结构力学图乘法

互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
AP
l
h 2
二次抛物线
2 Ap 3 h l
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
分块： M P 图的AC段分为两块。
1
2 3
2
1
4 3
y1 1
A
ω1 y2 4
C
MP B
2
1 2
2
2
2
y2
(2 3
16
1 3
4)
2 ω2
1
36 12 3
A
y1
C
M
B
CV
1 EI
(1 y1
2 y2 )
1 EI
(
4 3
1
2 12)
22.67
1 EI
如果将AC段的
M
图如下图那样分块，就比
P
较麻烦。
l
c
l n2
N 次抛物线 l h n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x)为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M
，M
P
分为AC、CB两段。 16
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
M K M P ds 称莫尔积分 EI
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。
图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数；
（5）阶形杆件图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
例3 求 ,B EI等于常数。
解： A
作 M 图及M P 图，
如右所示。
7kN
B 2m
6kN/m
C
6kN.m
4m
17kN
分段：M
，M
分
P
为AB、BC两段。
分块：
M
图的
P
BC段分为两块。
y2
6
ω1
ω3
14 y1 1/3
12 M P 图 （kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
Fra Baidu bibliotek
M图
1
1 2
214
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d) 3
MiM Kdx 1y1 2 y2
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b
D y2
d
MK 图 M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘
（4）曲线图形与折线图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
1
B M图
C
1
y1 1/ 2
3
2 4 4 3
32 3
2
1 81 2
4
21
20
y2
( 4 3
12) 3
3
y3
1 2
(1 1 /
2)
3 4
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 EI
(64 1 2
4
20 3
32 3 ) 34
1 (32 80 8) 13.33 ( )
EI
3
EI
y3
1 2
(12
4)
4
2
CH
1 EI
(1 y1 2 y2
3 y3 )
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ()
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
1
EI Ap xc EI Ap yc
y A
Mp
C
dx B
yc
xc
x
M x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路
运输学院的学生。
4、 注意事项
KP
AP yc EI
（1）必须符合图乘法的适用条件； （yc2） 必须取自直线图形；
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
16
2kN/m 4kN
A
C
2m 4kN.m
4
8 A
4 C
M P图
例2
求B, EI等于常数。
12kN.m 4kN 2kN/m
A
C
B 4kN.m
5kN 4m
4m
7kN
解：
作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
A
A
1
1 2
16 8
64
C ω1 y2
4 B MP图
8
4 ω3
（kN.m)
1/2y1 ω2 y3
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
A
2 3
al
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
（2） 梯形相乘
A1 A2
M i M K dx A1 y1 A2 y2
12 M P 图 （kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH，EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解： 作MP图和 M 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
2
2 3
44
32 3
y2 2
A
3 2 4 8
14
2
1 2
4
2 3
4 3
21 2 y1 3 3 9
y2
(2 3
14
1 6) 3
22 3
3
2 3
4 12
32
y3
1 3
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
1 (14 2 4 22 32 1)
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
6
ω1
ω3
14 y1 1/3
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
Ap
l
h 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1 EI
x
tan
α
M Pdx
tan α EI
xM
PdxtaEnIα
xdA
tan α