列主元高斯消去法求逆矩阵
高斯消元法求逆矩阵
高斯消元法求逆矩阵
高斯消元法是一种求解线性方程组的方法，而求解矩阵的逆矩阵是一个与线性方程组密切相关的问题。
下面给出使用高斯消元法求逆矩阵的步骤：
1. 假设要求逆的矩阵为A，将A扩展为一个n阶的增广矩阵，增广矩阵的右边是n阶单位矩阵，左边是A本身。
[A | I]
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵。
[R | E]
3. 如果行简化阶梯形矩阵的左边部分R是单位矩阵，则右边部分E 就是A的逆矩阵，即E=A^-1。
如果R不是单位矩阵，则表示A不可逆。
具体的高斯消元法求逆矩阵的步骤如下：
1. 初始化增广矩阵为[A | I]。
2. 使用高斯消元法将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即将矩阵的每一行进行以下操作：
- 如果当前行的主元素为0，则交换该行与下面某一行的位置，使主元素不为0。
- 将当前行的主元素变为1，同时将该主元素所在的列的其他元素
变为0，即进行行变换。
- 对于其他行，将该行的主元素所在列的元素通过行变换变为0。
3. 判断行简化阶梯形矩阵的左边部分R是否为单位矩阵：
- 如果R是单位矩阵，则右边部分E就是A的逆矩阵，即E=A^-1。
- 如果R不是单位矩阵，则表示A不可逆。
需要注意的是，在高斯消元法的过程中，需要进行数值的计算操作，可能会出现浮点数误差的问题。
因此，在实际计算中，可能需要对计算结果进行一定的精度控制。
高斯消元法矩阵求逆
高斯消元法矩阵求逆
高斯消元法是数学中常用的一种矩阵求解方法，其基本思路是通
过一系列基本变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵，从而求得解向量。
而
矩阵求逆，就是在高斯消元法的基础上，将单位矩阵与待求逆矩阵拼接，再做一遍高斯消元，最终得到逆矩阵。
具体步骤如下：
1. 将待求逆矩阵A与单位矩阵I拼接成一个增广矩阵(A|I)。
2. 对增广矩阵(A|I)做初等行变换，使得矩阵A化为阶梯形矩阵，即对矩阵中每一行，从左到右找到最左侧的非零元素（主元），将它
所在的列作为下一行主元所在的列，并将下一行的首个非零元素化为1，其余元素化为0。
同时，对矩阵I进行相应的行变换。
3. 对每一行，向上消去主元所在列的其余元素（下方矩阵元素），得到一个上三角矩阵。
4. 对每一行，向下消去主元所在列的其余元素（上方矩阵元素），得到一个对角矩阵。
5. 对矩阵I做相应的行变换，使其与矩阵A得到相同的形式。
6. 对对角矩阵做进一步的各行除法，使其对角线元素都是1。
7. 将矩阵A变换回原始形式，得到逆矩阵A^-1。
总的来说，高斯消元法矩阵求逆虽然操作复杂，但是其思想基础简单易懂，容易掌握。
在实际应用中，矩阵求逆是很常见的操作，比如数据处理、机器学习、信号处理等领域。
用高斯消去法求解逆矩阵的方法 数值分析
合肥工业大学Hefei university of technology用高斯消去法求解逆矩阵的方法一、 理论基础先假设A E 与对应，记作()|A E ①在上式的两边都左乘1A -,则有()1|E A - ②事实上，从①式到②式是用高斯消去法对矩阵A 进行变换最后得到单位矩阵E ，而右边的单位矩阵E 作跟A 完全一样变换,并且最后单位矩阵E 就变换成我们所要求的逆矩阵。
二、 具体做法 第一步：为一般起见，我们令11121312122232123n n n n n nn a a a a aa a a A aa a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，然后，我们用高斯消去法把A 变换成下三角矩阵()()()()()()()()0000111213111122232'1000n n n nn a a a a a a a A a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦且其中 ()()()()()1111/,;k k k k k ik ik kk ij ij ik kj l a a a a l a ----=-=+1,2,,1;1,,;1, 1.k n i k n j k n =-=+=++此时，单位阵E已经变换成21313221321221331,1,2212332,1,2323,1431000100101n n n n n n n n n n n n n n n n l l l l l B l l l l l l l l l l l l l l l l l -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++++⎣⎦为方便起见，我们令2131321231000100101n n n bB b b bb b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第二步：对'A 的列利用高斯消去法，则我们能得到形如()()()01112210000''00n nn a a A a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中/;1,2,,1;1,,.ij ij ii r a a i n j i n =-=-=+此时，B就变换成1213122311221223312231,2121122113232112232334221133311443114451,121123113223112231133111'n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n r r r r r r r r r r r r r bb r b r r b r r r r r b r r b r r b r r r B bb b r b b r b r b r r b r r b --++++++++++++=++++++131,,11,n n n n n nr r b r ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦为方便起见，我们又令11121312122232123'n n n n n nn c c c c cc c c B cc c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第三步：对于矩阵''A 我们进行如下操作： 它的第i 行乘以1/;1,2,,.ii a i n =则我们能的一个单位矩阵1000010000100001E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;同样，我们对矩阵'B 也进行和上面完全一样的操作，则可以得到111112111311111212222222322222123////////''////n n n nnn nnn nnnn nn c a c a c a c a c a c a c a c a B c a c a c a c a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦有前面我们推倒的可以知道''B 就是A 的逆矩阵1A -.到此，我们已经求出了A 逆矩阵。
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法求矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要问题。
在实际应用中，常常需要对矩阵进行逆矩阵的计算，以便进行某些后续操作。
以下是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法:1. 伴随矩阵法：如果矩阵 A 可逆，则其伴随矩阵 A^(-1) 也是存在的。
实际上，A^(-1) = A^(-T),其中 A^(-T) 表示 A 的逆矩阵的转置矩阵。
伴随矩阵法简单易行，但是要求矩阵 A 必须可逆。
2. 初等行变换法：对于任意矩阵 A，可以通过初等行变换将其化为行简化梯矩阵的形式。
如果左边子块是单位矩阵 E，则矩阵 A 可逆，且其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[E - (A^T)A]。
这里，(A^(-T))[E - (A^T)A] 表示将 A 的逆矩阵插入到单位矩阵 E 和 A 的伴随矩阵A 之间的矩阵。
初等行变换法适用于大多数矩阵，但是需要对矩阵进行多次行变换，因此计算效率较低。
3. 列主元消元法：对于矩阵 A，可以通过列主元消元法将其化为行阶梯形式。
如果矩阵 A 的行主元不为 0，则其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[(A^T)A - EE^T]。
这里，EE^T 表示矩阵 A 的列主元部分，(A^(-T))[(A^T)A - EE^T] 表示将矩阵 A 的逆矩阵插入到行阶梯形式的矩阵 A 的列主元和主元部分之间的矩阵。
列主元消元法适用于矩阵 A 为非方阵的情况，但是要求矩阵 A 的行主元不为 0。
以上是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法。
不同的矩阵可以通过不同的方法来求其逆矩阵，选择适合该矩阵的方法可以有效地提高计算效率。
此外，对于一些特殊的矩阵，可能存在更高效的算法。
数值线性代数北大版答案全
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L 和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
列主元素Gauss消去法Jacobi迭代法原理及计算方法
一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法1. 列主元素Gauss 消去法：1.1 Gauss 消去法基本原理设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。
高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。
1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤将方程组用增广矩阵[]()(1)ijn n B A b a ⨯+== 表示。
1). 消元过程对1,2,,1k n =-(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i na a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。
(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。
(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算.ij ij ik kj a a l a =-2). 回代过程(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。
(2) ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2. Jacobi 迭代法2.1 Jacobi 迭代法基本原理Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。
从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.(1)输入1,,,,)0(=k n xb A ε，. (2) )(1,1)0()1(∑≠=-=n j i i j ij i iii x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。
矩阵逆运算法则
矩阵逆运算法则
矩阵逆运算法则定义为：如果A是一个n阶方阵，且满足A*A⁻¹=I，其中I为n阶单位矩阵，那么A阶就存在逆矩阵A⁻¹，A⁻¹是A的逆矩阵。
给定一个n阶非奇异矩阵A，计算A的逆矩阵A⁻¹可以采用列主元消元法和伴随矩阵法，其中，列主元消元法有展开法、置换法和消去法三种方法。
1.展开法：首先将方阵A拆分为三个矩阵，即A=(L|U|I)，其中，L 是一个单位对角线下三角阵，U是一个上三角阵，I是单位矩阵，接着，采用消元法，将L和U消去，从而得到A⁻¹=I。
2.置换法：首先，将方阵A拆分为三个矩阵，L和U，以及一个置换矩阵P，其中，P的作用是使得A转换成低阶半正定矩阵。
然后，通过置换法将P和U消去，从而得到A⁻¹=P⁻¹。
3.消去法：首先，将方阵A拆分为三个矩阵，即A=(L|U|I)，其中L 是一个单位对角线下三角阵，U是一个上三角阵，I是单位矩阵。
然后，采用消去法，逐步消元，从而得到A⁻¹=I。
伴随矩阵法：给定n阶非奇异矩阵A，令A的伴随矩阵为C，即
C=adj(A)，其中adj(A)为矩阵A的代数余子式矩阵，那么A的逆矩阵A⁻¹可以通过A⁻¹=C/det(A)得到。
徐树芳-数值线性代数-答案完全版精选全文完整版
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
高斯约旦消元法求矩阵的逆
高斯约旦消元法求矩阵的逆高斯约旦消元法求矩阵的逆，这个话题听起来有点复杂，不过别担心，今天咱们轻松聊聊。
想象一下矩阵就像一张地图，各种数值像小路一样交织在一起。
可别小看这些数字，它们可是有故事的。
想要把一张地图变成另一张地图，甚至把它变得更好，咱们就得运用一些聪明的方法，而高斯约旦消元法就是其中之一。
说到高斯约旦，嘿，听起来是不是有点高大上？它的本质就像我们平时做的减法和加法，简单直接。
我们得把矩阵和单位矩阵拼在一起。
想象一下，像是在拼乐高，左边是原来的矩阵，右边是单位矩阵，慢慢地把它们变成一个大家庭。
就开始我们的“变形大作战”。
每一步都要仔细，就像你在烹饪时调味，一不小心可能就会翻车。
咱们先找一个“主元”，也就是对角线上的那个数字，把它变成1。
没错，就是把它炒熟！之后，就要用这个1去“打击”其他行，咱们可不想让其他的数字给我们添麻烦。
用上加减法，像个厨师在调和各种食材，慢慢地，其他的数字就会乖乖地变成0。
每一步都要有耐心，别着急，慢慢来，成功就是你的。
当所有行都整理好，咱们就能看到，原来的矩阵变得清清楚楚了，像是从混沌中走出来的晨曦。
此时，右边的单位矩阵也悄然变成了矩阵的逆。
多么神奇呀！这就是高斯约旦消元法的魅力所在，简单但却能解决复杂的问题。
是不是感觉自己像个数学魔法师？掌握了这个方法，面对任何矩阵，你都能自信满满。
求逆矩阵的过程中也不是一帆风顺。
有时，矩阵可能是“不可逆”的，那就像你试图把一个已经烧焦的菜挽救回来，根本不可能。
不过没关系，这也是学习的一部分。
遇到挫折别气馁，继续尝试，总有一天你会成为高手的。
多练几次，和朋友们一起讨论，互相帮助，数学的世界其实充满乐趣。
想象一下，当你能轻松求出矩阵的逆，周围的小伙伴们都对你刮目相看，那种感觉真是美滋滋。
就像是拿到了一张通往数学世界的通行证。
你可以用这个技能去解决更复杂的问题，甚至在一些实际应用中，如计算机图形学、工程设计等等。
高斯约旦法不是孤独的，它和生活息息相关。
c语言矩阵求逆
c语言矩阵求逆C语言矩阵求逆介绍：矩阵求逆是数学中的一个重要问题，它在工程、科学和计算机科学中都有广泛的应用。
在C语言中，我们可以通过编写程序来实现矩阵求逆的功能。
本文将介绍如何使用C语言来实现矩阵求逆的算法。
一、什么是矩阵求逆？矩阵求逆是指对于一个n×n的可逆矩阵A，找到一个n×n的可逆矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
二、实现方法1. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是一种经典的线性代数算法，可以用于求解线性方程组和计算矩阵的行列式、秩等问题。
在这里我们将使用高斯-约旦消元法来求解矩阵的逆。
步骤如下：（1）将A和单位矩阵I拼接成一个2n×n的增广矩阵M；（2）对M进行高斯-约旦消元操作，将其化为一个上三角形式；（3）再对M进行反向代入操作，将其化为一个对角线形式；（4）将M的右半部分取出来，即为矩阵A的逆。
代码实现如下：void inverse(double A[][MAXN], int n){double M[MAXN][2*MAXN];memset(M, 0, sizeof(M));for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)M[i][j]=A[i][j];for(int i=0;i<n;i++)M[i][n+i]=1;for(int i=0;i<n;i++){int k=i;for(int j=i+1;j<n;j++)if(fabs(M[j][i])>fabs(M[k][i]))k=j;if(fabs(M[k][i])<EPS)return ;swap(M[i],M[k]);double d=M[i][i];for(int j=0;j<2*n;j++)M[i][j]/=d;for(int j=0;j<n;j++)if(i!=j){d=M[j][i];for(int k=0;k<2*n;k++)M[j][k]-=d*M[i][k];}}for(int i=0;i<n;i++)memcpy(A[i],M[i]+n,sizeof(double)*n); }2. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种改进过的高斯消元法，它可以避免在计算过程中出现数值精度问题。
列主元Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆
2012-2013（1）专业课程实践论文列主元Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆夏文春，0818180226，R数学08-2班董蒙蒙，0818180104，R数学08-1班Gauss 消元法始终是消去对角线下方的元素，而Gauss-Jordan 列主元消去法是消去对角线上方和下方的元素，是对Gauss 消元法的一种修正。
Gauss-Jordan 列主元消去法在算法复杂度上虽然没有Gauss 消元法小，但是它在矩阵求逆理论有重要的应用。
Gauss-Jordan 列主元消去法求方阵的逆，步骤如下：1 detA ←1；对于k=1,2,…,n 做到步82 按列选主元素|k i k a |=max ni k ≤≤|ik a |；0c ←k i k a ，)(k Ip ←k i .3 如果0c =0，则计算停止（此时A 为奇异矩阵）.4 如果k i =k ，则转不5，否则换行：kj a ↔j i k a （j=1,2,…,n ）,detA ←—detA.5 detA ←0c *detA ；6 计算h ←kk a ←1/0c ;ik a ←ik m =-ik a ⋅h(i=1,2,…,n;i ≠k ).7 消元计算ij ij a a ←+kj ik a m1,2,3......,;1,2,3......,;i n i k j n j k =≠⎧⎫⎨⎬=≠⎩⎭. 8 计算主行);,,2,1(k j n j h a a ij kj ≠⋅⋅⋅=⋅←.9 交换列对于k=n-1,n-2,.......,2,1;1) t=Ip(k);2) 如果t ≤k ，则转至3），否则换列：ik a ↔it a (i=1,2,…,n ).3) 继续循环否是否是开始 输入原始方阵所在文件夹名 将初始矩阵的信息数据导入程序 按列选主元素|k i k a |=max n i k ≤≤|ik a |；k i k a c ←0 0c >=0.0000001 如果k i =k ，则转不5，否则换行：kj a ↔j i k a （j=1,2,…,n ）；detA ←—detA 按列逐次消元，并且记录每次选取列元所在 i>n 输出#include <iostream.h>#include <fstream.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define a(u,v) a[(u)*n+(v)-w]void main(){//-----------------------文件流---------------------------- char filename1[256],filename2[256];cout<<"Enter the path to input file:";cin>>filename1;cout<<"Enter the path to output file:";cin>>filename2;ifstream infile(filename1,ios::in|ios::nocreate); ofstream outfile(filename2);if(!infile){cout<<"Can not open input file:"<<filename1<<' '; exit(1);}//----------------------变量定义---------------------------- int n,w,k,i,j;int *p;double *a;double t;//------------------------输入------------------------------ infile>>n;w=n+1;p=new int[w];a=new double[n*n];for(i=0;i<n*n;i++)infile>>a[i];//------------------------算法------------------------------for(k=1;k<w;k++) //step 1{ p[k]=k;for(i=k;i<w;i++) //step 2{if(fabs(a(i,k))>fabs(a(p[k],k))) p[k]=i;}if(a(p[k],k)<1e-10) //step 3{cout<<"A is singular!"<<endl;exit(1);}if(p[k]!=k) //step 4for(i=1;i<w;i++){t=a(k,i);a(k,i)=a(p[k],i);a(p[k],i)=t;}a(k,k)=1/a(k,k); //step 5for(i=1;i<w;i++)if(i!=k)a(i,k)*=(-a(k,k)); //step 6for(i=1;i<w;i++) //step 7if(i!=k)for(j=1;j<w;j++)if(j!=k)a(i,j)+=a(i,k)*a(k,j);for(j=1;j<w;j++) //step 8if(j!=k)a(k,j)*=a(k,k);}for(k=n;k>0;k--) //step 9if(k!=p[k])for(i=1;i<w;i++){t=a(i,k);a(i,k)=a(i,p[k]);a(i,p[k])=t;}outfile<<"各步主行行号依次为::"<<endl; for(i=1;i<w;i++)outfile<<p[i]<<endl;' ';outfile<<"A的逆矩阵为:"<<endl; //step 10 for(i=1;i<w;i++){for(j=1;j<w;j++)outfile<<a(i,j)<<' ';outfile<<endl;}delete a,p;infile.close();outfile.close();}四、算法实现一）利用高斯约当列主元消去法求方阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121061084642 的逆矩阵解：运行程序(1) 显示出 Enter the path to input file:输入1.txt ，回车。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法矩阵逆矩阵是一个非常重要的概念，在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。
下面介绍了三种求矩阵逆矩阵的常见方法，以及它们的拓展。
方法一：行列式求解法行列式求解法是最常用的方法之一，它基于矩阵逆矩阵的定义，即矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵与原矩阵相乘的行列式。
具体步骤如下:1. 计算矩阵 A 的行列式;2. 将行列式乘以矩阵 A 的列向量，得到矩阵 A 的逆矩阵。
方法二：高斯 - 约旦消元法高斯 - 约旦消元法是一种用于求解矩阵逆矩阵的线性代数算法，它基于矩阵乘法的可逆性。
具体步骤如下:1. 将矩阵 A 分解成阶梯形矩阵;2. 对阶梯形矩阵的每一列进行高斯 - 约旦消元，得到一个新的矩阵;3. 将新的矩阵与原矩阵 A 相乘，得到矩阵 A 的逆矩阵。
方法三：奇异值分解法奇异值分解法是一种用于求解矩阵逆矩阵的非常规方法，它基于矩阵的奇异值分解。
具体步骤如下:1. 将矩阵 A 分解成奇异值分解;2. 对分解后的矩阵分别进行逆矩阵运算，得到矩阵 A 的逆矩阵。
拓展：矩阵逆矩阵的应用矩阵逆矩阵在许多数学和工程应用中都有广泛的应用，下面列举了其中的几个应用领域:1. 信号处理：矩阵逆矩阵在数字信号处理中被用来求解信号的逆变换，即信号的逆变换。
2. 量子力学：矩阵逆矩阵在量子力学中被用作求解系统的能级和波函数。
3. 控制理论：矩阵逆矩阵在控制理论中被用作求解系统的控制器，即控制器的逆矩阵。
4. 统计学：矩阵逆矩阵在统计学中被用于求解协方差矩阵的逆矩阵，即协方差矩阵的逆矩阵。
5. 计算机科学：矩阵逆矩阵在计算机科学中被用于求解矩阵的逆矩阵，即矩阵的逆矩阵。
矩阵逆矩阵是一种非常重要的数学概念，在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。
了解不同方法求解矩阵逆矩阵的原理和过程，有助于更好地理解和应用矩阵逆矩阵的概念。
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法
矩阵的逆矩阵是一种特殊的矩阵，与原矩阵相乘得到单位矩阵。
如果一个矩阵没有逆矩阵，则称该矩阵为“奇异矩阵”。
为了求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：
1.该矩阵是可逆矩阵（即没有行或列的线性相关）。
2.该矩阵是方阵（行数和列数相同）。
以下是求解矩阵的逆矩阵的方法：
1. 高斯-约旦消元法
使用高斯-约旦消元法可将一个矩阵转化为行阶梯矩阵（或最简模型矩阵）。
将该矩阵与一个单位矩阵进行行变换，直到原始矩阵变为单位矩阵。
此时右侧的矩阵即为原始矩阵的逆矩阵。
2. 列主元消元法
使用列主元消元法可将一个矩阵转化为一个特殊的矩阵，即一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
利用这个分解，可以很容易地计算出逆矩阵。
3. 矩阵伴随法
使用伴随矩阵法可以计算出一个矩阵的逆矩阵。
该方法将原始矩阵转置为其伴随矩阵，再将其除以原始矩阵的行列式即得到逆矩阵。
总之，求解一个矩阵的逆矩阵需要使用一些数学方法和技巧。
这
些方法的选择取决于矩阵的特性，以及求解逆矩阵的具体要求和目的。
矩阵求逆全选主元高斯消元法编程原理
⎜⎜⎛*#
" %
* #
* #
" %
*# ⎟⎟⎞
A~ (k) = ⎜⎜* ⎜*
" "
p(k) k ,k *
* " *⎟⎟
a (k +1) k +1,k +1
"
*⎟
⎜⎜⎜⎝*#
% "
# *
# *
% "
*# ⎟⎟⎟⎠
这样，当消元过程结束后，就得到了矩阵 Pn " P2 P1 ，即
A~ (n) = Pn "P2 P1
"
*⎟
# *
% "
*# ⎟⎟⎟⎠
而 Pk " P2 P1 的形式为：
⎜⎛ ⎜
* #
" %
* #
⎟⎞ ⎟
Pk
" P2 P1
=⎜ ⎜*⎜*" "
p(k) k ,k *
1
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜⎜⎝
# *
% "
# *
%
⎟ 1⎟⎟⎠
因此可以充分利用矩阵空间，在消元过程中将 Pk " P2 P1 矩阵存储在 A(k) 中，即
⎜⎜⎝
0 1
%
1 0
1
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ %⎟⎟⎠
则有
⎜⎛*
⎟⎞
⎜⎛*
*
⎟⎞
⎜* 0
1
⎟
⎜* 0
*
⎟
R2 P1
=
⎜⎜* ⎜*
1
%
0
⎟ ⎟ ⎟
，及
P2 R2 P1
=
⎜⎜* ⎜*
高斯消元法与矩阵求逆的计算方法研究
高斯消元法与矩阵求逆的计算方法研究矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程学科中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，求解矩阵的逆是一个常见的问题。
而高斯消元法是一种有效的方法来求解线性方程组，也可以用来计算矩阵的逆。
本文将研究高斯消元法与矩阵求逆的计算方法。
首先，我们来了解一下高斯消元法的基本原理。
高斯消元法是通过行变换将线性方程组转化为上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵，从而求解线性方程组的方法。
在高斯消元法中，我们可以使用初等行变换，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数再加到另一行上。
通过这些行变换，我们可以将线性方程组转化为上三角矩阵。
接下来，我们将探讨如何利用高斯消元法来计算矩阵的逆。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I（其中I是单位矩阵），那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。
我们可以使用高斯消元法来求解矩阵的逆。
首先，我们将矩阵A和单位矩阵拼接在一起，形成一个增广矩阵。
然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为左边是单位矩阵的形式。
这样，右边的部分就是矩阵A的逆矩阵了。
在进行行变换的过程中，我们需要注意一些细节。
首先，如果矩阵A的某一行全为0，那么这一行不能作为主元行，需要进行行交换。
其次，如果主元为0，那么需要进行列交换，以保证主元不为0。
最后，为了避免计算中出现较大的误差，我们可以对矩阵进行归一化处理，即将主元所在的行除以主元的值。
通过高斯消元法求解矩阵的逆的过程中，我们还需要注意一些特殊情况。
首先，如果矩阵A不可逆，那么我们无法求解其逆矩阵。
其次，如果矩阵A的某一行或某一列全为0，那么矩阵A也不可逆。
最后，如果矩阵A的行数和列数不相等，那么矩阵A也不可逆。
在实际应用中，高斯消元法与矩阵求逆的计算方法有一些局限性。
首先，高斯消元法的计算复杂度较高，特别是对于大规模的矩阵来说，计算时间可能会很长。
其次，高斯消元法在求解矩阵的逆时，需要进行大量的计算，容易受到舍入误差的影响。
高斯消元法求N阶矩阵的逆矩阵
N阶矩阵的逆矩阵 C语言实现#include<stdio.h>#include<math.h>long int const N=1000; //定义矩阵最大为1000阶int n; //n表示矩阵的行数和列数。
double juzhen[N][N]; //定义一个1000阶矩阵double danwei[N][N]; //定义一个单位矩阵bool zhaozuidazhi(int s)//定义一个布尔型从s行到n行选择最大的元素作为主元的函数。
{int i,j,A;double mas,temp; //temp为中间变量，实现行交换mas=fabs(juzhen[s][s]); //数学函数:fabs 功能：求浮点数juzhen[s][s]的绝对值//计算juzhen[s][s], 当juzhen[s][s]不为负时返回juzhen[s][s]，否则返回-juzhen[s][s] A=s;for(i=s+1;i<n;i++){if(mas<fabs(juzhen[i][s])){mas=fabs(juzhen[i][s]);A=i;}}if(mas==0)return false;//交换两行for(j=0;j<n;j++){temp=juzhen[s][j];juzhen[s][j]=juzhen[A][j];juzhen[A][j]=temp;temp=danwei[s][j];danwei[s][j]=danwei[A][j];danwei[A][j]=temp;}return true;}void jisuan(int s) //消元计算{int i,j;double mas=juzhen[s][s],r;for(i=s+1;i<n;i++){r=juzhen[i][s]/mas;for(j=0;j<n;j++){ //利用消元计算方阵使之成为上三角矩阵，最后使主对角线上的元素相乘就是最终结果juzhen[i][j]=juzhen[i][j]-juzhen[s][j]*r;danwei[i][j]=danwei[i][j]-danwei[s][j]*r;}}}void HH(int s){int i,j;double mas;mas=juzhen[s][s];for(i=s;i<n;i++)juzhen[s][i]=juzhen[s][i]/mas;for(i=0;i<n;i++)danwei[s][i]=danwei[s][i]/mas;for(i=s-1;i>=0;i--){mas=juzhen[i][s];juzhen[i][s]=0;for(j=0;j<n;j++)danwei[i][j]=danwei[i][j]-mas*danwei[s][j];}}int main(){int i,j;zl: printf("第一行输入矩阵的阶数，然后回车输入原始矩阵:\n");scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){if(i==j) danwei[i][j]=1;else danwei[i][j]=0;scanf("%lf",&juzhen[i][j]);//C语言的函数参数是传值而不是传引用的，//通常函数无法修改和操作参数.scanf可以修改参数的原因是传给scanf的// 那个参数是一个指针，scanf通过传过来的指针来修改指针指向的内容。
矩阵的逆与方程组的解法
矩阵的逆与方程组的解法矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆和方程组的解法是矩阵理论中的两个基本问题，它们相互关联，共同构成了矩阵运算的重要部分。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于任何一个可逆矩阵A，都存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
当矩阵A可逆时，我们可以使用逆矩阵来解决一些与A相关的问题。
1. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶矩阵A，如果其逆矩阵存在，那么可以使用伴随矩阵的方法来计算逆矩阵。
伴随矩阵的计算方式是将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵，记作Adj(A)。
然后，逆矩阵可以通过公式A^(-1) = (1/|A|) * Adj(A)来计算，其中|A|表示矩阵A的行列式。
2. 逆矩阵的应用逆矩阵在方程组的解法中起到了重要的作用。
当我们需要求解一个线性方程组Ax=b时，如果矩阵A可逆，那么方程的解可以表示为x=A^(-1)b。
通过计算逆矩阵，我们可以高效地求解这个方程组，得到其唯一解。
二、方程组的解法方程组是由多个方程构成的数学等式组合，常用于描述多元线性关系。
对于一个n元方程组，可以使用矩阵的方法来求解。
1. 列主元消元法列主元消元法是常用的方程组求解方法之一。
首先，将方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为上三角矩阵，然后通过回代的方式求解各个未知数。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种常用的方程组求解方法。
其思想与列主元消元法类似，但是在选取主元时，高斯-约当消元法关注的是当前列中绝对值最大的元素，而不是每个列的第一个非零元素。
3. 矩阵求逆法在一些情况下，我们可以通过求解方程组的逆矩阵来得到方程组的解。
当系数矩阵A可逆时，方程组的解可以表示为x=A^(-1)b，其中b 是方程组的常数向量。
不论是矩阵的逆矩阵求解，还是方程组的解法，都是矩阵理论中非常基础且重要的内容。
它们在线性代数、数学建模、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
矩阵的逆和方程组的解法不仅能够帮助我们求解现实问题，更深入理解矩阵运算的本质和规律。
3.1线性代数方程组的解法——列主元高斯消去算法
Mathematical Methods & its Applications 2015/10/20 第二步： 若 (2) ， a 22 a12 a13 11
a11 a12 ( 2) 0 a22 0 a ( 2) n2
即
a
0
J. G. Liu
a1n a a
(n＋1)n/2 次运算
众所周知，对方程组作如下变换，解不变， ①交换两个方程的次序； ②一个方程的两边同时乘以一个非零的数； ③一个方程的两边同时乘以一个数，加到另一个方程上。
School of Math. & Phys.
5
North China Elec. P.U.
Mathematical Methods & its Applications
n 1
n 1
3
2
加上 解上三角形方程组的计算量(n+1)n/2，总共为：
n n 2 3 n O( n ) 3 3
注： (1)
(1) ( 2) ( n) det A a11 a22 ann
3
这是计算行列式的一种有效数值方法！
(2) 求逆阵；
(3) 该方法又称顺序高斯消去法。
14 North China Elec. P.U.
下面看求解n元线性方程组的一般过程，
9
School of Math. & Phys.
North China Elec. P.U.
Mathematical Methods & its Applications
第一步：
若
a11 a12 a21 a22 a a n1 n 2