二,等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点(可编辑修改word版)

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1.概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列{a n }满足a n+1 -a n =d (常数),则{a n } 称等差数列；2°.通项公式：a n =a1 + (n - 1)d =a k + (n -k )d;3°.前n 项和公式：公式：S =n(a1+a n) =na +n(n - 1) d.n 2 1 2②等比数列：1°.定义若数列{a n}满足an+1an=q （常数），则{an}称等比数列；2°.通项公式：a -a q a (1 -q n)a =a q n-1=a q n-k; 3°.前n 项和公式：S = 1n= 1(q ≠ 1), 当q=1 时S =na . n 1 k n 1 -q1 -q n12.简单性质：①首尾项性质：设数列{a n }: a1 , a2 , a3 , , a n ,1°.若{a n }是等差数列，则a1 +a n =a2 +a n-1 =a3 +a n-2 = ;2°.若{a n }是等比数列，则a1 ⋅a n =a2 ⋅a n-1 =a3 ⋅a n-2 = .②中项及性质：1°.设a，A，b 成等差数列，则A 称a、b 的等差中项，且A =2°.设a,G,b 成等比数列，则G 称a、b 的等比中项，且G =±③设p、q、r、s 为正整数，且p +q =r +s,1°. 若{a n }是等差数列，则a p +a q =a r +a s ;2°. 若{a n }是等比数列，则a p ⋅a q =a r ⋅a s ;④顺次n 项和性质：a +b; 2ab.n 2n 3n1°.若{a n }是公差为d 的等差数列，则∑a k , ∑a k , ∑a k 组成公差为n2d 的等差数列；k =1 k =n+1 k =2n+1n 2n 3n2°. 若{a n }是公差为q 的等比数列，则∑a k , ∑a k , ∑a k 组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q=－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若{a n }是等比数列，k =1 k =n+1 k =2n+1则顺次 n 项的乘积： a 1a 2 a n , a n +1a n +2 a 2n , a 2n +1a 2n +2 a 3n组成公比这 q n 2的等比数列.⑥若{a n }是公差为 d 的等差数列,1°.若 n 为奇数，则 S n = na 中且S 奇 - S 偶 = a 中(注: a 中指中项,即a 中 = a n +1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶2数项的和）；2°.若 n 为偶数，则 S 偶 - S 奇 =（二）学习要点：nd. 21. 学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d ≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 a n =an +b ;②公差 d ≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 S n =an 2+bn ;③公比 q ≠1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2. 解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3. 巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或 a-m,a,a+m ）” ② 三数成等比数列， 可设三数为“ a,aq,aq 2(或 a， a,aq )” ③ 四数成等差数列， 可设四数为“qa , a + m , a + 2m , a + 3m ( 或 a - 3m , a - m , a + m , a + 3m );” ④ 四 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 四 数 为 “a , aq , aq 2 , aq 3 (或 a q 3 ,± a, aq ,±aq 3 ), ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.q[例 1]解答下述问题：（Ⅰ）已知 1 , 1 , 1 a b c成等差数列，求证：（1） b + c , a b c + a , b b a + b c b成等差数列； （2） a - ,- , c - 2 2 成等比数列.2[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，1 + 1 =2 ⇒ a + c = 2 ⇒ 2ac = b (a +①c ), a c b b + c ac a + b b bc + c 2 + a 2 + ab ②b (a +c ) + a 2 + c 2 (1) a + c = ac = ac= 2(a + c )2 b (a + c ) = 2(a + c ) . b ∴ b + c , c + a , a + b 成等差数列;a (2)(a -b b)(c - 2 c b ) = ac - 2 b (a + c ) + b 2 4= (- b )2 ,2 ∴ a - b ,- b , c - b成等比数列.2 2 2[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.①22 2k n ⎩ ⎩8a 1 55 1 17n （Ⅱ）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为128 ，求项数 n.[解析]设公比为 q ,a 1a 3 a 5 a na 2 a 4 a n -1=1024 = 4128⇒ a 1 ⋅ q n -12 = 4(1)35 35而 a a a a = 1024 ⨯128 = 2 2⇒ a ⋅ q 1+2+3+ (n - 1) = 221 2 3 n n -1351535⇒ (a 1 ⋅ q 2 )n= 2 2 , 将(1)代入得(22 )n = 2 2 ,∴ 5n = 35, 得n = 7. 2 2（ Ⅲ ） 等 差 数 列 {a n } 中 ， 公 差 d ≠ 0， 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 ：a k 1 , a k 2 , , a k n 恰为等比数列, 其中k 1 = 1, k 2 = 5, k 3 = 17,求数列{k n }的前n 项和.[解析] a , a , a 成等比数列,∴ a 2 = a ⋅ a ,⇒ (a 1 + 4d )2 = a ⋅ (a 1 + 16d ) ⇒ d (a 1 - 2d ) = 0 d ≠ 0,∴ a 1 = 2d , ∴数列{a n}的公比q = a 5a 1=a 1 + 4d a 1= 3,∴ a k n= a 1 ⋅ 3n -1 = 2d ⋅ 3n -1①而a = a 1 + (k n - 1)d = 2d + (k n - 1)d ② 由①，② 得k = 2 ⋅ 3n -1 - 1,3n - 1 n{k n }的前n 项和S n = 2 ⨯3 - 1- n = 3 - n - 1. [评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例 3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列， 求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为 a －d , a , a +d ，则有⎧⎪(a - d )(a + d + 32) = a 2 ⎧⎪d 2+ 32d - 32a = 0⎨⎪(a - 4)2 = (a - d )(a + d ) ⇒ ⎨⎪ = 16 + d 2⇒ 3d 2 - 32d + 64 = 0,∴ d = 8或d = 8 , 得a = 10或 26,3 9∴原三数为2,10,50或 2 , 26 , 338.9 9 9（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.222 1 17 k⎨m + a = 125 ⎨m + a = 25n n 2n +1 n nn n n [解析]设此四数为 a - 15, a - 5, a + 5, a + 15(a > 15) ,∴(a - 152 ) + (a - 5)2 + (a + 5)2 + (a + 15)2 = (2m )2 (m ∈ N * ) ⇒ 4a 2 + 500 = 4m 2 ⇒ (m - a )(m + a ) = 125, 125 = 1⨯125 = 5 ⨯ 25,m - a 与m + a 均为正整数,且m - a < m + a , ∴⎧m - a = 1 ⎩ ⇒ ⎧m - a = 2 ⎩解得 a = 62或a = 12(不合),∴所求四数为 47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在2. 、在等差数列{a n }中， a 1 = 4 ,且 a 1 , a 5 , a 13 成等比数列，则{a n }的通项公式为（ ）（A ） a n = 3n + 1 （B ） a n = n + 3（C ） a n = 3n + 1或 a n = 4（D ） a n = n + 3 或 a n = 43、已知 a , b , c 成等比数列，且 x , y 分别为 a 与b 、b 与 c 的等差中项，则a+ x 1c 的值为（ ）y（A ）（B ） - 22（C ） 2（D ） 不确定4、互不相等的三个正数 a , b , c 成等差数列， x 是 a ,b 的等比中项， y 是 b ,c 的等比中项，那么 x 2， b 2， y 2三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{a }的前 n 项和为 S , S = 4n 2+ 2n ,则此数列的通项公式为（ ）（A ） a n = 2n - 2（B ） a n = 8n - 2（C ） a = 2n -1 （D ） a = n 2 - n6、已知(z - x )2= 4(x - y )( y - z ) ，则（）（A ） x , y , z 成等差数列（B ） x , y , z 成等比数列（C ）1 , x 1 , 1y z 1 成等差数列 （D ） , x 1 , 1 y z成等比数列7、数列{a }的前 n 项和 S = a n- 1 ，则关于数列{a }的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列n n n n n n n n n ④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4（B ）3（C ）2（D ）18、数列 1 1 ,3 1 2 4 ,5 1 8 ,7 116,⋯,前 n 项和为（ ）（A ） n 2 - 1+ 1 2n（B ） n 2- 1 + 1 2n +1 2 （C ） n 2- n - 1+ 1 2n（D ） n 2 - n - 1 + 1 2n +1 2 9、若两个等差数列{a }、{b }的前 n 项和分别为 A A 、 B ，且满足 = 4n + 2 ，则 a 5 + a 13 的值为 （ ）n n n nB n 5n - 5 b 5 + b 137 8 19 7 （A ）（B ）（C ）（D ）9720810、已知数列{a }的前 n 项和为 S = n 2- 5n + 2 ,则数列{a }的前10 项和为 （ ）（A ）56（B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{a n }的通项公式 a n = n + 5 为, 从{a n }中依次取出第 3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前 n 项和为（ ）n (3n + 13)n3n + 10n - 33n +1 + 10n - 3（A ）（B ） 3 + 52（C ）（D ）2 212、下列命题中是真命题的是()A. 数列{a n }是等差数列的充要条件是 a n = pn + q ( p ≠ 0 )B. 已知一个数列{a }的前 n 项和为 S = an 2+ bn + a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C. 数列{a }是等比数列的充要条件 a = abn -1D. 如果一个数列{a }的前 n 项和 S = ab n+ c (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a + c = 0二、填空题13、各项都是正数的等比数列{a n }，公比 q ≠ 1 a 5 , a 7 , a 8 ,成等差数列，则公比 q =14、已知等差数列{a }，公差 d ≠ 0 , a , a , aa 1 + a 5 + a 17成等比数列，则=n1517a 2 + a 6 + a 1815、已知数列{a n }满足 S n = 1 + 1 a 4n,则 a n = 16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、 解答题 17、已知数列{a n }是公差 d 不为零的等差数列，数列{a }是公比为 q 的等比数列， b = 1, b 2 = 10, b 3 = 46 ，求公比 q 及b n 。