初一数学一题多解

例题一、如图1，已知AB//CD ，试找出B ∠、BED ∠和D ∠的关系并证明。

我们找出他们的关系是：D B BED ∠+∠=∠。证明如下：

方法一：如图2，过点E 作EF//AB 。因为EF AB //，所以B BEF ∠=∠；因为CD AB //，

EF

AB //，所以

CD

EF //，所以D FED ∠=∠，所以

D B FED BEF BED ∠+∠=∠+∠=∠。

方法二：如图3，过点E 作EF//AB 。

因为EF AB //，所以 180=∠+∠B BEF ，即B BEF ∠-=∠ 180；因为CD AB //，

EF AB //，所以CD EF //，所以 180=∠+∠D FED ，即D FED ∠-=∠ 180；因为

︒

=∠+∠+∠360FED BED BEF ，

所

以

)180180(360)(360D B FED BEF BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠︒︒ D B ∠+∠=。

方法三：如图4，连接BD 。因为CD AB //，所以 180=∠+∠BDC ABD ，即

)

(180EDB EBD EDC ABE ∠+∠-=∠+∠ ；在ΔBED 中，

)(180EDB EBD BED ∠+∠-=∠ ，所以EDC ABE BED ∠+∠=∠。

方法四：如图5，过点E 做AB FG ⊥，垂足为点F ，交CD 于点G 。因为CD AB //，

所以 90180=∠-=∠EFB EGD ；在直角ΔEGD 中，D GED ∠-=∠

90，在直角ΔEFB

中，

B

FEB ∠-=∠ 90，所以

)9090(180)(180B D FEB GED BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠ D B ∠+∠=。

方法五：如图6，延长BE 交CD 于点F 。因为CD AB //，所以B EFD ∠=∠；在ΔEFD 中，FED D EFD ∠-=∠+∠ 180，又因为FED BED ∠-=∠ 180，所以

D B D EFD BED ∠+∠=∠+∠=∠。

例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图1，在△ABC 中，AD=BD=CD ．

求证：△ABC 是直角三角形． 证法1 如图1，利用两锐角互余． ∵AD=CD ，CD=BD ， ∴∠1=∠A ，∠2=∠B 。

在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2（∠A+∠B ）=180°， ∴∠A+∠B=90°，

∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。 证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一．

延长AC 到E 使CE=AC ，连接BE ． ∵AD=BD ，

∴CD 是△ABE 的中位线．

∴BE 2

1

CD =。

∵AB 2

1

CD =

， ∴AB=BE ．

∴BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形．

证法3 如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．

过点D 作DE ⊥BC 交BC 于点E ．

∴CD=BD ，

∴BC 21

BE =，

∴

2

1

AB BD BC BE ==， ∵∠B 是公共角， ∴△BDE ∽△BAC 。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC 是直角三角形。

证法4 如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．

取BC 中点E ，连接DE ．

∵AD=BD ，∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥AC ． ∵CD=BD ，CE=BE ， ∴DE ⊥BC ．

∴AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形．

证法5 如图5，构造四边形，并证其为矩形．

延长CD 到E 使DE=CD ，连接AE 、BE ． ∵AD=BD=CD ．

∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE ． ∴四边形ABCD 是矩形．

∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形． 证法6 如图6，利用勾股定理的逆定理．

设AC=b ，BC=a ，AB=c ，取BC 中点E ，连接DE ． ∴DE 是△ABC 的中位线．

∴b 21

AC 21DE ==。

∵CD=BD ，∴DE ⊥BC 。

在Rt △DEB 中，∵222BD BE DE =+， ∴2

2

2

c 21a 21b 21⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛。 ∴222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形。

证法7 如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。

延长CD 到E 使DE=CD ，连接BE 。 ∵AD=BD ，∠1=∠2， ∴△ADC ≌△BDE （SAS ）， ∴∠ACD=∠E ，AC=BE ， ∴AC ∥BE ，

∴∠ACB+∠EBC=180°。 又∵AD=CD ，∴AB=CE 。 ∵BC 是公共边，

∴△ACB ≌△EBC （SSS ）。 ∴∠ACB=∠EBC 。

∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。 证法8 如图8，利用直径所对的圆周角是直角。

以D 为圆心，DA 长为半径作圆。 ∵AD=BD=CD ，

∴点C 、B 在圆上，AB 是直径。 ∴∠ACB=90°。 ∴△ABC 是直角三角形。

例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱？

这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。

下面让我们先来列出方程。

设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，可得方程

⎩

⎨

⎧=++=++20.334225

.99513z y x z y x ，求z y x ++的值。 解法一：变元法：

把z 看成常数，解关于x 、y 的方程，可得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-=-=2010112

1z y z x

然后代入所求式z y x ++中，得：05.120

101121=+-+-=

++z z

z z y x 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。

解法二：直接构造法：

因为题目中要求z y x ++的值，所以将原方程互助组变形直接构造出z y x ++。

⎩

⎨⎧=--++=++++⇔⎩⎨

⎧=++=++20.32)(425

.948)(520.334225.99513z x z y x z x z y x z y x z y x ②⨯4+①得05.22)(21=++z y x

05.1=++∴z y x