奥数问题：一笔画

一笔画问题是研究平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，且使得在每条线段上都不重复。

数学家欧拉找到一笔画的规律是：

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二可以算出此图至少需几笔画成。）

备注：

顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指

数。

奇顶点：指数为奇数的顶点。可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为奇数。

偶顶点：指数为偶数的顶点。可以简单地理解为，以此点为顶点的直线段和曲线段的条数为偶数。

在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范，开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。能一笔画出并回到起点的图为欧拉图。

他发表了“一笔画定理”：

一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:图形是联通的；图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。