06 功率谱密度和白噪声过程

6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的。
FX (,T )
T X (t )e jt dt
T
1
2T
T X 2 (t)dt 1
T
4 T

|

FX
(,T ) |2
d
我们定义
1
PX

lim
T
E

2T
T
X
2
(t
)dt

T

为平稳过程X(t)的平均功率。
GX
()

2S
X ()
0
0 0
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数的关 系—维纳-辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件 3、功率谱密度的性质
1、谱密度与自相关函数的关系
平稳随机过程的功率谱密度是它的自 相关函数的傅立叶变换：
S () R( )e j d ①
W

s2
(t)dt


？


| s(t) | dt


3、信号的能谱密度
能量型信号的能谱E(ω)为
E() | F () |2
由巴塞伐尔等式，可得到
s2 (t)dt 1

|
F ()
|2
d

2
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
T T
R(t1

t2
)e
j (t1 t2
)dt1dt2
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
S
X
(
)

lim
T
2T (1 | |)R( )e j d
2T 2T
lim 2T R( )e j d lim 2T | | R( )e j d
求功率谱密度
S( ) R( )e j d e||e j d



2
e|| cos d
0

2 2 2
例 2.4-3
已知功率谱
S( )
4
2 4 10 2
, 求R( )
9
R( ) 1
2

sT2 (t)dt

1
2

|
F (,T )
|2
d

两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
1 T s2 (t)dt 1

|
F (, T
)
|2
d
2T T
4T
平均功率的谱表示
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在
(-∞, ∞)上的平均功率可表示为
SY*X ()

RY*X
(
)e
j
d
,
令：

-
SY*X ()

RXY
( )e j d


RXY
()e
j d

S XY
()
若X (t)和Y (t)是实随机过程则
SY*X ()

RY*X
(
)e
j
d


, 求R(
)
已知SY
( )

(1
1

2
)
的RY
(
)

1 2
e | |
RX ( ) RY ( ) RY ( )
1 e |z| 1 e | z|dz
2
2
1 (e| | e| | )
4
三、互谱密度
1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义 3、互谱密度的性质
T 2T
T 2T 2T
功率谱密度两种定义的等价条件
只要

| R( ) | d

则上式中第二项为零，故此时
SX ()
R( )e j d

也就是说，平稳随机过程在自相关
函数绝对可积的情况下，维纳-辛
钦公式成立。此时功率谱密度的两
种定义等价。
Ps

lim
T
1 2T
T s2 (t)dt
T
1

lim
1
| F (,T ) |2 d
2 T 2T
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简 称功率谱密度，定义为：
S lim 1 | F (,T ) |2
T 2T

4
2 4 10 2

e 9
j d
应用留数定理
R(τ)=
1 2π
2πj

(z
2
z2 +4 +1)(z 2
+9)
e j|τ|z
在z=j,3j留数和

1 (9e| | 5e3| | ) 48
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
S( )

1
(1 2 )2
cos
c
R( )e j d 1

2

cos

c
e

j
d
1

e e j( c )
j( c )
d
4


2
wenku.baidu.com
(

c
)


(

c
)
例 2.4-2
随机电报信号自相关函数 R( ) e||
证明：
S() R*( )e j d R( )e j( )d S()


S() R*( )e j d R( )e j() d S()


功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维 纳-辛钦公式还可以写成：
功率谱的意义
R( ) 1 S ()e j d
2 令 0,则
R(0) 1 S()d E{| X (t) |2} 0
2
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函
数是实偶函数，因此功率谱密度也 是实偶函数，即
S() S(), S() S()
SXY ()

RXY
(
)e
j
d


RXY ( ) cos d j RXY ( ) sin d
Re[SXY ()] j Im[SXY ()]
四、白噪声过程
1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的自相关函数 3、白噪声的相关系数
RYX
(
)e
j ( )
d

SYX
()
互谱密度函数不是实的、正的偶函数
2) | SXY () | SX ()SY ()
从定义
S XY
()

lim
T
1 2T
E{FX
(,T )FY (,T )}
和施瓦茨不等式
|
S XY
() |2
lim
T

1 2T
由于 R( ) R*( ) S () 是实函数
谱密度与自相关函数的关系
由傅立叶逆变换公式，有
R( ) 1 S()e j d
2
②
上述两式统称为 维纳-辛钦公式
注释：对比“信号与系统” 返回 中维纳辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
RXY ( ) 0, SXY () 0
此时有：
RX Y ( ) RX ( ) RY ( ) SX Y () SX () SY ()
3、互谱密度的性质
1） SXY () SY*X () SYX () 2） | SXY () |2 SX ()SY () 3） Re[SXY ()] Re[SXY ()] 奇函数
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数

2 X

lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

T

lim 1 T E[ X 2 (t)]dt T 2T T
PX

1
2

lim
T
1 2T
E[|
FX
(,T )
|2 ]d
平稳过程的功率谱密度

S () 20 R( ) cos( )d
R( ) 1

S () cos( )d
0
例 2.4-1
设随机相位余波 X t cosct 的功
率谱密度，其 是在区间 0,2 内均
匀分布.
解：
S( )
R( )

1 2
Im[SXY ()] Im[SXY ()] 偶函数
1）SXY () SY*X () SYX ()
先证明： RY*X ( ) RYX ( )
RYX ( ) y(t)x*(t ) f (x,t ; y,t)dxdy
令：t t
RY*X ( ) x(t) y(t ) f (x,t; y,t )dxdy RXY ( )
1、互谱密度的定义
定义：
设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的， 则定义互谱密度为
SXY
()

lim
T
1 2T
E{FX
(,T
)FY
(,T
)}
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它 们的互相关函数RXY(τ)的傅立叶变换：
SXY ()

1、能量型信号
能量型信号
W s2 (t)dt
其中，s(t)为信号，W为总能量。
2、信号的频谱

在 | s(t) | dt 的情况下，能量型
信号s(t)的傅立叶变换存在，即
F () s(t)e jtdt
称F(ω)为信号s(t)的频谱。
1、白噪声过程的定义
若一个均值为零的平稳过程
W(t),t 0 具有恒定功率谱密度
S() N0 (, )
2
则称W(t)为白噪声过程。其中N0表 示单边功率谱密度。
相当于《信号与系统》中的冲击响应函数
E[ FX
(
,
T
)
FY
(,
T
)]2

lim
T
1 2T
E[|
FX
(,T ) |2 ] lim T
1 2T
E[|
FY
(,T ) |2 ]
SX ()SY ()
3) Re[SXY ()] Re[SXY ()] Im[SXY ()] Im[SXY ()]
定义
S
X
(
)

lim
T
1 2T
E
| FX (,T ) |2
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。
这样，Px又可以写成
1
PX 2

SX ()d
平均功率谱 的表达式
平稳过程的功率谱密度
SX () 为双边功率谱密度，但在实际 应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
sT (t)
0
t T
平均功率的谱表示
sT(t)能够满足绝对可积条件。 sT(t) 的频域结构
F(,T )

sT
(t
)e
jt
dt

T s(t)e jtdt
T
sT(t)的平均功率：
PsT

sT2
(t
)dt
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
S
X
(
)

lim
T
1 2T
E

T T
X
(t1 )e
jt1 dt1
T T
X
(t2 )e
jt2 dt2

lim 1 T 2T
T T
T T
E[
X
(t1)
X
(t2
)]e
j (t1 t2
)dt1dt2
1
lim T 2T
T T
4、功率型信号
能量无限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
1
Ps
lim T
2T
T s2 (t)dt
T
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件。
为了能够利用傅立叶变换给出平均 功率的谱表示式，构造截尾函数：
s(t) | t | T
第六讲：
平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
主讲人：张有光 电 话：82314978 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
1、能量型信号 2、信号的频谱 3、信号的能谱 4、功率型信号 5、平均功率的谱表示和功率谱密度 6、平稳过程的功率谱密度
RXY
(
)e
j
d
RXY
(
)

1
2

S
XY
()e
j
d
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当 0
RXY
(0)

1
2

SXY ()d E[ X (t)Y (t)]
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经 该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。