培优平行四边形辅导专题训练及详细答案

【答案】见解析 【解析】 试题分析：探究：由四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，利用 SAS 易证得 △ BCE≌ △ DCG，则可得 BE=DG； 应用：由 AD∥ BC，BE=DG，可得 S△ ABE+S△ CDE=S△ BEC=S△ CDG=8，又由 AE=3ED，可求得△ CDE 的面积，继而求得答案． 试题解析： 探究：∵ 四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形， ∴ BC=CD，CE=CG，∠ BCD=∠ A，∠ ECG=∠ F． ∵ ∠ A=∠ F， ∴ ∠ BCD=∠ ECG． ∴ ∠ BCD-∠ ECD=∠ ECG-∠ ECD， 即∠ BCE=∠ DCG． 在△ BCE 和△ DCG 中，
BC＝CD BCE＝DCG CE＝CG
∴ △ BCE≌ △ DCG（SAS）， ∴ BE=DG． 应用：∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD∥ BC，
∵ BE=DG， ∴ S△ ABE+S△ CDE=S△ BEC=S△ CDG=8， ∵ AE=3ED，
∴ S△ CDE= 1 8 2 , 4
（1）由三角形中位线定理得出 EG∥ AP，EF∥ BC，EF= 1 BC，GH∥ BC，GH= 1 BC，推出
2
2
EF∥ GH，EF=GH，证得四边形 EGHF 是平行四边形，证得 EF⊥AP，推出 EF⊥EG，即可得出
结论；
（2）由△ APE 与△ BPE 的底 AE=BE，又等高，得出 S△ APE=S△ BPE，由△ APE 与△ APF 的底 EP=FP，又等高，得出 S△ APE=S△ APF，由△ APF 与△ CPF 的底 AF=CF，又等高，得出 S△ APF=S△ CPF，证得△ PGH 底边 GH 上的高等于△ AEF 底边 EF 上高的一半，推出
∴ S△ APE＝S△ APF， ∴ S△ APF＝S△ BPE， ∵ PF 是△ APC 的中线，
∴ △ APF 与△ CPF 的底 AF＝ CF，又等高，
∴ S△ APF＝S△ CPF， ∴ S△ CPF＝S△ BPE， ∵ EF∥ GH∥ BC，E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，
∵ AE⊥BE，CF⊥BE，∴ AE∥ CK，∴ ∠ EAO=∠ KCO， ∵ OA=OC，∠ AOE=∠ COK，∴ △ AOE≌ △ COK，∴ OE=OK，
∵ △ EFK 是直角三角形，∴ OF= 1 EK=OE； 2
（2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 K，
∵ ∠ ABC=∠ AEB=∠ CFB=90°， ∴ ∠ ABE+∠ BAE=90°，∠ ABE+∠ CBF=90°，∴ ∠ BAE=∠ CBF， ∵ AB=BC，∴ △ ABE≌ △ BCF，∴ BE=CF，AE=BF， ∵ △ AOE≌ △ COK，∴ AE=CK，OE=OK，∴ FK=EF， ∴ △ EFK 是等腰直角三角形，∴ OF⊥EK，OF=OE； （3）如图 3 中，点 P 在线段 AO 上，延长 EO 交 CF 于 K，作 PH⊥OF 于 H，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到到 B′的位置，AB′与 CD 交于点 E. （1）求证：△ AED≌ △ CEB′ （2）若 AB = 8，DE = 3，点 P 为线段 AC 上任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥BC 于 H.求 PG +
5．（感知）如图①，四边形 ABCD、CEFG 均为正方形．可知 BE=DG． （拓展）如图②，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，且∠ A=∠ F．求证：BE=DG． （应用）如图③，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线 上．若 AE=2ED，∠ A=∠ F，△ EBC 的面积为 8，菱形 CEFG 的面积是_______．（只填结 果）
∵ |CF﹣AE|=2，EF=2 3 ，AE=CK，∴ FK=2， 在 Rt△ EFK 中，tan∠ FEK= 3 ，∴ ∠ FEK=30°，∠ EKF=60°，
3
∴ EK=2FK=4，OF= 1 EK=2， 2
∵ △ OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有 OF=FP=2，
在 Rt△ PHF 中，PH= 1 PF=1，HF= 3 ，OH=2﹣ 3 ， 2
PH 的值.
Fra Baidu bibliotek
【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质知，
，
，
，则由
得到
；
（2）由
，可得
，又由
，即可求得 的长，然后在
中，利用勾股定理即可求得 的长，再过点 作
于 ，由角平分线的性
质，可得 【详解】
，易证得四边形
是矩形，继而可求得答案.
（1） 四边形
为矩形，
，
，
又
，
；
（2）
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6 【解析】 试题分析：（1）作 BC 边上的中线 AD 即可． （2）根据互补三角形的定义证明即可． （3）①画出图形后，利用割补法求面积即可． ②平移△ CHG 到 AMF，连接 EM，IM，则 AM=CH=BI，只要证明 S△ EFM=3S△ ABC 即可． 试题解析：（1）如图 1 中，作 BC 边上的中线 AD，△ ABD 和△ ADC 是互补三角形．
（2）如图 2 中，延长 FA 到点 H，使得 AH=AF，连接 EH．
∵ 四边形 ABDE，四边形 ACGF 是正方形， ∴ AB=AE，AF=AC，∠ BAE=∠ CAF=90°， ∴ ∠ EAF+∠ BAC=180°， ∴ △ AEF 和△ ABC 是两个互补三角形． ∵ ∠ EAH+∠ HAB=∠ BAC+∠ HAB=90°， ∴ ∠ EAH=∠ BAC， ∵ AF=AC， ∴ AH=AB， 在△ AEH 和△ ABC 中，
∴ AD⊥BC，
∴ EF⊥AP，
∵ EG∥ AP，
∴ EF⊥EG，
∴ 平行四边形 EGHF 是矩形；
（2）∵ PE 是△ APB 的中线，
∴ △ APE 与△ BPE 的底 AE＝BE，又等高，
∴ S△ APE＝S△ BPE， ∵ AP 是△ AEF 的中线，
∴ △ APE 与△ APF 的底 EP＝FP，又等高，
∴ △ AEF 底边 EF 上的高等于△ ABC 底边 BC 上高的一半，△ PGH 底边 GH 上的高等于△ PBC
底边 BC 上高的一半，
∴ △ PGH 底边 GH 上的高等于△ AEF 底边 EF 上高的一半，
∵ GH＝EF，
∴ S△ PGH＝ 1 S△ AEF＝S△ APF， 2
综上所述，与△ BPE 面积相等的三角形为：△ APE、△ APF、△ CPF、△ PGH． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、 三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
∴ △ AEH≌ △ ABC， ∴ S△ AEF=S△ AEH=S△ ABC． （3）①边长为 、 、 的三角形如图 4 所示．
∵ S△ ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5， ∴ S 六边形=17+13+10+4×5.5=62． ②如图 3 中，平移△ CHG 到 AMF，连接 EM，IM，则 AM=CH=BI，设∠ ABC=x，
∴ OP=
12 2
2
3
6
2.
如图 4 中，点 P 在线段 OC 上，当 PO=PF 时，∠ POF=∠ PFO=30°， ∴ ∠ BOP=90°，
∴ OP= 3 OE= 2 3 ，
3
3
综上所述：OP 的长为 6 2 或 2 3 . 3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰 直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
4．已知 AD 是△ ABC 的中线 P 是线段 AD 上的一点（不与点 A、D 重合），连接 PB、PC， E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，AD 与 EF 交于点 M；
（1）如图 1，当 AB＝AC 时，求证：四边形 EGHF 是矩形； （2）如图 2，当点 P 与点 M 重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△ BPE 面 积相等的三角形（不包括△ BPE 本身）． 【答案】（1）见解析；（2）△ APE、△ APF、△ CPF、△ PGH． 【解析】 【分析】
S△ PGH= 1 S△ AEF=S△ APF，即可得出结果． 2
【详解】
（1）证明：∵ E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，
∴ EG∥ AP，EF∥ BC，EF＝ 1 BC，GH∥ BC，GH＝ 1 BC，
2
2
∴ EF∥ GH，EF＝GH，
∴ 四边形 EGHF 是平行四边形，
∵ AB＝AC，
3．在△ ABC 中，AB=BC，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点 P 不与点 A， O，C 重合）．过点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE，OF． （1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系； （2）如图 2，当∠ ABC=90°时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明 理由
∵ AM∥ CH，CH⊥BC， ∴ AM⊥BC， ∴ ∠ EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，
∵ ∠ DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x， ∴ ∠ EAM=∠ DBI，∵ AE=BD， ∴ △ AEM≌ △ DBI， ∵ 在△ DBI 和△ ABC 中，DB=AB，BI=BC，∠ DBI+∠ ABC=180°， ∴ △ DBI 和△ ABC 是互补三角形， ∴ S△ AEM=S△ AEF=S△ AFM=2， ∴ S△ EFM=3S△ ABC=6． 考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2 3 ，当△ POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP 的长为 6 2 或 2 3.
3
【解析】 【分析】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 K，证明△ AOE≌ △ COK，从而可得 OE=OK，再 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得 OF=OE； （2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 K，由已知证明△ ABE≌ △ BCF，△ AOE≌ △ COK，继而可 证得△ EFK 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得 OF⊥EK，OF=OE； （3）分点 P 在 AO 上与 CO 上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 K，
，
，
，
，
在
中，
，
过点 作
于，
，
，
，
，
，
，
、 、 共线，
，
四边形
是矩形，
，
. 【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾
股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作 法，注意数形结合思想的应用.
2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如 图 2，分别以△ ABC 的边 AB、AC 为边向外作正方形 ABDE 和 ACGF，则图中的两个三角形 就是互补三角形． （1）用尺规将图 1 中的△ ABC 分割成两个互补三角形； （2）证明图 2 中的△ ABC 分割成两个互补三角形； （3）如图 3，在图 2 的基础上再以 BC 为边向外作正方形 BCHI． ①已知三个正方形面积分别是 17、13、10，在如图 4 的网格中（网格中每个小正方形的 边长为 1）画出边长为 、 、 的三角形，并计算图 3 中六边形 DEFGHI 的面积． ②若△ ABC 的面积为 2，求以 EF、DI、HG 的长为边的三角形面积．
∴ S△ ECG=S△ CDE+S△ CDG=10 ∴ S 菱形 CEFG=2S△ ECG=20.
6．如图①，在矩形 ABCD 中，点 P 从 AB 边的中点 E 出发，沿着 E B C 速运动，速 度为每秒 2 个单位长度，到达点 C 后停止运动，点 Q 是 AD 上的点， AQ 10 ，设 PAQ 的面积为 y ，点 p 运动的时间为 t 秒， y 与 t 的函数关系如图②所示. (1)图①中 AB = ， BC = ，图②中 m = . (2)当 t =1 秒时，试判断以 PQ 为直径的圆是否与 BC 边相切?请说明理由: (3)点 p 在运动过程中，将矩形沿 PQ 所在直线折叠，则 t 为何值时，折叠后顶点 A 的对应 点 A 落在矩形的一边上.