高三数学综合练习(含答案)
2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习
2024学年黑龙江省哈尔滨市重点中学高三数学试题理下学期综合练习请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度2．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．23．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N5．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．16．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，7．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，8．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）AB ．C ．D ．10．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东城区普通高中示范校高三数学综合练习(二)及答案
东城区普通高中示范校高三数学综合练习（二）2012.3命题学校：北京市第十一中学学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集2,{|30},{|1}U A x x x B x x ==-->=<-R ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.}0|{>x xB.}13|{-<<-x xC.}03|{<<-x xD.}1|{-<x x2．已知直线l 过定点（-1，1），则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆122=+y x 相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是 （ ） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥ C ．,βm n m =⊥ α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 4．甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （ ） A.61 B. 92 C. 185 D. 315. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A.（30，42］B.（42，56］C.（56，72］D.（30，72）mO PQ MN6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ） A ．112 B.80 C.72 D.64（第5题图）（第6题图）7. 已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a 8.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是（ ）4π x 2π 2π4π S Oπx 2π 2π4π S Oπx 2π 2πS Oπx 2π 2π4π S Oπ4俯视图 正视图侧视图4 43A B C D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2022-2023学年高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题及答案
北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学2023.5本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{15}A x x =∈-<<N ，{0,1,2,3,4,5}B =，则(A)A ⫋B (B)A B=(C)B A ∈(D)B A⊆（2）已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（A ）1（B（C ）2（D ）4（3）已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（A ）1116（B ）3116（C ）11（D ）31（4）在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转4π，则所得向量对应的复数为(A)(B)(C)1-(D)i-（5）已知点M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（A ）30 （B ）60（C ）120 （D ）150（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（A ）13种（B ）14种（C ）15种（D ）16种（7）设函数22,,(),.x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（A ）(0,4]（B ）[2,4]（C ）[2,+)∞（D ）[4,)+∞（8）“cos 0θ=”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0l x ky +=将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）无数个（10）设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数的底数，则（A ）a b c >>（B ）b a c>>（C ）b c a >>（D ）a c b>>。
北京市丰台区2021-2022学年高三下学期综合练习(一) 数学试题
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{|11}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{|22}x x -<< D.{|22}x x -<≤【1题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.2.已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀>，210x -≤C.1x ∃>，210x -≤D.1x ∃≤，210x -≤【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B.3.若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数，反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件故选：B4.已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（）A.4B.3C.2D.1【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132-=.故选：C.5.若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.15 B.14C.158 D.78【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C6.在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（）A.6π B.3π C.56π D.6π或56π【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种 B.20种 C.30种D.60种【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119-=种.故选：A8.已知F 是双曲线22:148x y C -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（）A.32B.322C. D.6【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=.故选：C9.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a-<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【9题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值()12f =-，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【10题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故2462100n ++++≥ ，即()221002n n +≥，解得14012n -≤或14012n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()f x 2lg x x -+的定义域是_________.【11题答案】【答案】{|02}x x <≤【解析】【详解】∵函数()f x lg x∴要使函数有意义，则20{x x -≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x 的定义域为{}02x x <≤故答案为{}02x x <≤12.已知向量(2,3)a =- ，(,6)b x =-．若a b∥，则=x ______．【12题答案】【答案】4【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =-，(,6)b x =-，a b∥，∴()()2630x -⨯--=，解得4x =.故答案为：4.13.设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【13题答案】【答案】213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数，可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．【14题答案】【答案】①.(1,0)②.5【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y -+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，∴2201001y x --⋅=---，即240x y -+=，又24y x =，∴22404y y -+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=.故答案为：(10),；5.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．【15题答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，11722CMNS = ，∴11117173326B CMN CMN V S h h -=⋅=⨯= ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯= ，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN 的距离是17，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D ∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-= ，整理得291440λλ-+=，∴71319λ+=>（舍去）或7139λ=，故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =，∴当25λ=时，min 455d =，∴故△1PDD 面积的最小值是145452255⨯⨯=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【16~17题答案】【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)226g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF 的值；若不存在，说明理由．【17~18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF =【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE = ，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =- ，()1,0,1DF =- ．设()01DP DF λλ=≤≤ ，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=--设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56=，整理得：232270λλ-+=，解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =．所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56．18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）【18~20题答案】【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X0123P641254812512125112564481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．【19~20题答案】【答案】（1）2214x y +=（2）8[05，【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222243,2,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．【小问2详解】设(,)P m n （22m -<<），由已知得(2,0)A -，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--．令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-()2444n m m -=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=．因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤．所以22(4)4(4)m m ---≤．整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤．所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，．20.已知函数()f x =（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（2）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）y x=（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3ag x =-()x a ≤，所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =．当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a --≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a -∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2(3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2(03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<，由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，．21.已知集合{12}S n = ,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a = ,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．（1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,；②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S = ,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；（3）若12{}m A a a a = ,,,是{12}S n = ,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++ ≥，并指出等号成立的条件．【21~23题答案】【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<< ，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集．②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<< ．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤．由12m a a a <<< ，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．所以121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥L L ．即12(1)2m m n a a a ++++≥L ．等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤．。
2023.5北京东城区 高三二模数学 答案
北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准2023.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D （6）C（7）B（8）C（9）C（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）π12（13）0m =(答案不唯一)（14）717（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin b A a B =，由题设得sin cos02Ba B a -=，2sincos cos 0222B B Ba a -=，因为022B π<<，所以cos 0.2Ba ≠所以1sin22B =.26B π=,3B π=.………………6分（Ⅱ）选条件①：sin sin 2sin .A CB +=因为3,3b B π==，sin sin 2sin .A C B +=由正弦定理得26a c b +==，由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-，解得9ac =.所以1sin 24ABC S ac B ==△．由9,6,ac a c =⎧⎨+=⎩解得3a =.………13分选条件②：c =已知,3,3,3B b c π===由正弦定理得1sin sin 2c C B b ==，因为c b <，所以6C π=,2A π=.223.a b c =+=所以13322ABC S bc ==△．（17）（共14分）解：（I ）由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，，所以AC ⊥平面ABD ．因为BE ⊂平面ABD ，所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE .因为AC AD A =，所以BE ⊥平面ACD ．所以BE CD ⊥.………………6分（II ）设AEADλ=，[0,1]λ∈.取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ，则OD ⊥AB ，OF AC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ，所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD .如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，3)D ．所以(2,0,0)BA =- ，3)AD = ，(2,2,0)BC =- ，(1,3)CD =-，(3)BE BA AE BA AD λλλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,(2)30.x y x z λλ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3x λ=，则3y λ=，2z λ=-.于是(33,2)λλλ=-n .因为直线CD 和平面BCE所成角的正弦值为10，所以||10|cos ,|10||||CD CD CD ⋅<>==n n n ，整理得2826110λλ-+=，解得12λ=或114λ=.因为[0,1]λ∈，所以12λ=，即12AE AD =.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7………3分（Ⅱ）（i）随机变量X 可能的取值为0，1，2．这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.2793(0)7C P X ===；2762(1)7C P X ===；2762(2)7C P X ===．则随机变量X 的分布列为：X 012P372727X 的数学期望32260127777EX =⨯+⨯+⨯=．………11分（ii）DX DY <.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)，所以24p =，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-.所以112 1.2OFM S =⨯⨯=△………………6分（Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠．由24, y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩得222(24)0k x km x m +-+=．由0∆>有10km ->．设1111(,),(,),A x yB x y 则12242km x x k -+=，2122m x x k =．设AB 的中点为00(,)N x y ，则120222x x kmx k+-==.N 到准线的距离20221k km d x k -+=+=，12AB x =-==依题意有2ABd =，222k km k -+=，整理得2220k km m ++=，解得0k m +=，满足0∆>．所以直线(0)y kx m k =+≠过定点(1,0)．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )2x f x x x '=+-，(0)1f '=-，(0)0f =.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.………………5分（Ⅱ）令()()e (sin cos )2x g x f x x x '==+-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，(1)e(sin1cos1)20g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121ef -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.………………11分（Ⅲ）满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e xf x x a +>恒成立等价于sin ex xa x <-恒成立.令()sin e xx x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx-≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，1()e x x h x -'=，()h x '与()h x 的情况如下：x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 1e-所以min 1()(1).eh x h ==-当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1[,0)e-.因为sin [1,1]x ∈-，所以()x ϕ的最小值小于1-且大于2-．所以a 的最大整数值为2-.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由题设知(5){478}A =，，，(5)=3s .………………4分（Ⅱ）依题意()1(12)i s a i n ≥=，，， ，则有11.()i s a ≤因此12111.()()()n n s a s a s a +++≤ 又因为12111()()()n n s a s a s a +++=，所以() 1.i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.………………9分（Ⅲ）依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ≠时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，.同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .………………15分。
高三数学练习题(附答案)
高三数学练习题(附答案)一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
A. 1B. 1C. 3D. 52. 若 $ a^2 + b^2 = 1 $，则 $ a^2 + b^2 + 2ab $ 的最大值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 2 $，$ a_3 = 8 $，求 $ a_5 $。
A. 10B. 12C. 14D. 164. 已知圆的方程为 $ x^2 + y^2 = 4 $，求圆的半径。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 $ \log_2(8) = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题6. 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。
7. 已知等比数列 $ \{b_n\} $，若 $ b_1 = 2 $，$ b_3 = 8 $，求 $ b_5 $。
8. 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则 $ x^2 + y^2 + 2xy $ 的最大值为多少？9. 已知函数 $ g(x) = \sqrt{1 x^2} $，求 $ g(0) $ 的值。
10. 若 $ \log_3(27) = x $，则 $ x $ 的值为多少？三、解答题11. 已知函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x $，求 $ f(x) $ 的极值点。
12. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_5 = 11 $，求 $ a_n $ 的通项公式。
13. 已知圆的方程为 $ (x 1)^2 + (y 2)^2 = 4 $，求圆的圆心坐标。
14. 已知等比数列 $ \{b_n\} $，若 $ b_1 = 1 $，$ b_3 = 8 $，求 $ b_n $ 的通项公式。
15. 已知函数 $ h(x) = \frac{1}{x + 1} $，求 $ h(x) $ 的单调区间。
2023届北京市门头沟区高三下学期4月综合练习(一)数学试题(PDF版)
门头沟区2023年高三年级综合练习（一）高 三 数学答案 2023．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）（1）已知集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----，{||2}B x x =>，则AB =（A ）{4,3,3,4}-- （B）(,2)(2,)-∞-+∞U（C ）{2,1,0,1,2}--（D ）[2,2]-（2）复数(1i)(2+i)z =-+，则||z =（A ） （B）（C ）2（D）3（3）双曲线22221(0,0)y x ab a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（A ） y = （B ）y =（C ） y x = （D ）2y x =± （4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（A ）531尺 （B ）1031尺 （C ）1516尺 （D ）516尺（5）若点M 是圆22:40C x y x +-=上的任一点，直线:20l x y ++=与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则MAB ∠的最小值为（A ）π12 （B ）π4（C ）π3（D ）π6（6）在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sin α=cos()αβ+= （A ）1 （B ）13（C ）13-（D ）1-（7）在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0p 是基准声压为 a p ，p 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（A ）音量同为20dB 的声音，30100Hz 的低频比100010000Hz 的高频更容易被人们听到. （B ）听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. （C ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .（D ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍. （8） 已知非零向量,a b ，则“a 与b 共线”是“||||||||a b a b --≤”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ） 充要条件（D ）即不充分也不必要条件（9）已知函数()e x f x =，若存在0[1,2]x ∈-使得00()()f t x f x t =+-恒成立，则0()b f x t =-的取值范围（A ） 1[0,1]e +（B ）21[1,e 2]e +-（C ） 1[1,1]e+（D ）2[1,e 2]-（10）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.① 数列{}n a 每一项n a 都满足01()n a n *<∈N ≤ ② 数列{}n a 的前n 项和2n S <; ③ 数列{}n a 每一项n a 都满足21n a n +≤成立; ④ 数列{}n a 每一项n a 都满足11()()2n n a n -*∈N ≥.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ） ② ④（C ）①③④ （D ） ①②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．） （11）在26(21)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）（12）在边长为4的正ABC △中，点P 是边BC 上的中点，则AB AP ⋅= ．（13）同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应．由长期的经验知，三家产品的正品率分别为 、 、 ，甲、乙、丙三家产品数占比例为 ，将三家产品混合在一起．从中任取一件，求此产品为正品的概率 .（14）设函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>.①给出一个ω的值，使得()f x 的图像向右平移π6后得到的函数()g x 的图像关于原点对称，ω= ；②若()f x 在区间(0,π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 ．（15）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，已知点P ，Q 分别是线段1AD ，1AC 上的动点(不含端点).其中所有正确结论的序号是 . ①PQ 与1B C 垂直 ;②直线PQ 与直线CD 不可能平行; ③二面角P AC Q --不可能为定值; ④则PQ QC +的最小值是43.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．） （16）（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin 0A a B -=.D 是AB 的中点，2AC =，CD =. （Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求a 的值 .（17）（本小题满分13分）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：以上表中的频率作为概率，求解下列问题.（Ⅰ）如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.（i）求李梦连胜三场的概率；（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p,此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率p最大（不必计算）? 如果无关，请给出简要说明 .（18）（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点.（Ⅰ）证明：PB AC ⊥（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B PC A --的余弦值及点A 到平面BPC 的距离．①AC =② PO BC ⊥AC（19）（本小题满分15分）已知21()ln(1)(R)2f x x x ax a =-++∈． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在(0,0)处的切线方程； （Ⅱ）求证:21ln(1)2x x x ++≥； （Ⅲ）若()0f x ≥在[0,)x ∈+∞恒成立, 求a 的取值范围．21.（本题满分15分）已知集合{1,2,3,,}(3)M n n =±±±±≥．若对于集合M 的任意k 元子集A ，A 中必有4个元素的和为1-，则称这样的正整数k 为“好数”，所有好数的最小值记作()g M ． （Ⅰ）当3n =，即集合{3,2,1,1,2,3}M =---．（i ）写出M 的一个子集B ，且B 中存在4个元素的和为1-； (ii) 写出M 的一个5元子集C ，使得C 中任意4个元素的和大于1-； （Ⅱ）证明：()2g M n >+； （Ⅲ）证明：()3g M n =+．门头沟区2023年高三年级综合练习（一）高 三 数学答案 2023．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）（1）已知集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----，{||2}B x x =>，则AB =（A ）{4,3,3,4}-- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U（C ）{2,1,0,1,2}--（D ）[2,2]-（2）复数(1i)(2+i)z =-+，则||z =（A ） （B）（C ）2（D）3（3）双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（A ） y = （B ）y =（C ） y x = （D ）2y x =± （4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（A ）531尺 （B ）1031尺 （C ）1516尺 （D ）516尺（5）若点M 是圆22:40C x y x +-=上的任一点，直线:20l x y ++=与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则MAB ∠的最小值为（A ）π12 （B ）π4（C ）π3（D ）π6（6）在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sin α=cos()αβ+= （A ）1 （B ）13（C ）13-（D ）1-（7）在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0p 是基准声压为 a p ，p 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（A ）音量同为20dB 的声音，30100Hz 的低频比100010000Hz 的高频更容易被人们听到. （B ）听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. （C ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .（D ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍. （8） 已知非零向量,a b ，则“a 与b 共线”是“||||||||a b a b --≤”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ） 充要条件（D ）即不充分也不必要条件（9）已知函数()e x f x =，若存在0[1,2]x ∈-使得00()()f t x f x t =+-恒成立，则0()b f x t =-的取值范围（A ） 1[0,1]e +（B ）21[1,e 2]e +-（C ） 1[1,1]e+（D ）2[1,e 2]-（10）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.① 数列{}n a 每一项n a 都满足01()n a n *<∈N ≤ ② 数列{}n a 的前n 项和2n S <; ③ 数列{}n a 每一项n a 都满足21n a n +≤成立; ④ 数列{}n a 每一项n a 都满足11()()2n n a n -*∈N ≥.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ） ② ④（C ）①③④ （D ） ①②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．） （11）在26(21)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）答案：12-；（12）在边长为4的正ABC △中，点P 是边BC 上的中点，则AB AP ⋅= ． 答案：3412AB AP ⋅=⨯=（13）同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应．由长期的经验知，三家产品的正品率分别为 、 、 ，甲、乙、丙三家产品数占比例为 ，将三家产品混合在一起．从中任取一件，求此产品为正品的概率 .答案：0.9520.930.85()0.8610n n nP A n ⨯+⨯+⨯==（15）设函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>.①给出一个ω的值，使得()f x 的图像向右平移π6后得到的函数()g x 的图像关于原点对称，ω= ；②若()f x 在区间(0,π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 ． 注：第一空为2分，第二空为3分答案：2ω=；πππ263k k ωω-+=⇒=-；58]33（，；58582333333ππωππω<+≤⇒<≤⇒（，]（15）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，已知点P ，Q 分别是线段1AD ，1AC 上的动点(不含端点).其中所有正确结论的序号是 . ①PQ 与1B C 垂直 ;②直线PQ 与直线CD 不可能平行; ③二面角P AC Q --不可能为定值; ④则PQ QC +的最小值是43.其中所有正确结论的序号是 .答案：①④三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）（16）（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin 0A a B -=.D 是AB 的中点，2AC =，CD =. （Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求a 的值 .解：（Ⅰ）由cos sin 0A a B -=得：cos sin sin 0sin 0B A A B A A +=-=πtan 3A A =⇒=（Ⅱ）由余弦定理得： 2212422cos2803AD AD AD AD π=+-⨯⇒--=解得：4AD =，则8AB =，由余弦定理得：2464228cos 523BC BC π=+-⨯⨯=⇒=（17）（本小题满分13分）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：以上表中的频率作为概率，求解下列问题.（Ⅰ）如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.（i ）求李梦连胜三场的概率；（ii ）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X ，求X 的分布列与期望； （Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p ,此概率p 与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率p 最大（不必计算）?AB如果无关，请给出简要说明 .解：（Ⅰ）设李梦连胜三场这一事件为A ，则()0.20.50.80.08P A =⨯⨯= （Ⅱ）X 可取0，1，2，3，则：(0)0.80.50.20.08P X ==⨯⨯=(1)(10.2)(10.5)0.8(10.2)0.5(10.8)0.2(10.5)(10.8)0.42P X ==-⨯-⨯+-⨯⨯-+⨯-⨯-= (2)(10.2)0.50.80.2(10.5)0.80.20.5(10.8)0.42P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= (3)0.20.50.80.08P X ==⨯⨯=期望：00.0810.4220.4230.08 1.5EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）有关；李梦第二场与弟弟比赛的概率p 最大 。
高三数学一轮复习《函数的应用》综合复习练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数的应用》综合复习练习题（含答案）一、单选题 1．函数2ln y x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(,1)eB ．(1,2)C ．(2,e)D ．(e,)+∞2．已知函数()2sin 4f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间()0,π上有零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2,2-B ．(2,2⎤-⎦C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．)2,2⎡-⎣3．已知函数()()32,0log ,0x x f x x k x +<⎧=⎨+≥⎩，则“(],3k ∈-∞”是“函数()()1F x f x =-有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE ）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数CRF I 对计算度电成本具有重要影响．等年值系数CRF I 和设备寿命周期N 具有如下函数关系()()CRF 0.05111NNr I r +=+-，r 为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ） A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.085．已知函数()f x 的图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．3()e ex x x f x -=+B ．3e e ()x xf x x -+=C ．2()e e x x x f x -=-D ．3e e ()x xf x x --=6．已知函数2ln ,0,()=2,0.xx f x x x x x ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，若()()g x f x a =-有3个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．{}10,1e ⎛⎫⋃- ⎪⎝⎭7．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）([120,500])x ∈之间的函数关系可近似表示为[)[]3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） A ．120B ．200C ．240D ．4008．已知函数()232,1,42,1,x x x f x x x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩则函数()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．若函数()2ln f x x x ax =-在区间()0,∞+上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(],0-∞C ．(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有()()11f x f x -=+，当[)0,1x ∈时，()2121x x f x -=+，已知21,1518k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则函数()()13g x f x kx =--在()1,6-上的零点个数为（ ）A ．4个B ．5个C ．3个或4个D ．4个或5个11．已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(],1-∞D ．(],2-∞12．设函数()2sin()1(0,0)2f x x πωϕωϕ=+->的最小正周期为4π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（ ）A ．50,312ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B ．0,,432πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．50,612ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．0,,632πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦二、填空题13．已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 14．以模型()e0kxy c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则c =______．15．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 16．设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=_____________附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9544P μσξμσ-<≤+≈．三、解答题 17．已知函数22()1=-f x x ． (1)求()f x 的零点；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由； (3)证明()f x 在(0,)+∞上是减函数．18．已知函数4()12x f x a a =-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.19．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足以下条件：①()y f x =在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[],a b D ⊆，使()y f x =在[],a b 上的值域是[],a b ，那么我们把函数()()y f x x D =∈叫做闭函数．(1)判断函数()()110g x x x=->是不是闭函数？（直接写出结论，无需说明理由） (2)若函数()()2111h x x m x m=-++>0为闭函数，则当实数m 变化时，求b a -的最大值． (3)若函数()1e ln 112xx x x k x φ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭为闭函数，求实数k 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数，e 2.7≈）20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在=1x -处取得极值． (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()()1g x f x m =+-有三个零点，求m 的取值范围．21．已知函数()()24f x x x a x =-+∈R .(1)若(1,3)x ∈时，不等式2log ()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程(21)(2)|21|80x x f a +++-+=有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围.22．已知函数()ln f x x x =-. (1)求证：()1f x ≤-； (2)若函数()()()xxh x af x a e =+∈R 无零点，求a 的取值范围.23．辆高速列车在某段路程中行驶的速率v （单位：km /h ）与时间t （单位：h ）的关系如图所示．(1)求梯形OABC 的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)记梯形OABC 位于直线()04t a a =<≤的左侧的图形的面积为()g a ，求函数()y g a =的解析式，并画出其图象．24．已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)函数()f x 在区间(),1k k +()k N ∈上有零点，求k 的值；(3)记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k-≥恒成立，求实数k 的取值范围。
高三数学综合练习综合练习(二)
高三数学综合练习综合练习（二）第Ⅰ卷 (选择题共40分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式S ＝4πR 2 ， 球的体积公式 V = 43πR 3，其中R 表示球的半径.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 满足条件{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M 的个数是 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2) 设条件p ：|x |= x ；条件q ：x 2+x ≥0，那么p 是q 的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）非充分非必要条件 (3) 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是 （ ）（A ）45° （B ）60° （C ）75° （D ）90° (4) 要得到函数y =2sin(2x -3π)的图像，只需将函数y =2sin2x 的图像 （ ）（A ） 向左平移3π个单位 （B ） 向右平移3π个单位 （C ） 向左平移6π个单位（D） 向右平移6π个单位(5) 将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30，所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）（A ） 直线与圆相离 （B ） 直线与圆相交但不过圆心 （C ） 直线与圆相切 （D ） 直线过圆心(6) 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有 （ ）A B C DA 1B 1C 1D 1E F（A ）12种 （B ）30种 （C ）36种 （D ）42种(7) 椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中22b a c -=. 则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）（A ）]2,33[２ （B ）)1,22[ （C ）)1,33[ （D ）)21,31[ (8) 数列{}n a 中，11a =，1,n n a a +是方程21(21)0nx n x b -++=的两个根，则数列{}n b 的前n 项和n S = （ ） （A ）121n + （B ）11n + （C ） 21nn + （D ）1n n +第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) lg8+3lg5的值为 . (10) 已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解是 .(11) 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是 ，三棱柱的体积是 .(12) 定义运算()() ,.a a b a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则对x ∈R ，函数f (x )=1*x 的解析式为f (x )= .(13) 已知222lim2x x cx a x →++=-，则c = ， a = . (14) 一个总体中的100个个体号码为0，1，2，…，99，并依次将其分为10个小组。
高三数学练习题及答案
高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。
A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。
A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。
A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。
2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。
3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。
4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。
5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。
三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。
2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。
4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。
5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。
6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。
7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习(一)数学试题试卷
山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习（一）数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 4．已知函数2,0()4,0xx f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．37．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．9289．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．128011．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-12．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市丰台区高三下学期综合练习(二)数学试卷含详解
北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，则()()UUA B ⋂=痧（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}4,5 D.{}1,2,32.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)-，则z =（）A.1i+ B.1i-+ C.1i - D.1i--3.已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =，则4a =（）A.2B. C.4D.4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()1||f x x =B.()22xxf x -=+ C.()sin f x x= D.()tan =f x x5.若,a b ∈R ，且a b >，则（）A.221111a b <++ B.22a b ab >C.22a ab b >> D.2a ba b +>>6.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥7.已知函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x =-'的图像如图所示，那么,ωϕ的值分别为（）A.1，0B.π1,4-C.π1,4D.π2,4-8.已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是（）A.当1k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点B.当1k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点C.当2k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点D.当2k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9.已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为,PB αα⊥，则椭圆1O 的离心率为（）A.32B.63C.22D.33第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log 1xf xg x x ==+，那么()()0f g =______．12.若)4117+=+=a ______．13.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为,BC CD 的中点，点G 在BF 上，则AE AG ⋅=______．14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,M N 分别为11,BB DD 的中点，α为过直线MN 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则3sin 3θ=．15.设函数(),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩给出下列四个结论：①当0m =时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；②若函数()f x 有且仅有两个零点，则0m >；③当0m <时，若存在实数,a b ，使得()()f a f b =，则a b -的取值范围为()2,+∞；④已知点(),0P m -，函数()f x 的图象上存在两点()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上．若12322PQ PQ +=，则1m =．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16.已知ABC满足cos 2A A +=．（1）求A ；（2）若ABC 满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC 的面积．条件①：2a b -=；条件②：cos 14B =；条件③：8c =．17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1BB 中点，直线11B C 与平面1AD E 交于点F ．（1）证明：F 为11B C 的中点；（2）若直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，求二面角11A AD F --的余弦值．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a ，有两种偏振状态的可能性为b ，有三种偏振状态的可能性为c ，试比较,,a b c 的大小关系．（结论不要求证明）19.已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．20.已知两点()()121,0,1,0F F -，曲线Ω上的动点M 满足12122MF MF F F +=，直线2MF 与曲线Ω交于另一点N ．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x 轴的交点分别为,A B （点A 在点B 的左侧，且M 不与,A B 重合），直线AM 与直线BN 交于点P ．当点B 为线段NP 的中点时，求点N 的横坐标．21.将数列0:1,2,3,4,N ⋅⋅⋅中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A ⋅⋅⋅，此时数列0N 中剩下的项构成数列1:2,3,5,6,N ⋅⋅⋅；再将数列1N 中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A ⋅⋅⋅，剩下的项构成数列2N ；…．如此操作下去，将数列()*1k N k -∈N 中项数为平方数的项依次选出构成数列k A ，剩下的项构成数列k N ．（1）分别写出数列34,A A 的前2项；（2）记数列m A 的第n 项为(),f m n ．求证：当2n ≥时，()(),,122f m n f m n n m --=+-；（3）若(),108f m n =，求,m n 的值．北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学2024.04第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，则()()UUA B ⋂=痧（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}4,5 D.{}1,2,3【答案】C【分析】由补集和交集的定义求解.【详解】集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,2,3U A B ===，{}2,4,5U A =ð，{}1,4,5U B =ð，()(){}4,5U U A B ⋂=痧.故选：C2.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)-，则z =（）A.1i + B.1i-+ C.1i- D.1i--【答案】A【分析】依据题意可得复数z ，然后根据共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数z 的对应点为(1,1)-，则1z i =-所以1z i =+故选：A【点睛】本题考查共轭复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.3.已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =，则4a =（）A.2B.C.4D.【答案】C【分析】根据题意，分别取1p q ==，2p q ==然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，取1p q ==，则2112a a a =⋅==，取2p q ==，则422224a a a =⋅=⨯=，则44a =.故选：C4.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()1||f x x = B.()22xxf x -=+ C.()sin f x x= D.()tan =f x x【答案】B【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD 选项，利用()0f x '>判断B 选项即可.【详解】对于A ，因为()()11f x f x x x -===-，所以是偶函数，当()0,x ∞∈+时，()11f x x x==，是反比例函数，在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为()()22xx f x f x --=+=，所以是偶函数，当()0,x ∞∈+时，()()22ln 2xxf x -=-'，0,21,021x x x ->∴><< ，()0f x ∴'>，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()()()sin sin =f x x x f x -=-=--，所以是奇函数，当()0,x ∞∈+时，()sin f x x =不单调，故C 错误；对于D ，因为()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，当()0,x ∞∈+时，()tan f x x =不是单调递增函数，故D 错误；故选：B.5.若,a b ∈R ，且a b >，则（）A.221111a b <++ B.22a b ab >C.22a ab b >> D.2a ba b +>>【答案】D【分析】举反例即可求解ABC ，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由于a b >，取1,1a b ==-，22111112a b =++=，221a b ab ==，无法得到221111a b <++，22a b ab >，故AB 错误，取0,2a b ==-,则220,0,4a ab b ===，无法得到22a ab b >>，C 错误，由于a b >，则22a b a b >+>，所以2a ba b +>>，故选：D6.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥【答案】B【分析】利用给定条件得到n m ，判断A ，利用给定条件得到m n ⊥判断B ，举反例判断C ，D 即可.【详解】对于A ，若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则n m ，故A 错误，对于B ，若,,m n αβαβ⊂⊥∥，则m n ⊥，故B 正确，对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则,m n 可能相交，平行或异面，故C 错误，对于D ，若,,m n αβαβ⊥⊂∥，则,m n 可能相交，平行或异面，故D 错误.故选：B7.已知函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x =-'的图像如图所示，那么,ωϕ的值分别为（）A.1，0B.π1,4-C.π1,4D.π2,4-【答案】A【分析】根据题意，求导可得()()cos f x x ωωϕ'=+，从而可得()()y f x f x '=-的解析式，再结合函数图像代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，则()()cos f x x ωωϕ'=+，则()()()()co sin s y f x f x x x ωωϕωϕ'=+=-+-()x ωϕθ=+-⎡⎤⎣⎦，其中tan 1ωθω==，，即=，且0ω>，所以1ω=，π4θ=，即π4y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又函数过点()0,1-，将点()0,1-代入可得π14ϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ππ32,2k k ϕ=+∈Z ，或2π2π,k k ϕ=+∈Ζ，又ππ22ϕ-<<，则当ππ32,2k k ϕ=+∈Z 时，无解，当2π2π,k k ϕ=+∈Ζ时，1k =-，则0ϕ=，所以1ω=，0ϕ=.故选：A8.已知曲线2:1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是（）A.当1k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点B.当1k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点C.当2k =时，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点D.当2k =时，存在R b ∈，曲线C 与直线l 恰有三个公共点【答案】C【分析】根据曲线C 的对称性，分别讨论当直线l 与曲线C 的上、下半部分相切时b 的取值即可求解.【详解】曲线2:1C y x =+的图象如图所示，若1k =，当直线l 与曲线上半部分相切时，由21y x y x b⎧=+⎨=+⎩整理得210x x b -+-=，由()()2Δ14110b =--⨯⨯-=得34b =，当直线l 与曲线下半部分相切时，由21y x y x b⎧=--⎨=+⎩整理得210x x b +++=，由()2Δ1410b =-⨯+=得34b =-，结合曲线C 图象的对称性可得，当34b =或34b =-时，曲线C 与直线l 有一个交点，当3344b -<<时，曲线C 与直线l 没有交点，当34b >或34b <-时，，曲线C 与直线l 有两个交点，AB 说法错误；若2k =，当直线l 与曲线上半部分相切时，由212y x y x b⎧=+⎨=+⎩整理得2210x x b -+-=，由()()2Δ24110b =--⨯⨯-=得0b =，当直线l 与曲线下半部分相切时，由212y x y x b⎧=--⎨=+⎩整理得2210x x b +++=，由()2Δ24110b =-⨯⨯+=得0b =，结合曲线C 图象的对称性可得，对于任意的R b ∈，曲线C 与直线l 恰有两个公共点，C 说法正确，D 说法错误，故选：C9.已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.【详解】对于充分性，已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当“πd =”时，集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素{}11sin ,sin S αα=-，故充分性成立，对于必要性，当3πd =时，“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N也恰有两个元素”，故必要性不成立，故“πd =”是“集合{}*sin ,nS x x n α==∈N 恰有两个元素”的充分而不必要条件.故选：A10.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为,PB αα⊥，则椭圆1O 的离心率为（）A.32B.63C.22D.33【答案】D【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得134PO PQ=，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的,,a b c ，结合椭圆的离心率即可得到结果.【详解】设2AB r =，由于PB α⊥，所以PB AM ⊥，在等边三角形PAB 中，点M 为PB 的中点，于是3AM r =，在平面α中，由椭圆的对称性可知，1132AO MO r ==，连接11,OO PO ，延长1PO 与AB 交于点Q ，由于1,O O 为中点，所以在ABM 中，13,2PM r MO r ==，由勾股定理可得2222113722PO PM MO r r ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，在PQO 中，3PO r =，172PO r =，112OO r =，由余弦定理可得222222111171332144cos 2147232r r r PO PO OO OPO PO POr r+-+-∠==⋅⨯⨯，在Rt PQO △中，由于1cos PO OPO PQ∠=，所以137cos 332114PO r PQ OPO ===∠，于是有17324273r PO PQ r ==，设椭圆1O 短轴的两个顶点为,G H ，连接,PG PH 分别交圆锥于,E F ，由于PGH PEF ∽，所以134PG PO PEPQ==，由于PE 为圆锥母线，所以2PE PA r ==，从而有3332442PG PE r r ==⨯=，在1Rt PGO中，由勾股定理可得12GO r ==，所以在椭圆1O中，12a MO r ==，12b GO ==，则12c ==，则离心率为12332r c e a ====.故选：D【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得,a b ，从而得到结果.第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数()()()22,log 1xf xg x x ==+，那么()()0f g =______．【答案】1【分析】先求出()0g ，再求()()0f g 即可.【详解】易知()()20log 010g =+=，故()()()00021f g f ===，故答案为：112.若)4117+=+=a ______．【答案】12【分析】根据题意，将)41+展开计算，即可得到结果.【详解】)(42131717=+=++，所以12a =.故答案为：1213.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为,BC CD 的中点，点G 在BF 上，则AE AG ⋅=______．【答案】4【分析】根据向量的线性运算可得11,122AE AB AD AG AB AD λλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，即可利用数量积的运算律求解.【详解】设BG BF λ=,则()1111122222AE AG AB AD AB BF AB AD AB AD AB AB AD AB AD λλλλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+-=+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2211311111444224222AB AB AD AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅+=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：414.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,M N 分别为11,BB DD 的中点，α为过直线MN 的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结论是______命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为33②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则3sin 3θ=．【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）【分析】选①，根据四边形11BDD B 的面积即可判断，选②，根据三棱锥111A AD B -为正三棱锥，利用等体积法求解1AA 与平面11AD B 所成角的正弦值即可求解②.【详解】若选①，平面11BDD B 是过直线MN 的平面．此时四边形11BDD B 即为该平面截正方体所得截面，由于四边形11BDD B 的面积为1233BD BB ⋅>=,故①为假命题，若选②，由于三棱锥111A AD B -为正三棱锥，所以1111,,A A A B A D 与平面11AD B 所成角均相等，故平面α//平面11AD B ，设1A 到平面11AD B 的距离为h，则1111111111111111111222·2··AD A A AD B B AD A AD B AD A AD B S A B V V S h S A B h S --⨯⨯⨯=⇒=⇒=所以1AA 与平面11AD B所成角的正弦值为13h AA =，故sin 3θ=，②为真命题故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）15.设函数(),0,0.x m x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩给出下列四个结论：①当0m =时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；②若函数()f x 有且仅有两个零点，则0m >；③当0m <时，若存在实数,a b ，使得()()f a f b =，则a b -的取值范围为()2,+∞；④已知点(),0P m -，函数()f x 的图象上存在两点()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上．若12322PQ PQ +=，则1m =．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【分析】根据0x ≥时，()0f x =即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时2a b -→，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断0m >，继而根据对称性联立方程得==，根据122PQ PQ +=可得2132x x -=，代入即可求解④.【详解】当0m =时，0x ≥时，()0f x =，故在(),∞∞-+上不是单调递减，①错误；对于②，当0m =显然不成立，故0m ≠，当0x ≥时，令()0f x =，即0=，得0x =，0,0x x m x m <+=⇒=-，要使()f x 有且仅有两个零点，则0m -<，故0m >，②正确，对于③,当0m <时,(),0,0.x m x f x x --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,此时()f x 在(),0-∞单调递减，在[0,+∞）单调递增，如图：若()()f a f b =，由2m x -=⇒=，故2a b ->，所以a b -的取值范围为()2,∞+；③正确对于④,由①③可知：0m ≤时，显然不成立,故0m >，要使()()()11122212,,,0Q x y Q x y x x <<，12,Q Q 关于坐标原点O 的对称点也在函数()f x 的图象上，则只需要0,x y x m >=--的图象与()0,x f x ≥=故120x m x <-<<，))12121221322PQ PQ m x m m x x m x x +=-++=++=⇒-=，由对称可得()111f x x m x m -==---=+，化简可得10x m ++=，故20m =⇒()222f x x m x m -==---=--，化简得20m +==由于12,x x--均大于0==，因此222221x x⎛-=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==由于0m>，()43142f m m m=+为()0,+∞单调递增函数，且()912f=，此时2132x x-==，因此1m=，④正确，故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.16.已知ABC满足cos2A A+=．（1）求A；（2）若ABC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求ABC的面积．条件①：2a b-=；条件②：7cos14B=；条件③：8c=．【答案】（1）π3（2）见解析.【分析】（1）根据辅助角公式可得πsin16A⎛⎫+=⎪⎝⎭，即可求解π3A=，（2）选择①②，根据正弦定理可得b a=>与2a b-=矛盾，即可求解，选择②③，根据71cos142B=<,故π3B >，a b <，这与2a b -=矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式即可求解，选择①③，根据余弦定理可得5b =，7a =，即可由面积公式求解.【小问1详解】cos 2A A +=得π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππ2π2π,Z 623A k A k k +⇒∈=+=+,由于()0,πA ∈，所以π3A =【小问2详解】若选①2a b -=，②7cos 14B =，则7π321cos 0,sin 14214B B B ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭，,由正弦定理可得3213sin sin 142a b a b b a A B =⇒⇒=>=，这与2a b -=矛盾，故不可以选择①②，若选①2a b -=，③8c =，由余弦定理可得()222222821cos 2216b b c b a A bc b+-++-===，解得5b =，7a =，此时2224964257cos 227814a cb B ac +-+-==≠⨯⨯，不满足②，符合题意；此时113sin 58222ABC S bc A ==�△选②7cos 14B =，③8c =，由于7πcos 0,142B B ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭,又71cos 142B =<,故π3B >，而π3A =，故a b <，这与①2a b -=矛盾，因此可以选择②③；则321sin 14B =，()21sin =sin sin cos cos sin 7C A B A B A B +=+=，由正弦定理可得8sin =sin 217c Aa C==所以11sin 82214ABC S ac B △==创�.17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为1BB 中点，直线11B C 与平面1AD E 交于点F ．（1）证明：F 为11B C 的中点；（2）若直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，求二面角11A AD F --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66【分析】（1）根据线面平行的性质定理判断；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定E 点位置，再由空间向量法求二面角．【小问1详解】如图，连接1BC ，1,FE FD ，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，由AB 与11C D 平行且相等得11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，又1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，所以1//BC 平面1AD E ，1BC ⊂平面11BCC B ，平面1AD E 平面11BCC B EF =，所以1//BC EF ，E 是1BB 中点，所以F 是11B C 的中点；【小问2详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AA m =（0m >），则(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,0,)D m ，(1,1,2mE ，(1,1,0)AC =- ，1(1,0,),(0,1,)2mAD m AE =-= ，设平面1AD E 的一个法向量是(,,)t x y z =，则102t AD x mz mt AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(,,1)2m t m =- ，因为直线AC 与平面1AD E 所成的角为π3，所以πcos ,sin3t ACt AC t AC⋅==，解得2m =（负值舍去），所以(2,1,1)t =-，平面11AA D 的一个法向量是(0,1,0)n =，平面1AD F 即为平面1AD E ，则6cos ,6t n t n t n ⋅===- ，二面角11A AD F --为锐角，因此其余弦值为66．18.激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a ，有两种偏振状态的可能性为b ，有三种偏振状态的可能性为c ，试比较,,a b c 的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）分布列见解析，()1E X =（3）a c b<<【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.（2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.（3）依据题意猜测结论即可.【小问1详解】设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件A ，易知共有3个基本事件，则1()3P A =．【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3.328(0)()327P X ===，123124(1)C (339P X ==创=，223122(2)C ()339P X ==创=，33311(3)C ()327P X ==´=，所以，X 的分布列如下：X0123P82749291278421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】结论：a c b<<证明：易知3113(39a =⨯=，3126(39c =⨯=，3166()39b =3⨯⨯=，故a c b <<得证.19.已知函数()()222ln 0f x a x x a =+≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3y =（2）340e a -<<或20a -<<【分析】（1）求导，代值可得()()10,13f f '==，即可求解切线，（2）求导得()()()21f x x+'=，对a 分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求解.【小问1详解】当1a =时，()2ln f x x x =+，则()21f xx'=，所以()()10,13f f '==，故()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为3y =【小问2详解】()()()()()22202102x a f x a a xxx x +'=+==≠>，当0a >时，则20+>，令()0,f x '>则21x a>，令()0,f x '<则210x a <<，故()f x 在21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在210,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故当21x a=，()f x 取极小值也是最小值，则222211122ln 34ln f a a a a a ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又当(),,x f x →+∞→+∞且()0,x f x →→+∞，故要使函数()f x 有两个零点，只需要()min 34ln 0f x a =+<，解得340e a -<<；当0a <时，则10<，令()0,f x '>则24x a >，令()0,f x '<则240x a<<，故()f x 在24,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在240,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故当24x a =，()f x 取极小值也是最小值，则222222444422ln 2ln 4ln 22ln f a a a a a a ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，又当(),,x f x →+∞→+∞且()0,x f x →→+∞，故要使函数()f x 有两个零点，只需要()2min 4ln 22ln 0f x a =-+<，解得20a -<<；综上可得340e a -<<或20a -<<.20.已知两点()()121,0,1,0F F -，曲线Ω上的动点M 满足12122MF MF F F +=，直线2MF 与曲线Ω交于另一点N ．（1）求曲线Ω的方程；（2）设曲线Ω与x 轴的交点分别为,A B （点A 在点B 的左侧，且M 不与,A B 重合），直线AM 与直线BN 交于点P ．当点B 为线段NP 的中点时，求点N 的横坐标．【答案】（1）22143x y +=（2）0【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理12122269,3434t y y y y t t --+==++，即可根据中点关系以及向量共线得2135y y -=，代入韦达定理中即可求解213t =，进而可求解.【小问1详解】由于121212242MF MF F F F F +==>=，所以M 是以()()121,0,1,0F F -为焦点，以4为长轴长的椭圆，故2,1==⇒=a cb 故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】由于MN 斜率不为0，故设直线MN 方程为：1x ty =+，联立()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2,0,(2,0)A B -,由于点B 为线段NP 的中点，则()224,P x y --，又P 是直线AM 与直线BN 的交点，所以//AP AM,()()22116,,2,AP x y AM x y =--=+,故()()212162x y y x -=-+，()()22121121353535y ty y y ty y y y --=-+⇒=-⇒=，将2135y y -=代入12122269,3434t y y y y t t --+==++可得22222223235569,35434t y y t y y t --=-==-+++，故2225695234343t t t ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得213t =，故222953343y t --⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭，由2222143x y +=可得20x =，故点N 的横坐标为0.21.将数列0:1,2,3,4,N ⋅⋅⋅中项数为平方数的项依次选出构成数列1:1,4,9,16,A ⋅⋅⋅，此时数列0N 中剩下的项构成数列1:2,3,5,6,N ⋅⋅⋅；再将数列1N 中项数为平方数的项依次选出构成数列2:2,6,12,20,A ⋅⋅⋅，剩下的项构成数列2N ；…．如此操作下去，将数列()*1k N k -∈N 中项数为平方数的项依次选出构成数列k A ，剩下的项构成数列k N ．（1）分别写出数列34,A A 的前2项；（2）记数列m A 的第n 项为(),f m n ．求证：当2n ≥时，()(),,122f m n f m n n m --=+-；（3）若(),108f m n =，求,m n 的值．【答案】（1）3A 的前2项为3，8；4A 的前2项为5，11；（2）证明见解析；（3）6,8.m n ==【分析】（1）直接利用数列定义求解；（2）证明{}(,)(,1)f m n f m n --为等差数列即可求解；（3）先利用数学归纳法证明22(22,1)1,(212,1) 1.f n i i n i f n i i n n i -+=+++-+=+++进而求得(,)f m n 的表达式，利用累加法再解方程求解【小问1详解】数列3A 的前2项为3，8；数列4A 的前2项为5，11；【小问2详解】首先2(1,)f n n =，当2n ≥时，(1,)(1,1)21f n f n n --=-结论成立；当2m ≥时，对于相邻的两个数列：1:(1,1),(1,2),,(1,1),(1,),,:(,1),(,2),,(,1),(,),,m m A f m f m f m n f m n A f m f m f m n f m n ------- 149162536496426122030425672381524354863805111929415571897142334476279981018284054708810813223346617897118172739536987107129因为(,1),(1,)f m n f m n --都在数列2m N -中，且(,1)f m n -在(1,)f m n -之前，所以(,1)(1,)f m n f m n -<-在数列1,m m A A -中，必有(1,)(,)f m n f m n -<，所以(,1)(1,)(,)f m n f m n f m n -<-<，所以(,)(,1)(1,)(1,1)1f m n f m n f m n f m n --=----+所以{}(,)(,1)f m n f m n --构成首项为(1,)(1,1)21f n f n n --=-，公差为1的等差数列，所以(,)(,1)(21)(1)2 2.f m n f m n n m n m --=-+-=+-【小问3详解】由各个数列生成的规则知，{}2221,2,,2n n n n +++ 中不可能有两个元素是同一数列的项．从上面的表格，我们猜想：集合{}2221,2,,2n n n n +++ 中的每个元素，且仅是数列2321,,,n A A A + 中某个数列的项.具体地可概括成结论P ：对任意,n *∈N ,1i i n ∈-N ≤，有22(22,1)1,(212,1) 1.f n i i n i f n i i n n i -+=+++-+=+++下面用数学归纳法证明：(i)当1n =时，(2,1)2,(3,1)3,f f ==由题意数列23,A A 的首项分别是2,3，结论成立；(ii)假设当N ()n k k *=∈时，结论成立，即对N,1i i k ∀∈-≤，22(22,1)1,(212,1)1f k i i k i f k i i k k i -+=+++-+=+++那么由第（2）问的结论知：当N,1i i k ∈≤-时，(22,2)(22,1)2(2)(22)2f k i i f k i i i k i -+=-++++--22(1)22(1)2k i k k i =++++=+++,[](212,2)(212,1)2(2)2122f k i i f k i i i k i +-+=+-+++++--2(1)(23)k k i k =+++++2(1)(1)2k k i =+++++,上式表明，集合{}222(1)1,(1)2,,(1)2(1)k k k k +++++++ 中除了22(1)1,(1)(2)k k k +++++的每一个元素都是数列2321,,,k A A A + 中的某个数列的项，还剩下两个元素：22(1)1,(1)(2)k k k +++++，它们必是数列2223,k k A A ++的首项，结果只有22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1f k k f k k k +=+++=++++.根据(1)(2)知，结论P 成立.由结论P 可得，数列2k A 的首项为21k +，21k A +的首项为21k k ++，即22221,1,44(,1)(1)111,,1,,424m m m m f m m m m m m ⎧⎧++⎪⎪⎪⎪==⎨⎨---⎪⎪+++⎪⎪⎩⎩为偶数，为偶数，为奇数为奇数另一方面，由第（2）问的结论：(,)(,1)22f m n f m n n m --=+-得：(,2)(,1)2f m f m m -=+，(,3)(,2)4f m f m m -=+，…(,)(,1)22f m n f m n n m --=+-，相加得：(,)24(22)(1)(1)()(,1)f m n n n m n n m f m =+++-+-=-++ ，当1n =时，上式也成立．所以22(1)(1)(),4(,)1(1)(1)(),.4mn n m m f m n m n n m m ⎧++-+⎪⎪=⎨-⎪++-+⎪⎩为偶数，为奇数221,211,.24m n n m mn n m ⎧⎛⎫+-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩为偶数，为奇数令2(1)1082m n n +-+=，则2(1)108,2mn n +-=-所以(1)2mn =--．由12m≥得2108n n +≤，所以9n ≤，所以108[99,107)n -∈，10=.所以8n =(81)3-=，所以6m =；令21(1)10824m n n +-+-=，有2(22)4334m n n +-=-，22m n =-．由m 1≥得2108n ≤，所以10n ≤．所以4334(393,429)n -∈*,N 无解.综上，当(,)108f m n =时，6,8.m n ==【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，关键是利用数学归纳法得22(22,1)(1)1,(23,1)(1)(1)1f k k f k k k +=+++=++++，进而得到(,)f m n 的表达式.。
北京市东城区2024届高三下学期综合练习(一)(一模)数学试题(含答案与解析)_4942
北京市东城区2023~2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A 3B.13C. 3-D. 13-4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m8. 设等差数列{}n a 公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD所成的角为.的θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______. 13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试在判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，的(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð【答案】D 【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð. 故选：D.2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <【答案】C 【解析】【分析】举出反例即可判断ABD ，利用作差法即可判断C. 【详解】当2,1a b =-=时，11,lg >lg a b a b<，故AD 错误； 当2,1a b =-=-时，221ab b =>=，故B 错误；对于C ，因a b <，所以0a b -<，因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，为则()()()3322213024a b a b a ab ba b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33a b <，故C 正确. 故选：C.3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A. 3 B.13C. 3-D. 13-【答案】B 【解析】【详解】由双曲线221x my -=可得：2211,a b m==，2c e a ====，所以13m =，故选：B . 4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数()11ln f x x=+的定义域为()()0,11,+∞ ， 对于A ，()1111111221ln ln ln lnf x f x x x x x⎛⎫+=+++=++= ⎪-⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()111112111ln ln ln ln lnf x f x x x x x x⎛⎫-=+--=--=⎪-⎝⎭，故B 错误； 对于CD ，当e x =时，()11112,1011f x f x ⎛⎫=+==+= ⎪-⎝⎭，故CD 错误. 故选：A.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据周期性求出ω，根据最值求出t ，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】()()sin cos f x t x x x ωωωϕ=+=+，其中1tan tϕ=，因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，解得2ω=，，=1t =（1t =-舍去），所以()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数图象不关于直线π4x =-对称，也不关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故AB 错误；因为ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数图象关于直线π8x =对称，不关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确，D 错误.故选：C .6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+， 即2m =或4m =-. 故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A. 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m【答案】B 【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积22π1220π1020880πV =⨯⨯-⨯⨯=（3cm ） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500880π440000π⨯=（3cm ）， 又π 3.14≈，的的所以共需粘土的体积为约为31.3816m ， 故选：B.8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出na n，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列{}n a 的公差为d ，得1n a a d nd =-+，则1n a a d d n n-=+， 当10a d <<时，10a d -<，而111n n >+，则111a d a d n n --<+，因此11n n a a n n +<+，{}n a n为递增数列；当{}n a n为递增数列时，则11n n a a n n +<+，即有111a d a dn n --<+，整理得1a d <，不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】结合题意，可得1EO EC =1CO 在平面BCD 的投影为直线CE，借助正弦定理计算可得tan θ=tan θ的最大值即可得sin θ的最大值.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，1A E ，由三角形ABD 为正三角形，故1O 在线段1A E 上，且1113EO A E BD ===，即1EO EC =， 由题意可得BD EC ⊥，1BD A E ⊥，1A E 、EC ⊂平面1ECO ，1A E EC E = ， 故BD ⊥平面1ECO ，又1CO ⊂平面1ECO ，故直线1CO 在平面BCD 的投影为直线CE ， 即1ECO θ=∠，则有()111sin sin sin sin πEO EC CO E O EC θθθ===∠--∠，整理可得tan θ=()10,πO EC ∠∈，令()()0,πf x x =∈，()f x =='，故当cos x ⎛∈- ⎝时，()0fx '<，当cos x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0f x '>，令()00,πx ∈，且0cos x =，则0sin x ==， 则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，即()f x 有最大值()0f x ===即tan θ，则sin θ=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出θ与1O EC ∠的关系，通过导数计算出tan θ的最大值从而得到sin θ的最大值.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值【答案】D 【解析】【分析】首先理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后举反例设()f x x =可判断A 错误；设()2f x x =可得B 错误；设()sin f x x =可得C 错误；由函数单调性的定义可以判断D 正确. 【详解】函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R 表达的是函数()f x 图象上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率；所以对于A ：因为()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上单调递增， 所以设()f x x =，则()f a a =，此时()()()()1a f x f a x ag x a x ax a--===∈--R 为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A 错误； 对于B ：设()2f x x =，由图象可知，当x ∈R 时，随x 增大，点()(),x f x 与点()(),a f a 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但()f x 在R 不是单调函数，故B 错误；对于C ：因为对于任意实数a 存在实数10M >，使得()1f x M <，说明()f x 为有界函数，所以设()sin f x x =，但割线的斜率不一定有界，如图当0x +→时，割线的斜率趋于正无穷，故C 错误；对于D ：因为函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≥⇒--≥≠⎣⎦-，因为x a >，0x a ->，所以()()f x f a ≥； 同理，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≤⇒--≤≠⎣⎦-，因为x a <，0x a -<，所以()()f x f a ≥； 所以()f a 为()f x 的最小值，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()21111i i i z i i i i i++===-+=- ，因此，z ==..【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______.【答案】43-##113- 【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设,a b的夹角为θ，cos a b a b a b θ⋅== ，故cos 1θ=，又[]0,πθ∈，故0θ=，,a b方向相同， 又()()1,,3,4a m b ==- ，则43m -=，解得43m =-，满足题意.故答案为：43-.13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.【答案】 ①.π3（答案不唯一，符合题意即可） ②. π6（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】【分析】由角,αβ的终边关于直线y x =对称，可得π2π2k αβ+=+，再由()1sin 2αβ-=可得ππ6k β=+或ππ6k β=-+，即可求出答案. 【详解】因为角,αβ的终边关于直线y x =对称， 则π2π2k αβ+=+，Z k ∈，则π2π2k αβ=-+， 因为()1sin 2αβ-=，所以ππ1sin 2πsin 22πcos 2222k k ββββ⎛⎫⎛⎫-+-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所有π22π3k β=+或π22π3k β=-+，Z k ∈， 解得：ππ6k β=+或ππ6k β=-+，Z k ∈，取0k =，β的一个值可以为π6，α的一个值可以为π3.故答案为：π3（答案不唯一，符合题意即可）；π6（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.【答案】 ①. ()1,0 ②. 2【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出12,PF QF ，进而可得出PQ . 【详解】由抛物线21:4C y x =，可得()11,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则11221,2PF x QF x =+=+，故121211PF QF x x -=--=，所以122x x -=， 所以122PQ x x =-=.故答案为：()1,0；2.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】【分析】①直接取13c =-找矛盾；②通过21111111n n nn n n a a a a a a ++⇒=--=>-+，利用累加法求n a 的范围；③假设11a ≤找矛盾；④取2c =，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若11,0a c =<，则21211ca c a a =+=+，当13c =-时，223a =，与213a <矛盾，①错误；对于②：若1c =-，则210n n n a a a +=-+>，所以01n a <<，又2112a a a =-+，若12113a a <-+，该不等式恒成立，即2013a <<， 由()2111111*********n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++⇒=⇒=+⇒-=--=--+由于01n a <<，所以111na >-， 所以1111n n a a +->，所以3n ≥时，11232111111111nn n n a a a a a a ---⎧->⎪⎪⎪->⎪⎨⎪⎪⎪->⎪⎩ ，累加得2112n n a a ->-， 所以2112231n n n n a a >-+>-+=+，所以()131n a n n <≥+， 综合得()121n a n n <≥+，②正确； 对于③：若()1,2n c a n n =>≥，21n n n a a a +=+，假设11a ≤，则21122a a a =+≤，与22a >矛盾，故11a >，③正确；对于④：当11a =时，若2c =，则212n n n a a a +=+，此时2121232a a a =+=>，根据二次函数22y x x =+可得其在()0,∞+上单调递增，并增加得越来越快，但是函数y x =在()0,∞+上单调递增，但增加速度恒定，故在22a >的情况下，n a n >必成立，即存在实数c ，使得()2n a n n >≥，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值. 【答案】（1）π6； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin()cos A C B B +=，结合三角和为π及诱导公式可得cos B =，即可得答案；（2）在ABD △中，由正弦定理可求得π2BAD ∠=，从而可得AB =ABC 中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】解：因为cos cos cos a C c A B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos cos A C C A B B +=，即sin()cos A C B B +=，sin(π)sin cos B B B B -==， 又因为sin 0B ≠，所以1B =，解得cos B =，又因为(0,π)B ∈， 所以π6B =； 【小问2详解】解：因为D 为BC 边的中点，12a =， 所以6BD CD ==, 设BAD θ∠=,在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ADBθ=， 即6361sin 2θ==，解得sin 1θ=， 又因为(0,π)θ∈，所以π2θ=，在Rt △ABD 中，AB ===在ABC 中，π12,6AB BC B ===，由余弦定理可得：2222cos 1442721263AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以AC =即b =17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）600（2）分布列见解析，() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到X 的可能取值及其对应概率即可得，再计算期望即可； （3）借助期望计算公式计算即可得. 【小问1详解】()15000.003750.0010.0002580600⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人； 【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=， ()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=， ()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X12 3P0.008 0.0960.384 0.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=； 【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()3082310C C 5673C 12015P X ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=， 故()()E X E Y =.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面EFCD ，再利用线面平行的性质证明//AB EF ；（2）选①②：证明 EM ⊥平面ABCD ，建立以M 为原点的空间坐标系，求出平面ADE 的法向量，利用线面角公式求解 【小问1详解】证明：底面ABCD 为正方形,则//AB CD ，又AB ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， 则//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面EFBA EF =，AB ⊂平面EFBA ，故//AB EF . 【小问2详解】选①，取AD 中点G ,连接,EG MG ，因为ED EA =，所以EG AD ⊥， 易知GM 为梯形ABHD 的中位线，则MG AD ⊥，又,,MG EG G MG EG ⋂=⊂平面EGM ，故AD ⊥平面EGM ，EM ⊂平面EGM ，则,,AD EM EM BH ⊥⊥,AD BH ⊂平面ABCD ，且,AD BH 必相交，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===选②：取AD 中点G , 连接GM ，易知GM 为梯形ABHD 的中位线，3GM =，则AM =5AE =，EM =，则222AE EM AM =+，故,EM AM ⊥ 又,,,EM BH AM BH M AM BH ⊥⋂=⊂平面ABCD ，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 【答案】（1）24y x =-（2）2（3）2a = 【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解. 【小问1详解】()()()ln 111xf x x x x '=-+>-， 则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-； 【小问2详解】()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-， ()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---， 当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x ()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()min 22g x g ==； 【小问3详解】函数()f x 的定义域为()1,+∞， 当1a ≤时，0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-， 即()22a f x x -<-， 由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x →时，()h x →-∞， 因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意； 当1a >时，若x a >，则0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，在所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增， 所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<， 所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②， 由①②可得2a =， 综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，先求出,k m 的关系，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，进而可求得线段MN 的中点坐标，从而可求得点P 的坐标，再根据点P 在椭圆上，即可求得,k m ，再利用弦长公式求出MN ，即可得解.【小问1详解】由题意可得2222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22163x y +=； 【小问2详解】当圆的切线斜率不存在时，切线方程为1x =±， 当切线方程为1x =时，由椭圆的对称性可得()2,0P ， 因为4021633+=<，所以点()2,0P 不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为=1x -时，由椭圆的对称性可得()2,0P -， 因为4021633+=<，所以点()2,0P -不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为y kx m =+，1=，所以221m k =+①，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()()()22222222Δ16421261614212160k m k m k kk k ⎡⎤=-+-=+-++->⎣⎦，解得R k ∈，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++， 故()()221212222221422212121m k k m m y y k x x m k k k ++=++=-+=+++，所以线段MN 的中点坐标为222,2121km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为四边形OMPN 为平行四边形，所以2242,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为点P 在椭圆C 上， 所以()()22222221641621321k m m k k +=++②，将①代入②得()()()()222222281411321321k k kk k+++=++，解得k =，所以m =所以MN =====，所以12212OMPN OMN S S ==⨯=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >； （2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n 1-（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ≠时，有12i n i a a -++≥，当2ni =时，1221n na a ++≥，结合11i n i i n i a a a a -+-++≥+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q ()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>， (),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>， (),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>， (),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4； 【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，为又n a 为整数，故()1,1S n ≥，()2,11S n -≤-， 则()()11,2,12n S n S n a a --=+≥，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+≤-， 即有212n a a -+≥， 同理可得，当2ni ≠时，有12i n i a a -++≥， 即当2ni ≠时，有112i n i i n i a a a a -+-++≥+≥， 当2n i =时，122,1122n n n n S a a +⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，故()()12121122n n n n na a a a a a a a a -+⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()121122n n n na a a a a a -+⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭≥ 22112n n -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；【小问3详解】{}()*12,,,k A i i i k =∈N 时，当11i ≠时，()()()()2112111211211,k i i i i i i i S n a a a a a a a a a -++--+++=+++++++()()()22111312112112k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++ ，令m i A ∈且1m i A -∉，则有()1,0m S i n +>，(),0m S i n ≤， 又()1,0S n >，故()()1211,,0m m i S n S i n a a a --=+++> ， 即有11210i a a a -+++> ，1120k k i i n a a a -+++++> ，令1m i A +∈且11m i A +-∉，则有()11,0m S i n ++>，()1,0m S i n +≤， 则()()111211,,0m m m i m m i i S i n S i n a a a ++++-+-=+++> ，即有()()()112212311211211210k k k i i i i i i i i i a a a a a a a a a --++-++-++-++++++++++++> ，故()()121,0k i i i S n a a a -+++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ ， 当11i =时，()()()121211211,k i i i i i i S n a a a a a a ++--+++=+++()()()322111*********k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ 亦成立，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.。
2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习(一)数学试题
2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习（一）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．342．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,25．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为5实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-6．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．3B ．123C ．3D ．1838．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．233C ．305D ．5211．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24012．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东城区2022-2023第二学期高三一模数学试题及答案
北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（一）数 学 2023.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，且，则可以为（A ） （B ） （C ）（D（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 （A ） （B ）（C ） （D ）（3）抛物线的准线方程为（A ）（B ）（C ） （D ） （4）已知，则的最小值为 （A ）（B）（C ） （D ） （5）在△中，，，，则 （A（B ） （C（D ）（6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且， ，则“”是22{|}0A x x -=<a A ∈a 2-1-32iz(3,1)-z =13i +3i +3i -+13i --24x y =1x =1x =-1y =1y =-0x >44x x-+2-01ABC a =2b c =1cos 4A =-ABC S =△4,m n αβ，m α⊂αβ m n ⊥“”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知正方形的边长为 2，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（A ） （B ）（C ） （D ）（9）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（A ） （B ） （C ）（D ）（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（A ） （B ）（C ） （D ）第二部分（非选择题共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
丰台区2024届高三一模数学试题答案
北京市丰台区2023～2024学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）12i55−+（12）42 （13）3（14）1−，()||1f x x =−（答案不唯一）（15）②③注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点，所以1AC ∥DE ． 因为1AC ⊄平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ，所以1AC ∥平面1B CD ．…………………4分（Ⅱ）选择条件①：1BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ，zyxEDBACA 1C 1B 1所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，111CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥．如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ． 因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量． 在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ， 所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．因为cos ,⋅<>===m n m n m n ， 因为二面角1B B C D −−为锐二面角，所以二面角1B B C D −−．选择条件②：1B D =在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．因为2221111,2,BB BD B D BB B D +===所以BD =因为D 为AB中点，所以AB = 所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1．………………14分（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为2ω=，所以211()cos sin 633322f ππππ=−+=．………………4分（Ⅱ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+1cos21222sin(2)6x x x ωωω−=−+π=+因为()f x 在区间[,]62ππ上单调递减，所以2263T πππ≥−=，即3T ω2π2π=≥， 所以03ω<≤．因为()012f π−=， 所以()sin()01266f ωπππ−=−+=，即16()k k ω=+∈Z ， 所以1ω=． ………………14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm 2”，则8612()101025P C ． ………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3.2124361(1)5C C P X C ， 1224363(2)5C C P X C ， 34361(3)5C P X C ，X1311232555EX．………………11分 （Ⅲ）12DD ．………………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的方程为221124x y +=． ………………5分（Ⅱ）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ． 当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++−=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,3131k x x x x k k +=−=−++． 所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()()()()()()121212122121222222331399613931310x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+++=+++=++++⎛⎫⎛⎫=+−+−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=．综上，存在定点D ()0,2−，使得12DM PQ =． ………………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，当00x =时，0()(0)1f x f ==；1'()e 11x f x x =+−+，0'()'(0)1f x f ==； 故切线l 的方程为1y x =+．………………5分（Ⅱ）()()()e ln(1)(1)e ln(1)21xxh x f x g x x x x x x =−=++−−+=++−−，1(1)e 21'()e 211x xx x h x x x +−−=+−=++．解法1：令()(1)e 21x m x x x =+−−，则'()(2)e 2xm x x =+−．当(1,0)x ∈−时，2(1,2)x +∈，e (0,1)x ∈，故(2)e 212xx +<⨯=，'()0m x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()m x 单调递减，()(0)0m x m >=；当(0,)x ∈+∞时，22x +>，e 1x >，故(2)e 212xx +>⨯=，'()0m x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()m x 单调递增，()(0)0m x m >=； 综上，()0m x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 所以()h x 在(1,)−+∞上单调递增．又因为(0)0h =，故函数()h x 有唯一零点0x =．且当(1,0)x ∈−时，()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，()0h x >； 因此当(1,0)x ∈−时，()0xh x >；当(0,)x ∈+∞时，()0xh x >； 故()0xh x ≥； 解法2：1'()e 21xh x x =+−+， 令1()e 21xg x x =+−+，则21'()e (1)x g x x =−+． 当(1,0)x ∈−时，1(0,1)x +∈，211(1)x >+，e 1x <，故'()0g x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=； 当(0,)x ∈+∞时，11x +>，211(1)x <+，e 1x>，故'()0g x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=； 综上，()0g x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 以下同解法1． ………………13分 （Ⅲ）2．………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）解：8,5,4,3x y z w ==== ．………………4分（Ⅱ）证明：当集合n M 为“好集合”时，设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是n M 的一个“好数阵”，构造数阵：1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +−+−+−⎡⎤⎢⎥+−+−+−⎣⎦，记为T ．因为T 是“好数阵”，所以当1,2,,k n =时，(21),(21)k n k n n b M n a M +−∈+−∈，且{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +−+−+−⋃+−+−+−=．因为(21)(21)(1,2,,)k k k k n b n a a b k k n +−−+−=−==，所以1212212121212121n n n b n b n b T n a n a n a +−+−+−⎡⎤=⎢⎥+−+−+−⎣⎦也是n M 的一个“好数阵”，一方面，因为(21)(21),(21)(21)(1,2,,)k k k k n n a a n n b b k n +−+−=+−+−==，所以T T =.另一方面，假设2221n b a +−=，因为222,a b −=所以22212n b b +−=+， 所以2212n b −=，与2n b M ∈矛盾，所以T T ≠， 故集合n M 的“好数阵”必有偶数个； ………………9分（Ⅲ）假设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是集合n M 的一个“好数阵” 由题意得：2111nnni i i i i a b i ===+=∑∑∑，111nnni i i i i a b i ===−=∑∑∑，相加得：2111(12)2(1)(53)2222nnni i i i n n n n n n a i i ===+⨯+⨯+=+=+=∑∑∑， 即1(53)4ni i n n a =+=∑ 当6n =时，616339942i i a =⨯==∑，与61*i i a N =∈∑矛盾；所以6M 不是“好集合”. 当5n =时，51528354i i a =⨯==∑，若{}123455,,,,a a a a a ∈， 因为{}1234510,,,,a a a a a ∈，{}123451,,,,a a a a a ∉，所以{}12345,,,,a a a a a 只有以下两种可能：{}10,5,9,8,3和{}10,5,9,7,4（1）若{}{}12345,,,,10,5,9,8,3a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,4,6,7b b b b b =，使5k k a b −=的只有94−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有1073,862,321−=−=−=，可得138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有523,312,871−=−=−=，可得283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）若{}{}12345,,,,10,5,9,7,4a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,3,6,8b b b b b =，使5k k a b −=的只有72−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有963,1082,431−=−=−=，可得341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有413,532,981−=−=−=，可得495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦综上，6M 不是“好集合”；5M 是“好集合”，且满足{}123455,,,,a a a a a ∈的好数阵有四个：138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.………………15分。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)
A． a b
B． 2a 2b
C． a b
D． log2 a2 log2 b2
5．已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（
）
A．60
B．80
C．
D．
6．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则
AB （ ）
C．1, 2
2．已知向量
a
1,
m，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=
D． 2,
A．−8
B．−6
C．6
D．8
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． f x sin x
B． f x 2 x
C． f x x3 x
D． f x 1 ex ex 2
4．若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ，则下列不等式中成立的是（ ）
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
（1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评
分不小于 9 的概率； （2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机 选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的 值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分
六、填空题
15．在数列an 中，对任意的 n N*
都有 an
0
，且
an
2 1
an1
an
，给出下列四个结论：
①对于任意的 n 3 ，都有 an 2 ；
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高三数学综合练习本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin2cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S S V )''(31++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）集合M={（x ，y ）|x+yi|=1，x ∈R ，y ∈R}，集合N={（x ，y ）|x+y=1}，则M ∩N 的真子集的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）|x|≤2的必要但不充分条件是 （A ）|x+1|≤3 （B ）|x+1|≤2 （C ）|x+1|≤1 （D ）|x-1|≤1（3）函数y=f （x ）的图象和)4sin(π+=x y 图象关于直线4π=x 对称，则f （x ）解析式为（A ）)4cos()(π+-=x x f （B ）)4cos()(π-=x x f （C ）)4cos()(π+=x x f （D ）)4cos()(π--=x x f（4）已知函数y=f （x ）的反函数112)(+-=x x f，则f （1）等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）4（5）若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足f （x ）>0 ，则a 的取值范围是（A ）)21,0( （B ）]21,0( （C ）),21(+∞ （D ）（0，+∞）（6）若方程022=++k y kx 表示双曲线，则双曲线的准线方程为 （A ）k k k y --±=11 （B ）kkk y --±=11（C ）k k y -±=1 （D ）kkx -±=1（7）“五一”节期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20的连环送”活动，即顾客购物每满100元（不满100元部分忽略不计），就可以获赠商场购物券20元，并且购物可以用现金，也可以用购物券，如果你有680元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（A ）120元 （B ）136元 （C ）140元 （D ）160元（8）已知α、β、γ、δ为平面，a 、b 为直线，P 为点，则下列命题中正确的是 （A ）若a 、b 是异面直线，且a P ∉、b P ∉，则过P 有且只有一个平面与a 、b 都平行（B ）若a 、b 是异面直线，则存在α、β使α⊂a ，β⊂b ，且α⊥β （C ）若α∩β=a ，b//a ，则b//α且b //β （D ）若α∩β=a ，γ∩δ=b ，且α⊥γβ⊥δ则a//b（9）已知|a|>|b|，且nnn n n n n n a b a a b a +<++∞→-∞→11lim lim ，那么a 的取值范围是（A ）a<-1 （B ）-1<a<0 （C ）a>1 （D ）a>1或-1<a<0（10）设f （x ）=xsinx ，若1x 、]2,2[2ππ-∈x ，且)()(21x f x f >，则下列不等式恒成立的是（A ）21x x > （B ）21x x <（C ）021>+x x （D ）2221x x >第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
（11）f （x ）为偶函数，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x-1，那么f （x-1）<0的解集为____。
（12）已知直线x+2y-3=0和圆0622=+-++F y x y x 交于两点M 、N ，O 为坐标原点，且OM ⊥ON ，则F=________。
（13）f （x ）=（3a-1）x+b-a ，x ∈（0，1]，若f （x ）≤1恒成立，则a+b 的最大值为____。
（14）点P 是棱长为2的正四面体木块ABCD 的棱AB 的中点，从点P 开始要锯出与棱AB 垂直的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD 上的锯痕PM=1，在面ABC 上的锯痕32=PN ，则锯缝MN=________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若272cos 2sin 42=-+A C B 。
（Ⅰ）求解A ；（Ⅱ）若3=a ，b+c=3，求b 与c 的值。
（16）（本小题满分14分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，已知SD ⊥底面ABCD ， 且∠ADC=∠BCD=90°，BC=CD=2AD 。
（Ⅰ）求证：平面SBC ⊥平面SCD ； （Ⅱ）E 为侧棱SB 上的一点，SBSE为何值时，AE//平面SCD ，证明你的结论； （Ⅲ）若SA=AB ，求二面角C-SB-D 的大小。
（17）（本小题满分14分） 函数 f （x ）对一切实数x 、y 均有f （x+y ）-f （y ）=（x+2y+1）x 成立，且f （1）=0（Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求f （x ）的解析式；（Ⅲ）解不等式4)1()(2--+->x a x x f（18）（本小题满分14分）某乡镇为改善投资环境准备对全乡镇公路建设进行投资，本年度投入为800万元，以后每年投入将比上年减少51；据测算本年度将增加收入400万元，由于投资环境的逐年改善，预计今后每年增加收入会比上年增加41。
（Ⅰ）求出n 年内（本年度为第一年）总投入n S 万元和n 年内增加总收入n T 万元的表达式；（Ⅱ）问经过多少年，增加的总收入超过总投入。
（19）（本小题满分14分）动点P 到定点F （-1，0）的距离与到定直线x=4的距离的一半的和为4。
（Ⅰ）求P 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若动直线l 与C 相交于M 、N ，且M 、N 与坐标原点O 连线的斜率的乘积为定值43-，求证22ON OM +为定值。
（20）（本小题满分14分）函数f （x ）满足f （x+y ）+1=f （x ）+f （y ），f （0.5）=0，且x>0.5时；f （x ）<0。
（Ⅰ）设))((N n n f a n ∈=，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明当)](21,21[1N n x n n ∈∈+时，nx f 211)(-≤； （Ⅲ）判断f （x ）的单调性，并证明。
高三数学综合练习参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．B 9．D 10．D二、填空题 11．（0，2） 12．3 13．35 14．1三、解答题15．（Ⅰ）解：由272cos 2sin 42=-+A C B 及2cos 2sin AC B =+得 272cos 2cos 42=-A A ……2分 271cos 22cos 142=+-+⨯A A ……4分 21cos =A ……6分 又A 为△ABC 的内角 ∴A=60°……8分（Ⅱ）解：由余弦定理得222cos 2a A bc c b =-+，又3=a ……10分 ∴322=-+bc c b （1） 又b+c=3 （2）……12分 由（1）（2）得⎩⎨⎧==21c b ，或⎩⎨⎧==12c b 。
……14分16．（Ⅰ）证明：∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC 又BC ⊥CD ，故BC ⊥平面SCD ……2分SBC BC 平面⊂，故平面SBC ⊥平面SCD ……4分（Ⅱ）21=SB SE 时，AE//平面SCD 证明：取SB 的中点为E ，BC 的中点为F ，连接AF ……6分 则AF//CD ，EF//SC故EF//平面SCD ，AF//平面SCD ；平面AEF//平面SCD 。
……8分 而AEF AE 平面⊂，∴AE//平面SCD ……10分（Ⅲ）解：设AD=a ，则BC=CD=2a 。
于是a AB SA 5==，故a AD SA SD 222=-=。
作CO ⊥BD 于O ，又SD ⊥平面BCD ，故SD ⊥CO ，故CO ⊥平面SBD 。
连接SO ，△SBO 是△SBC 在平面SBD 上的射影。
……12分 设二面角C-SB-D 的平面角为θ则212121cos =⋅⋅==∆∆BC SC BOSD S S SBCSBO θ，故θ=60°。
……14分17．（Ⅰ）解：f （1）-f （0）=（1+1）×1=2，∴f （0）=2……3分 （Ⅱ）解：f （x ）-f （0）=x （x+1），∴2)(2-+=x x x f ……6分 （Ⅲ）解：4)1(222--+->-+x a x x x0222>++ax x∵162-=∆a∴当△<0，即-4<a<4时，解集为R ……8分 当△≥0，即a ≥4或a ≤-4时， 方程0222=++ax x 的两根为)16(4121-+-=a a x ， )16(4122---=a a x ……10分故（1）当a=±4时，不等式的解集为}4|{a x R x x -≠∈且……12分（2）当a>4或a<-4时，不等式的解集为)}16(41)16(41|{22-+->---<a a x a a x x 或……14分18．（Ⅰ）解：第1年投入800万元， 第2年为)511(800-万元， ……第n 年为1)511(800--⨯n 万元。
……2分 ∴1)511(800)511(800800--⨯++-⨯+=n n S])54(1[4000n -⨯=……4分第1年增收400万元， 第2年增收为)411(400+万元， ……第n 年为1)411(400-+⨯n 万元。