极大似然法估计鱼

Crk
C
S N
k r
C
S N
取得最大值.
Crk
C
S N
k r
C
S N
Crk
C S k N 1r
CS N 1
(N S)(N r) N(N r S k)
N 2 Nr SN Sr N 2 Nr SN Nk
容易知道，当N Sr 时，该比Байду номын сангаас大于1； k
当N Sr 时，该比值小于1. k
,
0
k
min(
S, r)
P{X
k}
Crk
C Sk N r
CNS
,0
k
min(
S, r)
在一次试验这里的试验是指：观察第二次捕鱼中有记号的鱼数中，
事件X m就发生了，我们有理由相信，事件X m发生的概率比较
大，也即是PX
m
Crm
C
C
S N
S N
m r
比较大.直观的想法
是
：k取m时，
P X k
20002
500
8000.
这就是说，当N增大时，PX
k
Crk
C
S N
k r
CNS
先增大后减小，
当N
Sr k
时，PX
k取得最大值.故N的极大似然估计为
N
Sr m
.
极大似然估计法的思想：就好比一位同学和猎人一同出去打猎， 该同学没有经过正规训练。只听见一声枪响，你赶到现场，只见 一只野兔躺在地上。现让你估计这只野兔是被谁打中的，因为 同学没有经验，所以相同条件下，猎人打中的可能性比同学大的 多，也就是说同学打中野兔是小概率事件，在一次试验中几乎不
用极大似然法估计湖中的鱼数 为了估计湖中的鱼数N，第一次捕上r条鱼， 做上记号后放回. 隔一段时间后, 再捕出S 条鱼, 结果发现这S条鱼中有m条标有记号. 根据这个信息，如何估计湖中的鱼数呢？
第二次捕出的有记号的鱼数X是一个离散型
随机变量, X具有超几何分布：
P{X
k}
C Ck S k r Nr CNS
可能发生，所以有理由相信是猎人打中了野兔。
例题
• 为估计鱼池内的鱼数，第一次捕了2000尾， 做了记号再放回鱼池内，充分混合后再捕 2000尾，结果发现500尾有记号，试用极大 似然法估计鱼池内的鱼数.
解：根据前面的分析，r 2000, S 2000, m 500.
则鱼池内的鱼数N
Sr m