空间夹角和距离的计算

； .
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3．利用空间向量求空间距离
(1)空间一点A到直线l的距离的算法框图如图
d＝
→ |2－|PA →· |PA s0|2 .
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(2)空间一点A到平面π的距离的算法框图如图
d＝
→· |PA n0|
.
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1．已知平面α 内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为 n＝ (6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是( A．P(2,3,3) C．P(－4,4,0) B．P(－2,0,1) D．P(3，－3,4) )
→· → EF A 3 1D → → 于是 cos〈EF，A1D〉＝ ＝－ . 5 → → |EF||A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5
→ 3 1 → → (2)证明： 易知AF＝(1,2,1)， EA1＝ －1，－2，4 ， ED＝ －1，2，0，
解析： 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点， 设 AB＝1， 依题意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)， D(0,2,0)，E(0,1,1)，
1 1 . ， 1 ， F(0,0,1)，M 2 2
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(1)B→ F ＝(－1,0,1)，D→ E ＝(0，－1,1)， 于是 cos〈B→ F ，D→ E 〉＝ 0＋0＋1 1 ＝ ＝ . 2 → → 2· 2 |B F ||D E | B→ F· D→ E
答案： C
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3．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、SD 所成的角的余弦值为( 1 A. 3 2 B. 3 )
3 2 C. D. 3 3 解析： 如图建立空间直角坐标系 Oxyz，令正四棱锥的棱长为 2，
则 A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，
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垂直
l1⊥l2⇔v1⊥v2 ⇔v1·v2＝0
l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ 为非零实数)
α⊥β⇔n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0
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2.利用空间向量求空间角
(1)直线间的夹角 ①当两条直线 l1 与 l2 共面时，我们把两条直线交角中不超过 90°的 角叫做 两直线的夹角． ②当直线 l1 与l2 是异面直线时，在直线 l1 上任取一点A 作AB∥l2 ，我
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(2)设平面 SAB 的一个法向量为 n＝(a，b，c)， 则 n· S→ B ＝(a，b，c)· (1,1，－1)＝a＋b－c＝0， n· S→ A ＝(a，b，c)· (0,1，－1)＝b－c＝0. 令 b＝1 可得 n＝(0,1,1)， cos〈M→ N ，n〉＝ ＝ → |M N |· |n| M→ N· n －1 6 ＝－ . 3 3 ·2 4
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利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的
向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的向 量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
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(2010· 天 津 卷 ) 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD －
A1B1C1D1 中，E 、 F 分别是棱 BC ， CC1 上的点， CF ＝ AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明：AF⊥平面A1ED.
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利用向量法求线面角的方法．一是分别求出斜线和它在平面内的射
影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通 过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
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(2011· 徐州质检)如图所示， 在四棱锥 S－OABC 中， 底面四边形 OABC π 是直角梯形，且∠COA＝∠OAB＝ ，OA＝OS＝AB＝1，OC＝4，点 M 是 2 棱 SB 的中点，N 是 OC 上的点，且 ON∶NC＝1∶3，以 OC，OA，OS 所 在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 O－xyz. (1)求异面直线 MN 与 BC 所成的角的余弦值； (2)求 MN 与平面 SAB 所成的角的正弦值．
→ ，n〉|＝ 6. ∴sin〈M→ N ，n〉＝sin θ＝|cos〈MN 3 6 ∴直线 MN 与平面 SAB 所成的角的正弦值为 . 3
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【变式训练】 2.如图(1)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°， CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面 ABC，得到几何体D－ABC，如图(2)所示．
2 ．已知两平面的法向量分别为 m ＝ (0,1,0) ， n ＝ (0,1,1) ，则两平面
所成的二面角为(
A．45°
)
B．135° D．90°
C．45°或135°
1 2 m· n 解析： cos〈m，n〉＝ ＝ ＝ ， |m||n| 1· 2 2 即〈m，n〉＝45° ，其补角为 135° . ∴两平面所成二面角为 45° 或 180° －45° ＝135° .
解析： 如图所示，建立空间直角坐标系， 点A为 坐标原点，设 AB＝1， 依 题 意 得 D(0,2,0) ， F(1,2,1) ， A1(0,0,4) ，
3 E1，2，0.
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→ 1 → ＝ 来自百度文库， ，1，A (1)易得EF 1D＝(0,2，－4)， 2
答案： C
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1 4． 若直线 l 的方向向量 e＝(2,1， m)， 平面 α 的法向量 n＝1，2，2，
且 l⊥α，则 m＝________.
解析： 平面 α 的法向量即为平面的法线的方向向量，
又 l⊥α，∴e∥n， 即 e＝λn(λ≠0)，
1 亦即(2,1，m)＝λ1，2，2， λ＝2， ∴ ∴m＝4. m ＝ 2 λ .
所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60° . 1 1 →＝ → ，1， ，C→ (2)证明：由 AM E ＝ ( － 1,0,1) ， A D ＝(0,2,0) 2 2

→＝0，C→ 可得 C→ E· AM E· A→ D ＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又 AM∩AD＝A，故 CE⊥平面 AMD. 而 CE 平面 CDE，所以平面 AMD⊥平面 CDE.
答案： 4
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5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB
＝1，AA1＝2，则二面角C1－AB－C的余弦值为 ________．
解析： 如图，建立空间直角坐标系， →1＝(0,1,2)， 则 A(0,0,0)，AC
3 1 → A B ＝ ， ，0. 2
2

设 n＝(x，y，z)为平面 ABC1 的法向量
→· →1＝0，AF →· → ＝0， 于是AF EA ED 因此，AF⊥EA1，AF⊥ED，又 EA1∩ED＝E， 所以 AF⊥平面 A1ED.
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【变式训练】
1.如图，在五面体 ABCDEF 中，FA⊥平面 ABCD，
1 AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M 为 EC 的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝ AD. 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (2)证明：平面 AMD⊥平面 CDE.
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(3)直线与平面的夹角
①平面外一条直线与它在平面内
π 0 ， 2
投影
的夹角叫做该直线与
此平面的夹角．其夹角θ∈
.
②已知直线的方向向量s与平面的法向量n， π －〈s，n〉 ； 2 当〈s，n〉≤时，则θ= π 〈 s ， n 〉－ . 当〈s，n〉＞时，则θ＝ 2
(2)方法一：由(1)知 AD⊥平面 BCD， ∴平面 ABD⊥平面 BCD. ∴∠CBD 即为 BC 与平面 ABD 所成角． ∴sin θ＝sin∠CBD＝ CD 2 3 ＝ ＝ . DB 2 3 3
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方法二：建立空间直角坐标系 O－xyz，如图所示，则 A( 2，0,0)， B(－ 2，2 2，0)，C(－ 2，0,0)，D(0,0， 2)，A→ B ＝(－2 2，2 2，0)， A→ D ＝(－ 2，0， 2)，B→ C ＝(0，－2 2，0)． 设平面 ABD 的法向量为 n＝(x，y，z)．
第7课时 空间夹角和距离的计算
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1．利用空间向量证明空间中的位置关系
若直线l，l1，l2的方向向量分别为v，v1，v2，平面α，β的法向量分
别为n1 ，n2 ，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表
如下： 平行
直线 l ∥l ⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ为非零实数) 与直线 1 2 (1)l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝0 直线 (2)l∥α⇔v＝xa＋yb其中a，b为平面α内 与平面 不共线向量，x，y均为实数 平面 α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2 与平面 (λ为非零实数)
解析： 由于 n＝(6，－3,6)是平面 α 的法向量，所以它应该和平面 α 内的任意一个向量垂直，只有在选项 A 中，M→ P ＝(2,3,3)－(1，－1,2) ＝(1,4,1)，M→ P· n＝(1,4,1)· (6，－3,6)＝0，所以点 P 在平面 α 内．
答案： A
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解析： 由题知 S(0,0,1)，C(4,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，
1 1 1 所以 N(1,0,0)，M2，2，2. 1 1 1 → → (1)M N ＝ ，－ ，－ ，CB＝(－3,1,0)， 2
2
2
3 1 － － → → 2 2 M N · C B cos〈M→ N ，C→ B 〉＝ ＝ 3 |M→ N |· |C→ B| · 10 4 2 ＝－ 30. 15 ∴直线 MN 与 BC 所成的角的余弦值为 2 30 . 15
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求BC与平面ABD所成角θ的正弦值．
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解析： (1)证明：由已知有 AC＝BC＝2 2，从而 AC2＋BC2＝AB2， 故 AC⊥BC. 取 AC 中点 O，连接 DO，则 DO⊥AC， 又平面 ADC⊥平面 ABC，平面 ADC∩平面 ABC＝AC，DO 平面 ACD，从而 DO⊥平面 ABC，∴DO⊥BC. 又 AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面 ACD.
3x＋1y＝0， 2 则 2 y＋2z＝0.
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取 m＝(0,0,1)，作为平面 ABC 的法向量． 1 57 则 cos〈m，n〉＝－ ＝－ . 19 19 3 57 ∴二面角 C1－AB－C 的余弦值为 . 19
答案：
57 19
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1 1 2 S(0,0， 2)，E ， ， ， 2 2 2 1 3 2 → A E ＝－ ， ， ，
2
2
2
S→ D ＝(－1，－1，－ 2)，
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A→ E· S→ D 3 → → ∴cos〈A E ，S D 〉＝ ＝－ ， 3 → → |A E ||S D | ∴AE、SD 所成的角的余弦值为 3 . 3
们把直线l1和直线AB的夹角叫做
π 0 ， . 2
异面直线l1与l2的夹角．
其夹
角θ∈
.
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③已知直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2. π 当〈s1，s2〉≤ 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 〈s1，s2〉 ； 2 π 当 ＜〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 π－〈s1，s2〉 ． 2
(2)平面间的夹角 ① 两个 平面 所成 的 二 面 角 的 平 面 角 的大 小就 是这 两个平面的夹角．
其夹角θ∈[0，π]．
②平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两个平面二面角的平 面角，它由〈n1，n2〉确定．
π 当〈n1，n2〉≤ 时，θ＝ 2
〈n1，n2〉
；
π 当 ＜〈n1，n2〉≤π 时，θ＝π－ 〈n1，n2〉． 2