2006年湖北高考理科数学试卷及答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=

⋅b a ，则b =

A. ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛23,21 C.

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛433,41 D. ()0,1 2.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，

则a =

A.4

B.2

C.-2

D.-4 3.若△ABC 的内角A 满足3

2

2sin =

A ，则=+A A cos sin A.

315

B. 315-

C. 35

D. 3

5

- 4.设()x x x f -+=22lg

，则⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为

A. ()()4,00,4 -

B. ()()4,11,4 --

C. ()()2,11,2 --

D. ()()4,22,4 --

5.在24

3

1⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 6.关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：

①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是：

A. ①、②

B. ③、④

C. ①、④

D. ②、③ 7.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程

是

A. ()0,0123322

>>=+

y x y x B. ()0,0123

322>>=-y x y x C. ()0,0132322>>=-y x y x D. ()0,0132

32

2>>=+y x y x

8.有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ； ②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ； ④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .

其中真命题的序号是

A. ③、④

B. ①、②

C. ①、④

D. ②、③ 9.已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域

D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ）

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 4 10.关于x 的方程(

)

0112

2

2

=+---k x x ，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设x 、y 为实数，且

i

i y i x 315

211-=

-+-，则x +y =___________. 12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）

13.已知直线0125=++a y x 与圆022

2

=+-y x x 相切，则a 的值为___________. 14.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是___________.（用数字作答） 15.将杨辉三角中的每一个数r

n C 都换成分数

()r

n

C n 11

+， 就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角

形. 从莱布尼茨三角形可以看出

()()r

n x n r n nC C n C n 1

1

1111-=+++，其中x =_______. 令()22111160130112131n

n n

C n nC a +++⋅⋅⋅++++=-，

则n n a ∞

→lim

=_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分） 设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=

()R x x x c ∈-=,sin ,cos .

（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心

对称，求长度最小的d .

17.（本小题满分13分）

已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f .数列{}n a 的前

n 项和 为n S ，点()()

*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=

n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20

m T n <对所有*

N n ∈都

成立的最小正整数m .

18.（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，

p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =.

（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；

（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对