc≥8,即ab(a＋b)＞8,但ab(a＋b)＞16,不一定正确,故选：A.【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.二、填空题：本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10},A＝{1,2,3,5,8},B＝{1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B＝{7,9} .【分析】由条件利用补集的定义求得∁U A,再根据两个集合的交集的定义求得(∁UA)∩B.【解答】解：∵全集U＝{n∈N|1≤n≤10},A＝{1,2,3,5,8},B＝{1,3,5,7,9},∴(∁U A)＝{4,6,7,9 },∴(∁UA)∩B＝{7,9},故答案为：{7,9}.【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.12.(5分)函数f(x)＝log2•log(2x)的最小值为.【分析】利用对数的运算性质可得f(x)＝,即可求得f(x)最小值.【解答】解：∵f(x)＝log2•log(2x)∴f(x)＝log()•log(2x)＝log x•log(2x)＝log x(log x＋log2)＝log x(log x＋2)＝,∴当log x＋1＝0即x＝时,函数f(x)的最小值是.故答案为：－【点评】本题考查对数不等式的解法,考查等价转化思想与方程思想的综合应用,考查二次函数的配方法,属于中档题.13.(5分)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a＝4±.【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解：圆心C(1,a),半径r＝2,∵△ABC为等边三角形,∴圆心C到直线AB的距离d＝,即d＝,平方得a2－8a＋1＝0,解得a＝4±,故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公式是解决本题的关键.三、选做题：考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA＝6,AC ＝8,BC＝9,则AB＝ 4 .【分析】由题意,∠PAB＝∠C,可得△PAB∽△PCA,从而,代入数据可得结论. 【解答】解：由题意,∠PAB＝∠C,∠APB＝∠CPA,∴△PAB∽△PCA,∴,∵PA＝6,AC＝8,BC＝9,∴,∴PB＝3,AB＝4,故答案为：4.【点评】本题考查圆的切线的性质,考查三角形相似的判断,属于基础题.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝.【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求出公共点的坐标,即可求出极径.【解答】解：直线l的参数方程为,普通方程为y＝x＋1,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0的直角坐标方程为y2＝4x,直线l与曲线C联立可得(x－1)2＝0,∴x＝1,y＝2,∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝＝.故答案为：.【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程,考查学生的计算能力,属于中档题.16.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是[－1,] .【分析】利用绝对值的几何意义,确定|2x－1|＋|x＋2|的最小值,然后让a2＋a＋2小于等于它的最小值即可.【解答】解：|2x－1|＋|x＋2|＝,∴x＝时,|2x－1|＋|x＋2|的最小值为,∵不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立,∴a2＋a＋2≤,∴a2＋a－≤0,∴－1≤a≤,∴实数a的取值范围是[－1,].故答案为：[－1,].【点评】本题考查绝对值不等式的解法,突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题,属于中档题.四、解答题：本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,－≤φ＜)的图象关于直线x＝对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值；(Ⅱ)若f()＝(＜α＜),求cos(α＋)的值.【分析】(Ⅰ)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π 求得ω＝2.再根据图象关于直线x＝对称,结合－≤φ＜可得φ 的值.(Ⅱ)由条件求得sin(α－)＝.再根据α－的范围求得cos(α－)的值,再根据cos(α＋)＝sinα＝sin[(α－)＋],利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π,∴＝π,∴ω＝2.再根据图象关于直线x＝对称,可得 2×＋φ＝kπ＋,k∈z.结合－≤φ＜可得φ＝－.(Ⅱ)∵f()＝(＜α＜),∴sin(α－)＝,∴sin(α－)＝.再根据 0＜α－＜,∴cos(α－)＝＝,∴cos(α＋)＝sinα＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝＋＝.【点评】本题主要考查由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应用,属于中档题.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注：若三个数字a,b,c 满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)【分析】第一问是古典概型的问题,要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数,然后代入古典概型概率计算公式即可,相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值,此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字(如1或2)或不同数字(1和2、1和3、2和3三类)的卡片,因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析,然后计算出每个随机变量所对应事件的概率,最后将分布列以表格形式呈现.【解答】解：(Ⅰ)由古典概型的概率计算公式得所求概率为P＝,(Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,且P(X＝1)＝,P(X＝2)＝,P(X＝3)＝,P所以E(X)＝.【点评】本题属于中档题,关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念,应该说完成此题基本没有问题.19.(13分)如图,四棱锥P－ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB＝2,∠BAD＝,M为BC上的一点,且BM＝,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长；(Ⅱ)求二面角A－PM－C的正弦值.【分析】(Ⅰ)连接AC,BD,以O为坐标原点,OA,OB,OP方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系O－xyz,分别求出向量,的坐标,进而根据MP⊥AP,得到•＝0,进而求出PO的长；(Ⅱ)求出平面APM和平面PMC的法向量,代入向量夹角公式,求出二面角的余弦值,进而根据平方关系可得：二面角A－PM－C的正弦值.【解答】解：(Ⅰ)连接AC,BD,∵底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,故AC∩BD＝O,且AC⊥BD,以O为坐标原点,OA,OB,OP方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系O－xyz,∵AB＝2,∠BAD＝,∴OA＝AB•cos(∠BAD)＝,OB＝AB•sin(∠BAD)＝1,∴O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(－,0,0),＝(0,1,0),＝(－,－1,0),又∵BM＝,∴＝(－,－,0),则＝＋＝(－,,0),设P(0,0,a),则＝(－,0,a),＝(,－,a),∵MP⊥AP,∴•＝－a2＝0,解得a＝,即PO的长为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知＝(－,0,),＝(,－,),＝(,0,), 设平面APM的法向量＝(x,y,z),平面PMC的法向量为＝(a,b,c),由,得,令x＝1,则＝(1,,2),由,得,令a＝1,则＝(1,－,－2),∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ＝＝＝－故sinθ＝＝【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.20.(12分)已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4－c.(Ⅰ)确定a,b的值；(Ⅱ)若c＝3,判断f(x)的单调性；(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.【分析】(Ⅰ)根据函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4－c,构造关于a,b的方程,可得a,b的值；(Ⅱ)将c＝3代入,利用基本不等式可得f′(x)≥0恒成立,进而可得f(x)在定义域R为均增函数；(Ⅲ)结合基本不等式,分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f(x)极值的存在性,最后综合讨论结果,可得答案.【解答】解：(Ⅰ)∵函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a,b,c∈R)∴f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c,由f′(x)为偶函数,可得2(a－b)(e2x－e－2x)＝0,即a＝b,又∵曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4－c,即f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c,故a＝b＝1；(Ⅱ)当c＝3时,f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2＝1＞0恒成立,故f(x)在定义域R为均增函数；(Ⅲ)由(Ⅰ)得f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c,而2e2x＋2e－2x≥2＝4,当且仅当x＝0时取等号, 当c≤4时,f′(x)≥0恒成立,故f(x)无极值；当c＞4时,令t＝e2x,方程2t＋－c＝0的两根均为正,即f′(x)＝0有两个根x1,x2,当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0,当x∈(－∞,x1)∪(x2,＋∞)时,f′(x)＞0,故当x＝x1,或x＝x2时,f(x)有极值,综上,若f(x)有极值,c的取值范围为(4,＋∞).【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,难度中档.21.(12分)如图,设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,＝2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.【分析】(Ⅰ)设F1(－c,0),F2(c,0),依题意,可求得c＝1,易求得|DF1|＝＝,|DF2|＝,从而可得2a＝2,于是可求得椭圆的标准方程；(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2＝－x1,y1＝y2,|P1P2|＝2|x1|,由F1P1⊥F2P2,得x1＝－或x1＝0,分类讨论即可求得圆的半径.【解答】解：(Ⅰ)设F1(－c,0),F2(c,0),其中c2＝a2－b2,由＝2,得|DF 1|＝＝c,从而＝|DF 1||F 1F 2|＝c 2＝,故c ＝1.从而|DF 1|＝,由DF 1⊥F 1F 2,得＝＋＝,因此|DF 2|＝,所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2,故a ＝,b 2＝a 2－c 2＝1,因此,所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1；(Ⅱ)设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆＋y 2＝1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1＞0,y 2＞0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2,由圆和椭圆的对称性,易知x 2＝－x 1,y 1＝y 2,|P 1P 2|＝2|x 1|,由(Ⅰ)知F 1(－1,0),F 2(1,0),所以＝(x 1＋1,y 1),＝(－x 1－1,y 1),再由F 1P 1⊥F 2P 2,得－＋＝0,由椭圆方程得1－＝,即3＋4x 1＝0,解得x 1＝－或x 1＝0.当x 1＝0时,P 1,P 2重合,此时题设要求的圆不存在；当x 1＝－时,过P 1,P 2,分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 由F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2,知CP 1⊥CP 2,又|CP 1|＝|CP 2|,故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题.22.(12分)设a1＝1,an＋1＝＋b(n∈N*)(Ⅰ)若b＝1,求a2,a3及数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若b＝－1,问：是否存在实数c使得a2n ＜c＜a2n＋1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.【分析】(Ⅰ)若b＝1,利用an＋1＝＋b,可求a2,a3；证明{(an－1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,即可求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设f(x)＝,则an＋1＝f(an),令c＝f(c),即c＝－1,解得c＝.用数学归纳法证明加强命题a2n ＜c＜a2n＋1＜1即可.【解答】解：(Ⅰ)∵a1＝1,an＋1＝＋b,b＝1,∴a2＝2,a3＝＋1；又(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1,∴{(an－1)2}是首项为0,公差为1的等差数列；∴(an－1)2＝n－1,∴an＝＋1(n∈N*)；(Ⅱ)设f(x)＝,则an＋1＝f(an),令c＝f(c),即c＝－1,解得c＝.下面用数学归纳法证明加强命题a2n ＜c＜a2n＋1＜1.n＝1时,a2＝f(1)＝0,a3＝f(0)＝－1,∴a2＜c＜a3＜1,成立；设n＝k时结论成立,即a2k ＜c＜a2k＋1＜1∵f(x)在(－∞,1]上为减函数,∴c＝f(c)＞f(a2k＋1)＞f(1)＝a2,∴1＞c＞a2k＋2＞a2,∴c＝f(c)＜f(a2k＋2)＜f(a2)＝a3＜1,∴c＜a2k＋3＜1,∴a2(k＋1)＜c＜a2(k＋1)＋1＜1,即n＝k＋1时结论成立,综上,c＝使得a2n ＜c＜a2n＋1对所有的n∈N*成立.【点评】本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,难度大.。
【高考试题】2014年重庆市高考数学试卷(理科)
【高考试题】2014年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.44．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．728．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．16810．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=．12．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n对所有的n∈N*成立，+1证明你的结论．2014年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A．【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．2．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，故选：D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．。
2014年高考数学重庆卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 ()2i 12i i 2i 2i -=-=+，对应复平面上的点为()2,1，在第一象限.选A.2. 解析 不妨设公比为q ，则22431a a q =，28191a a a q ⋅=，26261a a a q ⋅=⋅，当1q ≠±时，知A ，B 均不正确；又22641a a q =，28281a a a q ⋅=，同理，C 不正确；由221061a a q =，210391a a a q ⋅=⋅，知D 正确.3. 解析 由变量x 与y 正相关知C ，D 均错，又回归直线经过样本中心()3,3.5，代入验证得A 正确，B 错误.故选A.4. 解析 ()2323,6k -=--a b ，由()23-⊥a b c ，得4660k --=，解得3k =.选C.5. 解析 程序框图的执行过程如下：1s =，9k =；910s =，8k =；98810910s =⨯=，7k =；87710810s =⨯=，6k =，循环结束.故可填入的条件为710s >.故选C.6. 解析 p 为真命题，q 为假命题，故p ⌝为假命题，q ⌝为真命题.从而p q ∧为假，p q ⌝∧⌝为假，p q ⌝∧为假，p q ∧⌝为真.故选D.7. 解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积11252534355435602222S ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=.选B.8. 解析 设1PF m =，2PF n =，依题意不妨设0m n >>，于是329.4m n b m n a m n ab ⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪⋅=⎩所以93432m n m n m n m n +-⋅=⋅⋅⇒=（13m n =-舍去）. 4325所以a n =，4533b n c n =⇒=，所以53e =，选B. 评注 本题考查双曲线的定义及性质，依据条件列出关系式后，若直线求ca，则运算量很大，改为利用1PF 与2PF 的关系求解，巧妙转化，降低运算难度.9. 解析 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有3334A A 144⋅=种，再剔除小品内节目的相邻的情况，共有322322A A A 24⋅⋅=种，于是符合题意得排法共有14424120-=种.10. 解析 设ABC △的外接圆半径为R ，由三角形内角和定理知πA C B +=-，πA B C +=-，于是()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+⇒11sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 222A B C A B+C =+=-+⇒+⇒()()()()112sin cos 2sin cos 2sin cos cos 22A B A B C C C A B A B +-+=⇒--+=⇒⎡⎤⎣⎦ 114sin sin sin sin sin sin 28A B C A B C =⇒=.则[]2211sin 2sin sin sin 1,224S ab C R A B C R ==⋅=∈，所以R ⎡∈⎣，所以338sin sin sin abc R A B C R ⎡=⋅=∈⎣，知C ，D 均不正确，()38bc b c bc a R +>⋅=…，所以A 正确.事实上，注意到a ，b ，c 的无序性，并且8>，若B 成立，A 必然成立，排除B.故选A. 11. 解析 因为{}110U n n=∈N 剟，{}1,2,3,5,8A =，所以{}4,6,7,9,10U A =ð， 又因为{}1,3,5,7,9B =，所以(){}7,9U AB =ð.12. 解析 显然0x >，所以()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅= ()()222222221111log log 42log log log log 2244x x x x x ⎛⎫⋅+=+=+-- ⎪⎝⎭….当且仅当2x =时，有()min 14f x =-.13. 解析 易知ABC △是边长为2的等边三角形，故圆心()1,C a 到直线AB=，解得4a =经检验均符合题意，则4a =评注 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题，以及数形结合的思想方法，对综合能力要求较高.14. 解析 设PB x =，由切割线定理得()296x x +=，解得3x =或12x =-（舍去）.又易知PBC PCA △∽△，于是31462AB PB AB AC PA ===⇒=. 15. 解析 直线l 的普通方程为1y x =+.曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故直线l 与曲线C 的交点坐标为()1,2.故改点的极径ρ==16. 解析 令()212f x x x =-++，易求得()min 52f x =， 依题意得215121222a a a ++⇔-剟. 17. 解析 （I ）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，从而2π2T ω==.又因为()f x 的图像关于直线π3x =对称， 所以ππ2π32k ϕ⋅+=+，0,1,2,k =±±.由ππ22ϕ-<…得0k =，所以π2ππ236ϕ=-=-. （II ）由（I ）得πn 2226f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin 64α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-=== ⎪⎝⎭.因此3πππππππcos sin sin sin cos cos sin 2666666ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1142=18. 解析 （I ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339C C 5C 84P +==. （II ）X 的所有可能值为1，2，3，且()21345439C C C 171C 42P X +===，()11121334236339C C C C C C 432C 84P X ++===，()212739C C 13C 12P X ===，故X 的分布列为从而()12342841228E X =⨯+⨯+⨯=. 评注 本题考查概率的计算，随机变量的分布列及数学期望，其中概率的计算要求较高，不过整体难度不大，属中等偏易题.19. 解析（I ）如图，连接AC ，BD ，因为ABCD 为菱形，则ACBD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 的方向分别为x轴，y 轴，z 轴的正方形，建立空间直角坐标系O xyz -.因为π3BAD ∠=，故πcos 6OA AB =⋅=πsin 16OB AB =⋅=， 所以()0,0,0O，)A，()0,1,0B ，()C ，()0,1,0OB =，()1,0BC =-.由12BM =，2BC =知，11,044BM BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，从而3,04OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,04M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设()0,0,P a ，0a >，则()AP a =，33,4MP a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭， 因为MP AP ⊥，故0MP AP ⋅=，即234a -+=，所以2a =或2a =-（舍去），即PO =.（II ）由（I）知，AP ⎛= ⎝⎭，334MP ⎛=-⎝⎭，3,0,CP ⎛= ⎭. 设平面APM 的法向量为()1111,,x y z =n ，平面PMC 的法向量为()2222,,x y z =n ，由10AP ⋅=n，10MP ⋅=n，得111110304z x yz ⎧=⎪⎪-+=.故可取11,23⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，由20MP ⋅=n ，20CP ⋅=n，得222223040x y zz -+=⎨=.故可取()21,2=-n ，从而法向量1n ，2n 的夹角的余弦值为121212cos ,⋅==⋅nn n n n n 故所求二面角A PM C --20. 解析 （I ）对()f x 求导得()222e 2e x x f x a b c -'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即()()222e e0x xa b --+=，因为22e e 0x x -+>，所以a b =. 又()0224f a b c c '=+-=-，故1a =，1b =. （II ）当3c =时，()22ee 3x xf x x -=--，那么()222e 2e 3310x x f x -'=+-=>…，故()f x 在R 上为增函数.（III ）由（I ）知()222e 2e x x f x c -'=+-，而222e 2e4xx-+=…，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意x ∈R ，()222e 2e 0x x f x c -'=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意0x ≠，()222e 2e 40x x f x -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2e xt =，注意到方程220t c t +-=有两根1,20t =>， 即()0f x '=有两个根111ln 2x t =，221ln 2x t =.当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>，从而()f x 在2x x =处取得极小值.综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为()4,+∞.评注 本题考查函数导数的求法，利用导数处理单调性、极值等常规问题，以及基本不等式等.对运算能力要求较高，此外对分类讨论思想也有一定的要求. 21. 解析 （I ）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-.由121F F DF =1DF ==.从而12211212DF F S DF F F ===△，故1c =.从而1DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=，故a =2221b a c =-=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=. （II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,,P x y =，()222,,P x y =是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥. 由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212PP x =. 由（I ）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--. 再由1122F P F P ⊥得()221110x y -++=. 由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C .由11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥，知12CP CP ⊥. 又12CP CP =，故圆C的半径11213CP ===.22. 解析 （I ）解法一：22a =，31a .再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+. 从而(){}21n a -是首项为0，公差为1的等差数列，故()211n a n -=-，即()*1n a n =∈N .解法二：22a =，31a =，可写为11a，21a，31a .因此猜想1n a =.下用数学归纳法证明上式：当1n =时结论显然成立. 假设n k =时结论成立，即1k a =， 则1111k a +===.这就是说，当1n k =+时结论成立.所以()*1n a n =∈N .（II ）解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即1c =，解得14c =. 下用数学归纳法证明加强命题2211n n a c a +<<<.当1n =时，()210a f ==，()301a f ==，所以23114a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<.易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>=，即2221k c a a +>>>.再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此()()212111k k a c a +++<<<. 这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x =，则()1n n a f a +=.先证：()*01na n ∈N 剟.①当1n =时，结论明显成立. 假设n k =时结论成立，即01ka 剟.易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()01011k f f a f ==<剟.即101k a +剟.这就是说，当1n k =+时结论成立.故①成立. 再证：()*21n n a a n +<∈N .②当1n =时，()210a f ==，()()3201a f a f ===，有23a a <，即1n =时②成立. 假设n k =时，结论成立，即221k k a a +<.由①及()f x 在(],1-∞上为减函数， 得，()()2122122k k k k a f a f a a +++=>=，()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=. 这就是说，当1n k =+时②成立.所以②对一切*n ∈N 成立.由②得21n a <，即()22222122nn n a a a +<-+，因此214n a <.③ 又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +>，即2122n n a a ++>，所以21n a >，解得2114n a +>.④ 综上，由②、③、④知存在14c =使221n n a c a +<<对一切*n ∈N 成立. 评注 本题考查由递推公式求解数列通项公式，数学归纳法，等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.。
2014年高考理科数学重庆卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(理工农医类)数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复平面内表示复数i(12i)-的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )A .1a ,3a ,9a 成等比数列B .2a ,3a ,6a 成等比数列C .2a ,4a ,8a 成等比数列D .3a ,6a ,9a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是( )A .0.4 2.3y x =+B .2 2.4y x =-C .29.5y x =-+D .0.3 4.4y x =-+4.已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =( )A .92-B .0C .3D .1525.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为6,则判断框 内可填入的条件是( )A .12s ＞B .35s ＞C .710s ＞D .45s ＞6.已知命题p ：对任意x ∈R ,总有20x ＞；q ：“1x ＞”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题 为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧⌝ C .p q ⌝∧D .p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .54B .60C .66D .728.设1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得12||+||3PF PF b =,129||||4PF PF ab =,则该双曲线的离心率为 ( )A .43B .53C .94D .3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A .72B .120C .144D .16810.已知ABC △的内角A ,B ,C 满足1sin2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是 ( )A .()8bcb c +＞B.()ab a b +＞姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .612abc ≤≤D .1224abc ≤≤二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.设全集={|110}U n n ∈N ≤≤,{1,2,3,5,8}A =,{1,3,5,7,9}B =,则)U A B =(ð.12.函数22()log log (2)f x x x =的最小值为 .13.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ,B 两点,且ABC △为等边三角形,则实数a = .考生注意：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PBC 依次交圆于B ,C .若6PA =,8AC =,9BC =,则AB = .15.已知直线l 的参数方程为2,()3,x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02π)ρθθρθ-=≥≤≤,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= .16.若不等式21|21||2|22x x a a -++++≥对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）已知函数ππ())(0,)22f x x ωϕωϕ+＞-≤＜的图象关于直线π3x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若π2π()()263a f α＜＜,求3πcos(+)2α的值.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数a ,b ,c 满足a b c ≤≤,则称b 为这三个数的中位数）19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,2AB =,π3BAD ∠=,M 为BC 上一点,且12BM =,MP AP ⊥. （Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角A PM C --的正弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问3分,（Ⅲ）小问5分）已知函数22()e e (,,)x xf x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数,且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定a ,b 的值；（Ⅱ）若3c =,判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值,求c 的取值范围.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,设椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,121||||F F DF =,12DF F △. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）设11a =,*1()n a b n ++∈N .（Ⅰ）若1b =,求2a ,3a 及数列{}n a 的通项公式；数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）（Ⅱ）若1b =-,问：是否存在实数c 使得221n n a c a +＜＜对所有*n ∈N 成立？证明你的结论.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）2014年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】i(12i)2i -=+，其在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选：A. 【提示】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数z 化为i()a b a b =∈R ，的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案. 【考点】复数的基本运算，复数在复平面中的表示 2.【答案】D【解析】因为在等比数列中23n n n a a a ，，，也成等比数列，所以369a a a ，，成等比数列，故选：D.【提示】运用等比数列的等比中项性质即可达到答案. 【考点】等比数列的性质 3.【答案】A【解析】因为变量x 与y 正相关，则在线性回归方程中，x 的系数应大于零，排除B ，D ；将3x =， 3.5y =分别代入A ，B 中的方程只有A 满足，故选：A. 【提示】通过x 与y 的关系先排除B 、D ，然后采用代入法得到答案. 【考点】线性回归方程的概念 4.【答案】C 【解析】232(,3)3(1a b k k -=-=--(，，又(23)a b c-⊥，(23)2(6)0k ∴-⨯+-=，解得3k =.故选：C.【提示】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k 的方程，解方程即可. 【考点】向量的运算及关系 5.【答案】C【解析】由程序框图知：程序运行的981091kSk =⨯⨯⨯-，输出的6k =，9877109810S ∴=⨯⨯=， ∴判断框的条件是710S >，故选：C.【提示】程序运行的981091kS k =⨯⨯⨯-，根据输出k 的值，确定S 的值，从而可得判断框的条件.【考点】程序框图，判断语句，循环语句 6.【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题.由于“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以p q ∧⌝为真命题.故选：D. 【提示】判定命题p ，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论. 【考点】命题的真假判断，命题连接词 7.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为1352525S 344535602222⨯++=⨯⨯++⨯+⨯+⨯=.故选：B.【提示】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算. 【考点】三视图，几何体的面积计算8.【答案】B【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有122PF PF a -=，联立123PF PF b +=，平方相减得221294b a PF PF -=，则由题设条件，得2294944b a ab -=，整理得43b a =，所以53c e a ==.故选：B.【提示】可设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有122PF PF a -=，联立123PF PF b +=，运算后得到ba，即可得到答案.【考点】双曲线的简单性质数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）9.【答案】B【解析】分两步进行：（1）先将3个歌舞进行全排，其排法有33A 种；（2）将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有332A 种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有122222C A A 种.所以由计数原理可得节目的排法共有33122332222120()A A C A A +=（种）.故选：B.【提示】根据题意，分两步进行分析：（1）先将三个歌舞类节目全排列，（2）因为三个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案. 【考点】排列组合问题 10.【答案】A【解析】因为πA B C ++=，所以πA C B +=-，π()C A B =-＋， 所以由已知等式可得1sin 2sin(π2)sin[π2()]2A B A B +-=-++，即1s i n 2s i n 2s i n 2()2A B A B +=++， 所以1sin[()()]sin[()()]sin 2()2A B A B A B A B A B +-++--=++＋，所以12 sin()cos()2sin()cos()2A B A B A B A B +-=+++，所以12sin()[cos()cos()]2A B A B A B +--+=，所以1sin sin sin 8A B C =.由12S ≤≤，2sin 2sin 2sin a R Ab R Bc R C ===，，，得11sin 22bc A ≤≤. 由正弦定理得2sin 2sin 2sin a R Ab R Bc R C ===，，，所以21sin sin sin 2R A B C ≤≤， 所以2124R ≤≤，即22R ≤≤所以33()8sin sin sin 8bc b c abc R A B C R +>==≥.故选：A.【提示】运用三角形内角三角函数的变换与和差化积公式求得sin sin sin A B C ，再根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【考点】三角函数，三角函数和差化积公式，正弦定理 二、填空题 11.【答案】{7,9}【解析】由题知{4,6,7,9,10}U A =ð，(){7,9}U A B ∴=ð.故答案为：{7,9}.【提示】由条件利用补集的定义求得U A ð，再根据两个集合的交集的定义求得()U A B ð.【考点】集合的基本运算 12.【答案】14- 【解析】22221()log log (2)log 2log (2)2f x x x x ==222211log (1log )log24x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以当x 时，函数()f x 取得最小值14-.故答案为：14-.【提示】利用对数的运算性质可得2211()log 24f xx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即可求得()f x 最小值.【考点】对数函数，二次函数的性质13.【答案】4【解析】由题意可知圆的圆心为(1,)C a，半径2r =，则圆心C 到直线20ax y +-=的距离d==ABC △为等边三角形，2AB r ∴==.又||AB =，2∴，即2810a a -+=，解得=4a ±.故答案为：4±. 【提示】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式即可得到答案.【考点】圆的方程，点到直线距离 14.【答案】4【解析】根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得2()PA PB PC PB PB BC ==+，即36(9)PB PB =+3PB ∴=，12PC ∴=.由弦切角定理知P A B P C A ∠=∠，又A P B C P A ∠=∠， PAB PCA ∴△∽△，AB PB CA PA ∴=，即3846PB CA AB PA ⨯===.故答案为：4.数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【提示】通过弦切角定理知PAB PCA ∠=∠，又AP B C P A ∠=∠，得到PAB PCA △∽△，AB PBCA PA=，由此求得AB. 【考点】切割线定理，弦切角定理，相似三角形 15.【解析】由题意得直线l 的普通方程为10x y -+=，曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，联立直线l 与曲线C 的方程，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=【提示】把直线l 的参数方程化为普通方程10x y -+=，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程24y x =，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.【考点】直线的参数方程 16.【答案】112a ≤≤- 【解析】令()|21||2|f x x x =-++，则①当2x <-时，()=212315f x x x x -+--=-->；②当122x ≤≤-时，()2123f x x x x =-+++=-+，故5()52f x ≤≤；③当12x >时，5()21231>2f x x x x =-++=+.综合①②③可知5()2f x ≥，要使不等式恒成立，则需215222a a ++≤，解得112a -≤≤.故答案为：112a -≤≤.【提示】利用绝对值的几何意义，确定|21||2|x x -++的最小值，然后让2122a a ++小于等于它的最小值即可求得答案. 【考点】绝对值不等式的解法 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）2ω=π6ϕ=-（Ⅱ）3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）因()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，从而2π2Tω==. 又因()f x 的图像关于直线π3x =对称，所以ππ22π32k ϕ+=+，0,1,2,k =±±.因ππ22ϕ-≤<得0k =，所以π2ππ23ϕ=-=-. （Ⅱ）由（Ⅰ）得π2226f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1142=+=. 【提示】（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π.求得2ω=.再根据图像关于直线π3x =对称，结合ππ22ϕ-≤<可得ϕ的值.（Ⅱ）根据π6α-的范围求得πc o s 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据3πππc o s s i n s i n 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角和的正弦公式计算求得结果. 【考点】三角函数的性质，三角恒等变换18.【答案】（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339584C C P C +==. （Ⅱ）X 的所有可能值为1，2，3，且2134543917(1),42C C C P X C +===1112133423633943(2)84C C C C C C P X C++===， 2127391(3)12C C P X C ===.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）从而47()12342841228E X =⨯+⨯+⨯=. 【提示】（Ⅰ）先算出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可.（Ⅱ）先根据题意求出随机变量X 的所有可能取值，按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现. 【考点】古典概型，排列组合和分布列 19.【答案】（Ⅰ）PO =【解析】（Ⅰ）如图，连结AC BD ，，因ABCD 为菱形，则ACBD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，因π3BAD ∠=，故πcos36OA AB ==πsin 16OB AB ==，所以()0,0,0O ，A ，(0,1,0)B ，(C ，(0,1,0)OB =，(1,0)BC =-.由122BM BC ==，知，11,044BM BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭， 从而3,044OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,0.44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,0,)P a ，0a >，则(,0,)A Pa =，33,4MP a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.因为MP AP ⊥，故0M P A P =即2304a -+=，所以a ，a =，即PO =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，33333,0,,,,,3,0,4AP MP CP ⎛⎫⎛⎫⎛=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 设平面APM 的法向量为()1111,,n x y z =，平面PMC 的法向量为()2222,,n x y z =由0n AP =，0n MP =得1111102304z x y ⎧+=⎪⎪-=故可取1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由20n MP =，20n CP =得222223040y-=⎨=，故可取2(1,2)n =-，从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为12121215cos ,||||n n n n n n <>==-故所求二面角A PM C --的正弦值为5.【提示】（Ⅰ）连接AC ，BD ，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系O xyz -，分别求出向量AP ，MP 的坐标，进而根据MP AP ⊥，得到0MP AP =，进而求出PO 的长.（Ⅱ）求出平面APM 和平面PMC 的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得二面角A PM C --的正弦值. 【考点】空间直角坐标系，二面角 20.【答案】（Ⅰ）1a =1b =（Ⅱ）()f x 在R 上为增函数 （Ⅲ）(4,)+∞【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得22()22x xf x ae be c-'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即222()()0x xa b e e --+=.因220x x e e -+>，所以a b =，又(0)224f a b c c '=+-=-，故11a b ==，.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）（Ⅱ）当3c =时，22()3x x f x e e x-=--，那么22()223310x x f x e e -'=+-≥=>，故()f x 在R 上为增函数.（Ⅲ）由（Ⅰ）知22()22x x f x e e c -'=+-，而22224x x e e -+≥，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意22()220x xx f x e e c -'∈=+->R ，，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意0x ≠，22()2240x xf x e e -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2xe t =，注意到方程220t c t +-=有两根，1,20t =>，即()0f x '=有两个根111ln 2x t =或221ln 2x t =.当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>，从而()f x 在2x x =处取得极小值.综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为(4,)+∞. 【提示】（Ⅰ）根据函数22()(,,)xxf x ae becx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -，构造关于a ，b 的方程，可得a ，b 的值.（Ⅱ）将3c =代入，利用基本不等式可得()0f x '>恒成立，进而可得()f x 在定义域R 为均增函数.（Ⅲ）结合基本不等式，分4c <时、4c =、4c >时三种情况讨论()f x 极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案. 【考点】导函数，函数单调性，函数的极值21.【答案】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF ==，从而12211212222DF F S DF F F ∆===1c =.从而12DF =由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=，故2221a b a c =-=.因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=. （Ⅱ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212xy +=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥.由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212||PP x =，由（Ⅰ）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1111(1,)F P x y =+，2211(1,)F P x y =--，再由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=，由椭圆方程得22111(1)2x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥，知21CP CP ⊥， 又12||||CP CP=，故圆C的半径1121CP ===.【提示】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c，依题意可求得1c =，易求得12DF ==，2DF =2a =，于是可求得椭圆的标准方程. （Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212||PP x =，由1122FP FP ⊥，得143x =-或10x =，分类讨论即可求得圆的半径. 22.【答案】（Ⅰ）解法一：因为11a =，1na b +，1b =，所以22a =，数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）31a =，再由题设条件知221(1)(1)1n n a a +-=-+，从而2{(1)}n a -是首项为0公差为1的等差数列，故2(1)1n a n -=-，即1n a ，*()n ∈N .解法二：因为11a =，1n a b +，1b =，所以22a =，31a =+，可写为11a =，21a =，31a =.因此猜想1n a =.数学归纳法证明：1n a =. 当1n =时结论显然成立. 假设n k=时结论成立，即1k a =.则1111k a +，这就是说，当1n k =+时结论成立.所以1n a =，*()n ∈N .（Ⅱ）解法一：设()1f x ，则1()n n a f a +=.令()c f c =，即11c ，解得14c =. 数学归纳法证明：2211n n a c a +<<<.当1n =时，2(1)0a f ==，3(0)1a f =所以23114a a <<<，结论成立.假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<，易知()f x 在(,1]-∞上为减函数，从而212()(a )(1)k c f c f f a +=>>=，即2221k ca a +>>>，再由()f x 在(,1]-∞上为减函数得2223()()()1k c f c f a f a a +=<<=<.故231k c a +<<， 因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立.综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x ，则1()n n a f a +=，先证：01n a ≤≤(*n ∈N ①，当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a ≤≤，易知()f x 在(,1]-∞上为减函数，从而0(1)()(0)11k f f a f =≤≤<，即101k a +≤≤ 这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.再证：221n n a a +<()*n ∈N ②，当1n =时，2(1)0a f ==，3(0)1a f =，有23a a <，即当1n =时结论②成立.假设n k =时，结论成立，即221k k a a +<，由①及()f x 在(,1]-∞上为减函数，得21221()()k k k ka f a f a a +++=>=，()21222(1)121()()k k k k a f a f a a +++++=<=，这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n ∈N 成立.由②得21k a <，即22222(1)22k k k a a a +<-+，因此214k a <③， 又由①、②及()f x 在(,1]-∞上为减函数得221()()n n f a f a +>，即2122n n a a ++>，所以211,n a +解得2114n a +>④. 综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n ∈N 成立. 【提示】（Ⅰ）解法一：若1b =，利用1n a b +=，可求2a ，3a ；证明2{(1)}n a -是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{}n a 的通项公式；解法二：若1b =，利用1n a b +，可求2a ，3a ；通过观察2a ，3a ，猜想1n a =通过数学归纳法证明.（Ⅱ）解法一：设()1f x ，则1()n n a f a +=，令()c f c =，即11c ，解得14c =.用数学归纳法证明2211n n a c a +<<<即可.解法二：设()1f x -，则1()n n a f a +=，用数学归纳法先证：01n a ≤≤()*n ∈N ①，再证：221nn aa +<()*n ∈N ②，依题意可解得214k a <③2114n a +>④，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n ∈N 成立. 【考点】等差数列，数学归纳法，函数的性质。
2014年重庆市高考数学试卷(理科)
2014年重庆市高考数学试卷（理科）2014年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•重庆）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2014•重庆）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．（5分）（2014•重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.44．（5分）（2014•重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）（2014•重庆）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．728．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）（2014•重庆）某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．16810．（5分）（2014•重庆）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．b c（b+c）＞8 B．a b（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2014•重庆）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=_________．12．（5分）（2014•重庆）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为_________．13．（5分）（2014•重庆）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a=_________．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）（2014•重庆）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=_________．15．（5分）（2014•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= _________．16．（2014•重庆）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．18．（13分）（2014•重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f （x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．（12分）（2014•重庆）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．2014年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•重庆）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解答：解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．2．（5分）（2014•重庆）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．解答：解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故B项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，故选D．点评：本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．3．（5分）（2014•重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）（2014•重庆）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．点评：本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．解答：解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．6．（5分）（2014•重庆）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．解答：解：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：D．点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的等腰直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．9．（5分）（2014•重庆）某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，分2步进行分析：①、先将三个歌舞类节目全排列，②、因为三个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算没一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．解答：解：分2步进行分析：1、先将三个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为三个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①、将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②、将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．点评：本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）（2014•重庆）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．b c（b+c）＞8 B．a b（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24考点：正弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．解答：解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为k，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8正确，B．bc（b+c）＞abc，但bc（b+c）≤．不一定正确，故选：A点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2014•重庆）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B={7，9}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由条件利用补集的定义求得∁U A，再根据两个集合的交集的定义求得（∁U A）∩B．解答：解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．12．（5分）（2014•重庆）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为．考点：对数函数图象与性质的综合应用；换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．解答：解：∵f（x）=log2•log（2x）∴f（x）=log•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣点评：本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．13．（5分）（2014•重庆）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a=4±．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）（2014•重庆）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题；几何证明．分析：由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．解答：解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．15．（5分）（2014•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．考点：直线的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．解答：解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==．故答案为：．点评：本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（2014•重庆）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，]．考点：绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式选讲．分析：利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可．解答：解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．18．（13分）（2014•重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：常规题型．分析：第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X 1 2 3P所以E（X）=．点评：本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．19．（13分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到•=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．解答：解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴•=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ===﹣故sinθ==点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f （x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，知f′（﹣x）=f′（x），即2（a﹣b）（e2x+e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．解答：解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．22．（12分）（2014•重庆）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+1，∴{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（a n﹣1）2=n﹣1，∴a n=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＞f（a2）=a3，＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．菁优网参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；caoqz；翔宇老师；清风慕竹；wfy814；刘长柏；maths；王兴华；wsj1012；danbo7801；geyanli（排名不分先后）菁优网2014年6月22日©2010-2014 菁优网。
2014年高考理科数学重庆卷及答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(理工农医类)数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复平面内表示复数i(12i)-的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )A .1a ,3a ,9a 成等比数列B .2a ,3a ,6a 成等比数列C .2a ,4a ,8a 成等比数列D .3a ,6a ,9a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是( )A .0.4 2.3y x =+B .2 2.4y x =-C .29.5y x =-+D .0.3 4.4y x =-+4.已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =( )A .92- B .0 C .3 D .1525.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为6,则判断框内可填入的条件是( )A .12s ＞B .35s ＞C .710s ＞D .45s ＞6.已知命题p ：对任意x ∈R ,总有20x ＞；q ：“1x ＞”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题 为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧⌝ C .p q ⌝∧D .p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .54B .60C .66D .728.设1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得12||+||3PF PF b =,129||||4PF PF ab =,则该双曲线的离心率为 ( )A .43B .53C .94D .3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A .72 B .120C .144D .16810.已知ABC △的内角A ,B ,C 满足1si n 2s i n ()s i n ()2A ABC C A B +-+=--+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）A .()8bc b c +＞ B.()ab a b +＞C .612abc ≤≤D .1224abc ≤≤二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.设全集={|110}U n n ∈N ≤≤,{1,2,3,5,8}A =,{1,3,5,7,9}B =,则)U A B =(ð.12.函数22()log log (2)f x x =的最小值为 .13.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ,B 两点,且ABC △为等边三角形,则实数a = .考生注意：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PBC 依次交圆于B ,C .若6PA =,8AC =,9BC =,则AB = .15.已知直线l 的参数方程为2,()3,x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02π)ρθθρθ-=≥≤≤,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= .16.若不等式21|21||2|22x x a a -++++≥对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）已知函数ππ())(0,)22f x x ωϕωϕ+＞-≤＜的图象关于直线π3x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若π2π()()263a f α＜＜,求3πcos(+)2α的值. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数a ,b ,c 满足a b c ≤≤,则称b 为这三个数的中位数） 19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,2AB =,π3BAD ∠=,M 为BC 上一点,且12BM =,MP AP ⊥. （Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角A PM C --的正弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问3分,（Ⅲ）小问5分）已知函数22()e e (,,)x x f x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数,且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定a ,b 的值；（Ⅱ）若3c =,判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值,求c 的取值范围.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,121||||F F DF =,12DF F △. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）设11a =,*1()n a b n +=∈N .（Ⅰ）若1b =,求2a ,3a 及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1b =-,问：是否存在实数c 使得221n n a c a +＜＜对所有*n ∈N 成立？证明你的结论.。
2014年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年重庆，理1，5分】在复平面内表示复数i(12i)-的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】A【解析】2i(12i)2i i 2i -=-+=+，对应点的坐标为(2,1)，在第一象限，故选A ． 【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数z 化为i a b +(),a b R ∈的形式，是解答本题的关键． （2）【2014年重庆，理2，5分】对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）（A ）139,,a a a 成等比数列 （B ）236,,a a a 成等比数列 （C ）248,,a a a 成等比数列 （D ）369,,a a a 成等比数列 【答案】D【解析】设{}n a 公比为q ，因为336936,a aq q a a ==，所以369,,a a a 成等比数列，故选D ．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．（3）【2014年重庆，理3，5分】已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） （A ）0.4 2.3y x =+ （B ）2 2.4y x =- （C ）29.5y x =-+ （D ）0.3 4.4y x =-+【答案】A【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除,C D ，回归直线经过点(),x y ，故选A ． 【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．（4）【2014年重庆，理4，5分】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数0k =（ ）（A ）92- （B ）0 （C ）3 （D ）152【答案】C【解析】由已知(23)0230a b c a c b c -⋅=⇒⋅-⋅=，即2(23)3(2141)03k k +-⨯+⨯=⇒=，故选C ．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．（5）【2014年重庆，理5，5分】执行如题图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）（A ）12s > （B ）35s > （C ）710s > （D ）45s >【答案】C【解析】由程序框图知：程序运行的981091k S k =⨯⨯⨯+，∵输出的6k =，∴9877109810S =⨯⨯=，∴判断框的条件是710S >，故选C ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S 值是解题的关键． （6）【2014年重庆，理6，5分】已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ∧⌝ 【答案】D【解析】根据指数函数的性质可知，对任意x ∈R ，总有20x >成立，即p 为真命题，“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，即q 为假命题，则p q ∧⌝，为真命题，故选D ．【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p ，q 的真假是解决本题的关键，比较基础．（7）【2014年重庆，理7，5分】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）54 （B ）60 （C ）66 （D ）72 【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示，4,'5,'2AB A A B B ===， 3AC =，经检验该几何体的三视图满足题设条件．其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++3515615146022=++++=，故选B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年重庆，理8，5分】设12F F ，分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12129||||3,||||4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）43 （B ）53（C ）94 （D ）3【答案】B【解析】由于22121212(||||)(||||)4||||PF PF PF PF PF PF +--=⋅，所以22949b a ab -=，分解因式得(34)(3)0433,4,5b a b a a b a b c λλλ-+=⇒=⇒===，所以离心率53c e a ==，故选B ．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题． （9）【2014年重庆，理9，5分】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）（A ）72 （B ）120 （C ）144 （D ）3 【答案】B【解析】用,,a b c 表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种排法：每一种排法中的三个a ，两个b 可以交换位置，故总的排法为323210120A A =种，故选B ． 【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．（10）【2014年重庆，理10，5分】已知ABC ∆的内角1,sin 2sin()sin()2A B C A A B C C A B +-+=--+，满足，面积S 满足12,,,,S a b c A B C ≤≤，记分别为所对的边，则下列不等式成立的是（ ） （A ）()8bc b c +> （B）()ac a b +> （C ）612abc ≤≤ （D ）1224abc ≤≤ 【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+，展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-=，即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=，而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅=，故21224R R ≤≤⇒≤≤338sin sin sin abc R A B C R =⋅=∈，排除,C D ，因为b c a +>，所以()8bc b c abc +>≥，故选A ．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2014年重庆，理11，5分】设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9}U n N n A B =∈≤≤==，则()U C A B = ． 【答案】{}7,9C'B'A'CA【解析】∵全集{}110U n N n =∈≤≤，{}1,2,3,5,8A =，{}1,3,5,7,9B =，∴{}4,6,7,9U C A =，∴{}()7,9U C A B =．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．（12）【2014年重庆，理12，5分】函数2()log )f x x =的最小值为 ．【答案】14-【解析】因为222221log log )log 422log 2x x x x ===+，设2log t x =，则：原式221111(22)()2244t t t t t =+=+=+-≥-，故最小值为14-．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题． （13）【2014年重庆，理13，5分】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于A B ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = ．【答案】4【解析】易知ABC ∆的边长为2，圆心到直线的距离为等边三角形的高h 4a = 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键． 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）【2014年重庆，理14，5分】过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，若6PA =，8AC =，9BC =，则AB = ． 【答案】4【解析】设,AB x PB y ==，由PAB PCA ∆∆知：64,3986PA AB PB x yx y PC AC PA y ==⇒==⇒==+，所以4AB =．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．（15）【2014年重庆，理15，5分】已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=(0,02)ρθπ≥≤<则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= ．【解析】直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ=+与2sin 4cos 0ρθθ-=联立得：24cos tan 2,5cos sin θθρθθ==== 【点评】本题考查直线l 的参数方程、曲线C 的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2014年重庆，理16，5分】若不等式2121222x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 __．【答案】112a -≤≤【解析】转化为左边的最小值2122a a ≥++，左边1111155(2)22222222x x x x x x x =-+-++≥-+---=-+≥，当12x =时取等号，故251121222a a a ≥++⇒-≤≤．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题． 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年重庆，理17，13分】已知函数()()022f x x ππωφωφ⎛⎫+>-≤< ⎪⎝⎭，的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π． （1）求ω和ϕ的值；（2）若2263f αππα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．解：（1）由已知()3f π=2ππω=，解出2,,6k k Z πωϕπ==-∈，因为[,)2ππϕ∈-，故只有πϕ=-．（2）1)sin()2664f αππαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由062ππα<-<，故cos()6πα-=， 3cos sin sin[()]sin()cos cos()sin 2666666πππππππααααα⎛⎫+==-+=-+- ⎪⎝⎭1142== 【点评】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．（18）【2014年重庆，理18，13分】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片． （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望（注：若三个数,,a b c 满足 a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）．解：（1）由古典概型的概率计算公式得所求概率为：334339584C C p C +==． （2）3214453417(1)848242C C C p x +====；111212134323234343(2)C C C C C C C C p x +++===；1771(3)848412C p x ====．所以X 的分布列为： 所以173124284E =⨯⨯+． 【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题． （19）【2014年重庆，理19，13分】如下图，四棱锥P ABCD -，底 面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且1,2BM MP AP =⊥．（1）求PO 的长；（2）求二面角A PM C --的正弦值． 解：解法一：（1）设PO x =，则PA =PM == 在ABM ∆中由余弦定理21AM ==MP AP ⊥，所以APM ∆为 直角三角形，由勾股定理：2222PA PM AM +=⇒=，解出x ，PO ∴． （2）设点A 到平面PMC 的距离为d ，由体积法知：A PBC P ABC V V --=，即11113333PBC ABC S d S PO d d ∆∆⋅⋅=⋅⋅⇒==， 点A 到棱PM 的距离为h PA ==，设所求二面角为θ，则sin d h θ===解法二：（1）连接AC ，BD ，∵底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，故AC BD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系O xyz -，∵2AB =，3BAD π∠=，∴1cos 2OA AB BAD ⎛⎫=⋅∠ ⎪⎝⎭，1sin 12OB AB BAD ⎛⎫=⋅∠= ⎪⎝⎭， ∴()0,0,0O ，)A，()0,1,0B ，()C ，()0,1,0OB =，()1,0BC =-， OMD CBAP又∵12BM =，∴11,044BM BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则3,04OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭， 设()0,0,P a，则()AP a =，33,4MP a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，∵MP AP ⊥，∴2304APMP a ⋅=-=， 解得a =，即PO．（2）由（1）知AP ⎛= ⎝⎭，34MP =-⎝⎭，3,0,CP ⎛=⎭，设平面APM 的法向量(),,n x y z =， 平面PMC 的法向量为(),,n a b c =，由00m A P m M P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0304z x y⎧=⎪⎪-=，令1x =，则51,m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由00n CP n MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0304b +=-+=，令1a =，则()1,3,2n=--，∵平面APM 的法向量m 和平 面PMC 的法向量n 夹角θ满足：cos 40m nm n⋅===⋅，故sin θ=． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（20）【2014年重庆，理20，12分】已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -． （1）确定,a b 的值；（2）若3c =，判断()f x 的单调性； （3）若()f x 有极值，求c 的取值范围．解：（1）22'()22x x f x ae be c -=+-，由'()'()f x f x -=恒成立知：222242222(22)(22)0x x x x x ae be c ae be c a b e b a --+-=+-⇒-+-≡，故a b =另外'(0)2242f a b c c a b =+-=-⇒+=，联立解出1a b==．（2）当3c =时，222'()2232()10x x x x f x e e e e --=+-=-+>，故()f x 在定义域R 上为单调递增． （3）由（1）得()2222x x f x e e c -'=+-，而22224x x e e -+≥=，当且仅当0x =时取等号，当4c ≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 无极值；当4c >时，令2x t e =，方程220t c t+-=的两根均为 正，即()0f x '=有两个根1x ，2x ，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()()12,,x x x ∈-∞+∞时，()0f x '>，故当1x x =，或2x x =时，()f x 有极值，综上，若()f x 有极值，c 的取值范围为()4,+∞．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．（21）【2014年重庆，理21，12分】如下图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解：（1）设(,)D c y -，代入椭圆方程中求出2b y a =-，故21b DF a=，而122F F c =，由已知：1211211,2F F F F DF=⋅=，联立解出1212,F F DF==即222222,bc a b ca===+，联立解出1a b c===，所以椭圆的标准方程为2212xy+=．（2）由于所求圆的圆心C在y轴上，故圆和椭圆的两个交点,A B关于y轴对称，从而经过点,A B所作的切线也关于y轴对称，如下图所示．当切线互相垂直时，设两条切线交于点P，则CAPB恰好形成一个边长为r正方形．其中r表示圆的半径，由几何关系22BF BP PF r=-=，1BF=，122BF BF a+==，所以r r==．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．（22）【2014年重庆，理22，12分】设111,(*)na ab n N+=∈．（1）若1b=，求23,a a及数列{}na的通项公式；（2）若1b=-，问：是否存在实数c使得221n na c a+<<对所有*n N∈成立？证明你的结论．解：（1）∵11a=，1na b+，1b=，22a∴=，31a=；又()()221111n na a+-=-+，∴(){}21n a-是首项为0，公差为1的等差数列；∴()211na n-=-，∴1na=（*n N∈）．（2）设()1f x=，则()1n na f a+=，令()c f c=，即1c=，解得14c=．下面用数学归纳法证明加强命题2211n na c a+<<<．1n=时，()210a f==，()301a f==，∴231a c a<<<，成立；设n k=时结论成立，即2211k ka c a+<<<，∵()f x在(],1-∞上为减函数，∴()()()2121kc f c f a f a+=>>=，∴2221kc a a+>>>，∴()()()22231kc f c f a f a a+=<<=<，∴231kc a+<<，∴()()212111k ka c a+++<<<，即1n k=+时结论成立，综上，14c=使得221n na c a+<<对所有的*n N∈成立．．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)理
2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014重庆,理1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:A解析:因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A . 2.(2014重庆,理2)对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ). A.a 1,a 3,a 9成等比数列 B.a 2,a 3,a 6成等比数列 C.a 2,a 4,a 8成等比数列 D.a 3,a 6,a 9成等比数列 答案:D解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k (m ,n ,k ∈N +),则a m ,a k ,a n 成等比数列,故选D .3.(2014重庆,理3)已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ). A.y ^=0.4x+2.3 B.y ^=2x-2.4 C.y ^=-2x+9.5 D.y ^=-0.3x+4.4答案:A解析:由变量x 与y 正相关,可知x 的系数为正,排除C,D .而所有的回归直线必经过点(x,y ),由此排除B,故选A . 4.(2014重庆,理4)已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a-3b )⊥c ,则实数k=( ). A.-92B.0C.3D.152答案:C解析:由已知(2a-3b )⊥c ,可得(2a-3b )·c=0,即(2k-3,-6)·(2,1)=0,展开化简得4k-12=0, 所以k=3,故选C .5.(2014重庆,理5)执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为6,则判断框内可填入的条件是( ).A.s>12B.s>35C.s>710D.s>45答案:C解析:该程序框图为循环结构.k=9,s=1时,经判断执行“是”,计算1×99+1=910赋值给s ,然后k 减少1变为8;k=8,s=910时,经判断执行“是”,计算910×88+1=810赋值给s ,然后k 减少1变为7;k=7,s=810时,经判断执行“是”,计算810×77+1=710赋值给s ,然后k 减少1变为6;k=6,s=710,根据输出k 为6,此时应执行“否”.结合选项可知,判断框内应填s>710,故选C . 6.(2014重庆,理6)已知命题 p :对任意x ∈R ,总有2x >0;q :“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( ). A.p ∧q B. p ∧ q C. p ∧q D.p ∧ q答案:D解析:根据指数函数值域为(0,+∞),得p 为真命题;而“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q 为假命题.根据复合命题的真假规律,可得p ∧ q 为真命题,故选D .7.(2014重庆,理7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).A.54B.60C.66D.72答案:B解析:根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC-DEF ,故其表面积为S=S △DEF +S △ABC +S 梯形ABED +S 梯形CBEF+S 矩形ACFD =12×3×5+12×3×4+12×(5+2)×4+12×(5+2)×5+3×5=60.故选B .8.(2014重庆,理8)设F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=3b ,|PF 1|·|PF 2|=94ab ,则该双曲线的离心率为( ).A.43B.53C.94D.3 答案:B解析:根据双曲线的定义||PF 1|-|PF 2||=2a ,可得|PF 1|2-2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2=4a 2.而由已知可得|PF 1|2+2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2=9b 2,两式作差可得-4|PF 1||PF 2|=4a 2-9b 2.又|PF 1||PF 2|=94ab ,所以有4a 2+9ab-9b 2=0,即(4a-3b )(a+3b )=0,得4a=3b ,平方得16a 2=9b 2,即16a 2=9(c 2-a 2),即25a 2=9c 2,c 2a 2=259,所以e=53,故选B .9.(2014重庆,理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ). A.72 B.120C.144D.168答案:B解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类A 33,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有A 33·2A 33=72.第二类也分两步,先排歌舞类A 33,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C 21A 22A 22,故不同的排法有A 33A 22A 22C 21=48,故共有120种不同排法,故选B .10.(2014重庆,理10)已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A+sin(A-B+C )=sin(C-A-B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ). A.bc (b+c )>8 B.ab (a+b )>16√2 C.6≤abc ≤12 D.12≤abc ≤24答案:A解析:由sin 2A+sin(A-B+C )=sin(C-A-B )+12得,sin 2A+sin[A-(B-C )]+sin[A+(B-C )]=12,所以sin 2A+2sin A cos(B-C )=12. 所以2sin A [cos A+cos(B-C )]=12,所以2sin A [cos(π-(B+C ))+cos(B-C )]=12,所以2sin A [-cos(B+C )+cos(B-C )]=12,即得sin A sin B sin C=18. 根据三角形面积公式S=12ab sin C ,①S=12ac sin B ,②S=12bc sin A ,③ 因为1≤S ≤2,所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3=18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8,即64≤a 2b 2c 2≤512,所以8≤abc ≤16√2,故排除C,D 选项,而根据三角形两边之和大于第三边,故b+c>a ,得bc (b+c )>8一定成立,而a+b>c ,ab (a+b )也大于8,而不一定大于16√2,故选A .二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2014重庆,理11)设全集U={n ∈N |1≤n ≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B= . 答案:{7,9}解析:由题意,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故∁U A={4,6,7,9,10},所以(∁U A )∩B={7,9}. 12.(2014重庆,理12)函数f (x )=log 2√x ·lo g √2(2x )的最小值为 . 答案:-14解析:根据对数运算性质,f (x )=log 2√x ·lo g √2(2x )=12log 2x ·[2log 2(2x )]=log 2x (1+log 2x )=(log 2x )2+log 2x=(log 2x +12)2−14,当x=√22时,函数取得最小值-14. 13.(2014重庆,理13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a )2=4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= . 答案:4±√15解析:由△ABC 为等边三角形可得,C 到AB 的距离为√3,即(1,a )到直线ax+y-2=0的距离d=2=√3,即a 2-8a+1=0,可求得a=4±√15.考生注意:14,15,16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.(2014重庆,理14)过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PBC 依次交圆于B ,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB= . 答案:4 解析:如图所示:根据切割线定理,得PA 2=PB ·PC , 又因为PC=(PB+BC ),且PA=6,BC=9, 所以36=PB ·(PB+9),解得PB=3.在△PAC 中,根据余弦定理cos ∠ACP=AC 2+PC 2-AP 22AC ·PC ,即cos ∠ACP=82+122-622×8×12=4348,在△ACB 中,根据余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos ∠ACB=82+92-2×8×9×4348=16,所以AB=4.15.(2014重庆,理15)已知直线l 的参数方程为{x =2+t ,y =3+t(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= . 答案:√5解析:直线l 的普通方程为y=x+1,曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ,联立两方程,得{y =x +1,y 2=4x ,解得{x =1,y =2.所以公共点为(1,2).所以公共点的极径为ρ=√22+1=√5. 16.(2014重庆,理16)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a 2+12a+2对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案:[-1,12]解析:令f (x )=|2x-1|+|x+2|={ -3x -1,x ≤-2,3-x ,-2<x ≤12,3x +1,x >12,可求得f (x )的最小值为52,故原不等式恒成立转化为a 2+12a+2≤52恒成立,即a 2+a 2−12≤0,即(a+1)(a -12)≤0,解得a ∈[-1,12].三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,理17)已知函数f (x )=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象关于直线x=π3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值; (2)若f (α2)=√34(π6<α<2π3),求cos (α+3π2)的值. 分析:在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性,两最高点之间的距离是一个周期,从而根据公式T=2πω,准确求出ω;而求φ,则根据对称轴处取最值并结合φ的取值范围给k 赋值才能准确求出φ.第(2)问中已知f (α2)=√34,结合α的范围判断并求出cos (α-π6)的值,然后进一步将cos (α+32π)转化成sin α,而后将α写成α-π6加上π6的形式,从而求出最后的值,该题解答过程中,必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式. 解:(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f (x )的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2. 又因f (x )的图象关于直线x=π3对称,所以2·π3+φ=k π+π2,k=0,±1,±2,….因-π2≤φ<π2得k=0, 所以φ=π2−2π3=-π6.(2)由(1)得f (α2)=√3sin (2·α2-π6)=√34,所以sin (α-π6)=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos (α-π6)=√1-sin 2(α-π6)=√1-(14)2=√154.因此cos (α+3π2)=sin α=sin [(α-π6)+π6]=sin (α-π6)cos π6+cos (α-π6)sin π6=14×√32+√154×12=√3+√158.18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,理18)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. (注:若三个数a ,b ,c 满足a ≤b ≤c ,则称b 为这三个数的中位数.) 分析:本题第(1)问主要考查古典概型中的概率计算公式P (A )=A 包含的基本事件数基本事件总数,准确求出基本事件总数是解决问题的关键.第(2)问考查离散型随机变量的分布列,理解中位数的概念,明确变量X 的取值是解决该问题的前提,另外求出分布列之后,最好验证概率之和是否为1.解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=C 43+C 33C 93=584. (2)X 的所有可能值为1,2,3,且 P (X=1)=C 42C 51+C 43C 93=1742, P (X=2)=C 31C 41C 21+C 32C 61+C 33C 93=4384, P (X=3)=C 22C 71C 93=112,故X 的分布列为从而E (X )=1×1742+2×4384+3×112=4728. 19.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分)(2014重庆,理19)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB=2,∠BAD=π3,M 为BC 上一点,且BM=12,MP ⊥AP.(1)求PO 的长;(2)求二面角A-PM-C 的正弦值.分析:本题主要考查空间向量与立体几何,正确的建立空间直角坐标系并标明点的坐标是解题的关键.第(1)问将直线垂直转化为两直线的方向向量的数量积为零便可解决;第(2)问考查了二面角向量求法,设出二面角中两个面的法向量,利用垂直时内积为0,列方程组,确定法向量的坐标,再由向量夹角公式求出二面角的正弦值即可. 解:(1)如图,连结AC ,BD ,因ABCD 为菱形,则AC ∩BD=O ,且AC ⊥BD. 以O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 因∠BAD=π3,故OA=AB ·cos π6=√3,OB=AB ·sin π6=1,所以O (0,0,0),A (√3,0,0),B (0,1,0),C (-√3,0,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,-1,0). 由BM=12,BC=2知,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(-√34,-14,0),从而OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√34,34,0),即M (-√34,34,0).设P (0,0,a ),a>0,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,a ),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,-34,a).因为MP ⊥AP ,故MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即-34+a 2=0,所以a=√32,a=-√32(舍去), 即PO=√32.(2)由(1)知,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√32),MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,-34,√32),CP ⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,0,√32).设平面APM 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 平面PMC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),由n 1·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-√3x 1+√32z 1=0,√34x 1-34y 1+√32z 1=0,故可取n 1=(1,5√33,2),由n 2·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{√34x 2-34y 2+√32z 2=0,√3x 2+√32z 2=0,故可取n 2=(1,-√3,-2),从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-√155,故所求二面角A-PM-C 的正弦值为√105.20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问3分,(3)小问5分)(2014重庆,理20)已知函数f (x )=a e 2x -b e -2x -cx (a ,b ,c ∈R )的导函数f'(x )为偶函数,且曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线的斜率为4-c. (1)确定a ,b 的值;(2)若c=3,判断f (x )的单调性; (3)若f (x )有极值,求c 的取值范围.分析:在第(1)问中,主要考查复合函数求导公式、偶函数性质及导数的几何意义,要确定a ,b 的值,只需由偶函数概念、导数的几何意义及已知条件列出关于a ,b 的两个方程,解方程即得a ,b 的值.在求解过程中尤其要注意复合函数求导.第(2)问考查导数的应用之一,先求导,再利用基本不等式判断导数的符号,进而判断f (x )的单调性.第(3)问,由已知,先利用导数分类讨论f (x )的极值情况,再根据f'(x )有变号零点确定c 的取值范围. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=2a e 2x +2b e -2x -c ,由f'(x )为偶函数,知f'(-x )=f'(x ),即2(a-b )(e 2x +e -2x )=0, 因e 2x +e -2x >0,所以a=b.又f'(0)=2a+2b-c=4-c ,故a=1,b=1. (2)当c=3时,f (x )=e 2x -e -2x -3x ,那么f'(x )=2e 2x +2e -2x -3≥2√2e 2x ·2e -2x -3=1>0,故f (x )在R 上为增函数. (3)由(1)知f'(x )=2e 2x +2e -2x -c ,而2e 2x +2e -2x ≥2√2e 2x ·2e -2x =4,当x=0时等号成立. 下面分三种情况进行讨论.当c<4时,对任意x ∈R ,f'(x )=2e 2x +2e -2x -c>0,此时f (x )无极值; 当c=4时,对任意x ≠0,f'(x )=2e 2x +2e -2x -4>0,此时f (x )无极值; 当c>4时,令e 2x =t ,注意到方程2t+2t -c=0有两根t 1,2=c±√c 2-164>0, 即f'(x )=0有两个根x 1=12ln t 1或x 2=12ln t 2. 当x 1<x<x 2时,f'(x )<0;又当x>x 2时,f'(x )>0,从而f (x )在x=x 2处取得极小值. 综上,若f (x )有极值,则c 的取值范围是(4,+∞).21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,理21)如图,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=2√2,△DF 1F 2的面积为√22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.分析:(1)由已知可求出c ,进而求出|DF 1|,|DF 2|,则利用椭圆的定义可求a ,再根据b 2=a 2-c 2求b 2,从而求得椭圆的标准方程.(2)由题设知圆的两条切线与过切点的两条半径围成一个正方形,故圆的半径等于两切点的长度的√22倍,故只需求两切点间的长度,而由圆及椭圆的对称性知,两切点间的长度应是一切点横坐标绝对值的2倍,故只需求切点的横坐标,可将切线过椭圆的焦点是互相垂直转化为两向量的数量积为零求解. 解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2√2得|DF 1|=122√2=√22c. 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=√22c 2=√22,故c=1.从而|DF 1|=√22,由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3√22.所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2√2,故a=√2,b 2=a 2-c 2=1. 因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2,|P 1P 2|=2|x 1|. 由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 12=0.由椭圆方程得1-x 122=(x 1+1)2,即3x 12+4x 1=0.解得x 1=-43或x 1=0.当x 1=0时,P 1,P 2重合,此时题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 由F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2,知CP 1⊥CP 2. 又|CP 1|=|CP 2|,故圆C 的半径|CP 1|=√22|P 1P 2|=√2|x 1|=4√23. 22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,理22)设a 1=1,a n+1=√a n 2-2a n+2+b (n ∈N *). (1)若b=1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c<a 2n+1对所有n ∈N *成立?证明你的结论.分析:(1)方法一:若b=1,则a n+1=√a n 2-2a n+2+1,根据其特点,可研究数列{(a n -1)2}的性质,由{(a n -1)2}的通项,进而求a n 的通项.方法二:先求出{a n }的前几项,猜想a n 并用数学归纳法证明.(2)方法一:令a n+1=a n =c ,求出c 值,然后证明a 2n <c<a 2n+1,若成立,则存在,若不成立,则不存在. 方法二:根据能否求出同时满足a 2n <c 和a 2n+1>c 的c 值进行判断. (1)解法一:a 2=2,a 3=√2+1.再由题设条件知(a n+1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0公差为1的等差数列,故(a n -1)2=n-1,即a n =√n -1+1(n ∈N *).解法二:a 2=2,a 3=√2+1.可写为a 1=√1-1+1,a 2=√2-1+1,a 3=√3-1+1. 因此猜想a n =√n -1+1. 下用数学归纳法证明上式: 当n=1时结论显然成立.假设n=k 时结论成立,即a k =√k -1+1,则a k+1=√(a k -1)2+1+1=√(k -1)+1+1=√(k +1)-1+1. 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以a n =√n -1+1(n ∈N *). (2)解法一:设f (x )=√(x -1)2+1-1,则a n+1=f (a n ).令c=f (c ),即c=√(c -1)2+1-1,解得c=14. 下用数学归纳法证明加强命题a 2n <c<a 2n+1<1. 当n=1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=√2-1, 所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n=k 时结论成立,即a 2k <c<a 2k+1<1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数, 从而c=f (c )>f (a 2k+1)>f (1)=a 2, 即1>c>a 2k+2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数得c=f (c )<f (a 2k+2)<f (a 2)=a 3<1. 故c<a 2k+3<1,因此a 2(k+1)<c<a 2(k+1)+1<1. 这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c=14. 解法二:设f (x )=√(x -1)2+1-1, 则a n+1=f (a n ).先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).① 当n=1时,结论明显成立. 假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=√2-1<1.即0≤a k+1≤1,这就是说,当n=k+1时结论成立. 故①成立.再证:a 2n <a 2n+1(n ∈N *).②当n=1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=√2-1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1.由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得a 2k+1=f (a 2k )>f (a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f (a 2k+1)<f (a 2k+2)=a 2(k+1)+1. 这就是说,当n=k+1时②成立. 所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <√a 2n 2-2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 2n 2-2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①,②及f (x )在(-∞,1]上为减函数得f (a 2n )>f (a 2n+1), 即a 2n+1>a 2n+2.所以a 2n+1>√a 2n+12-2a 2n+1+2-1.解得a 2n+1>14.④综上,由②,③,④知存在c=14使a 2n <c<a 2n+1对一切n ∈N *成立.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题(理)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 2，a 3，a 9成等比数列3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.44．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0C ．3 D.1525．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧q D ．p ∧q7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．728．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．39．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．16810．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上．11．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．13．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 分别交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.15．已知直线l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.16．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 17．(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．18．(本小题满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)19．(本小题满分13分)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长；(2)求二面角A -PM -C 的正弦值．20．(本小题满分12分，(1)问4分，(2)问3分，(3)问5分)已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．21．(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)如题图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．(本小题满分12分，(1)问4分，(2)问8分)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选A 复数i(1－2i)＝2＋i 在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限． 2．解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.3．解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D.且直线必过点(3,3.5)代入A 、B 得A 正确．4．解析：选C 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.5．解析：选C 当输出k 的值为6时，s ＝1×910×89×78＝710，结合题中的程序框图知，选C.6．解析：选D 依题意，命题p 是真命题．由x >2⇒x >1，而x >1⇒/x >2，因为此“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则q 是真命题，p ∧q 是真命题，选D.7．解析：选B 题中的几何体可看作是从直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去三棱锥E -A 1B 1C 1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，则BC ＝5，△ABC 的面积等于12×3×4＝6.AA 1⊥平面ABC ，则直角梯形ABEA 1的面积等于12×(2＋5)×4＝14，矩形ACC 1A 1的面积等于3×5＝15.过点E 作EF ⊥AA 1于点F ，则EF ＝AB ＝4，A 1F ＝B 1E ＝BB 1－BE ＝3，则A 1E ＝5，所以△A 1C 1E 的面积等于12×3×5＝152，直角梯形BCC 1E的面积等于12×(2＋5)×5＝352，因此题中的几何体的表面积为6＋14＋15＋152＋352＝60，选B.8．解析：选B 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2－9b a －4＝0，则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.9．解析：选B 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.10．解析：选A 因为A ＋B ＋C ＝π，由sin 2A ＋sin (A －B ＋C )＝sin (C －A －B )＋12得sin2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12，即sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin [(A ＋B )－(A －B )]＋sin 2C ＝12，整理得2sin C cos (A －B )＋2sin C cos C ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，整理得4sin A sin B sin C ＝12，即sin A sin B sin C ＝18.又S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ，因此S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ＝164a 2b 2c 2.由1≤S ≤2得1≤164a 2b 2c 2≤23，即8≤abc ≤162，因此选项C 、D 不一定成立．又b ＋c >a >0，因此bc (b ＋c )>bc ·a ≥8，即bc (b ＋c )>8，选项A 一定成立．又a ＋b >c >0，因此ab (a ＋b )>ab ·c ≥8，即ab (a ＋b )>8，显然不能得出ab (a ＋b )>162，选项B 不一定成立．综上所述，选A.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上．11．解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}． 答案：{7,9}12．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋142－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－1413．解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 答案：4±15考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．解析：依题意得△P AC ∽△PBA ，则P A PC ＝AB AC ＝PB P A ，即6PB ＋9＝AB 8＝PB6，解得PB ＝3，AB ＝4.答案：415．解析：依题意，直线l 与曲线C 的直角坐标方程分别是x －y ＋1＝0，y 2＝4x .由得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，则y ＝2，因此直线l 与曲线C 的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为12＋22＝5，即直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝ 5.答案： 516．解析：|2x －1|＋|x ＋2|＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋2)＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 17．解析：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158. 18．解析：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.19．解析：(1)如图，连接AC ，BD ，OM ，因ABCD 为菱形，则AC ∩BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标O -xyz .因∠BAD ＝π3，故OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，得⎩⎨⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos<n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155，故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105. 20．解析：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e－2x)＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x－3≥22e 2x ·2e－2x－3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c ，而2e 2x ＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)． 21．解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，共中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c ， 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322. 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相关，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，再由F 1P 1⊥F 2P 2，得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0.解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423. 22．解析：(1)法一：a 2＝2，a 3＝2＋1， 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 法二：a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则 a k ＋1＝(a k －1)2＋1＋1＝(k －1)＋1＋1＝ (k ＋1)－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)法一：设f (x )＝(x －1)2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2， 即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上，符合条件得c 存在，其中一个值为c ＝14.法二：设f (x )＝(x －1)2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1. 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1， 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③ 又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)， 即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。
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2014年重庆高考数学试题（理）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内表示复数的点位于（ ）
第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
2.对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）
成等比数列 成等比数列 成等比数列 成等比数列
3.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）
4.已知向量，且()
23a b c -⊥，则实数k= C.3 D. 152
5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框
内可填入的条件是。
A ．12s > B.1224abc ≤≤ 35
s > C. 710s > D.45s > 6.已知命题
对任意，总有；
是的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（ ）
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
(12)i i -.A .B .C .D {}n a 139
.,,A a a a 236.,,B a a a 248.,,C a a a 239.,,D a a a x y 2.5x = 3.5y =$.0.4 2.3A y x =+$.2 2.4B y x =-$.29.5C y x =-+$.0.3 4.4C y x =-+(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===r r r 9
.2A -.0B :p x R ∈20x >:"1"q x >"2"x >.A p q ∧.B p q ⌝∧⌝.C p q ⌝∧.D p q ∧⌝
A.54
B.60
C.66
D.72
8.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得
则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.3
9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.72
B.120
C.144
D.3
10.已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D. 1224abc ≤≤
二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
11.设全集
______. 12.函数
的最小值为_________. 13. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且
21F F ，)0,0(122
22>>=-b a b y a x P ,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+343549
ABC ∆21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤8)(>+c b bc )(c a ac +126≤≤abc =⋂==≤≤∈=B A C B A n N n U U )(},9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{则)
2(log log )(2x x x f ⋅=02=-+y ax C ()()412
2=-+-a y x B A ，
为等边三角形，则实数_________.
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
14. 过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线，分别交圆于，， 若，AC =8，BC =9，则AB =________.
15. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴
线与曲线的公共点的极经________.
16. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）
已知函数的图像关于直线对称，且图像上相
邻两个最高点的距离为.
（I ）求和的值；
（II ）若
，求的值.
18.（本小题满分13分） 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
ABC ∆=a P PA A PB PC B C 6=PA l ⎩⎨⎧+=+=t y t x 32t x l C =ρ2212122++≥++-a a x x x a ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 3π=x πωϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛326432παπαf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα。