数学竞赛课件
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12 12 12 2的个数 [ ] [ ] [ ] 6 3 1 10 2 4 8 12 12 3的个数=[ ] [ ] 4 1 5 …… 3 9
所以 12!的标准分解式为 12! 210 35 52 7 11.
2012-12-28
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例：数100! 末尾连续地有多少位全是零?
∴所求7 的倍数有 71 － 28 = 43 （个）.
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课后任务：
课堂作业：1. P175第2题。 2. P176第6题。
1.复习高斯函数。 2.数学之友做到35页。
2012-12-28
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题型1.求出x的值，再取整
1.173页例题1
2.173页例题2
3.175页情景再现第1题
2012-12-28
11
题型2.利用不等式 x 1 [ x ] x [ x ] 1
放缩后解方程
1.174页例题3
2.175页
3.180页
情景再现
B组第5题
第2题
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(4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y;
[ x ], x Z 0, x Z (5)[ x ] ; x ; [ x ] 1, x Z 1 { x }, x Z
a a a (6)a b[ ] b ,0 b b 1,(a Z , b Z ) b b b a (7)设a , b Z , 则在1,2, , a中能被b整除的数有[ ]个. b
0.8584
注意： x 1. 0
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1
定理1
对于[x]与{x}，有下列结论成立
(1) x [ x ] x; (2)[ x ] x [ x ] 1, x 1 [ x ] x ,0 x 1;
(3)[n x ] n [ x ], n Z ;
x y b b ' x y a a ' b b '
b b ', b b ' 1; b b ' x y . b b ', b b ' 1.
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a a a (6)a b[ ] b ,0 b b 1,(a Z , b Z ) b b b a a a a a 证明： a b b . b b b b b a a 0 1 0 b b a b b 0 b b 1. a b 又b Z, b a a 注：若记 a b q (余r )，则 b[ ] q , b = r . b b
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二、函数[x]与{x}的一个应用 ——n !的分解 定理2 在n!的标准分解式中质因数 p( p n)的指数h为 n n n h [ ] [ 2 ] [ r ]. p p r 1 p n s 注：若p n, 则[ s ] 0. p 例1 求 20！分解式中质因数2的个数。
解：命题等价于求100!可被10的多少次方整 除．因10=2× 5，而由定理1知100! 中2的指数大 于5的指数，因而100! 中 5 的指数 α就是需求的 100! 末尾全是零的位数．但
故100! 末尾连续地有24位全是数字0．
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n! 是整数， k n). (0 推论2 贾宪数 k !( n k )!
12
题型3.利用不等式放缩到一定范围
1.175页
例题4
2.175页
3.180页
情景再现
A组 第1题
第3题
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13
题型4.把给定的区间分成段。常见的 如[0，1）
1.180页
B组第6题
2.176页
3.177页
例题 6
例题7
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20 20 20 20 20 解： ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 0 [ 2 2 2 2 2
10 5 2 1 18
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例2 求12!的标准分解式。 解：12以内的质数有2，3，5，7，11. 其标准分解式中，各质因数的个数如下：
函数[x]与{x}及其在数论中的应用
一、函数[x]与{x}及其性质 定义： 设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数， 称它为x的整数部分，称{x} = x [x]为x的小数部分.
例如： [2.3] 2,[2.3] 3,[2] 2,[ ] 3,[ ] 4；
2.3 0.3,2.3 0.7,2 0, 0.1415,
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题型5.厄米特不等式
1.证明方法（构造函数）( P1780 ) 2.结论的记忆及应用。（ P180 第3题)
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补充例题
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Байду номын сангаас
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例1 求在 200到 500 的整数中， 7 的倍数 有多少个？ 解
500 199 71, 7 28, 7
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4
a (7)设a , b Z , 则在1,2, , a中能被b整除的数有[ ]个. b
证明： 能够被b整除的正整数为b,2b, , 如果在1， ，a中，能够被b整除的正整数有k个, 2，
那么，kb a (k 1)b
a a k k 1 k . b b
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2
(4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y; 证明：设 x a , x b, y a ', y b '. 则 x y a a ' b b ' a a ' b b ' a a ' x y
所以 12!的标准分解式为 12! 210 35 52 7 11.
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8
例：数100! 末尾连续地有多少位全是零?
∴所求7 的倍数有 71 － 28 = 43 （个）.
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课后任务：
课堂作业：1. P175第2题。 2. P176第6题。
1.复习高斯函数。 2.数学之友做到35页。
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题型1.求出x的值，再取整
1.173页例题1
2.173页例题2
3.175页情景再现第1题
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11
题型2.利用不等式 x 1 [ x ] x [ x ] 1
放缩后解方程
1.174页例题3
2.175页
3.180页
情景再现
B组第5题
第2题
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(4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y;
[ x ], x Z 0, x Z (5)[ x ] ; x ; [ x ] 1, x Z 1 { x }, x Z
a a a (6)a b[ ] b ,0 b b 1,(a Z , b Z ) b b b a (7)设a , b Z , 则在1,2, , a中能被b整除的数有[ ]个. b
0.8584
注意： x 1. 0
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1
定理1
对于[x]与{x}，有下列结论成立
(1) x [ x ] x; (2)[ x ] x [ x ] 1, x 1 [ x ] x ,0 x 1;
(3)[n x ] n [ x ], n Z ;
x y b b ' x y a a ' b b '
b b ', b b ' 1; b b ' x y . b b ', b b ' 1.
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3
a a a (6)a b[ ] b ,0 b b 1,(a Z , b Z ) b b b a a a a a 证明： a b b . b b b b b a a 0 1 0 b b a b b 0 b b 1. a b 又b Z, b a a 注：若记 a b q (余r )，则 b[ ] q , b = r . b b
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二、函数[x]与{x}的一个应用 ——n !的分解 定理2 在n!的标准分解式中质因数 p( p n)的指数h为 n n n h [ ] [ 2 ] [ r ]. p p r 1 p n s 注：若p n, 则[ s ] 0. p 例1 求 20！分解式中质因数2的个数。
解：命题等价于求100!可被10的多少次方整 除．因10=2× 5，而由定理1知100! 中2的指数大 于5的指数，因而100! 中 5 的指数 α就是需求的 100! 末尾全是零的位数．但
故100! 末尾连续地有24位全是数字0．
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n! 是整数， k n). (0 推论2 贾宪数 k !( n k )!
12
题型3.利用不等式放缩到一定范围
1.175页
例题4
2.175页
3.180页
情景再现
A组 第1题
第3题
2012-12-28
13
题型4.把给定的区间分成段。常见的 如[0，1）
1.180页
B组第6题
2.176页
3.177页
例题 6
例题7
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20 20 20 20 20 解： ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 0 [ 2 2 2 2 2
10 5 2 1 18
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例2 求12!的标准分解式。 解：12以内的质数有2，3，5，7，11. 其标准分解式中，各质因数的个数如下：
函数[x]与{x}及其在数论中的应用
一、函数[x]与{x}及其性质 定义： 设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数， 称它为x的整数部分，称{x} = x [x]为x的小数部分.
例如： [2.3] 2,[2.3] 3,[2] 2,[ ] 3,[ ] 4；
2.3 0.3,2.3 0.7,2 0, 0.1415,
16
题型5.厄米特不等式
1.证明方法（构造函数）( P1780 ) 2.结论的记忆及应用。（ P180 第3题)
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补充例题
2012-12-28
Байду номын сангаас
19
例1 求在 200到 500 的整数中， 7 的倍数 有多少个？ 解
500 199 71, 7 28, 7
2012-12-28
4
a (7)设a , b Z , 则在1,2, , a中能被b整除的数有[ ]个. b
证明： 能够被b整除的正整数为b,2b, , 如果在1， ，a中，能够被b整除的正整数有k个, 2，
那么，kb a (k 1)b
a a k k 1 k . b b
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(4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y; 证明：设 x a , x b, y a ', y b '. 则 x y a a ' b b ' a a ' b b ' a a ' x y