结构力学图乘法

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结构力学课件 第6章 图乘法

结构力学课件 第6章 图乘法

三、注意事项: 注意事项:
1.若 Aω与 1.若 取负值
yc
在杆件的同侧,取正值;反之, 在杆件的同侧,取正值;反之,
2.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法: 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法: 当图乘法的适用条件不满足时的处理方法 a)曲杆或EI=EI(x)时,只能用积分法求位移; )曲杆或 只能用积分法求位移; ( ) b)当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非 ) 分段为常数或单位弯矩图、 分段为常数或单位弯矩图 直线时, 直线时,应分段图乘再叠加 3.yc应取自直线图中。若两图均为直线图形,也可 应取自直线图中。若两图均为直线图形, 图的面积乘其形心所对应的M 用 M 图的面积乘其形心所对应的 P 图的竖标来计 算。
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l×h ∆ CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→ ← ) 12 EI
ω yc
为常数,求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数,求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 ∆ Ay ,并绘出刚架的变形曲线。
F
解:作荷载内力图和单位荷载内力图
M=1
M P图
∆ CV
300 × 6 2 = × ×6× 2 2 3 1 2 − × 6 × 45 × 3 = 6660 3
6
M A图
Fp=1
M C图
为常数, 例 5. 已知 EI 为常数,求 ∆Cy 。 q
A
l 2
C
B
l 2
解:作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
1
B A
二、图乘法原理
MM P 图乘法求位移的一般 ds 表达式为 ∫ EI 1 ∆=∑ Aω yC 1 = ∫ MM P ds EI EI

结构力学(第三章)-图乘法

结构力学(第三章)-图乘法


( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip

yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数,求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为:
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的,他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP

5结构力学图乘法.

5结构力学图乘法.
(1)常见图形面积和形心:
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
(2) 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI

(M x tanα)

yc
xc x
M
x

图乘法是Vereshagin于1925年 提出的,他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗?
(1)必须符合图乘法的适用条件; (2) 必须取自直线图形; (3)同侧弯矩图相乘为正,反之为负; (4)拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解; (5)应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块,就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解: 作 M 图 M P 图,如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
(3)一般形式的二次抛物线图形相乘 (4)曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K

同济大学结构力学第五章-3(图乘法)

同济大学结构力学第五章-3(图乘法)

FP
解:作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FP FPl/4
MP 图
EI 2EI
M 图
FPl/4

M
图求面积, 图取竖标, 图求面积,在 MP图取竖标,有:
ωyc
1 l FPl 1 3l FPl Ay = ∑ = × ×l × ×l × × EI EI 2 2 2EI 2 4 FPl 3 = ( ↓) 16EI
2
B
l 1 1 l 3ql 1 l ql 3 l × × + × × × × ) Cy = ( × EI 2 8 2 2 3 2 8 4 2 1 ql 4 3ql 4 5ql 4 = ( + ( ↓) )= EI 64 128 128EI ?
解法一、 解法一、
ql 2 2
A
q
ql 2 8
. 已知 EI 为常数,求刚架 、D两点 距离的改变 CD 。
解:作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l ×h CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→←) 12EI
ωyc
为常数,求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数,求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 Ay ,并绘出刚架的变形曲线。
b c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
ωj yj Mi MK ω1 y1 ω2 y2 ω3 y3 dx = + + =∑ ∫ EI E1I1 E2I2 E3I3 Ej I j
四、应用举例 为常数, 例 1. 设 EI 为常数,求 Cy 和 θB 。
l
2
l

结构力学-图乘法

结构力学-图乘法
1
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP

M M P ds EI


F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy

yc
EI

[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc

yc
EI
由此可见,上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ,再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式,简称为图乘法。

《结构力学图乘法》PPT课件

《结构力学图乘法》PPT课件

EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ

1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时,
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时, ω应代以负号.
(3)图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx

tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线,而 M(x) 为折线,则应以 折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法, 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解:
2kN/m
作 M 图 MP 图,如右图所示。 A 2m C 2m B
分段:M ,M P 分为AC、CB两段。16
分块: M P图的AC段分为两块。
还记得 吗?
(3)同侧弯矩图相乘为正,反之为负;
(4)拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解;
(5)应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3

结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)

结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同,即铅直向下。
图乘法
(2)求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1,绘出 M 2 图(图d)
将两图相乘,得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
(逆时针)
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反,即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时,yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图), 则要 将其分割成几个面积,使每个面积对应一条直 线图形,分别进行图乘再相加,即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同,即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP; 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态,画出单位荷载作 用下的弯矩图; 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC; 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1,得虚拟状态
M

2
A
1
M2=1 B y =1

M

2

结构力学图乘法及其应用

结构力学图乘法及其应用

ql2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数,求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl 3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M

解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql ( ) 24 EI
2 Pl
A
MP
2l
P
Pl
l
B
A
MP
1
l
B
l
l
解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 2 1 2l 3l B [ l Pl l Pl l l Pl l (l ) Pl l ] EI EI 2 3 2 3 2 11Pl 3 ( ) 3EI
yc
已知: E、I、A为常数,求 Cy 。
D
P
a
B
l 2
A
C
l 2
解:作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
l 2
NP P / 2
D P
Ni 1 / 2

结构力学图乘法

结构力学图乘法

FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功,得到:
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业:
4-3 (a);(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系,即体系产生的 是小变形,且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以

F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中,第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。

结构力学图乘法

结构力学图乘法

§4-6 图乘法我们已经知‎道,计算荷载作‎用下结构的‎弹性位移时‎,需要求下列‎形式的积分‎⎰ds EI M M Ki 的数值。

这里,i M 、K M 是两个弯矩‎函数的乘积‎。

对于直杆或‎直杆的一段‎,若EI 是常‎量,且积分号内‎的两个弯矩‎图形中有一‎个是直线图‎形,则可用图乘‎法计算积分‎,极为方便。

下面说明图‎乘法的内容‎和应用图4-20所示为‎直杆AB 的‎两个弯矩图‎,其中图为一‎i M 直线。

如果该杆截‎面抗弯刚度‎E I 为一常‎数,则⎰⎰=dx M MEIdx EI M M K iK i 1(a)以O 为原点‎,以α表示图‎i M 直线的倾角‎,则图上任一‎i M 点标距(纵坐标)可表示为α⋅=tan x M i因此, ⎰⎰α=BAK BAK i dx xM dx M M tan (b )式中,dx M K 可看作图的‎K M 微分面积(图4-20中画阴‎影线的部分‎);dx M x K ⋅是这个微分‎面积对y 轴‎的面积矩。

于是就是图‎⎰BA K dx xM K M 的面积ω对‎y 轴的面积‎矩。

以表示图的‎0x K M 形心C 到y ‎轴的距离,则0x dx xM BAK ω=⎰将上式代人‎式(b ),得到00tan y x dx M M BAK i ω=ω⋅α=⎰(c)其中,0y 是在图形心‎K M C 对应处的‎i M 图标距。

利用式(c ),式(a )可写成01y EIdx EI M M BA K i ω=⎰ (4- 29) 这就是图乘‎法所使用的‎公式。

它将式(a )形式的积分‎运算问题简‎化为求图形‎的面积、形心和标距‎的问题。

应用图乘法‎计算时要注‎意两点:(1)应用条件:杆件应是等‎截面直杆,两个图形中‎应有一个是‎直线,标距应取自‎0y 直线图中。

(2)正负号规则‎:面积ω与标‎距在杆的同‎0y 一边时,乘积取正号‎0y ω;ω与在杆的‎0y 不同边时取‎负号。

结构力学§5-5_图乘法

结构力学§5-5_图乘法

FP
l

5FPl 3 48 EI

[例3] 求A点的转角和C点的竖向位移。 (EI=1)
解:(1)求A点的转角
A

300 6 1 1 23
300
A 6m
(2)求C点的竖向位移
叠加图乘
1
CV


300 2
6

2 3

6


2
1
2 6 45 3 3
(3)组合结构
l M P M ds FNP F N L
o EI
EA
(受弯构件
(链杆)

(4)三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形。
L M P M ds L FNP F N ds FNP F N L
o EI
o EA
EA1
(曲杆)
(曲杆)
力场(虚)
l
l
l
1 [
M d
0

F Qd
0
0 F N d ] F RkCk
(弯曲) (剪切) (轴向) (已知支座移动)
仅考虑荷载作用,Ck 0
位移场(实)
由材料力学可知 :
d M P ds
EI 代入得 :
d k FQP ds
GA
d FNP ds
y2=0
示例(2): M 图 为特殊折线
L
o MP Mds A1y1 0
5. 图乘的叠加
MP图 M图
(1) 两个直线图形图乘的叠加法
L
o MP Mds A1y1 A2 y2
其中Leabharlann y12 3

结构力学-图乘法

结构力学-图乘法

实例分析:圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析:圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小,取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号,绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来,从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下,结构的变形是线性的,即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设,即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题,对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时,需要保证图形函数的准 确性,否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时, 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力,其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩,其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系,使得分析结果更 直观,易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法,图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解,适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构,包括静定结 构和超静定结构,具有较 广泛的适用性。

结构力学图乘法详述

结构力学图乘法详述

1(20 2 .5 0 5 30 5 .3 4 5 5 .3 0 3 .6 ) 2 1 3 m 0 0 .2 cm
3 .6465
15
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q ql2/2 B
NP=0
ω1
ql/2
ω2
ω2 ql2/8
P=1
l
y2
N 1 y3
N 0
y1
M
NP=ql/2 l
MP
ql
l
1
w
3
2 3
3244•0.75
20
183 EI
5m 5m 5m
7kN 求A点水平位移。
F 2kN/m
35 D
50kN.m B
10
10
10
C
25
10
G
10kN
E 20
A
1kN 20
5m 5m
15kN
2kN
AHE 13I1E82 1I7. 55 5 10 .5•94 5 6 1 10 0 2 2 1 m5 5 0 •2 3 1 0 2 3 5 2 4 5•2 1 1 0
ql 2 8
l
ql 3 12
ql/2
w 1N12
ql 2
N2 N El A
Pqll 3 4
ql 2
w×12×ElAy
1
232qEll A12
y2
y3
l 2
M
1 EI
(w 1 y 1 w 2 y 2 w 3 y 3 )
1 EI
ql 2 4
2 l ql 2 34
2l 3
ql 2 12
l
3 ql
1 2 ql 2 l • l 0.5l 17 ql 4 2EI 3 32 2 2 256 EI

结构力学:第5章 静定结构位移计算3(图乘法)

结构力学:第5章  静定结构位移计算3(图乘法)
(3) yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧,yc取正值;
反之,取负值。
3. 如图形较复杂,可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解:作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l!23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的,他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项:
1. 图乘法的应用条件: (1)等截面直杆,EI为常数; (2)两个M图中应有一个是直线;
q A
MP 图
1 ql 2 8

结构力学图乘法

结构力学图乘法

2、图乘法原理 y
d A =MPdx
A MP
A 面积
形心 C MP图 B
dx
O
x

M xtgα
yC
yC=xCtg
B
A
xC
x
由此可知,计算位移的积分就等于一 个弯矩图的面积A乘以其形心所对应的 另一个直线弯矩图上的竖标yC,再除以 EI,于是积分运算转化为数值乘除运 算,此法即称图乘法。
剪力与轴力项能用图乘法?
3、图乘法求位移的一般表达式
注意:
yc [1].
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值(不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧)。 [3]. 如图形较复杂,可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图(荷载弯矩图)MP; (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态,画出单位弯矩图M(注:M图不标 单位); (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC; (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
【预习】:静定结构的位计算习题课
解:1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1,其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为:
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
(3)异侧组合
(4)非规则抛物线图形
由区段叠加法作的弯矩图 ,其弯矩 图可以看成一个直线弯矩图和一个规 则抛物线图形的叠加 。
MB

结构力学图乘法

结构力学图乘法

结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第 5页
根据上面的推证过程,可知在使用图乘法时应注意下列各 点: (1)必须符合上述三个条件; (2)纵距 y c 只能取自直线图形; (3) 与 y c 若在杆件的同侧则乘积取正号,否则取负 号 位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置
1 l h 2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第 1页
§7-4 图 乘 法
一.图乘法的计算公式
梁和刚架在荷载作用下的位移式
M M Pds 1 K P EI
当结构的各杆段符合下列条件时: (1)杆轴为直线; (2)EI=常数; (3)两个弯矩图中至少有一个是直线图形 则可用下述图乘法来代替积分运算,从而简化计算工作。
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第 8页
a
1
2
y2
b
d
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样, 可分解为位于基线两侧的两 个三角形,分别与另一图形 相乘,然后叠加。
c
y1
EI EI 1 al2 1 bl 1 2 1 l ( c d ) (c d ) ( 2 ac 2 bd ad bc ) EI 2 3 3 23 3 EI 6
a
1
2 b
y2 d
c
y1
yC 1 ( 1 y1 2 y2 ) EI EI 1 al 2 1 bl 1 2 ( c d ) ( c d ) EI 2 3 3 2 3 3 1 l (2ac 2bd ad bc ) EI 6

结构力学图乘法

结构力学图乘法

c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap

lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
(1)常见图形面积和形心:
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A

1 2
al
xc

1 2
l
xc

1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A

1 3
al
A

2 3
al
a 1 b 2 状态II FPa FPb M FQFN
ds M ds
EI
0ds

kFQ GA
ds
ds FN ds
EA
ds M ds
EI
ds FN ds
EA

0ds

kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功,得到:
所以 r21C1C2 r12C2C1

说明:
r12 r21
rij 也称为刚度系数,即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位;
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力,r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
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分块: M P 图的AC段分为两块。
1
2 3
2
1
4 3
y1 1
A
ω1 y2 4
C
MP B
2
1 2
2
2
2
y2
(2 3
16
1 3
4)
2 ω2
1
36 12 3
A
y1
C
M
B
CV
1 EI
(1 y1
2 y2 )
1 EI
(
4 3
1
2 12)
22.67
1 EI
如果将AC段的
M
图如下图那样分块,就比
P
较麻烦。
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
(1)常见图形面积和形心:
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
ห้องสมุดไป่ตู้
1 3
al
A
2 3
al
A
2 3
al
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
(2) 梯形相乘
A1 A2
M i M K dx A1 y1 A2 y2
1
B M图
C
1
y1 1/ 2
3
2 4 4 3
32 3
2
1 81 2
4
21
20
y2
( 4 3
12) 3
3
y3
1 2
(1 1 /
2)
3 4
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 EI
(64 1 2
4
20 3
32 3 ) 34
1 (32 80 8) 13.33 ( )
EI
3
EI
16
2kN/m 4kN
A
C
2m 4kN.m
4
8 A
4 C
M P图
例2
求B, EI等于常数。
12kN.m 4kN 2kN/m
A
C
B 4kN.m
5kN 4m
4m
7kN
解:
作 M 图 M P 图,如下页图所示。
12
A
A
1
1 2
16 8
64
C ω1 y2
4 B MP图
8
4 ω3
(kN.m)
1/2y1 ω2 y3
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式:
KP
M K M P ds 称莫尔积分 EI
建立方程,逐杆积分,在杆件数量多的情况 下不方便。
图乘法的思想:利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件: (1)杆件轴线是直线;
(2)杆段的弯曲刚度EI为常数;
例3 求 ,B EI等于常数。
解: A
作 M 图及M P 图,
如右所示。
7kN
B 2m
6kN/m
C
6kN.m
4m
17kN
分段:M
,M

P
为AB、BC两段。
分块:
M
图的
P
BC段分为两块。
y2
6
ω1
ω3
14 y1 1/3
12 M P 图 (kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
1
1 2
214
(3)图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1 EI
x
tan
α
M Pdx
tan α EI
xM
PdxtaEnIα
xdA
tan α
互等定理适用于线性变形体系,即体系产生的 是小变形,且杆件材料服从虎克定律。
14
2
1 2
4
2 3
4 3
21 2 y1 3 3 9
y2
(2 3
14
1 6) 3
22 3
3
2 3
4 12
32
y3
1 3
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 (14 2 4 22 32 1)
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
6
ω1
ω3
14 y1 1/3
(4)拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解;
(5)应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
AP
l
h 2
二次抛物线
2 Ap 3 h l
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d) 3
MiM Kdx 1y1 2 y2
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b
D y2
d
MK 图 M图
(3)一般形式的二次抛物线图形相乘
(4)曲线图形与折线图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
y3
1 2
(12
4)
4
2
CH
1 EI
(1 y1 2 y2
3 y3 )
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ()
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业:
4-3 (a);(c)
§4-5 互等定理
12 M P 图 (kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH,EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解: 作MP图和 M 图见下页图。 分块:MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
2
2 3
44
32 3
y2 2
A
3 2 4 8
l
c
l n2
N 次抛物线 l h n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线,而 M(x)为折线,则应以 折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法, 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解:
2kN/m
作 M 图 MP 图,如右图所示。 A 2m C 2m B
分段:M
,M
P
分为AC、CB两段。 16
(5)阶形杆件图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
1
EI Ap xc EI Ap yc
y A
Mp
C
dx B
yc
xc
x
M x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的,他当时为莫斯科铁路
运输学院的学生。
4、 注意事项
KP
AP yc EI
(1)必须符合图乘法的适用条件; (yc2) 必须取自直线图形;
还记得 吗?
(3)同侧弯矩图相乘为正,反之为负;
M(x)
当M图为正弯矩时,
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时, ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
Ap
l
h 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
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