3-力对点的矩与力对轴的矩剖析
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(完整版)力与力矩
力矩的量纲是距离乘以力；依照国际单位制，力矩的单位是牛顿-米。
虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以变换的。
BIPM (国际重量测量局) 设定这次序应是牛顿-米，而不是米-牛顿。
事实上，力矩与能量的关系是能量和一个对数矢量2π[lnK]的乘积，即t=2πQ[lnK]，[lnk]的方向垂直于作用平面。
因此用焦耳做单位也不是错误的。
做圆周运动时，K=e，因此使 1 牛顿-米的力矩，作用一全转，需要恰巧 2*Pi 焦耳的能量。
定义力对物体的作用效应，除移动效应外，还有转动效应。
当然，量纲相同并不尽是巧合；使 1 牛顿-米的力矩，作用一全转，需要恰巧 2*Pi 焦耳的能量。
静力观念当一个物体在静态平衡时，净作用力是零，对任何一点的净力矩也是零。
关于二维空间，平衡的要求是：x,y方向合力均为0，且合力矩为0.力矩电动机所谓的力矩电动机是一种扁平型多极永磁直流电动机。
其电枢有较多的槽数、换向片数和串联导体数，以降低转矩脉动和转速脉动。
力矩电动机有直流力矩电动机和交流力矩电动机两种。
其中，直流力矩电动机的自感电抗很小，所以响应性很好；其输出力矩与输入电流成正比，与转子的速度和位置无关；它可以在接近堵转状态下直接和负载连接低速运行而不用齿轮减速，所以在负载的轴上能产生很高的力矩对惯性比，并能消除由于使用减速齿轮而产生的系统误差。
交流力矩电动机又可以分为同步和异步两种，目前常用的是鼠笼型异步力矩电动机，它具有低转速和大力矩的特点。
一般地，在纺织工业中经常使用交流力矩电动机，其工作原理和结构和单相异步电动机的相同，但是由于鼠笼型转子的电阻较大，所以其机械特性较软。
动力观念力矩是角动量随时间的导数，就像力是动量随时间的导数。
刚体的角动量是转动惯量乘以角速度。
力对点的矩与力对轴的矩
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z Fz O
Mz ( F ) =Fxy.d
F
★:注意 ①力对轴之矩是代数量,正负由右 手螺旋法则确定;
xy
d
Fxy
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零; ③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
a O
b
Fh
α
F Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi )
= MO( Fv ) + MO( Fh )
0 Fsin a 2 b 2
Fsin a 2 b 2
i
MO( F ) = rOA×F x
j y Fy
k z Fz
Fx
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
i
MO( F ) = rOA×F x
j y Fy
k z Fz
Fx
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
——力对点矩矢量的解析表达式 力对点的矩矢量在 x、y、z 轴上的投影
B
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB 定义矢量 rOA
MO( F ) = rOA×F y 空间力系中，力对点的矩矢量 等于力始点相对于矩心的矢量 与力矢量的矢量积 rOA = x i +y j +z k
rOA
O
F A
第三章 力矩
攻丝时为什么要两个手施力,用一个手会有 什么不好之处
?
几个性质
(1) 当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力
偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。
(2) 力线平移的过程是可逆的，由此可得重要结论：
作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为
一个和原力大小相等的平行力。 (3) 力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平 面共点力系和一个平面力偶系的依据。
F'R
MO
FR′≠0，MO≠0，且FR′与 MO 不垂直
力螺旋
O
一个力和一个力偶组成的力系，且这个力垂直
于力偶的作用面。这样的力系称为力螺旋。
FR′ MO FR′
MO
(4) 力系平衡 FR′=0，MO = 0
力螺旋
MO O
FR′
z
O
x d M1 y
A
FR″
M 2 M O sin d FR FR
F′ F′ M F B d B A
A
F′′
M Fd M B ( F )
可以把作用于刚体上点A的力F平行移到同一刚体上 的任意点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加 力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 物理含义: 力可使物体移动和转动 力的平移定理说明一个力和一个力偶可 以进一步合成为一个力。
( Fx , Fy , Fz ) (100 14,150 14,50 14)
力F矢量对三个坐标轴的矩为： M x ( F ) yFz zFy 3 50 14 0 100 14
150 14( N m) 同理有：M y ( F ) zFx xFz 100 14( N m) M z ( F ) xFy yFx 0( N m) 力F矢量对O之矩为：
第三章理论力学
因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹
第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．
一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y
力对点之矩与力对轴之矩
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
O
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
都等于l。试求力F对x，y，z三轴的矩。
力对点之矩与力对轴之矩
解： （1）力F在x，y，z轴上的投影
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx (F)]2
[My
(F)]2
[Mz
(F)]2
cos(MO, i)
Mx (F) MO(F)
cos(MO,
j)
My (F) MO(F)
cos(MO, k)
Mz (F) M (F)力对点之矩与力对轴之矩
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
空间力系中，力对点的矩矢 量等于力始点相对于矩心的矢 量与力矢量的矢量积
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
O
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
都等于l。试求力F对x，y，z三轴的矩。
力对点之矩与力对轴之矩
解： （1）力F在x，y，z轴上的投影
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx (F)]2
[My
(F)]2
[Mz
(F)]2
cos(MO, i)
Mx (F) MO(F)
cos(MO,
j)
My (F) MO(F)
cos(MO, k)
Mz (F) M (F)力对点之矩与力对轴之矩
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
空间力系中，力对点的矩矢 量等于力始点相对于矩心的矢 量与力矢量的矢量积
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
理论力学（静力学）总结
理论力学（静力学）总结静力学——主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件;同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法等。
运动学——只从几何的角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
所谓刚体是指这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。
公理1 力的平行四边形规则公理2 二力平衡条件公理3 加减平衡力系原理推理1 力的可传性推理2 三力平衡汇交定理公理4 作用和反作用定律公理5 刚化原理约束反力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反1．具有光滑接触表面的约束F N作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体2．由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束拉力F T 方向沿着绳索背离物体3．光滑铰链约束(1)向心轴承(2) 圆柱铰链和固定铰链支座4．其它约束(1)滚动支座(2)球铰链一个空间力(3)止推轴承物体的受力分析受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向平面汇交力系几何法解析法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零力对刚体的转动效应可用力对点的矩(简称力矩)来度量力F 对于点O的矩以记号Mo(F )表示Mo(F )=±F h 力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。
力对点之矩是一个代数量r表示由点O到A的矢径矢积的模r F 就等于力F对点0的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。
合力矩定理这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶力偶只对物体的转动效应，可用力偶矩来度量力偶矩 M(F，F') 力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关M=±F d 代数量一般以逆时针转向为正，反之则为负。
同平面内力偶的等效定理推论(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。
第三章 空间力系
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
5
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
5
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
第3章(力偶系)
MO (F ) 与矩心的选择有关，为定位矢量
2. 力对点之矩矢的解析表达式
MO ( F ) r F
xi yj zk (Fx i Fy j Fz k ) （ ） i j k x y z Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k [ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
FA FA
OA O1 A sin 30o
解得： M 2 4 M1
作业 P46 3-1 c 3-2 3-5 3-8
二、力对坐标轴 之矩的解析表达式
M x (F ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) zFy yFz M y (F ) M y ( Fz ) M y (Fx ) xFz zFx Mz (F ) Mz (Fx ) Mz (Fy ) yFx xFy
M Rz M z = M 2 M3 cos30 48.5 N.m
合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：
2 2 2 M R M Rx M Ry M Rz 7.22 202 48.52 52.95 N.m
cos( M R cos( M R cos( M R
M , i)
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程 M FA a 2 b 2 0 M 0: 解得：
FA M a 2 b2
FB FC FC FA M a 2 b2
例：图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA 上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机 械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆 O1B 上所加力 偶的力偶矩 M2 。
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
力对轴的矩与力对点的矩
cos 3 ， cos 5
5.92
5.92
（2）计算力F 在各坐标轴上的投影
Fx
F
cos
500
N
1 5.92
84.5
N
Fy
F
cos
500
N
3 5.92
253.4
N
Fz
F cos
500
N
5 5.92
422.3
N
图3-6（b）
（3）计算力 F在各坐标轴的矩
力 F 作用点A的坐标是
x 15 cm，y 12 cm，z 0
设有一力 F ，其作用点A的坐标为 (x ，y ，z)，如图3-5所示。 为求力 F 对z轴的矩，可将力 向x，y，z三个坐标轴上投影，
分别记为 Fx ，Fy ，Fz ，而 F 为力 F 在 坐标面内的分力。
根据力对轴之矩的定义，
F 对于z轴的矩等于 对于O点的矩，即 M z (F ) MO (F )
力对轴的矩均为零。
（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时F 及d
均未改变。
合力矩定理 空间力系的合力对某一轴的矩，等于各分 力对同一轴之矩的代数和。
设有空间一般力系（ F1 ，F2 ， ，Fn ） ，其合力为FR ，则合力矩定理为
n
M z (FR ) M z (F1) M z (F2 ) M z (Fn ) M z (Fi ) i 1
根据平面力系的知识及合力矩定理，有 MO (F ) xFy yFx 于是
M z (F ) xFy yFx
如图3-5
同理，可计算力 F 对x轴及对y轴的矩。因此，力 F对x，y，z轴的矩
分别为
M
x
(F
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
第3章_力偶系
目录
3
§3.1
力对点之矩矢
平面中力对点之矩
两个要素：
1.大小：力F 与力臂的乘积
2.方向：转动方向 力矩的定义——力 F 的大小乘 以该力作用线到某点 O 间距离 d ，并加上适当正负号，称为 力F 对O 点的矩。简称力矩。
B
O d A
目录 4
F
§3.1
力对点之矩矢
力矩的表达式:
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
目录
20
§3.6
力偶系的平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶 矩矢等于零，即
力对点之矩矢在通过该点之轴上 的投影，等于力对该轴之矩。
目录
12
§3.3
力偶矩矢
M M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F rA F rB F ( rA rB ) F rBA F
M 0
M
零。
x
0
M
y
0
M
z
0
--称为空间力偶系的平衡方程. 对于平面问题：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于
M 0
目录 21
§3.5
例3-1 已知
力偶的合成
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2 及铰链O，B处的约束力.
目录
理论力学第三章
F1 400 FBx 800 0
F A x FB x 1 .5 N
F A z FB z 2 .5 N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
M O ( F ) yFz zFy
x
M F yF zF
x z
y
M O ( F ) zFx xFz
y
M F zF xF
y x
z
M O ( F ) xFy yFx
z
M F xF yF
M Mi
M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
F A x FB x 1 .5 N
F A z FB z 2 .5 N
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
M O ( F ) yFz zFy
x
M F yF zF
x z
y
M O ( F ) zFx xFz
y
M F zF xF
y x
z
M O ( F ) xFy yFx
z
M F xF yF
M Mi
M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力和力矩解析ppt课件
39
Fxy Fx i Fy j
M Z F xFy yFx
32
符号规定：按右手定则与z轴指向一致时为 正，反之为负。
33
例 1.3 槽形架在点O用螺栓固定，在点A处受倾斜角为
的力F 作用，尺寸如图示。求力F 对危险截面O处垂
直于力作用平面的Oz轴的力矩。 解：以O为原点作参考系（Oxyz），作矢径r =OA，
29
1.4 力对轴的矩
30
力对轴之矩的定义 M z (F ) M o (Fxy ) Fxy h
力F 对任一轴z之矩，等于该力在 垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该 平面和z轴的交点o之矩。
力对轴的矩是标量
31
因此得到：
M z (F) (rxy Fxy ) k rxy x i y j
第一篇 静 力 学
静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。 静力学主要研究：
力系的简化和力系的平衡条件及其应用。
1
刚体 就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 吊车梁简化为一刚性梁
2
平衡
是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运 动的状态。
3
力系：是指作用在物体上的一组力。
平衡力系：物体在力系作用下处于平衡， 我们称这个力系为平衡力系。
在已知力系上增加或减去任意一个平衡力系，并不改变作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
11
力的平行四边形公理
在同一作用点上作用的两个力，其合力的大小与 方向由平行四边形的对角线来确定。
合力计算用余弦定理
F F F FF cos
My F FxzC Fz xC N m
Mz F Fy xC Fx yC N m
Fxy Fx i Fy j
M Z F xFy yFx
32
符号规定：按右手定则与z轴指向一致时为 正，反之为负。
33
例 1.3 槽形架在点O用螺栓固定，在点A处受倾斜角为
的力F 作用，尺寸如图示。求力F 对危险截面O处垂
直于力作用平面的Oz轴的力矩。 解：以O为原点作参考系（Oxyz），作矢径r =OA，
29
1.4 力对轴的矩
30
力对轴之矩的定义 M z (F ) M o (Fxy ) Fxy h
力F 对任一轴z之矩，等于该力在 垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该 平面和z轴的交点o之矩。
力对轴的矩是标量
31
因此得到：
M z (F) (rxy Fxy ) k rxy x i y j
第一篇 静 力 学
静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。 静力学主要研究：
力系的简化和力系的平衡条件及其应用。
1
刚体 就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。 吊车梁简化为一刚性梁
2
平衡
是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运 动的状态。
3
力系：是指作用在物体上的一组力。
平衡力系：物体在力系作用下处于平衡， 我们称这个力系为平衡力系。
在已知力系上增加或减去任意一个平衡力系，并不改变作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
11
力的平行四边形公理
在同一作用点上作用的两个力，其合力的大小与 方向由平行四边形的对角线来确定。
合力计算用余弦定理
F F F FF cos
My F FxzC Fz xC N m
Mz F Fy xC Fx yC N m
理论力学第三章力矩与力偶
解: １）各力偶的合力偶矩为：
M mi m1 m2 m3 m4
4(15) 60 N m
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
284.6 N m
合力偶矩矢的方向余弦
cos M,i 0.6786， cos M,j 0.2811， cos M,k 0.6786
三、力偶系的平衡
空间力偶系的合成结果是合力偶
Fy= F cos450cos600=1000×0.707×0.500 N= 354 N
Fz= Fsin450=1000.0×0.707 N= 707 N
力F 对三个坐标轴的矩分别为
M x (F ) ( yFz zFy ) 0.06 707 42.4 N m
M y (F ) (zFx xFz ) (0.05) 707 35.4 N m
力偶矩矢与O点的选取无关，因 此力偶对空间任意一点的矩是一个常
A rAB
dB
mO
rmOAo(FF)omrOoB(FF)
rOA
(F
)
rOB
F
(rOB
rOA )
F
rAB F 力偶矩矢大小
mO
F d
矢量
结论:力偶矩矢为自由矢 量，力偶对刚体的转动效应完 全取决于力偶矩，与矩心无关
M mi m1 m2 m3 m4
4(15) 60 N m
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。
所以合力偶矩矢的大小
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
284.6 N m
合力偶矩矢的方向余弦
cos M,i 0.6786， cos M,j 0.2811， cos M,k 0.6786
三、力偶系的平衡
空间力偶系的合成结果是合力偶
Fy= F cos450cos600=1000×0.707×0.500 N= 354 N
Fz= Fsin450=1000.0×0.707 N= 707 N
力F 对三个坐标轴的矩分别为
M x (F ) ( yFz zFy ) 0.06 707 42.4 N m
M y (F ) (zFx xFz ) (0.05) 707 35.4 N m
力偶矩矢与O点的选取无关，因 此力偶对空间任意一点的矩是一个常
A rAB
dB
mO
rmOAo(FF)omrOoB(FF)
rOA
(F
)
rOB
F
(rOB
rOA )
F
rAB F 力偶矩矢大小
mO
F d
矢量
结论:力偶矩矢为自由矢 量，力偶对刚体的转动效应完 全取决于力偶矩，与矩心无关
第讲空间力投影力对点之矩汇交力系力偶系分解PPT学习教案
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Theoretical Mechanics
§3.2 力对点的矩和力对轴之矩
一、力对的点矩
1、定义：力的作用点A相对 于确定点O的矢径r和力矢F的 叉积，定义为力对点O（称为 矩心）的矩，用MO(F) 表示 。MO (F) = r×F。
n M O( F )
x
z
B
F
A
Oh
y
n M O( F )
Fx Fy Fz
(yFz zFy )i (zFx xFz )j (xFy yFx)k
力对点O的 矩 MO(F) 在三 个坐标轴上的
投影为：
Mo (F )x yFz zFy Mo (F) y zFx xFz Mo (F )z xFy yFz
第16页/共52页
Theoretical Mechanics
x
三要素：(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向n :转动方向z
B n
z
B
(3)作M用O(F面) ：力矩作用面F 。
M O( F )
力矩的大小和方向是随矩心的A改变而
改变的，力矩MO(F)必须从O 矩h 心O画y 出。由右手螺旋规x则来确定力对点之
x
矩，力对点之矩是定位矢。
F
r A AO
O
y
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第9 讲的内容、要求、重难点 教学内容：空间力对点之矩、对轴之矩，空间力偶系，空
间任意力系的简化
教学要求：
1、了解空间力对点之矩、空间任意力系的简化 2、理解空间力偶的性质 3、掌握力在空间力对轴之矩，应用空间力偶系简化和平衡
重点：力在空间力对轴之矩、力偶性质及平衡 难点：空间力偶系的平衡、空间任意力系的简化 学时安排：2
Theoretical Mechanics
§3.2 力对点的矩和力对轴之矩
一、力对的点矩
1、定义：力的作用点A相对 于确定点O的矢径r和力矢F的 叉积，定义为力对点O（称为 矩心）的矩，用MO(F) 表示 。MO (F) = r×F。
n M O( F )
x
z
B
F
A
Oh
y
n M O( F )
Fx Fy Fz
(yFz zFy )i (zFx xFz )j (xFy yFx)k
力对点O的 矩 MO(F) 在三 个坐标轴上的
投影为：
Mo (F )x yFz zFy Mo (F) y zFx xFz Mo (F )z xFy yFz
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Theoretical Mechanics
x
三要素：(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向n :转动方向z
B n
z
B
(3)作M用O(F面) ：力矩作用面F 。
M O( F )
力矩的大小和方向是随矩心的A改变而
改变的，力矩MO(F)必须从O 矩h 心O画y 出。由右手螺旋规x则来确定力对点之
x
矩，力对点之矩是定位矢。
F
r A AO
O
y
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第9 讲的内容、要求、重难点 教学内容：空间力对点之矩、对轴之矩，空间力偶系，空
间任意力系的简化
教学要求：
1、了解空间力对点之矩、空间任意力系的简化 2、理解空间力偶的性质 3、掌握力在空间力对轴之矩，应用空间力偶系简化和平衡
重点：力在空间力对轴之矩、力偶性质及平衡 难点：空间力偶系的平衡、空间任意力系的简化 学时安排：2
理论力学05空间力系_2力对轴的矩
解法一： 利用合力矩定理 将力 F 作正交分解， 分力大小
Fx F sin
Fz F cos
根据力对轴的合力矩定理，得
Fx
Fz
Mx F Mx Fx Mx Fz 0 Fz AB CD F l acos My F My Fx My Fz 0 Fz BC Fl cos
x、y、z 轴上的投影。
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
ab F
a2 b2 c2
M y1 F M y1 Fz
ac F
a2 b2 c2
z
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
◆ 本题亦可利用力对轴的矩的解析表达式求解
第二节 力对轴的矩与力对点的矩的矢量定义
一、力对轴的矩的定义
力对轴的矩定义为力在垂直于
轴的平面上的投影对轴与平面
交点的矩，即
O
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MO（F）
O
①过矩心作垂直于力矩平面的矢量， 其长度表示力矩的大小
②矢量的方向表示力矩平面的法线方向
F
③矢量的指向按右手螺旋法则确定
空间力系中力对点的矩矢量 MO（F）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
z MO（F）
B
rOA
F A
O
y
d
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
定义矢量 rOA
MO( F ) = rOA×F
力对某点矩矢量在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
[MO( F )]x = Mx ( F ) [MO( F )]y = My ( F ) [MO( F )]z = Mz ( F ) MO (F )=[Mx ( F )] i + [My ( F )] j + [Mz ( F )] k
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z Fz
O′
A
O Fx
z y
B F
Fy
Fxy y
x
A点坐标：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz 力F 对 oz 轴的矩为 Mz ( F ) = MO′ ( Fxy )
空间力系中，力对点的矩矢量 等于力始点相对于矩心的矢量 与力矢量的矢量积
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
即 Mz ( F ) = MO ( Fxy ) =Fxy .d
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
三、汇交力系合力之矩定理
n
对于由n个力组成的汇交力系 FR F1 F2 Fn Fi Fi i 1 MO( FR ) = rOA×FR = rOA×ΣFi =∑（rOA×Fi） =ΣMO( Fi ) 汇交力系的合力对任一点的力矩矢量，等于力系中各分 力对同一点的力矩矢量的矢量和。 ——汇交力系合力之矩定理
0 Fsin a2 b2 Fsin a2 b2
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy 将力 F 分解
Fz∥z 轴 Fxy⊥z 轴
定义： Fxy 对 O 点之矩为力 F 对 z 轴之矩：Mz ( F )
§2.4 力对点的矩
二、空间力系中力对点的矩
平面力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面是重合的
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
第二章 平面汇交力系与平面力偶系 空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素） ①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向 ——需用矢量表示空间力系中力对点的矩
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
——力对点矩矢量的解析表达式
力对点的矩矢量在 x、y、z 轴上的投影 [MO( F )]x = yFz - zFy [MO( F )]y = zFx - xFz [MO( F )]z = xFy - yFx
= MO′ ( Fx ) + MO′ ( Fy ) = -Fx.y + Fy .x
x
同理力F 对 ox 轴的矩为 = -Fy.z + Fz .y
力F 对 oy 轴的矩为 = -Fz.x + Fx .z
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z Fz
A点坐标：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz
B
O′
F
Mx (F )= yFz – zFy
A O Fx
zx
Fy
Fxy xFy - yFx.
y
力F 对 O 点之矩矢量的解析表达式
x
MO (F )=( yFz – zFy) i + ( zFx – xFz) j +( yFz – zFy) k
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
标量
O
B
d
F
A
定义：力 F 的大小×点 O 到 F 作用线的距离 d，加 以适当的正负号，为力F 对 O 点的矩。
MO（F）=F.d
O为力矩中心，简称矩心
=2S∆OAB
力与矩心确定的平面称为力矩平面
规定：力使物体绕矩心有逆时针转动趋势时力矩为正
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
标量
★注意
O
B
d
F
A
1. 矩心不一定要选为物体可以绕之转动的固定点。 2. 力为0或力作用线过矩心时，力矩为0。 3. 力沿其作用线滑动时，力矩值不变。 4. 必须指明矩心，力矩才有意义。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系