数理逻辑与集合论作业二 - 参考解答

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高等数理逻辑作业答案

无限集合初步z写出集合论公理的一阶描述. 解答外延公理:空集公理:偶对公理:并集公理:子集公理:幂集公理:无穷公理:替换公理:正规公理:选择公理：□z证明:可数符号表上有限长字符串集合是可数的.证明假设给定的可数符号表是集合 , 则 {长度是的字符串的集合 . {长度是的字符串的集合 .{每个都是可数集合, 这可数个可数集合的并集是可数的.高等数理逻辑作业全部]xy(]z(z J x ?z J y)> x =y )^x ]y(y J x)./]xy ^u ]z(z J u ?z=x Z z=y).]x ^u ]y(y J u ?(^z(z J x [y J z))).]x 1,l ,x n ]x ^y ]z(z J y ?z J x [9).]x ^y(]z(z J y ?z N x )).^x(IJ x [(]y(y J x >y +J x ))).]x 1,l ,x n ]x(<> ^y ]z(z J y ?^u J x 9[u,z])).]x(x=I> ^y(y J x [y Q x=I ))./]x(x=I> ^y(91[92))./A 1S 1=A 2S 2={ab|a,b J A}l S n□z证明: .证明可以仅考虑开区间内的实数, 证明可以按照以下方式构造双射: □公理集合论初步z空集是函数. 证明是一个函数, 当且仅当以下性质成立:其中{ 是公式 {是公式是一个函数. 这是因为:在上述定义中, 两个蕴涵式的前提不成立.□z对于集合及 , 则它们的交集是集合.证明这个集合是存在的, 是由子集公理保证的:相应的集合是、一阶公式是 . □z对于集合及 ,它们的卡氏积是集合. 对于以下两个实数:对应于以下实数:R .R #R (0,1)(0,1)#(0,1).(0,1).u=0$a 0a 1a 2l v=0$b 0b 1b 2l w=0$a 0b 0a 1b 1a 2b 2l a 91[92.91]x(x J a > ^uv(x= )).92]uvw( J a [ J a > v =w ).I x J a > ^uv(x= ), J a [ J a > v =w x y a-b={x|x J a [x J b}./a-b={x J a|x J b}./a x Jb /x y x #y={ |u J x,v J y}证明对于集合及 , 乘积的存在性可以由子集公理保证:其中:{ 是集合:{ 是公式: . □z假设是两个集合, 存在到的满射. 证明: 存在到的单射.证明假设是满射, 则可以定义到的映射 : 是单射, 这是因为当时, , 所以□公理集合论及自然数理论初步z证明: 存在无限集合证明定义以下公式 :其中{ 是公式: . {是公式: .对任意的 , 存在唯一一个函数满足由此可知, 对任意的 , 存在唯一的使得根据替换公理, 可知存在集合这时对每个 , 考虑集合因为是满射, 所以不是空集, 任取作为的象, 则可以定义到的映射 . a b a #b a #b={w|w J c [9(w)}.c 3(3(x)P 3(a P b)).9(w)^uv(u J a [v J b [w= )A,B A B B A f:A >B B A g y J B f -1({y})={x J A|f(x)=y},f f -1({y})x J f -1({y})y B A g g y 1=y 2J B /f -1({y 1})Q f -1({y 2})=I g(y 1)=g(y 2)./{0,{1},{{2}},{{{3}}},l }.)(x,y)(x=0> y =x )[(\x=0> ^f(91[92[y=f(x)))91func (f)[0J dom (f)[f(0)=x [dom (f)=x +92]u(u J dom (f)[u +J dom (f)> f (u +)={f(u)})n J =f 91[n][92.n J =a )[n,a]..={a|^n(n J =[)[n,a])}.0,{1},{{2}},{{{3}}},lJ ..□z证明: 证明假设是两个自然数, 满足 , 这时, 根据定义可知:若 , 则 {从可知 , 因而 .{从可知 , 因而 .这时集合不满足正规公理:这个矛盾表明 .□命题逻辑的可靠性证明命题逻辑具有可靠性. 证明如下定义公理系统:z公理:{ : . { : . {: .z规则:定义为: 存在公式序列使得z 或者 ;z 或者是公理; z 或者存在 , 使得是 . 且是 .这时, 对任意的赋值 , 都有同时所以这是命题逻辑的可靠性质. 如下定义公理系统:当且 ,时, . 若 , 则 .]mn(m J =[n J =[m +=n +> m =n).m,n m +=n +m P {m}=n P {n}.m=n/m J m P {m}m J n P {n}m J n n J n P {n}n J m P {m}n J m x={m,n}x=I> ^y(y J x [y Q x=I )./m=n 91A > (B > A )92(A > (B > C ))> ((A > B )> (A > C ))93(\A > B )> ((\A > \B)> A )A,A > B B.D U C < A 1,A 2,l ,A n > A iJ > A ij,k A i A n C v v(91)=1,v(92)=1v(93)=1.v(A)=1v(A >B )=1v(B)=1D UCD X Cz公理:z规则:{ . 单调性{反证法{三段论{演绎定理 {,{{{, {,{可以类似地验证可靠性.□命题逻辑完备性对任意的极大协调集合及公式 , 有以下性质:z当且仅当 . 证明若则 . 若 , 则这时 , 与的协调性相矛盾.所以 . 若则 . 若 , 则根据极大协调集合的定义, 可知是不协调的,所以 , 这与相矛盾, 所以 .□A U A.D U A D ,D d U AD ,\A U B 且D ,\A U\B D U A.D U A 且D U A > B D U B.D ,A U B D U A > B .D U A [B D U AD U A [B D U B.D U A 且D U B D U A [B.D ,A U C 且D ,B U C D ,A Z B U C.D U A D U A Z BD U A D U B Z A.D U A ?B 且D U A D U BD U A ?B 且D U B D U A.D ,A U B 且D ,B U A D U A ?B.D A,B \A J D A J D /\A J D A JD /A J D A,\A J D D A JD /A JD /\A J D \A JD /D P {\A}D ,\A U 0,A J D A JD /\A J Dz当且仅当并且 . 证明若则并且 . 因为所以当时,因为极大协调集合对是封闭的, 所以若并且则 . 若并且 ,则因而根据极大协调集合对是封闭的,可知 .□z 当且仅当或者 .z 当且仅当蕴涵 . z当且仅当等价于 .命题逻辑公理独立性(1)z独立于 . 证明选择以下真值表验证: □z独立于 . 证明选择以下真值表验证:A [B J D A J D B J D A [B J D A J D B J D A [B U A 且A [B U B,A [B J D D U A 且D U B.U A J D 并且B J D .A J D B J D A [B J D A J D B J D D U A 且D U B,D U A [B,U A [B J D A Z B J D A J D B J D A > B J D A J D B J D A ?B J D A J D B J D 92{91,93}> 0123\00113310010020003030000093{91,92}> 01\0010□命题逻辑公理独立性(2)z单调性规则是独立的证明在单调规则之外的规则, 前提都不增加, 若不使用此规则, 则以下推演关系是不可证的:由此可得独立性证明.□z反证法规则是独立的证明对于任意的真值赋值及公式 , 定义可以得到新的逻辑推出关系 . 除反证法规则之外, 其他规则都是可靠的. 使用反证法规则可得推演关系但由此可得独立性的证明.□z演绎定理规则是独立的证明对于任意的真值赋值及公式 , 定义可以得到新的逻辑推出关系 . 对于与无关的规则, 都是可靠的. 以下考虑三段论规则:需证明:对任意的赋值 , 若 , 则从1000A,B U A.v A v(\A)=1.X d \\p U p.\\p X d/p.v A,B v(A > B )=i aa a aa e a a a a j0,若v(A)=1,1,否则.X dd > D U A 且D U A > B D U B.D X dd A且D X dd A > BD X ddB.v v(D )=1可知这与定义相矛盾, 所以 .所以是成立的. 因此使用演绎定理规则, 可得推演关系但由此可得独立性的证明.□z... 证明同理可以证明其他规则是独立的.□直觉主义逻辑证明以下推导关系成立:z证明从及 , 可知同理可知所以□z若 , , 且 , 则 . D X dd A 且D X dd A > B ,v(A)=1且v(A > B )=1,v(D )=0v(D )=1D X dd A D X dd A >B v(B)=1D X ddB.p U q > p ,p X dd/q > p .\(A Z B)U c \A [\B.C >D U c \D > \C U c A > A Z B U c \(A Z B)> \A.U c \(A Z B)> \B.\(A Z B)U c \A [\B.\A [\B U c \(A Z B).证明. .所以 . 所以集合不是协调的.由可知□z证明集合不是协调的.所以□z证明集合不是协调的.所以□证明以下推导关系不成立:z证明假设分别是命题变元 , 构造模型使得其中{ 使得及 ,{ 使得及 .这时 , , 所以但是 , 所以\A,\B,A U c 0\A,\B,B U c 0\A,\B,A Z B U c 0{\A [\B,A Z B}U c -(\+)\A [\B U c \(A Z B).A Z B U c \(\A [\B).{\A [\B,A Z B}U c -A Z B U c \(\A [\B).\A Z\B U c \(A [B).{A [B,\A Z\B}U c -\A Z\B U c \(A [B).\A >B U c \B > A A,B p,q K =<V ,R> ,V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0v(q)=0w w(p)=1v(q)=0q K ,v =0q K ,w =0(\q)K ,v=1.p K ,v =0另一方面,所以即在模型的第一层, 左边取而右边取 . 因而上述公式是不永真的, 因而是不可证的.□z证明假设是命题变元 . 构造模型 , 使得其中{ 使得 ,{ 使得 .这时 , 但 , 所以□z证明假设分别是命题变元 , 构造模型 , 使得其中{ , , { , , {, .□假设是命题逻辑公式集合,是命题逻辑公式,则其中证明以下证明:z .(\q > p )K ,v =0.(\p)K ,v=0,(\p)K ,w=0,(\p > q )K ,v=1.K 10U c A Z\A A p K =< V ,R> V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0w w(p)=1p K ,v =0(\p)K ,v =0(p Z\p)K ,v=0.\(A > \B)U c A [B A,B p,q K =< V ,R> V={v 1,v 2,v 3},R={(v 1,v 1),(v 2,v 2),(v 3,v 3),(v 1,v 2),(v 1,v 3)}.v 1(p)=0v 1(q)=0v 2(p)=1v 2(q)=0v 3(p)=0v 3(q)=1D A \D U\A \D U c \A \D ={\B|B J D }.\\\A U c\Az若 , 则 .则可知以下条件是等价的:z .z . z .. 因为 , 所以是不相容的, 因而 .若 , 则 . 因为 , 所以存在一个推演, 将出现的所有公式都换为 , 以下证明这样得到一个推演. 以应用为例. 这时有被转换为将前提推演序列中的换为 , 则可以由得到□模态命题逻辑z证明以下推演关系:证明假设是 . 从及 , 根据推演规则, 可知 . 所以 . 同理可知 . 由此可知 □证明: {D U A \\D U c \\A \D U\A \\\D U c\\\A \D U c\A \\\A U c \A A U c \\A {\\\A,A}\\\A U c \A D U A \\D U c \\A D U A U -C \\C U c -(\-)> ,\E U F 且> ,\E U\F >U E ,\\> ,\\\E U \\F 且\\> ,\\\E U \\\F \\>U \\E ,\\\E \E (\+)\\> U \\E.U T (`(A > B )[`(B > A ))> (`A ?`B).D {`(A >B ),`A}D U T `(A >B )D U T `A T-D U T `B `(A >B )U T `A > `B `(B >A )U T `B > `A U T (`(A >B )[`(B > A ))> (`A ?`B)U T `(A [B)?(`A [`B).`(A [B)U T (`A [`B)A [B U A{ (性质){ (同理){{{ (规则){ (性质){ (性质){{ (性质)□证明{ (已证){ (性质){ (性质){ (定义)□z证明可靠性.证明只需证明对任意及 , 若 , 则从可知 :因而对任意的 , 都有根据定义, 当且仅当当且仅当(1)对任意的 , 都有`(A[B)U`A`(A[B)U`B`(A[B)UT(`A[`B)`A[`B UT`(A[B)U A> (B> A[B)UT`(A> (B> A[B))UT`A> `(B> A[B)`A UT`(B> A[B)`A UT`B> `(A[B)`A,`B UT`(A[B)UTa(A Z B)?(a A Za B).UT`(\A[\B)?(`\A[`\B)UT\`(\A[\B)?\(`\A[`\B)UT\`\(A Z B)?(\`\A Z\`\B)UTa(A Z B)?(a A Za B)S4-D XS4`AD XS4``A.M=< V,R> J KS4v J V D M,v=1D XS4`A `A M,v=1,w:vRwA M,w=1.``A M,v=1v 1:vRv1`A M,v1=1.对任意的v1,v2:vRv1,v1Rv2,都有A M,v2=1但根据传递性可知 , 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立. 所以 .□z证明可靠性. 证明只需证明对任意及 , 若 , 则从可知 :因而存在 , 都有根据定义,当且仅当当且仅当这时成立所以由 (1) 成立可知 (2) 成立.所以 .□谓词逻辑推演规则以下规则是可靠的:证明以下证明 (:左规则) 是可靠的, 其他规则的可靠性可以类似证明. 需要证明以下事实:对任意的模型及一个赋值, 当时, 从可知, 对任意的, 都有(1)对任意的 , 都有(2)vRv 2D X S 4``A S 5-D X S 5a AD X S 5`a A.M =<V ,R> J K s 5v J V D M ,v =1D X S 5a A a AM ,v=1,w:vRw A M ,w =1.`a AM ,v=1v 1:vRv 1a AM ,v1=1.对任意的v 1:vRv 1,存在v 2:v 1Rv 2,使得AM ,v2=1wRv 2D X S 5`a A ]]^^]D ,A x tX B D ,]xA X B.M M X D ,]xA M X]xA a J |M |M X A[a].而每个项在中代表一个具体的值, 所以 , 因而□谓词逻辑完备性质已知是公式集合,是公式, 常元不在中出现, 证明: 证明根据谓词逻辑的完备性质, 只需证明即因为常元不出现在中, 所以任意改变在中的取值, 都不影响的真值.假设的取值是 , 从及可靠性,可知因为是任意的, 所以□已知是协调公式集合,且证明这些公式集合的并集是协调的. 证明假设是公式集合若不协调, 则 . 因为每个推演仅涉及有限多个公式, 所以存在 , 使得根据的定义, 可以假设 .假设 , 则 . 这与的协调性相矛盾. 所以是协调的.□实闭域的判定性质语言的理论具有量词消去性质, 当且仅当若 , 则对于任意的模型 , 当时,对的任意个原子公式或者原子公式的否定t M M X D ,A x t M X B.D A c D P {A}D U A x c D U]xA.D X]xA,M M X D M X]xA.c D P {A}c M D P {A}c a D U A x c M X A[a].a M X]xA.D n (n=0,1,2,l )D 0N D 1N D 1Nl > D 0P D 1P D 1Pl > >U 0A 1,A 2,l ,A m J > A 1,A 2,l ,A m U 0.> A i J D k il=max {k 1,k 2,l ,k m }A 1,A 2,l ,A m J D l D l > L T L k证明(结构归纳法)假设已证明以下结论 (*):对任意的开公式因为而是一个开公式, 所以存在开公式使得这里的是一个开公式.由此可知, 每个前束范式都等值于一个开公式. 对于结论 (*), 可以将开公式写为其中每个是一些原子公式或者原子公式的否定的合取式. 这时所以, 只需对上述这一类公式考察量词消去性质.□(介值定理)证明在实闭域内, 每个多项式可以分解为次及次多项式的乘积, 可以假设这些多项式的最高项系数都是 .次多项式可以写为z若 , 则可以分解为次多项式的乘积.z若 , 则 .所以, 当的取值在一个区间内改变符号时, 一定有一个次因子, 它在这个区间内取值改变符号, 该次因子在这个区间内有零点, 因而在这个区间内有零点.□存在的一个开公式 , 使得对任意的开公式 , 存在开公式 , 使得9i (x ,x 1,x 2,l ,x n ),i=1,2,l ,k,L <(x 1,x 2,l ,x n )T X]x 1,x 2,l ,x n (^x (91[92[l[9k )?< (x 1,x 2,l ,x n )).))d T X^x )?)d.3]x 3等值于\^x \3,\33d T X^x \3?3d,T X]x 3?\3d,\3d))1Z )2ZlZ )k ,)i X^x()1Z )2ZlZ )k )?(^x )1Z^x )2ZlZ^x )k ),)i RCF X]xy(x< y [f(x)f(y)< 0> ^z(x< z [z< y [f(z)=0)).1212x 2+ax+b (x+a 2)2+(b-a24),(b-a 24)50x 2+ax+b 1(b-a24)>0RCF X x 2+ax+b> 0f(x)[a,b]f(x)11f(Rolle 定理) 证明(由介值定理证明 Rolle 定理)每个多项式最多有有限个零点, 当时, 可以假设在区间内, 不再有其他零点.所以在区间内不可能是单调的, 因而存在使得 . 对于多项式 , 根据介值定理可知: 存在使得 .□一阶逻辑的不可判定性质写出以下 Turing 机对应的一阶语句:解答这些转换规则对应以下语句: ::::□RCF X]xy(x< y [f(x)=0[f(y)=0> ^z(x< z [z< y [f d (z)=0)).f(a)=f(b)=0[a,b]f f [a,b]u<v J [a,b]f d (u)f d (v)< 0f d c J [a,b]f d (c)=0{q 01Rq 0,q 00Rq 2,q 110q 2,q 10Rq 1}q 01Rq 0]xy(R 0(x,f 1(y))> R 0(f 1(x),y))q 00Rq 2]xy(R 0(x,f 0(y))> R 2(f 0(x),y))q 110q 2]xy(R 1(f 0(x),f 1(y))> R 2(x,f 0(f 0(y))))]xy(R 1(f 1(x),f 1(y))> R 2(x,f 1(f 0(y))))q 10Rq 1]xy(R 1(x,f 0(y))> R 1(f 0(x),y))。

2016广东高考理数大二轮专项训练【专题1】集合与常用逻辑用语2(含答案)

2016广东高考理数大二轮专项训练第1讲集合与常用逻辑用语考情解读 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p 为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}(2)(2013·广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1)A(2)B解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A.(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则()A．M⊆N B．N＝MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4)(2)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9答案(1)C(2)C解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)(2014·江西)下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)C(2)D解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．(2)“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log 3M >log 3N ，又因为对数函数y ＝log 3x 在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M >N ；当M >N 时，由于不知道M 、N 是否为正数，所以log 3M 、log 3N 不一定有意义．故不能推出log 3M >log 3N ，所以“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3 (1)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题(2)(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词．答案 (1)C (2)D解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C. (2)命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假B ．p 假q 真C．“p∧q”为假D．“p∧q”为真x＋2ax0＋2－a＝0”．若命(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，2题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2C．a>1 D．－2≤a≤1答案(1)C(2)C解析(1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2R sin C>2R sin B(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B⇔sin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题．若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>bac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C.x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，2实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}答案 B解析因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}． 2．(2014·重庆)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q 答案 D解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q 、綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题，故选D. 押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案 B解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B.2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.所以函数f (x )有且只有一个零点的充分必要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，此时0<a <12是函数f (x )有且只有一个零点的既不充分也不必要条件，应排除B ；同理，可排除C ，应选A.(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·陕西)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)答案 B解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．故选B.2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．13 答案 D解析若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13，应选D.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8答案 C解析因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧ m >1，a >1或⎩⎨⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件，故选B.5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >xB ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x >xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x答案 C解析原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是 “cos x >x ”，故选C.6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充分必要条件．7．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0，由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有两个元素．故选C.9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2] D ．[－1,1] 答案 A解析 ∵p ∨q 为假命题， ∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.故选A. 二、填空题11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________. 答案 (1，＋∞) 解析由x (x －1)≥0 可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案－4解析由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a ＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．答案 1解析根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算2.（本小题满分13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋（a－1）x－a>0}，B＝{x|（x＋a）（x ＋b）>0（a≠b）}，M＝{x|x2－2x－3≤0}．（1）若∁B＝M，求a，b的值；U（2）若－1<b<a<1，求A∩B；（3）若－3<a<－1，且a2－1∈∁A，求实数a的取值范围．U【答案】（1）a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1；（2）A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}；（3）≤a≤－．B＝M，则得到B,M两集合的边界值相同，从而可得【解析】首先整理化简集合A,M，（1）中∁U到a，b的值；（2）中由－1<b<a<1可求得集合B的范围，借助于数轴求解A∩B即可；（3）由－3<a<－1求解集合A的范围，得到A的补集，代入a2－1∈∁A可得a的不等式，求解其范U围B＝{x|（x＋a）（x＋b）≤0}，M＝{x|（x 试题解析：由题意，得A＝{x|（x＋a）（x－1）>0}，∁U＋1）（x－3）≤0}．（1）若∁B＝M，则（x＋a）（x＋b）＝（x＋1）（x－3），U所以a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1．（2）若－1<b<a<1，则－1<－a<－b＜1，所以A＝{x|x<－a或x>1}，B＝{x|x<－a或x>－b}．故A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}．（3）若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A＝{x|x<1或x>－a}，∁A＝{x|1≤x≤－a}．又由a2－UA，得1≤a2－1≤－a，即，解得≤a≤－．．1∈∁U【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的交并补运算3.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B=（2，6），A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）[2，8]．【解析】（1）由交集、并集、补集的定义容易求解；（2）由子集运算可列出关于a的不等式组，解得即可．试题解析：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R，∴A∩B=（2，6），=（﹣∞，2]∪[9，+∞），则A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）因为C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B，所以解得：2≤a≤8，则实数a的取值范围是[2，8]．【考点】交集、并集、补集、子集运算．4.若集合则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合，因此【考点】集合的交集运算5.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）设，集合，．（Ⅰ）若且，求实数P的取值范围；（Ⅱ）若，求B．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）集合是一个二次方程的解集，，则其判别式；（Ⅱ）由，说明二次方程的解是和3，由韦达定理可求得，解方程可得集合．试题解析：（Ⅰ）由已知得：，则方程有实根，故，解得：或；（Ⅱ）由知：方程有两根-1和3，由韦达定理得：，所以，于是集合B的元素是方程，即的根，解之得：或或，从而集合．【考点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解方程．6.（本小题满分8分）已知集合，，若能使成立的所有实数的集合是，求集合．【答案】（－∞，4]．【解析】（I）先利用，转化为．由空集是任何集合的子集，需要对集合B是否为空集分类讨论。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的序号有 .（请将真命题的序号都填上）【答案】_②③__【解析】略2.（本小题16分）设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N*）元子集的所有元素的和为Pk．（1）求P1，P2;（2）求P1+P2+…+Pn．【答案】（1）P1=， P2=（2）n（n+1）·2n-2【解析】（1）及时定义的题目，关键从定义出发：P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=（2）类似得Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1试题解析：（1）易得数集P={1，2，3，…，n}，则P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=．（2）易得数集P的k（1≤k≤n，k∈N*）元子集中，每个元素均出现次，故Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1=n（n+1）·2n-2．【考点】新定义题目，组合数性质3.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，，由是的充分不必要条件，即集合是集合的子集，即【考点】简易逻辑4.“成立”是“成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，即，由，得，∵，∴“成立”是“成立”的充分不必要条件，故选：A．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．5.设集合，，则．【答案】【解析】由集合，可得，由可得，∴，故答案为：．【考点】交集及其运算．6.设条件p：|x－2|<3，条件q：0<x<a，其中a为正常数．若p是q的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】p:-1<x<5,而命题p,q可以分别用集合表示。

数理逻辑参考答案

以下是参考答案。

对于较长的答案，只要回答出要点即可。

每题10分。

酌情评分。

1（A）、答案：300元。

源源，田田，晖晖每人拿出100元即可。

1（B）、答案：故选派方案有：(1)派A、C出差；(2)派A、D出差；(3)派A、B、D出差；(4)派C出差(5)派D出差；(6)派B出差；(7)派B、D出差由于题目要派两个人去出差，因此只有方案(1)、(2)、(7)满足要求，即：派A、C出差；派A、D出差；派B、D出差。

2（A）、答案：底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。

另外参考：要两人才能做到，先在平面上摆放一枚，再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样，这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。

剩下的两枚在空隙处交叉就行了，注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度。

2（B）、答案：a=a+b；b=a-b；a=a-b；3（A）、答案：根据I，每条供词都是由供词中没有提到的怀疑对象所作的。

因此，供词与怀疑对象之间的对应关系只有两种可能：A B(1)布拉德：亚当是无辜的。

(1)科尔：亚当是无辜的6(2)科尔：布拉德说的是真话。

(2)亚当：布拉德说的是真话。

(3)亚当：科尔在撒谎。

(3)布拉德：科尔在撒谎。

对于A，(2)支持(1)；而(3)否定(2)，进而否定(1)。

事实上，供词变成了：(1)布拉德：亚当是无辜的。

(2)科尔：亚当是无辜的。

(3)亚当：亚当有罪。

如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。

根据Ⅱ，这是不可能的。

如果“亚当是无辜的”是真话，那么布拉德和科尔说了真话，而且其中有一人是有罪的。

根据Ⅱ，这也是不可能的。

因此，A是不可能的。

对于B，(3)否定(1)；而(2)支持(3)，进而否定(1)。

事实上，供词变成了：(1)科尔：亚当是无辜的。

(2)亚当：亚当有罪。

(3)布拉德：亚当有罪。

如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。

根据Ⅱ。

集合论测试答案

1. 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

1、证明R 是X 上的等价关系。

2、求出X 关于R 的商集。

1、证明：（1）自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2）对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3）传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。

2、X/R=}]2,1{[R ><2. 设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , , , < c , d >} 要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。

清欠考试--2009-2010第二学期《集合论与数理逻辑》答案

南京邮电大学 2009/2010 学年第二学期《集合论与数理逻辑》清欠考试标准答案一、填空题 (每空2分，共20分)1．设{2,,{3},4},{{},3,4,1}A a B a ==，请在下列集合中间填入适当的符号：{}a ∈ ;{,4,{3}}B a ⊂⊆或 A 。

2．设集合{1,2,3},{2,3},{3,4}A B C ===，则A B A C ⨯-⨯= {1,2,2,2,3,2<><><>B C ⊕= {2,4}3．设{1,2,3,4,2,2}f =<><><>，{4,2,2,5,3,1}g =<><><>，则 f g = {1,5,3,2,2,5}<><><>1()f g -= {5,1,2,3,5,2}<><><>4．公式P Q →的逆换式是 Q P → 。

5．集合{}A a =的幂集()A ρ为 {,{a}}Φ 。

6．))())()(((x R z Q y P z y x →→∀∃∃中y ∃的作用域是 P (y )Q (z →。

7．设N 为自然数集合，R 为实数集合，则[]K N < []K R 。

二、判断题，正确的打√，错误的打×。

(每题2分，共20分)1．“这朵花多好看啊！”是命题。

( × )2．如果A B A C ⋂=⋂，则B C =。

( × )3．设{,,}A a b c =，则A 上的二元关系{,,,,,,,}R a c b b b c c c =<><><><>具有传递性。

( √ )4．空集是任何集合的子集。

( √ )5．关系{,|,,10}f n m n m N n m =<>∈+<是函数。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.命题“若，则”的否命题为______【答案】若，则【解析】略2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】解：首先“三段论”推理：大前提，小前提，然后是结论。

而该命题的大前提：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，是错误的，因此推理后的结论也是错误的。

只有大前提，小前提都正确，结论才是正确的。

函数的极值点3.命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A．若是偶数，则与不都是偶数B．若是偶数，则与都不是偶数C．若不是偶数，则与不都是偶数D．若不是偶数，则与都不是偶数【答案】C【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数【考点】四种命题4.已知集合,集合,则（）A．B．{1}C．{－1}D．{－1,1}【答案】B【解析】集合，，【考点】（1）分式不等式的解法；（2）三角函数的值域；（3）交集和补集的混合运算。

5.当时，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时点在直线与轴围成的三角形及内部，当时点位于函数与两轴围成的曲边形内，观察两区域可知当成立时一定有成立，反之不成立，即“”是“”的充分不必要条件【考点】1．充分条件与必要条件；2．不等式表示平面区域6.已知集合，，若，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】集合A化简得若，【考点】集合的子集关系7.设集合中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，，元素个数3个．【考点】集合的运算8.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．都是奇数B．都是偶数C．至少有两个偶数D．至少有两个偶数或者都是奇数【答案】D【解析】否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为“至少有两个偶数或者都是奇数”．【考点】反证法．9.（本小题满分10分）是否存在实数p，使4x+p＜0 是x2-x-2＞0的充分条件？如果存在求出p 取值范围；否则，说明理由。

离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案

作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。

（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。

（6）王强与刘威都学过法语。

答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。

符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。

答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。

符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

答：:p 2是素数；:q 4是素数。

符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。

:r 太阳从西方升起。

求下列复合命题的真值。

（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1.19、用真值表判断下列公式的类型。

（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。

（7）所以为可满足式。

P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。

（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。

（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合M=｛1,｝，N＝｛1，3｝，M∩N＝｛1,3｝，则实数m的值为（）A．4B．－1C．4或－1D．1或6【答案】Ｂ【解析】略2.已知命题若为假命题，则实数m的取值范围是A．[0，2]B．C．R D．【答案】A【解析】为假命题，所以为假为真【考点】复合命题与不等式性质3.（本小题满分12分）已知命题：，命题：，若“且”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】或．【解析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真假得到p，q全部为真，可求出a的范围．试题解析：由“且”为真命题，则，都是真命题．：在上恒成立，只需，所以命题：；：设，存在使，只需，即，所以命题：．由得或故实数a的取值范围是或【考点】复合命题的真假、真值表．4.设全集，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，，故选A。

【考点】集合的运算5.下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x0∈R，x＋2x＋2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1【答案】D【解析】命题∃x0∈R，x＋2x＋2≤0是假命题，所以该命题的否定是真命题；任意一个四边形的四个顶点共圆是假命题，所以该命题的否定是真命题；所有能被3整除的整数都是奇数是一个假命题，所以该命题的否定是真命题；∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1是真命题，所以其否定是假命题。

故选D。

【考点】•命题的真假性判断；‚命题p与非p真假性相反。

6.（本小题满分14分）已知命题：方程有两个不相等的实根；命题：关于的不等式对任意的实数恒成立．若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．【答案】或．【解析】先确定命题p,q为真时，m的取值范围，再由p,q真假关系确定的取值范围．命题为真：由判别式大于零确定一元二次方程有两个不相等的实根，即，解得或．命题为真：一元二次不等式恒大于零，即对应开口向上的二次函数恒在x轴上方，即判别式小于零，即，解得．而由“”为真，“”为假得：真假或假真，因此列对应方程组解即可.试题解析：解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或．命题：关于的不等式对任意的实数恒成立，∴，解得．若“”为真，“”为假，则与必然一真一假，∴或，解得或．∴实数的取值范围是或．【考点】一元二次不等式恒成立，复合命题真假7.已知，:,:．（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围【答案】（I）（Ⅱ）【解析】（I）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分条件转化为[-2，6]是[2-m，2+m]的子集，列出不等式组，求出m的范围；（II）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围试题解析：（I）是的充分条件是的子集的取值范围是（Ⅱ）当时，，由题意可知一真一假，真假时，由假真时，由所以实数的取值范围是【考点】1．命题的真假判断与应用；2．充分条件8.直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】直线是过圆上一点（0，1）的动直线，显然根据图像的对称性，当k=1或k=-1时，△OAB的面积为均，因此“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.设全集为R，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，【考点】1．解不等式；2．集合的子集关系2.已知集合，，若，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】集合A化简得若，【考点】集合的子集关系3.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．都是奇数B．都是偶数C．至少有两个偶数D．至少有两个偶数或者都是奇数【答案】D【解析】否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为“至少有两个偶数或者都是奇数”．【考点】反证法．4.（本小题16分）设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N*）元子集的所有元素的和为Pk．（1）求P1，P2;（2）求P1+P2+…+Pn．【答案】（1）P1=， P2=（2）n（n+1）·2n-2【解析】（1）及时定义的题目，关键从定义出发：P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=（2）类似得Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1试题解析：（1）易得数集P={1，2，3，…，n}，则P1=1+2+3+…+n=，数集P的2元子集中，每个元素均出现n-1次，故P2=（n-1）（1+2+3+…+n）=．（2）易得数集P的k（1≤k≤n，k∈N*）元子集中，每个元素均出现次，故Pk=·（1+2+3+…+n）=，则P1+P2+…+Pn=（+++…）=·2n-1=n（n+1）·2n-2．【考点】新定义题目，组合数性质5.（本小题满分10分）已知集合．（Ⅰ）若的充分条件，求的取值范围；（Ⅱ）若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】先解集合中的不等式,将集合化简．讨论集合中方程两根的大小,从而可得的解集即集合,（Ⅰ）根据的充分条件可知,根据可得关于的不等式,从而可求得的范围．（Ⅱ）根据画数轴分析可得关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（Ⅰ）①当时，，不合题意；②当时，，由题意知③当时，，由得，此时无解,综上：（Ⅱ）当时，，合题意．当时，，由得当时，，由得综上述：时【考点】1一元二次不等式；2集合的关系．6.设集合，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为所以，故选B.【考点】1、一元二次不等式的解法；2、集合的运算.7.（本小题10分）命题：实数满足，其中；命题：实数满足或；若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】实数的取值范围为．【解析】先由命题和是真命题，解出每个不等式的解集；再根据是的必要不充分条件，由命题的等价性，得到或，即可解得实数的取值范围．试题解析：方程对应的根为，；由于，则的解集为，故命题成立有；由得，由得，故命题成立有若是的必要不充分条件，所以或，即或．【考点】1、一元二次不等式的解法；2、逻辑与命题．8.已知命题则命题的否定形式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，需将结论加以否定，因此命题的否定为【考点】全称命题与特称命题9.若命题，则命题为．【答案】【解析】非P命题只需把P命题中的特称改为全称，把大于改为小于等于．其他内容与顺序不变．【考点】特称命题的否定．10.已知命题，则命题的否定是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由全称命题的否定为特称命题可知，所求命题的否定为，故应选B.【考点】特称命题的否定.11.已知p：存在x∈R，．q：任意，若或为假命题，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵存在x∈R，，∴，∵任意，∴，∴，∵为假命题，∴为假命题，也为假命题，∵为假命题，则，为假命题，则或，∴实数的取值范围是，即，故选A．【考点】复合命题的真假判断．12.已知，设命题函数是上的单调递减函数；命题：函数的定义域为．若“”是真命题，“”是假命题，求实数的取值范围．【答案】．【解析】要使“”是真命题，“”是假命题，应有p,q一真一假即“p真q假”或“P假q真”两种情况，可分情况讨论，解题时可先分别求出“p真”、“q真”时的取值范围，其补集即为使“p假”、“q假”的的范围．试题解析：解：若为真，则若为真，则或为真命题，为假命题，一真一假当真假时，当假真时，综上所述：实数的取值范围为【考点】简易逻辑中“”、“”形式符合命题真假判断的应用及分类讨论数学思想的应用．13.命题“若”的逆否命题是（）A．若B．C．若D．【答案】D【解析】一个命题的逆否命题是把原命题的假设和结论否定并且交换位置，所以命题“若”的逆否命题是，故选D．【考点】四种命题14.下列结论中，正确的是（）①命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；②已知为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③是周期函数，是周期函数，则是真命题；④命题的否定是：．A．①②B．①④C．①②④D．①③④【答案】C【解析】①中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；，所以是正确的；②中，乙：，根据向量的数量积公式，能推出甲：的等价条件是，反之推不出，所以是正确的；③中，不是周期函数，所以是假命题；④中，根据存在性命题的否定可知：命题的否定是：，所以是正确的．【考点】全称命题与存在命题；命题的否定．15.下列四个命题申是真命题的是______（填所有真命题的序号）①“为真”是“为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成的角：④动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹为一个椭圆．【答案】①③④．【解析】：①“为真”，则p，q同时为真命题，则“为真”，当p真q假时，满足为真，但为假，则“为真”是“为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，③设正三棱锥为，顶点在底面的射影为，则为的中心，为侧棱与底面所成角,如图：∵正三棱锥的底面边长为3，∵侧棱长为2，∴在直角△POC中，∴侧棱与底面所成角的正切值为,，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点和定圆的圆心的距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，故答案应填：（1），（2），（3）．【考点】命题的真假判断与应用．【方法点晴】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，复合命题真假的判断、立体几何中的线面角、解析几何中圆与圆的位置关系及轨迹问题，综合性较强，难度中等．对于这种多个命题真假的判断，宜采用逐个判断的方法进行，利用相关知识逐个判断即可．16.设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件17.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率；若为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】或【解析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜5、．由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可试题解析：命题为真时：，即:命题为假时:命题为真时:命题为假时:由为真，为假可知: 、一真一假①真假时:②假真时:综上所述: 或【考点】1．命题的真假判断与应用；2．椭圆的定义；3．双曲线的简单性质18.有下列四个命题：（1）“若，则”的否命题；（2）“若，则”的逆否命题；（3）“若，则”的否命题；（4）“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于（1）中，命题“若，则”的逆命题为“若，则”是假命题，所以命题的否命题也为假命题；（2）中命题“若，则”为假命题，所以它的逆否命题为假命题；（3）中，命题“若，则”的否命题为“若，则”是假命题；（4）中，命题“对顶角相等”的逆命题为“相等角为对顶角”，所以也为假命题，故选A．【考点】四种命题及命题的真假判定．19.5．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，在区间内单调递增，当时,结合二次函数的图像可得函数在区间内单调递增，当时，函数图像如图所示，在区间内有增有减【考点】二次函数及充要条件．20.（2015秋•运城期末）命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【答案】D【解析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x＞2或x ＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【考点】复合命题的真假．21.（2015春•咸阳校级期中）“m=1”是复数z=m2﹣1+（m+1）i为纯虚数的（）A．充分不必要条件B．必要不从分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据复数的概念进行求解即可．解：若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，必有：m2﹣1=0且m+1≠0，解得，m=1，∴“m=1”是复数z=m2﹣1+（m+1）i为纯虚数的充要条件，故选：C．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．22.命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是．【答案】存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【考点】命题的否定．23.已知命题函数在定义域上单调递减；命题不等式对任意实数恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．【答案】－2<a ≤2【解析】由对数函数的性质知0＜a＜1；由不等式分类讨论求恒成立，从而解出a，再求并集即可试题解析：命题P函数y＝loga （1+2x）在定义域上单调递减；∴0<a<1又∵命题Q不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对任意实数x恒成立；当a＝2时，不等式化简为－4< 0，成立当a ≠ 2时∴当－2<a ≤ 2时原不等式恒成立∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a ≤2【考点】1．复合命题的真假；2．函数与不等式的应用24.“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解方程“（x﹣2）•（x+5）=0”，进而结合充要条件的定义可得答案．解：当“x=2”时，“（x﹣2）•（x+5）=0”成立，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分条件；当“（x﹣2）•（x+5）=0”时，“x=2”不一定成立，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的不必要条件，故“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的充分不必要条件，故选：B．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．25.已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）[，]（Ⅱ）m≥3或m≤﹣3【解析】（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可．（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，则，即，即m2≤3，解得≤m≤，即m的取值范围是[，]．（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3．即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．26.已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围.【答案】或.【解析】首先将集合进行化简，再根据命题是命题的充分条件知道，利用集合之间的关系，就可以求出实数的取值范围.试题解析：解：化简集合，由，配方，得.，，.，化简集合，由，，命题是命题的充分条件，.，解得，或.实数的取值范围是【考点】1、充分条件；2、二次函数的值域；3、集合之间的关系.27.已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．【答案】（0，]∪[1，+∞）【解析】根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，]∪[1，+∞）【考点】复合命题的真假．28.设命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）1≤x＜2（2）3＜a【解析】（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，解得，由a=2，可得；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得x范围．利用p∧q为真即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，即可得出．解：（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，化为＜0，解得，∵a=2，∴；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3．∵p∧q为真，∴，解得1≤x＜2．∴实数x的取值范围是1≤x＜2．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，∴，解得3＜a．∴实数a的取值范围是3＜a．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．29.命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【答案】D【解析】试题分析:根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．【考点】四种命题．30.给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，，那么；③将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；④函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为．其中真命题的序号是________．【答案】③④【解析】对于①中，命题“”的否定是“”，所以是错误的；对于②，在空间中，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，如果，，那么与的关系是或或与相交，所以不正确；对于③中，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以是正确的；对于④中，函数的定义域为，且，当时，函数；当时，函数，当时，，类比有，，也就是说，的部分是将的部分，周期性向右平移个单位长度得到的，若方程有两个不同实根，则的取值范围为，所以是正确的．【考点】命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定与应用，着重考查了分段函数的解析式的而求解和三角函数的图象变换、直线与平面位置关系的判定、全称命题与存在性命题的关系的综合应用，训练了函数的零点的判定方法，属于中档试题，本题④的解答中，由分段函数的解析式得到函数在的部分是将的部分，周期性向右平移个单位长度得到的，确定方程有两个不同实根，则的取值范围为是解答的一个难点，充分体现了转化的思想方法和数形结合思想的应用．31.若“”，“”，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知：，所以是的充分不必要条件.故选A.【考点】充分条件和必要条件.32.直线的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（）A．B．C．且D．且【答案】B【解析】直线的图像经过第一、二、四象限，则，所以，故A，C错误，D是充要条件，B是必要不充分条件．故选B．【考点】充分必要条件．33.在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（）A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【答案】D【解析】命题为: “甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”.所以表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米.故D正确.【考点】复合命题.34.已知命题关于的方程有实数根，命题．(Ⅰ) 若是真命题，求实数的取值范围；(Ⅱ) 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)为真命题,则方程无实根,所以其判别式小于0.从而可求得的范围. (Ⅱ)命题为真,则其判别式大于等于0.是的必要非充分条件,则命题中取值的集合是命题中取值集合的真子集,从而可得关于的不等式.试题解析：解法一：(Ⅰ) 当命题是真命题时，满足则解得或是真命题，则是假命题即实数的取值范围是.(Ⅱ) 是的必要非充分条件则是的真子集即或解得或实数的取值范围是.解法二：(Ⅰ) 命题：关于的方程没有实数根是真命题，则满足即解得实数的取值范围是.(Ⅱ) 由 (Ⅰ)可得当命题是真命题时，实数的取值范围是是的必要非充分条件则是的真子集即或解得或实数的取值范围是.【考点】1命题;2充分必要条件.35.对于任意实数、、、，下列真命题是( )A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】A中当时才成立；B中当时才成立；C中由已知可知，所以命题成立；D 中时不成立【考点】不等式性质36.设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1) (2,3) (2) (1,2]【解析】分别化简命题p：a＜x＜3a；命题q：实数x满足，解得2≤x≤3．（1）若a=1，则p化为：1＜x＜3，由p∧q为真，可得p与q都为真；（2）￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出试题解析：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0. ……2分又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，1<x<3.由解得即2<x≤3.所以q为真时，2<x≤3.若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)因为非p是非q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，于是满足解得1<a≤2，故所求a的取值范围是(1,2]．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断37.若集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】集合的补集及对数不等式解法．38. “a=”是“直线l 1：（a+2）x+（a ﹣2）y=1与直线l 2：（a ﹣2）x+（3a ﹣4）y=2相互垂直”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时，两条直线分别化为：，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，此时两条直线不相互垂直，舍去；当且时，由于两条直线相互垂直，∴，解得．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：或．∴“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，故选A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．39. 已知集合，函数的定义域为集合，若，求实数的值．【答案】．【解析】先将集合明确化,再借助建立方程分类求解即可.试题解析：由且得：，即.当即时，，不满足；当即时，，由得，此时无解；当即时，，由得，解得. 故所求实数的值为.【考点】集合相等的条件及运用．40. 已知：函数f （x ）对一切实数x ，y 都有f （x+y ）﹣f （y ）=x （x+2y+1）成立，且f （1）=0．（1）求f （0）的值．（2）求f （x ）的解析式．（3）已知a ∈R ，设P ：当时，不等式f （x ）+3＜2x+a 恒成立；Q ：当x ∈[﹣2，2]时，g （x ）=f （x ）﹣ax 是单调函数．如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求A∩∁R B （R 为全集）．【答案】（1）﹣2；（2）f （x ）=x 2+x ﹣2；（3）A∩C R B={a|1≤a ＜5}．【解析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=﹣1，y=1求出f （0）；（2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f （x ）的解析式的问题；（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集合A ，利用二次函数的单调性求解策略求出集合B ．解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f （0）﹣f （1）=﹣1（﹣1+2+1） ∴f （0）=﹣2（2）令y=0，则f （x ）﹣f （0）=x （x+1）又∵f （0）=﹣2 ∴f （x ）=x 2+x ﹣2（3）不等式f （x ）+3＜2x+a 即x 2+x ﹣2+3＜2x+a 也就是x 2﹣x+1＜a ．由于当时，，又x 2﹣x+1=恒成立，故A={a|a≥1}，g （x ）=x 2+x ﹣2﹣ax=x 2+（1﹣a ）x ﹣2 对称轴x=，又g （x ）在[﹣2，2]上是单调函数，故有，∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，C R B={a|﹣3＜a ＜5} ∴A∩C R B={a|1≤a ＜5}．41. 设集合，那么“”是“”的____________条件.【答案】必要不充分【解析】由于集合M 真包含集合N ，所以“”是“”的必要不充分条件.【考点】充要条件42. 设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【考点】集合运算 43. “”是“”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】由可得到，反之由可得到，所以“”是“”的充分非必要条件【考点】充分条件与必要条件 44. 是直线与圆相切的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线与圆相切等价于,由可推出,即直线与圆相切,充分性成立；反之,解得或,必要性不成立.故选A. 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题通过直线与圆的位置关系主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.45. 设集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知【考点】集合运算46.给出下列四个命题：（1）若为假命题，则、均为假命题；（2）命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是；（3）已知函数则；（4）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是.其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】（1）根据复合命题的真假关系可知，若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，正确（2）命题“”为真命题，则，∵x∈[1，2），∴∈[1，4），则a≥4，则a≥1是命题为真命题的一个必要不充分条件，故（2）错误，（3）已知函数，则，则f（2）=6；故（3）正确，（4）若函数的定义域为R，则等价为，当m=0时，不等式，等价为3≠0，此时满足条件，故则实数m的取值范围是错误．故（1）（3）正确【考点】命题的真假判断与应用47.设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠的集合S的个数是（）A．57B．56C．49D．8【答案】B【解析】若满足，那么的个数为个，但其中有的子集不满足条件，所以的子集个数为个，所以共有个，故选B．【考点】集合的子集48.全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】或，，，那么，故选C.【考点】集合的运算M）等于（）49.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩（CUA．{1,3}B．{1,5}C．{3,5}D．{4,5}【答案】C【解析】，所以。

高三数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高三数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合,且若则集合最多会有__ __个子集.【答案】8【解析】略2.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】而；，而-;,且；因此选A．【考点】充要关系3.已知集合｛或，，对于，表示和中相对应的元素不同的个数，若给定，则所有的和为__________．【答案】【解析】由题意可得集合｛或，中，共有个元素，记为，的共有个，的共有个，故答案为．【考点】推理与证明．4.设集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，选C.【考点】集合运算，解分式不等式5.“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题可知，解得，因此当时，可推出，当时，无法推出，即“”是“”的充分非必要条件；【考点】必要条件、充分条件以及冲要条件的判断6.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“a∥（a＋b）”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a＝（－1，2），b＝（3，m），a∥（a＋b），∴，，即；当时，，，，∴a∥（a＋b）．【考点】充分必要条件、向量平行、向量运算．7.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则A∪B＝____________．【答案】{x|x＞0}【解析】由题意得：,则【考点】集合运算B=（）8.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,5}，B={1,3,4,6}，则集合A CUA．{3}B．{2,5}C．{1,4,6}D．{2,3,5}【答案】B【解析】因为，所以，故选B.【考点】集合的运算.9.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴，∴．【考点】集合的子集关系．10.已知命题则命题的否定形式是A．B．C．D．【答案】C【解析】由特称命题与全称命题之间的关系知，命题的否定形式是：，故应选．【考点】1、全称命题；2、特称命题；11.“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分且不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当曲线过原点时，则有即，.所以“”是“曲线过坐标原点”的充分不必要条件.故A正确.【考点】1充分必要条件;2三角函数值.12.（本小题满分10分）已知集合．（1）若，求出实数的值；（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分与求得集合，再利用求得实数的值；（2）由可得且，从而可将问题转化为集合间的关系来求解．试题解析：（1）当时；当时显然，故时，（2）当时，则解得当时，则综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或【考点】1、集合间的关系；2、充分条件与必要条件的判定．13.已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A．[21，＋∞）B．[9，＋∞）C．[19，＋∞）D．（0，＋∞）【答案】B【解析】由已知，，．因为是的充分不必要条件，则，即，故选B．【考点】充分、必要条件的判断．【方法点睛】本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考查线面、面面平行问题和充要条件的有关知识．充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件．14.命题“∈N，x02 +2xo≥3”的否定为（）A．∈N，x02 +2x≤3B．∈N ，x2+2x≤3C．∈N，x02 +2x＜3D．∈N ，x2 +2x＜3【答案】D【解析】特称命题的否定是将改为，同时对结论进行否定，所以已知命题的否定是“∈N ，x2 +2x＜3”，故选D．【考点】特称命题的否定．15.已知集合，，则________．【答案】【解析】因为，，，所以．【考点】1、集合的表示；2、集合的交集．16.复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,因为其在复平面内对应的点在第三象限所以，即因为是充分不必要条件所以在复平面内对应的点在第三象限是充分不必要条件故答案选【考点】1．复数的运算；2．命题的充分必要性．17.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，所以，故选C．【考点】集合的运算．18.下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”B．若为真命题，则p，q均为真命题C．若命题，则D．“x>2”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】由命题与逆否命题的关系可知选项A正确；由为真命题可得p与q只到少有一个命题是真命题，所以选项B错误；故选B．【考点】1．四种命题之间的关系；2．逻辑联结词与命题；3．充分条件与必要条件．19.（2015秋•渭南校级月考）设集合A={0，1，2，4}，B=，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{4}D．{x|1＜x≤4}【答案】C【解析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解：由B中不等式变形得：（x﹣4）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得：2＜x≤4，即B=（2，4]，∵A={0，1，2，4}，∴A∩B={4}，故选：C．【考点】交集及其运算．20.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知不等式对一切恒成立，所以，解得，故选A．【考点】特称命题的真假．21.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若，则，符合题意，若，则，于是．所以．故选C．【考点】充分必要条件．22.“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，方程即为其中，即表示双曲线，但“方程表示双曲线”时可得“或”，故“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件，选A【考点】充要条件23.若集合，，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由题意得，或，所以，故选B．【考点】集合的运算．24.设集合，集合，则（）A．B．C．D．【解析】解不等式得，所以集合，解不等式得，所以集合，有集合的运算可求得，故本题正确选项为B.【考点】函数的定义域，集合的运算.25.设甲：，乙：，那么甲是乙的条件．（填写：充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要或者充要）【答案】必要不充分【解析】由乙：两式相加得，两式相乘得，所以乙成立能推出甲成立，在甲中取，则不符合乙的要求，所以甲成立不能推出乙成立，因此甲是乙的必要不充分条件.【考点】四种命题的相互关系.26.设集合，则S T=A．[2,3]B．（−,2][3,+）C．[3,+）D．（0,2][3,+）【答案】D【解析】由解得或，所以，所以，故选D．【考点】不等式的解法，集合的交集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．27.设集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，，；故选C．【易错点睛】本题考查利用描述法表示集合以及集合的运算，属于基础题；利用描述法表示集合时，要注意其代表元素的意义，如表示函数的定义域，表示函数的值域，表示函数的图象.【考点】1.集合的表示；2.集合的运算．28.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，故选C.【考点】集合的运算29.设集合，，则等于（）A．B．C．D．【解析】因,故,应选B.【考点】集合的交集运算.30.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】集合，集合，故．【考点】1.集合交集；2.分式不等式.31.设全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由补集定义得，选A.【考点】补集【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．32.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.【考点】充要关系【名师】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．33.设集合，，则等于（）A．{0,1}B．{-1,0,1,2}C．{0,1,2}D．{-1,0,1}【答案】D【解析】∵，，∴,故选D.【考点】1、集合的表示；2、集合的交集.34.设集合,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,所以，选A.【考点】集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．35.命题“，，使得”的否定形式是（）A．，，使得B．，，使得C．，，使得D．，，使得【答案】D【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存在题词与全称题词要互换，因此命题“，，使得”的否定是“，，使得”．故选D．【考点】命题的否定．36.若命题是假命题, 则实数的取值范围是．【答案】【解析】为真命题，．【考点】特称命题与全称命题．37.命题“”的否定为_____________．【答案】【解析】命题的否定是只把结论否定，同时存在量词与全称量词互换，因此命题“”的否定为“”．【考点】命题的否定．38.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，选D【考点】集合的运算39.已知命题函数的图象必过定点；命题如果函数的图象关于原点对称，那么函数的图象关于点对称，则命题为__________（填“真”或“假”）．【答案】真【解析】命题为真；的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称成立，命题为真，因此命题为真．【考点】1、命题的真假；2、函数的定点；3、函数图象的对称．【方法点晴】本题主要考命题的真假、函数的定点和函数图象的对称，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力和化归能力，综合程度较高，属于较难题型．通过方程思想可判断命题为真，利用形结合思想和转化化归思想可得命题为真，从而推出命题为真．平时应注重数学思想的培养，从而促进核心素养的提升．40.若全集，集合，，则（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】由题意，得，，所以，所以，故选B．【考点】1、不等式的解法；2、集合的交集与补集运算．41.命题成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】直线与直线垂直，则，，因此命题是命题的既不充分也不必要的条件．故选D．【考点】充分必要条件．42.设集合，集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选C．【考点】1、集合的交、补运算；2、一元二次不等式．43.已知，集合，集合，若，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】因为，则且，所以，，即，，所以，故选A．【考点】1、集合的元素；2、集合的交集运算．44.已知集合，，则等于（）A．B．{0}C．[0,1]D．{0,1}【答案】D【解析】 ,.【考点】集合的交集运算.45.若集合,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则，故选A.【考点】集合的运算46.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,则,故选D.【考点】集合的运算.47.“” 是“函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】：当时，为非奇非偶函数，当时，为奇函数，故为必要不充分条件.【考点】函数的奇偶性，充要条件.48.“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以“”的否定是“”，故选D.【考点】命题的否定．49.命题“，，使得”的否定是（）A．,，使得B．，，使得C．，，使得D．，，使得【答案】C【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“，，使得”的否定是“，，使得”．故选C．50.已知集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.51.已知集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.52.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，则，故选A.53.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。

数理逻辑部分参考答案

4．下面的推理是否正确，请给予说明． (1) (x)A(x) B(x) (2) A(y) B(y) 前提引入 US (1)
错误。因为(1)中(x)的辖域仅是 A(x)，而不是 A(x) B(x)
四．计算题 1．求 PQR 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：由于 P Q R P Q R 析取范式： P Q R 合取范式： P Q R 主析取范式 P Q R P Q R (P 1 1) (1 Q 1) (1 1 R) (P (Q Q) (R R)) (( P P) Q (R R)) (( P P) (Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( A(a) A(b)) (B(a) B(b))
．
6．设个体域 D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于 3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 0 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x， y))中的约束变元为 y x ．．
三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．设 P：今天是天晴则该语句符号化为 P 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．设 P：小王去旅游，Q：小李也去旅游则该语句符号化为 P∧Q
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设： P:他去旅游 Q：他有时间则该语句符号化为 P->Q 4．将语句“41 次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式．设：

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.给定空间中的直线l及平面．条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件C．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】略2.，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】，，，所以“”是“”的必要非充分【考点】充要条件3.当时，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时点在直线与轴围成的三角形及内部，当时点位于函数与两轴围成的曲边形内，观察两区域可知当成立时一定有成立，反之不成立，即“”是“”的充分不必要条件【考点】1．充分条件与必要条件；2．不等式表示平面区域4.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】集合的交集运算5.“成立”是“成立”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的解集是：，的解集是：,因为, ,所以是必要而不充分条件．【考点】必要而不充分条件6.已知全集U＝R，，，则集合( )A．B．C．D．【答案】【解析】由题意，得，则.【考点】集合的运算7.已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可知，由，可得，当或时，不能得到，反之，当时，可得，于是有成立；【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断8.下列说法错误的是：（）A．命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是：“若x≠3,则x2-4x+3≠0”B．“x＞1”是“＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p,q至少有一个假命题D．命题：“存在使得，”则：“对于任意，均有”【答案】D【解析】A中逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B中“x＞1”是“＞0”的一部分，因此“x ＞1”是“＞0”的充分不必要条件；C中p且q为假命题，则有一个假命题或两个假命题；D中特称命题的否定是全称命题，需将结论加以否定，的否定为【考点】四种命题与全称命题特称命题9.若的否命题是命题的逆否命题，则命题是命题的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．与是同一命题【答案】A【解析】设：若A则B，因此的否命题为若则，从而命题为若B则A，即命题是命题的逆命题，选A.【考点】四种命题关系【名师】1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．10.设，是实数，则“”是“”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当，但是，充分性不满足；若，则能推出，必要性不满足；所以是既不充分也不必要条件；故选D．【考点】充分性与必要性11.命题“存在R，0”的否定是．【答案】任意【解析】特称命题的否定为全程命题，所以命题“存在”的否定是:任意．【考点】特称命题的否定．12.给出下列几个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题;②命题任意，都有，则”：存在，使得③命题:存在，使得；命题:中，，则命题“”为真命题④方程表示椭圆的充要条件是．⑤对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面．其中不正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①原命题为真，逆否命题也为真，所以①错；②是全称命题的否定，正确，③命题是假命题，，根据正弦定理，和大角对大边，命题是真命题，所以且为真，正确；④若要表示椭圆，，解得，且；④错；⑤，所以四点不共面，⑤错．所以①④⑤错，故选C．【考点】命题13.若r（x）：，s（x）：x＋mx＋1>0，如果对∀x∈R，r（x）为假命题，s（x）为真命题，则m的取值范围．【答案】－≤m<2【解析】由，∀x∈R ，得：，因为r（x）为假命题，所以 x∈R ，是真命题，即．对∀x∈R，x＋mx＋1>0为真命题，所以，即，所以应满足得：－≤m<2，所以答案应填：－≤m<2．【考点】1、全称命题的否定；2、二次不等式恒成立；3、三角函数化简．【思路点睛】本题主要考查的是命题，命题的否定，三角函数辅助角公式、二次不等式恒成立及存在性问题，属于难题．本题利用命题为假则命题的否定为真原理，把难于理解处理的问题转化为较容易问题，即存在一个实数，使得成立，从而只需即可．正难则反的数学思想是解决问题的关键突破点．14.命题p：关于x的不等式（x－2）≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4＜k≤0，那么不正确的是（）A．“p”为假命题B．“ q”为假命题C．“p且q”为真命题D．“p或q”为假命题【答案】C【解析】命题p：关于x的不等式（x－2）≥0的解集为{x|x≥2}为真命题；命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0得或，命题为真命题；所以“p或q”为假命题是不正确的【考点】1．函数性质；2．不等式解法；3．复合命题15.已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】【解析】首先解不等式得到命题命题对应的的范围，由是的必要不充分条件得到p是q的充分不必要条件，从而得到m的不等式，求解其取值范围试题解析：由p：可得由q：可得因为是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件．因为p是q的充分不必要条件，所以，所以【考点】1．不等式解法；2．充分条件与必要条件16.已知命题：，，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题：，，则：．【考点】1、命题的否定；2、全称命题与特称命题．17.若命题“”为假，且“”为假，则（）A．“”为假B．假C．真D．不能判断的真假【答案】B【解析】因为“”为假，所以“”为真，又“”为假，所以为假，故选B．【考点】1、复合命题的真假；2、命题的否定．18.如果命题“”是假命题，则下列说法正确的是（）A．均为真命题B．中至少有一个为真命题C．均为假命题D．中至少有一个为假命题【答案】B【解析】是假命题，是真命题，则中至少有一个为真命题；故选B．【考点】复合命题的真假判定．19.设，则命题是命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当时，可得成立，但反之不一定成立，所以命题是命题的必要不充分条件，故选B．【考点】必要不充分条件的判定．20.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】由命题甲的解集是实数集，可知或，解之得或，即，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选C．【考点】1、充分条件，必要条件；2、极端不等式恒成立．【易错点晴】本题是一个关于充分条件，必要条件与极端不等式恒成立的综合性问题，属于中等难度问题．本题有一个容易出错的地方，就是当命题甲为真命题时求的取值范围时，容易将时这种情况丢失，从而造成错误．一般的，恒成立时，有两种情况，即或，丢掉任何一种情况，都将造成错误．21.命题“对任意的”的否定是（）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，的否定为，所以原命题的否定为存在【考点】全称命题与特称命题22.（2014•梅州一模）设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】由题意a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，若a∥b，l与a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此对命题进行判断；解：∵a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α，若“l⊥α，∵a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，∴l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分的条件，故选C．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．23.下列命题错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B．若命题：，则：C．中，是的充要条件D．若为假命题，则、均为假命题【答案】D【解析】由题意得，若为假命题，则命题中至少有一个为假命题，可能命题中一个真命题，一个假命题时，所以若为假命题，则均为假命题是错误的，故选D．【考点】复合命题的真假判定；四种命题的关系；全称命题与存在性命题的关系．24.命题：p：∀x∈R，sinx≤1，则命题p的否定￢p是．【答案】∃x∈R，sinx＞1．【解析】命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题来解决．解：根据全称命题的否定是特称命题知：命题p的否定￢p是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．【考点】命题的否定．25.下列语句是命题的为（）A．x-1=0B．他还年青C．20-5×3=10D．在2020年前，将有人登上为火星【答案】C【解析】命题是可以判断真假的语句，由此可知只有C可判断真假，是命题【考点】命题的概念26.下列结论错误的是（）A．命题“若，则”与命题“若则”互为逆否命题B．命题，命题则为真C．“若则”的逆命题为真命题D．若为假命题，则、均为假命题【答案】C【解析】A中逆否命题是将条件与结论加以交换并否定后得到的命题，所以正确；B中命题p是真命题，命题q是假命题，所以为真；C中逆命题为假命题，当时不成立；D中为假命题，则、均为假命题．【考点】四种命题与复合命题27.（2015秋•淮南期末）“4＜k＜6”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件【答案】D【解析】当k=5时，方程+=1表示圆，“方程+=1表示椭圆”⇒“4＜k＜6”．由此能求出结果．解：当k=5时，方程+=1表示圆，∴“4＜k＜6”推不出“方程+=1表示椭圆”，当方程+=1表示椭圆时，，解得4＜k＜6，且k≠5，∴“方程+=1表示椭圆”⇒“4＜k＜6”．∴“4＜k＜6”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选：D．【考点】椭圆的标准方程．28.设,则是的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先，由则一定可以得到，即；由，得到或，即不一定得到；所以是的充分不必要条件．故选A．【考点】分式不等式；逻辑关系．29.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选A．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．30.已知命题p：∃x∈[0，]，cos2x＋cosx－m＝0的否定为假命题，则实数m的取值范围是（）A．[，－1]B．[，2]C．[－1,2]D．[，＋∞)【答案】C【解析】依题意得在上有解，即，令，由于，所以，于是，因此实数的取值范围是，故选C．【考点】三角函数的化简及二次函数的最值．31.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题【答案】D【解析】对于A根据否命题的意义即可得出；对于B按照垂直的条件判断；对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断；对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．对于命题C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x=y⇔sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．故答案选：D．【考点】命题的真假判断与应用．32.“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析:根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．33.已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】a≤9【解析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．解：∵q：，∴q：2＜x＜3，∵¬p是¬q的充分条件，∴q⇒p，∵P：2x2﹣9x+a＜0，设f（x）=2x2﹣9x+a，∴，解得a≤9．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．34.已知直线与直线平行，，则是的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由题意知：，所以.故选A.【考点】直线平行的充要条件.35.命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】逆否命题需将条件结论交换后分别否定，所以原命题的逆否命题为：若，则【考点】四种命题36.命题：直线与圆相交于两点；命题：曲线表示焦点在轴上的双曲线，若为真命题，求实数的取值范围．【答案】【解析】命题p：直线与圆相交于A，B两点，可得圆心到直线的距离，解得k范围．命题q：曲线表示焦在y轴上的双曲线，可得，解得k范围．由于p∧q为真命题，可得p，q均为真命题，即可得出试题解析：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，，∵命题：曲线表示焦点在轴上的双曲线，解得，∵为真命题，∴p，q均为真命题，∴【考点】直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法37.已知集合为虚数单位，，则复数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C．【考点】1、复数的运算；2、集合运算．38.已知设命题函数为增函数，命题当时，函数恒成立.如果为真命题，为假命题，求的范围.【答案】.【解析】命题中根据指数函数的单调性可得的范围.命题中根据对勾函数的性质可得函数在上的单调性,从而可得函数在的最小值.只需其最小值大于即可,从而可得的范围. 为真命题，为假命题可知一真一假.当命题为假时取值的集合为命题为真时取值集合的补集.从而可解得.试题解析：由为增函数，.因为在上为减函数，在上为增函数.在上最小值为当时，由函数恒成立得，解得如果真且假，则，如果假且真，则所以的取值范围为.【考点】命题的真假.39.若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若方程无实根，则，即；若复数在复平面上对应的点位于第四象限，则，解得，所以若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件，故选B．【考点】1、充分条件与必要条件；2、复数的几何意义．40.已知命题，那么“为真命题”是“为真命题”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为真命题真且真；为真命题真或真为真，所以“为真命题”是“为真命题”的充分必要条件，故选A.【考点】逻辑联结词与命题.41.命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真【答案】D【解析】由题意得，命题：当时，不一定是成立，所以命题为假命题，函数满足，解得或，所以命题为真命题，故选D．【考点】命题的真假判定．42.“”为假命题，则 .【答案】【解析】由已知可知其否命题为真命题，即恒成立，当时不等式成立；当时需满足，代入得，综上可知【考点】特称命题与二次函数性质43.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，，所以，故选A.【考点】集合的运算.44.下列四个命题：（1）和表示相等函数；（2）函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；（3）在区间上是减函数，则实数的取值范围是；（4）是的一个递增区间.其中正确命题的个数是A．B．C．D．【答案】B.【解析】①可化简得，它们的解析式不同，不是相同的函数。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合M=｛1,｝，N＝｛1，3｝，M∩N＝｛1,3｝，则实数m的值为（）A．4B．－1C．4或－1D．1或6【答案】Ｂ【解析】略2.设集合A．B．C．D．【答案】C【解析】．【考点】集合运算．3.已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}【答案】C【解析】由题意知q真，p假，∴|x－1|<2．∴－1<x<3且x∈Z．∴x＝0,1,2．选C．【考点】命题否定4.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“四边形ABCD为菱形”可得到“”，反之不成立，因此“四边形ABCD为菱形”是“”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件5.设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为，则等于（）A．N B．M∩N C．M∪N D．M【答案】B【解析】根据题意是指图（1）中的阴影部分，同样是指图（2）中的阴影部分，即，故选择B【考点】韦恩图6.给出下列命题：①若“或”是假命题，则“且”是真命题；②若实系数关于的二次不等式，的解集为，则必有且；③；④．其中真命题的是（填写序号）。

【答案】①③【解析】①“或”是假命题，则两命题都是假命题，所以“且”是真命题；②不等式可能为一次不等式，满足解集为空集；③由不等式性质可知结论正确；④中可由，反之不成立【考点】1．复合命题；2．不等式性质7.若命题是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是对结论的否定，显然选D。

【考点】命题的否定8.不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，p2：∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，p3：∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，p4：∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1．其中的真命题是（）A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p3【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如图所示区域。

数理逻辑与集合论前两章作业答案

第一章命题逻辑的基本概念作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：(1)火星上有生命存在.(2)12是质数。

(3)香山比华山高。

(4)x+y=2。

(5)这盆茉莉花真香！(6)结果对吗？(7)这句话是错的。

(8)假如明天是星期天，那么学校放假。

解答：(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；(2)“12是质数”是命题，其真值为假；(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。

点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。

作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：(1)如果正在下雪，那么今天很冷。

(2)今天很冷当且仅当正在下雪。

(3)正在下雪的必要条件是今天很冷。

用自然语言叙述下列公式：¬(p∧q)¬p∨¬q p→q¬p∨q¬¬p¬p↔q解答：(1)“如果…那么…”是典型的表蕴涵的连词，因此句子“如果正在下雪，那么今天很冷”符号化为q→p；(2)“当且仅当”是典型的表等价的连词，因此句子“今天很冷当且仅当正在下雪”符号化为p↔q；(3)“正在下雪的必要条件是今天很冷”相当于“只有今天很冷，（才）正在下雪”，也即“如果正在下雪，那么意味着今天很冷”，因此应该符号化为q→p。

对于公式的自然语言叙述，我们有：(1)公式¬(p∧q)的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷且正在下雪”；(2)公式¬p∨¬q的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷或者并非正在下雪”，或者“今天不很冷或者没有正在下雪”；(3)公式p→q的自然语言叙述可以是：“如果今天很冷，那么正在下雪”；(4)公式¬p∨q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷或者正在下雪”；(5)公式¬¬p的自然语言叙述可以是：“并非今天不很冷”；(6)公式¬p↔q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷当且仅当正在下雪”。

离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案

（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。

（6）王强与刘威都学过法语。

答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。

符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。

答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。

符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

答：:p 2是素数；:q 4是素数。

符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。

:r 太阳从西方升起。

求下列复合命题的真值。

（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。

（7）所以为可满足式。

P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。

（1）()p q q ⌝∧→ 解答：()(())(())()10p q q p q q p q q p q q ⌝∧→⇔⌝⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⌝∨⌝∨⇔⌝⇔所以为永假式。

（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：(())()(())()()()1()1p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔⌝∨∨∨⌝∨⇔∨⌝∨⇔ 所以因为永真式。

集合及简易逻辑解答题-含答案

-第II 卷〔非选择题〕1．:21p x -≤；()()2:30q x x m +-≤, 假设p 是q 的充分非必要条件，数m 的取值围。

【答案】m m ≤≥【解析】试题分析：解：根据题意，由于:21p x -≤；()()2:30q x x m +-≤则可知2:13,:3P x q x m ≤≤-≤≤，又因为p 是q 的充分非必要条件，则2,3p q m m m ⊂∴≥∴≤≥考点：集合的关系点评：主要是考察了集合的思想来判定充分条件的运用，属于根底题。

2．命题p ：函数2()24f x x ax =++有零点；命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数，假设命题p q ∧是真命题，数a 的取值围．【答案】2a ≤-【解析】试题分析：根据题意，由于命题p ：函数2()24f x x ax =++有零点；则可知判别式241602,2a a a ∆=-≥∴≥≤-或，对于命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数，则可知3-2a>1，a<1,由于命题p q ∧是真命题，则说明p,q 都是真命题，则可知参数a 的围是2a ≤-考点：复合命题的真值点评：主要是考察了方程的解以及函数单调性的运用，属于根底题。

3．集合{}2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =．〔1〕当3a =时，求A B ；〔2〕假设U A C B ⊆，数a 的取值围．【答案】〔1〕{}|34AB x x =≤<。

〔2〕02a ≤≤。

【解析】试题分析：由题意得，{}|31A x x x =≥≤-或，{}|11B x a x a =-<<+。

4分〔1〕3a =时，{}|24B x x =<<， ∴{}|34A B x x =≤<。

8分〔2〕因为U A C B ⊆，所以1311a a +≤-≥-且，解之得02a ≤≤，所以实数a 的取值围是02a ≤≤。

数理逻辑部分综合练习附答案

数理逻辑部分综合练习及答案一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．所以选项B 是正确的．正确答案：B问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，怎么符号化呢？2．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的．正确答案：C3．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ，（n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．由教材第167页中的蕴含等价式知道，公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A 是正确的．正确答案：A注：第2，3题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。

如果题目改为求一个变元（P 或⌝P ）命题公式的合取范式或析取范式，那么答案是什么？4．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨QB ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →QC ．Q →P ⇒ PD ．⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q因为： ⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q （析取三段论，P171公式(10)）所以，选项D 是正确的．正确答案：D5．下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q )) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q ))C ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q ))D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔Q由教材第167页中的蕴含等价式，得(P →(⌝Q →P )) ⇔⌝P ∨(Q ∨ P )，(⌝P →(P →Q )) ⇔ P ∨ (⌝P ∨Q )所以，C 是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式 ( )为永真式”，应该是一样的．6．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A ．(∀x )(A (x )∧B (x )) B ．⌝(∃x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))由题设知道，A (x )→B (x )表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x ，得到公式C ．正确答案：C7．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A ．(∃x )(A (x )∧B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))选项A 中的A (x )∧B (x )表示x 是人，而且是工人，∃x 表示存在一个人，有一个人，因此(∃x )(A (x )∧B (x ))表示“有人是工人”．正确答案：A8．表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )．A ．P (x , y )B ．P (x , y )∨Q (z )C ．R (x , y )D ．P (x , y )∧R (x , y )所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x 之后最小的子公式是什么呢？显然是P (x , y )∨Q (z )，因此，选项B 是正确的．正确答案：B注：如果该题改为判断题，即表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是P (x , y )如何判断并说明理由呢？9．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的．正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )A ．)1(=⋅∃∀y x y xB ．)0(=+∃∀y x y xC ．)(x y x y x =⋅∀∃D ．)2(y y x y x =+∀∃因为选项A 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足xy =1，这样的y 是不存在的选项B 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足x +y =0，这样的y 也是不存在的选项C 表示：存在一自然数x 自然数对任意自然数y 满足xy =x ，取x =0即可，故选项C 正确正确答案：C二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P ) ⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→．应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为．因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))注：如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值为．因为 (∃x )A (x )⇔A (1)∨A (2)∨A (3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：1注：若个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值是什么？或：设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x是奇数”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值是什么？6．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?判断：谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为x，是否正确?为什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．注：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）⌝∧的真值是1．1．命题公式P P解错误．⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．因为P P2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x)A(x) ∧ B(x) 前提引入(2) A(y) ∧B(y) US (1)解：错第2步应为：A(y) ∧B(x)因为A(x)中的x是约束变元，而B(x)中的x是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．分析：定义6.6.7 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有大项的合取组成，则该等价式称为原式的主合取范式．定义6.6.6 n个命题变元的析取式，称为布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．解析取范式，合取范式、主析取范式的定义前面复习过了，由教材167的蕴含等价式P→Q∨R ⇔⌝P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )（补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．例如：求（P ∨Q ）→R [或(P ∨Q )→(R ∨Q )，P →Q ∧R ]的合取范式、析取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解（1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y ) ⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q⇔((⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P )∧Q⇔⌝P ∧Q （吸收律）⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）2．试证明(∃x )(P (x )∧R (x ))⇒(∃x )P (x )∧(∃x )R (x )．分析：前提：(∃x )(P (x )∧R (x ))，结论：(∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) ．证明 (1) (∃x )(P (x )∧R (x )) P(2) P (a )∧R (a ) ES (1) (存在指定规则)(3) P (a ) T (2) I （化简）(4) (∃x )P (x ) EG (3) (存在推广规则)(5) R (a ) T (2) I （化简）(6) (∃x )R (x ) EG (5) (存在推广规则)(7) (∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) T (4)(6)I （合取引入）。

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數理邏輯與集合論作業二
1.
解：該題應該理解為此列表中每一句都是形如“i: 在這個列表中，恰有i條語句為假”的形式。

a)思路：考慮這100句裡可能有幾句為真。

是否可能沒有一句為真？是否可能
祗有一句為真，是哪一句？是否可能多餘等於兩句為真？
b)思路：“至少i+1句為假”蘊含“至少i句為假”，若第i句為真，則1……
i-1句都為真，所以第 100, 99, 98, ……句都為假，一直到第50句為真
c) 思路同上，但是……
2.
解答：如果我說右邊的路通往遺跡你將回答“是”，對嗎？
3.
解答：
))))a q p b p q c q p
d q p
→∧→⌝→⌝
4.
也就是上述描述是否自相矛盾？
5.
解答：
条件符号化
::::(1)(2)(C G)(3)(G W)G W (4)G W G W S C G W S C G W S C
C G W C
C S C S
→⌝∧=⌝∨⌝⌝⌝∧⌝=∨→⌝⌝⌝⌝⌝男管家廚師園丁雜役假設為真，則由（2）得：再由（1）得：但無法判定的真假
假設為假，則由（3）得：再由（4）得：由（1）得：綜上所述：和說了假話，，的話真假未知
6. 四个朋友被认定为非法进入某计算机系统的嫌疑人。

他们已对调查员作了陈述。

艾丽斯说“卡罗斯干的”
约翰说“我没幹。

”
卡罗斯说“戴安娜干的。

”
戴安娜说“卡罗斯说是我幹的，他说谎。

”
a）如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说真话，那么准幹的？解释你的推理。

b）如果调查员知道恰有一人说谎，谁干的？解释你的推理。

解：前提符號化為
（1）A: C
（2）J: ⌝ J
（3）C: D
（4）D: ⌝ (C: D)
a) 祗有一句話為真，而（3）（4）有且僅有一句為真，分別討論（3）（4）為真的情況。

b）分析步驟同上。

7. 用真值表證明德摩根律和吸收律。

解答略
8. 使用等值演算證明下列命題公式為永真式（不得用真值表）
解答：
a
C。