高中数学沪教版(上海)高二第一学期7.5数学归纳法的应用_导学案
高中数学《数学归纳法》导学案
第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。
高中数学高二第一学期7.5数学归纳法的应用_导学案1-沪教版
数学归纳法的应用【学习目标】1．会用数学归纳法证明等式。
2．会用数学归纳法证明数或式的整除。
【学习重难点】1．进一步掌握数学归纳法的证明步骤。
2．熟练掌握数学归纳法的实质。
【学习过程】一、知识回顾：归纳法：由一系列有限的__________事例得出__________的推理方法__________。
用数学归纳法证明关于正整数n 的命题的两个步骤：（1）证明当n______________________________时命题成立；（2）假设当______________________________时命题成立，证明当__________时，命题也成立。
由（1）、（2）知： 命题对________________________________________都成立。
（3）练习：思考1：试问等式2+4+6+…+2n ＝n 2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解：假设当n k =时等式成立，即224621k k k ++++=++；则当1n k =+时，左边=__________________________________________________； 即当1n k =+时等式__________。
所以等式对任意*n N ∈成立。
思考2：下面用数学归纳法证明的过程是否正确：21122221n n -++++=-。
证明：（1）当1n =时，左边=1=右边，等式成立。
（2）假设n k =时等式成立，即 ______________________________。
那么当1n k =+时，左边____________________=____________________。
所以1n k =+时等式也成立。
由（1）（2）得原等式对任意 *n N ∈都成立。
思考3：用数学归纳法证明n 边形的对角线的条数是(3)2n n -时，n 取的第一个值是__________。
数学7.5数学归纳法的应用教案沪教版高中二级第一学期
7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1． 本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.2． 本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立. 二、教学目标设计1．会用数学归纳法证明等式； 2．会用数学归纳法证明数或式的整除；3．进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质. 三、教学重点及难点：用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1．复习回顾：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.如果只完成步骤（i ）而缺少步骤（ii ）不能说明命题对从n 0开始的一切正整数n 都成立.如(2)2n +1，当n=0、1、2、3、4时都是素数，而n=5时，(2)2n +1=641×6700417不是素数.同样只有步骤（ii ）而缺少步骤（i ），步骤（ii ）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.如2+4+6+…+2k=k 2+k+a （a 为任何数） 2．讲授新课: 用数学归纳证明等式例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n （3n+1）=n （n+1）2例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n 2=16n （n+1）（2n+1）. [说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，只要将原等式中的n 换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成. 如 求证：2213++ (2)21(21)(41)3n n n +-=- （n ∈N *）. 证明：（1） 当n=1时，左边=1，右边=13×1×（4-1）=1等式成立. （2） 假设当n=k （k ∈N *）时等式成立，即2222113(21)(41)3k k k +++-=-,则n=k+1时，222222232135(21)(21)1(41)(21)31(412113)3k k k k k k k k ++++-++=-++=+++又21(1)[4(1)1]3k k ++-2321(1)[2(1)1][2(1)1]311(23)(21)(1)(483)(1)331(412113)3k k k k k k k k k k k k =++++-=+++=+++=+++ 即2222221135(21)(21)(1)[4(1)1]3k k k k ++++-++=++-等式成立.由（1）（2）知，等式对任何n ∈N*都成立.(3) 用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k 到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n 的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况. 例如：求证：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++…………（n N ∈*）.例3 （补充）在1与9之间插入2n-1个正数数1221,n a a a -……，使1，1221,n a a a -……，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数1221,n b b -……b ，使1，1221,n b b -……b ，9成等差数列.设1232-1()n f n a a a a =……，1232-1(),*n g n b b b b n N =∈……, （1） 求()f n 、()g n （2） 设()9()4()17F n f n g n =++，是否存在最大自然数m ，使对于n ∈N *都有()F n 被m 整除，试说明理由.解：（1）123232221()n n n f n a a a a a a ---=12122232311()()()()n n n n n n a a a a a a a a a ----+=121(1)9993393n n n ---=⨯⨯⨯⨯=⨯=个123232221()n n n g n b b b b b b ---=++++++12122232311()()()()n n n n n n b b b b b b b b b ----+=+++++++++(1)101010510(1)5105n n n -++++=-+=-个（2）2121()9()4()17934(105)173403n n F n f n g n n n -+=++=⋅+-+=+-当n=1时，(1)F =64 当n=2时，(2)F =320=5×64 当n=3时，(3)F =36×64由此猜想：最大自然数m=64 用数学归纳法证明上述猜想： 1.当n=1时，猜想显然成立;2.假设当n=k （k ∈N *）时成立，即21()3403k F k k +=+-能被64整除，则当n=k+1时，2321(1)340(1)39(3403)64(51)k k F k k k k +++=++-=+---+由归纳假设知213403k k ++-能被64整除，又64(51)k -+也能被64整除，所以(1)F k +也能被64整除. 由1、2知，21()3403n F n n +=+-能被64整除（n ∈N *）.又因为(1)64F =，所以存在最大自然数64，使()F n 能被64整除（n ∈N *）.[说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第（1）小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d 、公比q 用n 表示，然后求出()f n 、()g n （可让学生完成），同时本例的第（2）小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证，是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定.3.巩固练习:练习7.6(2)1,2,34．课后习题：习题7.5 A 组 习题7.5 B 组 5.课堂小结:（1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题；（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明; 归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此，它不属于“不完全归纳法”！甚至连“归纳法”都不是！(3)学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤： ①验证P(0n )成立.②假设P(k)成立(k∈N *且k≥0n )，推证P(k+1)成立.数学归纳法的核心，是在验证P(0n )正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥0n ).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、函数与方程思想从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？六．教学设计说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k 时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．即n=k+1时等式也成立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k 时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向．。
沪教版(上海)数学高二上册-7.6 归纳—猜想—论证学案
“7.6 归纳—猜想—论证”学案【学习目标】1．体验“归纳—猜想—论证”的过程。
2．感悟“归纳—猜想—论证”的思想方法。
3．运用“归纳—猜想—论证”的方法解决简单的数列问题。
【预习导引】阅读课本第34页至第36页．一、学习P34例1后，观察前几项值之间的关系，需要将1、4、9、16分别表示成、、、，才能顺利猜想出a的表达式。
n在用数学归纳法进行证明的过程中，关注每一项的结构特点，从“n=k”到“n=k+1”，需要增加的项为。
二、学习P35例2后，整体观察前几项值之间的关系，你认为需要怎样进行思考，才能顺利猜想出结论？三、练一练：1．（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2.（1）分别计算数列 -1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的值；（2）根据（1）的计算，猜想a=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的表达式；n（3）用数学归纳法证明你的猜想。
四、小结体会：经过以上学习，你认为“归纳—猜想—论证”这一思想方法是通过怎样的一个过程体现的？【能力提高】1．已知数列}{n a 满足*+∈-==N n a a a nn ,12,211， (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题可以看出，“归纳—猜想—论证”的方法可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题可以采用哪些方法？2．已知正整数数列}{n a 的前n 项和n S 满足*2,)1(41N n a S n n ∈+= (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题看出，“归纳—猜想—论证”的方法又可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题采用的是怎样的方法，你可以用这种方法再解一次本题吗？【探究思考题】是否存在大于1的正整数m，使得*f n∈n++=都能被m整除？⋅n3,9n)72((N)若存在，你能求出m的最大值吗？你能证明你的结论吗？【拓宽知识】你所知道的世界上著名的猜想有哪些？可以介绍给大家吗？作业：【基础题】《练习册》P15 习题7.6 A 组 1—4【能力提高题】1．在数列}{n a 中，),2()1(22,1*11N n n n n n a a a n n ∈≥+++==-， （1）可求得2a = ，3a = ，4a = ，猜想n a =（2）请用数学归纳法证明你的猜想.2．是否存在常数a 、b 、c ，使等式c bn an n n n n n ++=-⋅++-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？ 若存在，你能求出常数a 、b 、c 的值吗？。
“数学归纳法的应用”教学案例
数 学教 学
Ｄ —
ｉ
ｌ
ｌ
＋
由（ １ ） 、（ ２ ） 知， 对 一切 ｋ∈Ｎ ， 竹＝ ３ ｋ＋ １ 时 问题 都有解 ．
２ ． ３ ． ２ 佗＝ ３ ｋ一 １
ｌ ■ ． — ＿ 丰 — — ｝ —
ｌ ～
当 ｋ＝ １ 即 几 ＝ ２时 ，问题 有 解 ；当 ｋ ＝ ２即 ｎ： ５ 时 ，问题 无 解 ． 而 当 ｋ≥ ３ 时， 可将 图 形 分 割如 图 １ ３所 示 ．
２ ０ １ ７ 年第 １ ０ 期
数 学教 学
ｌ ｏ — ｌ ｌ
“ 数 学 归纳 法 的应 用 ＂教 学案例
吴晨 昊
（ 上海市进才中学， 上海 ２ ０ ０ １ ３ ５ ）
１ 引言
数 学 归 纳 法 在 数 学 发 展 史 上 有 着 举 足 轻
重 的 地 位 ．对 与 无 穷 的 自然 数 集 相 关 的命 题 ， 我 们 往 往 可 以运 用 数 学 归 纳 法 ，以有 限 的 步骤 对 其 作 出 严 谨 的 证 明 ．数 学 归 纳 法 在 有 限 与
图１
和 、多项式整 除等代 数 问题， 其 中不乏 一些 学
生 已经 熟 知 的 公 式 ， 因而 学 生 学 习数 学 归 纳 法 的动机 不足 ， 甚至 会产 生 “ 数 学 归 纳 法 就 是 在
套格 式” 的误 解． 在 运用 数学 归纳 法证 明一 些
命题 时， 学 生 也 容 易 出现 “ 伪证” （ 即 在 证 明 的第 二步 并不 用 到 归 纳假 设 １ 的情 况 ． 笔 者 以一 道 平 面 几 何 问 题 为 载 体 ， 对 其 作 进 一 步探 究， 并 以此 设计 了一 堂“ 数 学 归 纳 法 的 应 用” 的拓 展 课 ，旨在 让 学 生 改 变 对 “ 数 学 归 纳法 ” 的 刻 板 印象 ． ２ 教 学设 计
高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版
7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计一、复习引入：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n=∈， 解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.四、课堂练习： 1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++=+++ ∴n =k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.∴左边=右边.(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别是，费马曾认为，当n∈N时，221为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，52+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．21有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，… f（39）=1 601．但是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。
高中数学沪教版(上海)高二第一学期7.6归纳—猜想—论证_导学案
归纳—猜想—论证【学习目标】1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤；2．通过几个与自然数有关问题的解决，体验归纳－猜想－论证的思维过程，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力；3．通过实验、观察、尝试，培养科学的探究精神。
【学习重难点】“归纳-猜想-论证”思维方法的渗透和学习。
【学习过程】一、复习引入归纳法和数学归纳法相关的问题。
（1）数学归纳法是一种证明方法，它适用于证明那些与_______________有关的数学命题。
（2）用数学归纳法证明问题的一般步骤是什么？1）证明当取第一个值()*∈N n n 00时，命题成立；2）假设当()0,n k N k k n ≥∈=*时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
（3）这两个步骤的作用是什么？第一步是递推的_______；第二步是递推的_______。
递推是数学归纳法的核心。
（4）用数学归纳法证题时应注意什么？两个步骤缺一不可。
证第二步时，必须用归纳假设。
即在_______成立的前提下推出_______成立。
只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
（5）我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又是如何得到的呢？二、学习新课例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前四项的值，由此猜测：()()12311321+++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+++=n n n a n 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。
例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，……，1(32)(31)n n -+，……，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值。
根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明。
练习：1．已知数列{}n a 中，211=a ，331+=+nn n a a a 。
（1）求：2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 表达式并用数学归纳法证明。
高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版
7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1nnna a a nN a ，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a ，313a ，414a ，由此得到：*1,()n a n N n，解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为课堂小结，布置作业首项验证（奠基）复习引入数学归纳法定义（规范的数学表述）假设证明（核心步骤）运用数学归纳法解决实际问题（注意叙述的规范性）一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2. ∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.四、课堂练习：1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2=1.∴等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k.那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k∴n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.2.首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是：a n=a1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a1，右边=a1·q1－1=a1q0=a1.∴左边=右边.(2)假设当n=k时等式成立.即a k =a1q k－1.那么当n=k+1时.a k+1=a k q=a1q k－1·q=a1q(k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n∈N*都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n ＝k ＋1命题成立时必须要用到n ＝k 时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时，5221 =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，…f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。
沪教版(上海)数学高二上册-7.4 数学归纳法 学案
7.4 数学归纳法【学习目标】1 、了解“归纳法” 的含意，能区分不完全归纳法与完全归纳法；2、理解“数学归纳法”的实质；并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；3、掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
【课前导学】1、请思考以下三个问题：①从一个袋子里摸出来的第一个东西是红球，第二个也是红球，第三个，第四个都是红球，此时能判断袋子里的东西是红球吗？②从袋子里的第一次摸出的是一个红球，如果同时提供这样一个保证：“若你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，那么能否判断袋子里的东西全是红球呢？③如何用数学语言描述：“若你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球？”2、观看“多米诺骨牌视频”请讨论以下三个问题：①假设从教室到操场立摆着许多砖块，我们当然可以一块一块地把它们全部推倒.现在只允许推倒一块，你能保证外面的砖块都倒下吗？你有办法做到使它们都倒下吗？②如果不推任何一块砖，这些砖能全部倒下吗？③如果在砖列的某一段上拿走几块，那么你推第一块还能保证全部都倒下吗？【课堂学习】一、归纳法叫做归纳法。
[点拨]①归纳法分为 和把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做② 由 得到的结论不一定都是正确的。
如：对于数列{}n a 22(55)n a n n =-+，易验证：12341,1,1,1a a a a ====，如果由此得出结论——“对任意*n N ∈，都有1n a =”显然是错误的，事实上，5251a =≠。
二、数学归纳法用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：①证明 结论正确；②假设当 时结论正确，证明当 时结论也正确。
由①②可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
这种证明方法叫做 。
[点拨]①数学归纳法的适用范围，仅限于有关自然数（N 或*N ）的命题。
数学归纳法的重要性在于运用了有限的两个步骤，就解决了有关自然数的无限的命题的证明。
数学高二(上)沪教版(数学归纳法及其应用(一))教师版
（C） （D）
（2）则从k到k+1时，右式）
【答案】D C
变式练习：
1、用数学归纳法证明 ,在验证 成立时,左边所得的项为(C)
A. 1 B. 1+ C. D.
2、数列 中, ,则数列的前5项为 ,猜想它的通项公式是 ( )
例2、用数学归纳法证明：
【解析】用数学归纳法证明 时等式成立时，必须用归纳假设 时的结论，同时证明 时的等式时成立的，只要将原式中的n换成 即得，因此咋证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤。
（1）当 时，显然成立
（2）假设当 ， 成立，则当 时，
也成立。
综上所诉，猜想 成立。
所以， 的正方形棋盘中，共有 个不同的正方形
4、求证:对于整数 时, 能被133整除.
解析：① 时,原式= 能被133整除;
② 设 时, 能被133整除
时,原式=
= 能被133整除.
5、若 ,求证: .
解析：① 时,左= ,右= ,左=右
时,
∴ .
【课堂总结】
1、数学归纳法的步骤？
2、用数学归纳法证明最难的是哪个步骤？我们应该怎么做？
【课后练习】
1、（1）计算： _________
________
_________
（2）猜想： ______________
(3)用数学归纳法证明你的猜想。
【解析】本题综合了完全归纳法、不完全归纳法以及数学归纳法的计算，（2）的猜想属于一个不完全归纳过程，（3）题主要考察数学归纳法的证明。
对于本例在证明 时正确，需用的恒等式变形有一定难度，此时我们通过左右两边的多项式乘法来完成证明。
例3、用数学归纳法证明：
沪教版(上海)高二数学上册7.5数学归纳法的应用_课件
34 (34k2 52k1) 56 52k1
∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，
∴34·(34k+2＋52k+1)-56·52k+1能被14整除． ∴ 34(k+1)+2＋52(k+1)+1能被14整除．
三、不等式
例6、求证：1+ 1 1 1 n, n 1, n N
23
n
证明：（1）当n=2时,左= 1
1 ，右= 2
2
左 右 ，∴n=1时，不等式成立
（2）假设n=k时，不等式成立，即 1+ 1 1 1 k
那么，当n=k+1时
23
k
左= 1+ 1 1 1 1 k 1
（2）假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 42 52 62
那么，当n=k+1时
2k 12 2k 2 k 2k 1
左= 12 22 32 42 52 62 2k 12 2k 2 2k 12 2k 22
k 2k 1 2k 12 2k 22
2k2 5k 3 k 12(k 1) 1 =右
即 n 1和 n 2时，命题成立。
（2）假设当 n k和 n k 1 时，命题成立，即有
ak (3k 1) 2k2 , ak1 (3k 4) 2k3
当 n k 1 时， 由已知可得：
ak1 Sk1 Sk (4ak 2) (4ak1 2) 4ak 4ak1
4 (3k 1) 2k2 4 (3k 4) 2k3 2 (3k 1) 2k1 (3k 4) 2k1 (3k 2) 2k1
上海市崇明区横沙中学高二数学学案：7-5数学归纳法的
7．5 数学归纳法的应用一、概念复习1、由_________到_________的推理方法，叫做归纳法。
2、数学归纳法，是用来回答与______________有关的命题。
3、数学归纳法的基本步骤是<1>、证明当n 取______________时，命题成立。
<2>、假设当____________时，命题成立，证明当________________时，命题也成立。
根据10,20两步可知，这个命题对______________________都成立。
4、数学归纳法的第一步骤是递推的_______________；第二步是递推的_____________；两步缺一不可。
5、第二步骤证明当1+=k n 时命题也成立，必需要利用的条件是____________________6、在用数学归纳法证明命题成立的过程中，第<1>步中验证了n = 1 时命题成立，第<2>步中假设n = k 时命题成立，这里k 取的最小值是多少？，并说明理由7、在用数学归纳法证明命题成立的第<2> 步中，假设n = k 时，命题成立，这种假设不没有根据？如果有，根据是什么？二、举例例1、用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+⨯++⨯+⨯+⨯n n n n例2、用数学归纳法证明：)12()2()12(4321222222+-=--++-+-n n n n三、课堂练习1、用数学归纳法证明（1）2)13()23(741-=-++++n n n （2）12222112-=++++-n n 2、分别用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式d n n na S n )1(211-+=与等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1 3、求证：n n 53+，能被6整除。
四、课外作业练习册，13页B 组1、2、3、4题。
沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.5数学归纳法的应用
沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.5数学归纳法的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．k 为正偶数，()P k 表示等式11111111122341242k k k k k ⎛⎫-+++⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭，则()2P 表示等式______. 2．用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⋅⋅⋅-∈时，从“n k =到1n k =+”，左边需增乘的代数式是___________.3．用数学归纳法证明()2511222n n -*+++⋅⋅⋅+∈N 能被31整除的过程中，当1n =时，原式为______.4．n 为正奇数时，求证：n n x y +被x y +整除，当第二步假设21n k =-命题为真时，进而需证n =_______，命题为真． 5．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++时，在作归纳假设后，需要证明1n k =+时命题成立，即证：______.二、单选题6．设()()11111232f k k k k k k*=+++⋅⋅⋅+∈+++N ，则()1f k +可表示为（ ） A ．()122f k k ++ B ．()112122f k k k ++++ C ．()112122f k k k +-++ D ．()112122f k k k -+++ 7．已知87>，169>，3211>，⋅⋅⋅，则有（ ） A ．221n n >+B ．1221n n +>+C ．2225n n +>+D ．3227n n +>+8．某个命题与自然数n 有关，若*()n k k N =∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知5n =时，该命题不成立，那么可以推得A ．6n =时该命题不成立B ．6n =时该命题成立C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立三、解答题9．已知数列{}n a 满足：11a =，()121n n a a n *+=+∈N .用数学归纳法证明：21n n a =-. 10．用数学归纳法证明：()321n n *-∈N 能被7整除.11．用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和可以被9整除.12．对于下列数的排列：2，3，43，4，5，6，74，5，6，7，8，9，10⋅⋅⋅写出并证明第n 行所有数的和n a 与n 的关系式.参考答案1．111224-=⨯ 【解析】【分析】将2k =代入已知等式，即可求解.【详解】当2k =时 左边等于112-，右边等于124⨯ 即111224-=⨯ 故答案为：111224-=⨯ 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的性质，属于基础题.2．2(21)k ⋅+.【分析】从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)1k k k k k ++++++，化简即可得出． 【详解】假设n k =时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)k k k k k k k ++++=⋅⋅⋅⋯-， 当1n k =+时，1(2)(3)(11)2135(21)k k k k k k ++++++=⋅⋅⋅⋯+从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)2(21)1k k k k k k +++++=++． 故答案为：2(21)k ⋅+.【点睛】 本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．3．23412222++++【分析】由1n =，确定5114⨯-=，即可得出()2511222n n -*+++⋅⋅⋅+∈N ，当1n =时的表达式. 【详解】当1n =时，5114⨯-=即原式为23412222++++故答案为：23412222++++【点睛】本题主要考查了数学归纳法的书写，属于基础题.4．2k ＋1【解析】题中是数学归纳法是关于所有正奇数的命题，21k -之后的正奇数为21k +， 据此可得第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝2k ＋1，命题为真． 5．111111111111123421221222322122k k k k k k k k k -+-+⋅⋅⋅+-+-=++⋅⋅⋅+++-++++++【分析】将1n k =+代入111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++，即可求解. 【详解】假设当n k =时等式成立，即111111111234212122k k k k k-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 那么1n k =+时，需证明 111111111111123421221222322122k k k k k k k k k -+-+⋅⋅⋅+-+-=++⋅⋅⋅+++-++++++ 故答案为：111111111111123421221222322122k k k k k k k k k -+-+⋅⋅⋅+-+-=++⋅⋅⋅+++-++++++【点睛】本题主要考查了数学归纳法的性质，属于基础题.6．C【分析】根据题意写出()1f k +的表达式，利用11111111112342123421k k k k k k k k k k ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+- ⎪++++++++⎝⎭，化简即可求解.【详解】()()11111232f k k k k k k*=+++⋅⋅⋅+∈+++N ()111111123422122f k k k k k k k ∴+=+++⋅⋅⋅++++++++ 11111111=1234221221k k k k k k k k ⎛⎫++++⋅⋅⋅+++- ⎪+++++++⎝⎭()112122f k k k =+-++ 故选:C.【点睛】 本题主要考查了学生化简和求解的能力，属于基础题.7．C【分析】由12872215+>⇒>⨯+，169>222225+⇒>⨯+，3211>322235+⇒>⨯+，即可求解.【详解】由87>，169>，3211>可知第一项为12872215+>⇒>⨯+第二项为169>222225+⇒>⨯+第三项为3211>322235+⇒>⨯+以此类推第n 项为2225n n +>+故选：C.【点睛】本题主要考查了学生归纳的能力，通过前几项具有的规律去推测整体的规律，属于基础题.8．C【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用5n =时命题不成立，得出4n =时命题不成立，而6n =无法判断.由此得出正确选项.【详解】假设4n =时该命题成立，由题意可得5n =时，该命题成立，而5n =时，该命题不成立，所以4n =时，该命题不成立.而5n =时，该命题不成立，不能推得6n =该命题是否成立．故选C ．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.9．证明见解析【分析】按照数学归纳法的步骤以及题设条件，化简即可求解.【详解】①当1n =时，有11211a =-=，符合条件②当n k =时，假设21k k a =-成立 那么1n k =+时，有()1121221121k k k k a a ++=+=-+=-所以当1n k =+时，21n n a =-成立由①②可知21n n a =-成立. 【点睛】本题主要考查了简单数列的数学归纳法证明，首先将前两步做出来，然后即可根据递推公式顺利求出答案，学生遇到这类题时，应充分利用题目所给的已知条件，通过化简或者推导逐渐向问题靠拢.10．证明见解析【分析】按照数学归纳法的步骤，先证明当1n =时,结论显然成立，再假设当n k =时结论成立，通过配凑证明当1n k =+时，结论也成立，即可得证.【详解】证明:①当1n =时,3121817⨯=-=-,能被7整除;②假设当n k =时,()321k n *-∈N 能被7整除,那么当1n k =+时: 3(1)3332182182878(21)7k k k k +-=⨯-=⨯-+=-+ 因为()321k n *-∈N 能被7整除，所以38(21)7k -+能被7整除所以当1n k =+时,命题也成立由①②可知, ()321n n *-∈N能被7整除【点睛】用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤,第一步,先证明当1n =时,结论显然成立,第二步,先假设当n k =时结论成立,利用此假设结合因式的配凑法,证明当1n k =+时,结论也成立即可11．证明见解析【分析】按照数学归纳法的步骤，先证明当1n =时,结论显然成立，再假设当n k =时结论成立，通过配凑证明当1n k =+时，结论也成立，即可得证.【详解】①当1n =时33312336++=能被9整除②假设当n k =时333(1)(2)k k k ++++能被9整除当1n k =+时 333(1)(2)(3)k k k +++++3332(1)(2)92727k k k k k =+++++++()3332(1)(2)933k k k k k ⎡⎤=+++++++⎣⎦ 由归纳假设333(1)(2)k k k ++++能被9整除又()2933k k ++能被9整除 333(1)(2)(3)k k k ∴+++++能被9整除由①②可知, 三个连续正整数的立方和可以被9整除.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，在利用数学归纳法证明时要注意格式的书写，属于中档题.12．()221n a n =+，证明见解析【分析】根据前三行探究其规律,再根据数学归纳法即可证明.【详解】第1行的和为2234=9=(21+1)++⨯ 第2行的和为234567=25=(22+1)++++⨯第3行的和为245678910=49=(23+1)++++++⨯以此类推第n 行所有数的和为()221n a n =+以下用数学归纳法证明由于第一行有3个数字,第二行有5个数字,第三行由7个数字,第n 行有32(1)21n n +-=+个数字,且第n 行的第一个数字为1n +即第n 行的数分别为：1,2,3,,(21)n n n n n +++++ ①当1n =时，2234=9=(21+1)++⨯，()221n a n =+成立②当n k =时，假设()221k a k =+成立即()()()21(2)(21)21k a k k k k k =+++++++=+ 那么1n k =+时， ()()()(){}111121211k a k k k k +=+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()=2(3)(21)(22)(23)(24)k k k k k k k k k k ++++++++++++++++ ()()()()221(1)(22)(23)(24)k k k k k k k k =+-++++++++++()()222412923211k k k k =++=+=++⎡⎤⎣⎦即当1n k =+时，结论成立.由①②可知，第n 行所有数的和为()221n a n =+成立【点睛】本题主要考查了简单数列的求和，关键是找出第n 行的第一个数和总的个数以及用数学归纳法证明结论成立，属于中档题.。
高中数学新沪教版精品学案《数学归纳法的应用》
数学归纳法的应用【学习目标】1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。
2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
【学习重难点】1．了解数学归纳法的原理2．掌握用数学归纳法证题的方法。
【学习过程】一、创设情景，回顾引入情景：员外的儿子学写字。
通过故事，你对员外的儿子有何评价？复习：____________________叫归纳法。
分为完全归纳法和不完全归纳法。
二、设置问题，引导探究多米诺骨牌游戏：摆放好多米诺骨牌，推倒第一张骨牌，会有怎样的结果发生？如果我们想要确保所有骨牌都倒下，必须满足那些条件呢？三、解决问题，引出概念1．证明等差数列通项公式*1(1)()n a a n d n N =+-∈数学归纳法：（1）适用范围：____________________（2）原理及步骤：①验证____________________②假设____________________证明____________________由①②得出结论____________________反思：2．用数学归纳法证明：2*135...(21)()n n n N ++++-=∈3．用数学归纳法证明命题2246...21k k k +++=++246…2n=2*1()n n n N ++∈步骤如下，其证法是否正确？证明：假设n=时，等式成立即2246...21k k k +++=++，那么，n=1时22246...22(1)12(1)(1)(1)1k k k k k k k ++++++=++++=++++ 这就是说n=1时也成立。
根据数学归纳法，等式对于任意自然数都成立。
反思：4．用数学归纳法证明命题：111...1223(1)1n n n n ++=⨯⨯⨯++。
证法是否正确？为什么？ 证明：当n=1时，显然成立。
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数学归纳法的应用
【学习目标】
1．会用数学归纳法证明等式。
2．会用数学归纳法证明数或式的整除。
【学习重难点】
1．进一步掌握数学归纳法的证明步骤。
2．熟练掌握数学归纳法的实质。
【学习过程】
一、知识回顾：
归纳法：由一系列有限的__________事例得出__________的推理方法__________。
用数学归纳法证明关于正整数n 的命题的两个步骤：
（1）证明当n______________________________时命题成立；
（2）假设当______________________________时命题成立，证明当__________时，命题也成立。
由（1）、（2）知： 命题对________________________________________都成立。
（3）练习：
思考1：
试问等式2+4+6+…+2n ＝n 2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
解：假设当时等式成立，即224621k k k ++++=++；
则当1n k =+时，左边=__________________________________________________； 即当1n k =+时等式__________。
所以等式对任意*n N ∈成立。
思考2：
下面用数学归纳法证明的过程是否正确：21122221n n -+++
+=-。
证明：
（1）当1n =时，左边=1=右边，等式成立。
（2）假设n k =时等式成立，即 ______________________________。
那么当1n k =+时，左边____________________=____________________。
所以1n k =+时等式也成立。
由（1）（2）得原等式对任意 *n N ∈都成立。
思考3：
用数学归纳法证明n 边形的对角线的条数是
(3)2n n -时，n 取的第一个值是__________。
二、数学归纳法的应用举例：
例1：用数学归纳法证明：2*1427310(31)(1),⨯+⨯+⨯+
++=+∈n n n n n N 。
例2：用数学归纳法证明：22221234-+-+…22(21)(2)(21)n n n n +--=-+ *,∈n N 。
例3：求证3个连续自然数的立方和能被9整除。
三、练习：
1．用数学归纳法证明“1＋x ＋x2＋…＋xn ＋1=()N ∈≠--+n x x
x n ，1112”成立时，验证n=1的过程中左边的式子是（ ）
A ．1；
B ．1＋x ；
C ．1＋x ＋x2；
D ．1＋x ＋x2＋x3＋ (x2)
2．某个命题与自然数n 有关，如果当n=k ()N ∈n 时成立那么可推得n=k+1时该命题也成立。
现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A ．当n=6时该命题不成立；
B ．当n=6时该命题成立；
C ．当n=4时该命题不成立；
D ．当n=4时该命题成立。
3．数学归纳法证明（n ＋1）（n ＋2）…（n ＋n ）=2n ·1 · 3…（2 n －1）()N ∈n 时，证明从n=k 到n=k ＋1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以（ ）
A ．2k ＋2；
B ．（2k ＋1）（2k ＋2）；
C ．1
22++k k ； D ．()()
12212+++k k k 。
4．用数学归纳法证明：1－
21＋31－)(2121112112141N n n n n n n ∈+++++=--++ ，则从k 到k ＋1时，左边应添加的项为（ ）
A ．1
21+k ； B ．4
21221+-+k k ； C ．－2
21+k ； D ．121+k －2
21+k 。