用函数观点看方程与不等式

例1．如图1所示，直线y=kx+b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组1
2
x<kx+b<0的解集为___－3<x<－2 ____．
图1 图2 图3 例2．如图2，直线y=kx （k>0）与双曲线y=
4
x
交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于__20_____． 例3．如图3所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题：
（1）乙出发时，与甲相距_10_____km ；
（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为__1___h ； （3）乙从出发起，经过__3___h 与甲相遇；
（4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式___s=10+
20
3
t ____； （5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过__1.2____h 与甲相遇，相遇处离乙的出发点_18___km ．并在图中
标出其相遇点．
例4 已知二次函数y ax bx c =++2，且a a b c <-+>00，，则一定有（ ）
A. b ac 240->
B. b ac 240-=
C. b ac 240-<
D. b ac 240-≤
分析：由a <0，可知抛物线开口向下，又当x =-1时，y a b c =-+>0，所以抛物线有在x 轴上方的图象，必与x 轴有两个交点，则方程有两个不等实根，∆=->b ac 240，故选（A ）。

解：Θy ax bx c =++2中a <0， ∴抛物线的开口向下
又当x =-1时，y a b c =-+>0， ∴抛物线有在第二象限的点。

它的示意图如图。

（3）根据已知条件求出x 的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值． 【解答】（1）
C D
总计
A xt
（200－x ）t 200t
B
（240－x ）t （60+x ）t
300t 总计 240t
260t
500t
y A =－5x+5000（0≤x≤200），y B =3x+4680（0≤x≤200）． （2）当y A =y B 时，－5x+5000=3x+4680，x=40； 当y A >y B 时，－5x+5000>3x+4680，x<40； 当y A <y B 时，－5x+5000<3x+4680，x>40．
∴当x=40时，y A =y B 即两村运费相等；当0≤x<40时，y A >y B 即B 村运费较少；当40<x≤200时，y A <y B 即A 村费用较少．
（3）由y B ≤4830得 3x+4580≤4830． ∴x≤50．
设两村运费之和为y ，∴y=y A +y B ， 即：y=－2x+9680．
又∵0≤x≤50时，y 随x 增大而减小，
∴当x=50时，y 有最小值，y 最小值=9580（元）．
答：当A 村调往C 仓库的柑橘重为50t ，调运D 仓库为150t ，B 村调往C 仓库为190t ，调往D 仓库110t 的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元． 例8 已知抛物线
y=x 2－mx+
22m 与抛物线y=x 2+mx －4
3
m 2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x 轴交于A 、B 两点．
图26－2－1
（x3，0），与y轴相交手点D．（1）求证：
1
1
x
+
2
1
x
=
3
1
x
，y1y2＝b2；（2）当B为DC的中点时，求ab的值；（3）取a＝1，当 AD∶DB＝2∶1时，求b的值．
解（1）证明：∵A、B是直线y=-x+b与抛物线的交点，
∴（x1，y1），（x2，y2）是方程组
⎩
⎨
⎧
=
+
-
=
2
,
ax
y
b
x
y
的解，
故x1，x2是方程ax2+x-b＝0的两根，由根与系数的关系得：
x1+x2= -
a
1
, x1·x2= -
a
b
,
又直线y＝-x＋b与x轴交于点C（x3，0），∴x3＝b，
∴
1
1
x
+
2
1
x
=
2
1
2
1
x
x
x
x
•
+
= -
a
1
/-
a
b
=
b
1
=
3
1
x
；
y1y2=ax12·ax22=a2·(x1·x2)2=a2·(-
a
b
)2=b2.
（2）作BE⊥x轴于E，∵DB=BC, ∴
2
1
OD=BE,OE=
2
1
OC，
∵D(0,b),C(b,0)∴B(
2
1
b,
2
1
b). 又点B在抛物线y＝ax2上，
∴
2
1
b＝a·（
2
1
b）2⇒ab＝2．
（3）过A点作AF⊥x轴于F，∵AD∶DB＝2：1，∴OF∶OE＝2∶1．∴x1∶x2＝-2∶1，
又x1+x2= -
a
1
= -1. ∴x1= -2,x2=1, ∴b=-x1·x2=2。

【解题技巧点拨】
此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；
④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。

、
课堂练习
1、如图4所示，已知函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为P，•则不等式x+b>ax+3的解集为__x>1______．
图4 图5 图6
2．函数y1=x+1与y2=ax+b（a≠0）的图像如图5所示，•这两个函数图像的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是（D ）
A．x>－1 B．x<2 C．1<x<2 D．－1<x<2
3．如图6，一次函数y=kx+b的图像经过A，B两点，则kx+b>0•的解集是（C ）
A．x>0 B．x>2 C．x>－3 D．－3<x<2
4．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L1，L2如图所示，他解的这个方程组是（D ）
A．
22
1
1
2
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
B．
22
y x
y x
=-+
⎧
⎨
=-
⎩
C．
38,
1
3
2
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
D．
22,
1
1
2
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
5．已知一次函数y=
3
2
x+m和y=－
1
2
x+n的图像都经过点A（－2，0），且与x轴交于A，B两点，那么△ABC的面积是（C）
A．2 B．3 C．4 D．6
6. 在反比例函数y
k
x
=中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y kx kx
=+
22的图象大致是（D ）y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
(A) (B) (C) (D)
abc= -
41;(2)证y=ax+b 必经过C 点，求得a= -1,c=21,b=21,∴y= -x 2+21x+21= -(x-41)2+169≤16
9 14．已知一抛物线经过O （0，0）、B （1，1）两点，且解析式的二次项系数为-a 1(a ＞0)求该抛物线的解析式（系数用含a 的代数式表示）；（2）已知点A （0，1），若抛物线与射线AB 相交于点M ，与x 轴相交于点N （异于原点），求点M 、N 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，问：当 a 在什么范围内取值时，ON+BM 的值为常数？当a 在什么范围内取值时，ON-BM 的值也为常数？
(1)y= -a 1x 2+(1+a
1)x;(2)M(a,1),N(a+1,0);(3)当0<a ≤1时，ON+BM=2，当a ≥1时，ON-BM=2 15、已知二次函数y 1=x 2-2x-3．（1）结合函数y 1的图象，确定当x 取什么值时，y 1＞0， y 1＝0，y 1＜0；（2）根据（1）
的结论，确定函数y 2=2
1（|y 1|－y 1）关于x 的解析式;（3）若一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与函数y 2的图象交于三个不同的点，试确定实数k 与b 应满足的条件．
15.(1)当x<-1或x>3时，y 1>0；当x= -1或x=3时，y 1=0;当-1<x<3时，y 1<0;(2)当x ≤-1或x ≥3时，y 2=0，当-1<x<3时，
y 2= -x 2+2x+3;(3)⎪⎩
⎪⎨⎧+-<<-<<-3)2(413042k b k k 或⎪⎩⎪⎨⎧+-<<<<3)2(41402k b k k
50min。