2.2连续型随机变量及概率密度

服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试 的成绩等．正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从 正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重 要的地位．
ex7.求 0.05的上侧分位点与双侧分位点.
解 0.05,
由(z0.05 ) 1 0.05 0.95,
同理, P{ X 2 } 2(2) 1 0.9544. P{ X 3 } 2(3) 1 0.9974.
由此可见,在一次试验中随机变量X的取值几乎总是
落在( 3 , 3 )之中. 这就是"3规则".
可见, 服从正态分布N, 2 的随机变量X，虽然理论上可以
取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 , 内的概 率约为68.26 %;落在区间 2, 2 内的概率约为95.44 %,落
查表得z0.05 1.65或1.64;
由( z 0.05
2
)
1
0.05 2
0.975,
查表得z0.05 1.96.
2
四、注意事项及课堂练习 注意区别以下概念：
离散型：概率分布、分布律 连续型：概率密度、分布密度、密度函数
pk
分布函数F ( x)
P{ X
x}
xk
x
x f (t)dt
The end
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
1. 连续型r.v及其密度函数的定义
如果对于随机变量X的分布函数F ( x),存在非负
函数f ( x),使对于任意实数x,有
2. 正态分布的分布函数
若X ~ N ( , 2 ),则X的分布函数为
F
(
x
)
x
1
(t )2
e 2 2 dt.
2
若X ~ N (0,1),则X的分布函数为
(
x)
x
1
t2
e 2 dt.
2
由于(x)是概率密度函数，因此 1
e x2 2
dx
1,
x R . 从而,
有
2
e
x2 2
dx
2
e dx
(2) P{X a} F(a) (a 108) 0.9,
查表得 a 108 1.28,
a
3 111.84.
3
(3) P{| X a | a} P{X 2a} P{X 0}
1 F (2a) F (0)
1 (2a 108) ( 108)
3
3
1 (2a 108) 0.01,
(4) ( x)为偶函数,关于x 0对称,即( x) ( x), f ( x)关于x 对称,即f ( x) f ( x);
(5) ( x) 1 ( x);
证
(
x)
x
1
t2
e 2 dt
2
令t y
x
1
y2
e 2 dy
2
x
x
x
1
x
1
y2
e 2 dy
2
1 ( x).
另外还有几个重要公式：
(4) 可由分布函数求分布密度，对于 F( x)不存在 的点可人为的补充定义.
0 x 0
ex1.设X的分布函数为
F
(
x)
x
0 x 1,
求X的分布密度 f ( x).
1 x 1
解 f ( x) F( x),
而端点处情况可人为规定.
f
(
x)
1 0
0 x1 其它
or
f
(x)
1 0
0 x1 其它 .
其分布函数为:
0,
F
(
x
)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(
x
)
1
e
x
,
x0
0, x 0
其中 0为常数,则称X服从参数为的指数分布.
记为X ~ E( ).
其分布函数为:
F
(
x)
1
e
x
,
x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
P{x1 X x2} (x2 ) (x1)
P{ X x} (x) (x) 2(x) 1
P{ X x} 2[1 (x)]
(6) F ( x) ( x );
证
F ( x) x
1
(t )2
e 2 2 dt
2
t z
x
1
2
z2
e 2 dz
( x ).
注意 若X ~ N ( , 2 ),则
P{ x1
X
x2}
F ( x2 ) F ( x1)
x2 x1
f ( x)dx;
(4) 在f ( x)的连续点处, F ( x) f ( x);
在f ( x)的不连续点处, F( x)不存在;
(用F
(
x0
)
lim
x0
F
(
x0
x) x
F
(
x0
)
证明)
(5) 对任意实数a, P{ X a} F (a) F (a 0) 0;
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f
(
x
)
1 5
e
1 5
x
0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
写出X的分布律并求 P{X 1}.
解 以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间，
x2 2
0
2
上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到．
3. 正态分布的简单性质 (1) f ( x) 0,且具有各阶连续的导函数;
(2) f ( x)在(, )上严格上升,在( ,)上严格下降, 在x 点处达到最大值,
当x 或x 时f ( x) 0;
(3) f ( x)的两个拐点的横坐标为x ;
(2)求a使P{ X a} 0.9;
(3)求a使P{| X a | a} 0.01.
解 (1)P{101.1 X 117.6} F(117.6) F (101.1)
(117.6 108) (101.1 108)
3
3
(3.2) (2.3)
查表
0.9993 0.0107 0.9886.
4. 分位点
设X ~ N (0,1),0 1.
(1)若z满足条件P{ X z } , 则称z为标准正态分布的上侧分位点;
(2)若z 满足条件P{ X z } ,
2
2
则称z 为标准正态分布的双侧分位点.
2
利用(
z
)
1
与
(
z
2
)
1
2
,
可分别求得z
与z
2
.
说明: P{ X z } ,
1. 均匀分布 若 r.vX的概率密度为：
f (x)
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
ab
则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：X ～ U(a, b)
它的实际背景是： r.v X 取值在区间(a, b) 上，并且 取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀分布.
即 z
(
x)dx
且1 (z )
从而(z ) 1
P{ X z } ,
2
即 z
(
2
x)dx
z
2
(
x)dx
且1 (z ) (z ) 2
2
2
从而(
z
2
)
1
2
z
2
(x)
O
z x
(x)
2
O
z x
2
ex5.设X ~ N (108,9) N (108,32 ),
(1)求P{101.1 X 117.6};
ex2.设随机变量X的密度函数为
f
(
x)
a
cos
x
x
2
2
0
其它
求(1)a,(2)F ( x),(3)P{0 X }.
4
解 (1)由 f ( x)dx 1得
1 2a cos xdx 2a,
a 1. 2
2
(2)当x
2
时,
F
(
x)
x
0dx
0;
当
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
时, F ( x)
2
x
f
( x)dx
从而 P{ x1 X x2} P{ x1 X x2}
P{ x1 X x2}
P{ x1 X x2}
x2 x1
f ( x)dx.
注意:
(1) F(x)为连续函数;
(2) 概率为0的事件，不一定是不可能事件；同样地 概率为1的事件，不一定是必然事件.
(3) 对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不 考虑端点的情况，而离散型随机变量得特别注意.
在区间 3 , 3 内的概率99.74%.因此,服从正态分布N, 2
的随机变量X落在区间 3, 3 之外的概率约0.26%,还不到 千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可
能发质生，这就是著名的“3 ”准则．它在实际中常用来作为
量控制的依据． 在自然现象和社会现象中, 大量的随机变量都服从或近似
如果连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
( x )2
e 2 2
( x )
2
其中, ( 0)为常数,则称X服从参数为,的正态 分布或高斯分布. 记为X ~ N ( , 2 ).
特别地,令 0, 1得 ( x)
1
x2
e2
( x )
2
称X服从标准正态分布. 记为X ~ N (0,1).
F( x)
P{ X
x}
x
f
(t )dt
则称X为连续型随机变量,其中函数f ( x)称为X的
概率密度函数,简称概率密度.
2. 概率密度函数的性质
(1) f ( x) 0;
(2)
f
(
x)dx
1;
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
(3)
x
1 2
cos
xdx
1 2
(sin
x
1);
2
当x
时, F ( x)
2
x
f
( x)dx
2
1 cos 2
xdx
1.
2
0
F
(
x)
1
2
(sin
x
1)
1
x
2
x
2
2
x
2
(3)P{0 X } F ( ) F (0) 2 ,
4
4
4
或P{0
X
}
4
04
1 cos 2
xdx
2. 4
二、几种常用的连续型分布
P{a X b} F (b) F (a) (b ) (a ).
用于利用标准正态分布表计算事件的概率.
(7) f ( x) 1 ( x );
(8) 若X ~ N ( , 2 ),Y X ,则Y ~ N (0,1);
(9) 分布密度函数图形中,σ越大,曲线越平坦; σ越小,曲线越尖陡.
Chapter 2(2) 连续型随机变量及概率密度
教学要求：
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一. 连续型随机变量的概率密度 二. 几种常用的连续型分布 三. 正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
(2a 108) 0.99,
3
3
查表得 2a 108 2.33, a 57.495. 3
ex6.设X ~ N ( , 2 ),则 P{ X } P{ X } F( ) F( )
( ) ( )
(1) (1) 2(1) 1 0.6826.
则顾客未等到服务而离去的概率为
p
P{Y
10}
1
e
1 5
x
dx
10 5
e2.
X的分布律为
P{ X k} C5ke2k (1 e2 )5k (k 0,1,2,3,4,5).
P{X 1} 1 P{X 0} 1 C50(1 e2 )5
1 (1 e2 )5.
三、正态分布
1. 正态分布的定义