初等数论练习册
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The objective of the puzzle is to move the entire stack to another rod, obeying the following rules:
• Only one disk may be moved at a time. • Each move consists of taking the upper disk from one of the rods and sliding it onto
学号
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第 2 节 带余数除法、辗转相除法
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）DONALD KUNTH 2、理论计算与证明：
（1）证明 (a,b) = ax0 + by0 ，其中 ax0 + by0 是形如 ax + by （ x, y 是任意整数）的整数里的最 小正数，并将此结果推广到 n 个整数的情形。
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第 2 节 序言（2）
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （2）陈景润 2、理论计算与证明：
1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99 （1）Find the first 200 Ulam numbers
（2）What conjectures can you make about the number of Ulam numbers less than an integer n ？
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第 3 节 预备知识
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介）
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（1）王小云（山东大学） 2、理论计算与证明：
（2）The tower of Hanoi
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第 0 章 序言及预备知识
第一节 序言（1）
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）华罗庚 2、理论计算与证明： （1） 2 是无理数。 （2）Show that there are infinitely many Ulam numbers 3、用 Mathematica 数学软件实现
positive integer n , repeated iteration of this function eventually produces the value 1. 参考文献：Jeffrey C. Lagarias, "The 3x +1 problem and its generalizations".
The Tower of Hanoi or Towers of Hanoi is a mathematical game or puzzle. It consists of three rods, and a number of disks of different sizes which can slide onto any rod. The puzzle starts with the disks in a neat stack in ascending order of size on one rod, the smallest at the top, thus making a conical shape.
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第 6 节 函数[x]与{x}
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1） PAUL ERDO S
2、理论计算与证明：
（1）求 30! 的标准分解式。
（2）求 20!的末尾有多少个零？
（3）设 n 是任一正整数，α 是实数，证明：
（i）
⎡[nα
（3）如果 m, n 是正整数，则 ( fm , fn ) = f(m,n) 。
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第 4 节 最小公倍数、素数与算术基本定理
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）ALTE SELBERG 2、理论计算与证明： （1）若 2n +1是素数，则 n 是 2 的方幂。
（2）若 ax0 + by0 是形如 ax + by ( x, y 是任意整数，a,b 是两个不全为零的整数)的数中的最小 正数，则 (ax0 + by0 ) | (ax + by) 。
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第 1 节 二元一次不定方程
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）整理 Fermat last theorem 的历史过程
2、理论计算与证明
（1）解方程 15x + 25y = 100
（2）证明：二元一次不定方程
ax
+
by
=
N,
a
>
0, b
>
0, (a,b)
=
1
的非负整数解为
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第 1 节 剩余类及完全剩余系、简化剩余系
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）DAVID HILBERT
2、理论计算与证明
（1）证明 ϕ(1) + ϕ( p) + ϕ( p2 ) + ... + ϕ( pα ) = pα , p 为素数。
（1）设
fn
是第
n
个
Fabonacci
数， F
=
⎛1 ⎜⎝1
1⎞
0
⎟ ⎠
，则 Fn
=
⎛ ⎜ ⎝
fn+1 fn
fn fn−1
⎞ ⎟ ⎠
（2）求证：
f1 f2 +
f2 f3 + ... +
f2n−1 f2n
=
f
2
2 n
3、用 Mathematica 数学软件实现
（The tower of Hanoi puzzle）
（1）用数学归纳法证明： n! ≤ nn
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（2）用数学归纳法证明： 2n ≤ n!(n ≥ 4)
3、用 Mathematica 数学软件实现 The 3x + 1 problem, also known as the Collatz problem, the Syracuse problem, Kakutani's problem,
By the definition, 3=1+2 is an Ulam number; and 4=1+3 is an Ulam number (The sum 4=2+2 doesn't count because the previous terms must be distinct.) The integer 5 is not an Ulam number because 5=1+4=2+3. The first few terms are
Hasse's algorithm, and Ulam's problem, concerns the behavior of the iterates of the function which takes odd
integers n to 3n + 1 and even integers n to n . The 3x + 1 Conjecture asserts that, starting from any 2
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第一章 整数的可除性
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第 1 节 整数的整除性
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）素数有无限个的多种证明方法. (2) 欧几里德 高斯 2、理论计算与证明： （1）证明： 3 | n(n +1)(2n +1) ，其中 n 是任何整数。
⎢ ⎣
n
]⎤
⎥ ⎦
=
[α
]
（ii）[α ] + [α + 1] + ... + [α + n −1] = [nα ]
n
n
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第二章 不定方程
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（2）求 (252,198) 。
（3）设 fn+1 和 fn+2 是连续的 Fibonacci 序列， n > 1 ，求证： ( fn+1, fn+2 ) = 1
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第 3 节 最大公约数
another rod, on top of the other disks that may already be present on that rod. • No disk may be placed on top of a smaller disk
参考文献：[1]、http://wipos.p.lodz.pl/zylla/games/hanoi5e.html [2]、http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi
（2）设 a,b, c 都是正整数，则
max{a,b, c} = a + b + c − min{a,b}− min{a, c} − min{b, c}+ min{a,b, c}
由此证明：[a,b, c] = abc(a,b, c) (a,b)(a, c)(b, c)
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A Ulam number is a member of an integer sequence which was devised by Stanislaw Ulam and published in SIAM Review in 1964. The standard Ulam sequence (the (1, 2)-Ulam sequence) starts with U1=1 and U2=2 being the first two Ulam numbers. Then for n > 2, Un is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way 。
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）Fibonacci 2、理论计算与证明： （1）证明两整数 a,b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数 s,t 满足条件 as + bt = 1。
（2）设 m, n 是正整数， a 是大于 1 的整数。证明： (am −1, an −1) = a(m,n) −1。
2、理论计算与证明 （1） 找出被 2,3,5,6,7,9 整除的整数的刻画.
n
∑ （2） 设 a = an10 n +an−110n−1 + ... + a0 , 0 ≤ ai ≤ 9 ，证明：11| a ⇔ 11| (−1)iai i=0
（3） 证明： 641| 232 +1 .
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⎡ ⎢⎣
N ab
⎤ ⎥⎦
或
⎡N ⎢⎣ ab
⎤ ⎥⎦
+1。
（3）解方程 2x + 3y + 4z = 5
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第三章 同余
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第 1 节 同余的概念
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）G.L. DIRICHLET
• Only one disk may be moved at a time. • Each move consists of taking the upper disk from one of the rods and sliding it onto
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第 2 节 带余数除法、辗转相除法
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）DONALD KUNTH 2、理论计算与证明：
（1）证明 (a,b) = ax0 + by0 ，其中 ax0 + by0 是形如 ax + by （ x, y 是任意整数）的整数里的最 小正数，并将此结果推广到 n 个整数的情形。
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第 2 节 序言（2）
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （2）陈景润 2、理论计算与证明：
1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99 （1）Find the first 200 Ulam numbers
（2）What conjectures can you make about the number of Ulam numbers less than an integer n ？
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第 3 节 预备知识
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介）
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（1）王小云（山东大学） 2、理论计算与证明：
（2）The tower of Hanoi
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第 0 章 序言及预备知识
第一节 序言（1）
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）华罗庚 2、理论计算与证明： （1） 2 是无理数。 （2）Show that there are infinitely many Ulam numbers 3、用 Mathematica 数学软件实现
positive integer n , repeated iteration of this function eventually produces the value 1. 参考文献：Jeffrey C. Lagarias, "The 3x +1 problem and its generalizations".
The Tower of Hanoi or Towers of Hanoi is a mathematical game or puzzle. It consists of three rods, and a number of disks of different sizes which can slide onto any rod. The puzzle starts with the disks in a neat stack in ascending order of size on one rod, the smallest at the top, thus making a conical shape.
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第 6 节 函数[x]与{x}
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1） PAUL ERDO S
2、理论计算与证明：
（1）求 30! 的标准分解式。
（2）求 20!的末尾有多少个零？
（3）设 n 是任一正整数，α 是实数，证明：
（i）
⎡[nα
（3）如果 m, n 是正整数，则 ( fm , fn ) = f(m,n) 。
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第 4 节 最小公倍数、素数与算术基本定理
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）ALTE SELBERG 2、理论计算与证明： （1）若 2n +1是素数，则 n 是 2 的方幂。
（2）若 ax0 + by0 是形如 ax + by ( x, y 是任意整数，a,b 是两个不全为零的整数)的数中的最小 正数，则 (ax0 + by0 ) | (ax + by) 。
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第 1 节 二元一次不定方程
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）整理 Fermat last theorem 的历史过程
2、理论计算与证明
（1）解方程 15x + 25y = 100
（2）证明：二元一次不定方程
ax
+
by
=
N,
a
>
0, b
>
0, (a,b)
=
1
的非负整数解为
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第 1 节 剩余类及完全剩余系、简化剩余系
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）DAVID HILBERT
2、理论计算与证明
（1）证明 ϕ(1) + ϕ( p) + ϕ( p2 ) + ... + ϕ( pα ) = pα , p 为素数。
（1）设
fn
是第
n
个
Fabonacci
数， F
=
⎛1 ⎜⎝1
1⎞
0
⎟ ⎠
，则 Fn
=
⎛ ⎜ ⎝
fn+1 fn
fn fn−1
⎞ ⎟ ⎠
（2）求证：
f1 f2 +
f2 f3 + ... +
f2n−1 f2n
=
f
2
2 n
3、用 Mathematica 数学软件实现
（The tower of Hanoi puzzle）
（1）用数学归纳法证明： n! ≤ nn
作业成绩
（2）用数学归纳法证明： 2n ≤ n!(n ≥ 4)
3、用 Mathematica 数学软件实现 The 3x + 1 problem, also known as the Collatz problem, the Syracuse problem, Kakutani's problem,
By the definition, 3=1+2 is an Ulam number; and 4=1+3 is an Ulam number (The sum 4=2+2 doesn't count because the previous terms must be distinct.) The integer 5 is not an Ulam number because 5=1+4=2+3. The first few terms are
Hasse's algorithm, and Ulam's problem, concerns the behavior of the iterates of the function which takes odd
integers n to 3n + 1 and even integers n to n . The 3x + 1 Conjecture asserts that, starting from any 2
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第一章 整数的可除性
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第 1 节 整数的整除性
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）素数有无限个的多种证明方法. (2) 欧几里德 高斯 2、理论计算与证明： （1）证明： 3 | n(n +1)(2n +1) ，其中 n 是任何整数。
⎢ ⎣
n
]⎤
⎥ ⎦
=
[α
]
（ii）[α ] + [α + 1] + ... + [α + n −1] = [nα ]
n
n
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第二章 不定方程
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（2）求 (252,198) 。
（3）设 fn+1 和 fn+2 是连续的 Fibonacci 序列， n > 1 ，求证： ( fn+1, fn+2 ) = 1
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第 3 节 最大公约数
another rod, on top of the other disks that may already be present on that rod. • No disk may be placed on top of a smaller disk
参考文献：[1]、http://wipos.p.lodz.pl/zylla/games/hanoi5e.html [2]、http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi
（2）设 a,b, c 都是正整数，则
max{a,b, c} = a + b + c − min{a,b}− min{a, c} − min{b, c}+ min{a,b, c}
由此证明：[a,b, c] = abc(a,b, c) (a,b)(a, c)(b, c)
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A Ulam number is a member of an integer sequence which was devised by Stanislaw Ulam and published in SIAM Review in 1964. The standard Ulam sequence (the (1, 2)-Ulam sequence) starts with U1=1 and U2=2 being the first two Ulam numbers. Then for n > 2, Un is defined to be the smallest integer that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way 。
1、数论人物、资料查询：（每人物写 600 字左右的简介） （1）Fibonacci 2、理论计算与证明： （1）证明两整数 a,b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数 s,t 满足条件 as + bt = 1。
（2）设 m, n 是正整数， a 是大于 1 的整数。证明： (am −1, an −1) = a(m,n) −1。
2、理论计算与证明 （1） 找出被 2,3,5,6,7,9 整除的整数的刻画.
n
∑ （2） 设 a = an10 n +an−110n−1 + ... + a0 , 0 ≤ ai ≤ 9 ，证明：11| a ⇔ 11| (−1)iai i=0
（3） 证明： 641| 232 +1 .
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⎡ ⎢⎣
N ab
⎤ ⎥⎦
或
⎡N ⎢⎣ ab
⎤ ⎥⎦
+1。
（3）解方程 2x + 3y + 4z = 5
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第 1 节 同余的概念
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