第十五章 正交曲面坐标系

ds2 = gij dxi dxj . 按照Einstein规则，此式应理解为需对所有重复指标(并且一个是上指标，一个是下指标)求和．
§15.1 正交曲面坐标系
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如果 gij = gii δij 则称此坐标系为正交曲线坐标系．gij 构成的矩阵G称为此空间的度规(metric)． 例 1 柱坐标系，x = r cos θ, y = r sin θ, z = z ， ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = (cos θdr − r sin θdθ)2 + (sin θdr + r cos θdθ)2 + dz 2 = dr2 + r2 dθ2 + dz 2 . 所以，柱坐标系是正交曲面坐标系，g11 = 1, g22 = r2 , g33 = 1． 例 2 球坐标系，x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ， ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = (sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ − r sin θ sin φdφ)2 + (sin θ sin φdr + r cos θ sin φdθ + r sin θ cos φdφ)2 + (cos θdr − r sin θdθ)2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 . 球坐标系也是正交曲面坐标系，g11 = 1, g22 = r2 , g33 = r2 sin2 θ．
i,j =1,2,3
y = y0 ,
z = z0
∂x ∂x ∂x dx1 + dx2 + dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
2
∂y ∂y ∂y dx1 + dx2 + dx3 1 2 ∂x ∂x ∂x3 ∂z ∂z ∂z dx1 + dx2 + dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 gij dxi dxj ,
空间任意一点的坐标(x1 , x2 , x3 )，就由过该点的三个坐标面决定．为了保证x1 , x2 和x3 是独立 的，应当要求它们的Jacobi行列式 ∂x1 ∂x ∂ (x1 , x2 , x3 ) ∂x2 ≡ ∂ (x, y, z ) ∂x ∂x3 ∂x ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y ∂x3 ∂y ∂x1 ∂z ∂x2 ∂z ∂x3 ∂z
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
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§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
通过外微分法介绍正交曲线坐标系中Laplace算符的一般形式． 这种方法的优点在于它的协变性，即可以脱离开坐标系的具体定义，而得到最普遍 的表达式． 作为最初步的介绍，略去数学上的严格定义，只给出有关的运算规则． 外微分法则 介绍外微分算符、∗ 算符及楔积运算，以及微分形式的概念． 外微分算符d．它作用在(标量)函数f 上， d : f → df = 得到的df 称为一次微分形式(简称一次形式)． 例 3 对于柱坐标系， du = 例4 对于球坐标系， du = 运算法则1 ∂u ∂u ∂u dr + dθ + dz. ∂r ∂θ ∂z ∂u ∂u ∂u dr + dθ + dφ. ∂r ∂θ ∂φ ∂f dxi , ∂xi
§15.1 正交曲面坐标系
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§15.1 正交曲面坐标系
作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x1 , x2 , x3 }， x1 = ξ (x, y, z ), 它的坐标面是三组曲面 x1 = 常数, x2 = 常数, x3 = 常数. x2 = η (x, y, z ), x3 = ζ (x, y, z ),
因此，Laplace算符在平移变换下是不变的，即 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + + ≡ + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Laplace算符的转动不变性 坐标轴的不同取向，涉及到坐标系之间的正交变换． 设空间一点在变换前后的坐标分别是{x, y, z }和{x , y , z }， x a11 a12 a13 x y = a21 a22 a23 y . z z a31 a32 a33 所谓正交变换，指的是变换矩阵 A= a21 a31 满足正交关系 aik ajk =
∗ ∗
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂θ2 ∂z 2
r2 ∂ ∂θ
∂u ∂r sin θ r2
sin θdr ∧ dθ ∧ dφ ∂u ∂θ + dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 ∂ sin θ ∂θ 1 ∂2u dφ ∧ dr ∧ dθ, sin θ ∂φ2 ∂u ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2u . ∂φ2
d du =
1 ∂ r2 ∂r
∂u ∂r
r2
sin θ
所以，Laplace算符在球坐标系下的表达式是 ∇2 ≡ 1 ∂ r2 ∂r r2 ∂ ∂r + 1 ∂ sin θ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2 . ∂φ2
r2
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
外微分算符d在不同坐标系中的表达式， ∂f i ∂f dxi = dy . df = i ∂x ∂y i
i i
一次微分形式df 给出的正是梯度grad f ≡ ∇f 的协变微分形式, {dxi , i = 1, 2, 3}构 √ 成一组正交基(正交标准基应该是 gii dxi , i = 1, 2, 3)． 外微分算符d可以作用在p次微分形式α = dα = d
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§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
选定坐标系以后，在求解定解问题时，往往还需要考虑两个问题． • 坐标架如何放置，包括坐标原点位置和坐标轴特殊取向的选择，以最大限度地 利用问题中的对称性，使求解过程得到充分的简化 • 定解问题的对称性与解的对称性之间的联系 这两个问题实际上并不可截然分开． 坐标架的不同放置，数学上就表现为不同坐标系之间的线性变换． 在这些线性变换下，Laplace算符的形式如何变化，上一节已经作出了原则的回 答：Laplace算符的形式具有不变性． Laplace算符的平移不变性 坐标原点的不同放置，涉及到的是平移变换， x = x − a, 容易看出， ∂2 ∂2 2 = ∂x2 , ∂x ∂2 ∂2 2 = ∂y 2 , ∂y ∂2 ∂2 2 = ∂z 2 . ∂z y = y − b, z = z − c.
I
αI dxI 上，得到(p + 1)次微分形式： ∂αI i dx ∧ dxI , ∂xi
αI dxI =
i I
其中 dxI ≡ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxip . 运算∧称为楔积． 运算法则2 因此， dxi ∧ dxi = 0. 运算法则3 设α为p次微分形式，β, γ 是q 次微分形式， d(β + γ ) = dβ + dγ, d(α ∧ β ) = (dα) ∧ β + (−)p α ∧ (dβ ), d(dα) = 0. dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi ,
k=1,2,3 k=1,2,3
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aki akj = δij .
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
例 6 球坐标系，det G = r4 sin2 θ，
∗
du = r2 sin θ
∂u ∂u 1 ∂u dθ ∧ dφ + sin θ dφ ∧ dr + dr ∧ dθ. ∂r ∂θ sin θ ∂φ
∗
d是旋度curl的协变微分形式，这可以从它作用在一次微分形式a1 dx1 + a2 dx2 +
a3 dx3 的结果
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第十五章 正交曲面坐标系
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第十五章 正交曲面坐标系
要能应用分离变量法，取决于两个条件：一个是所讨论的空间区域形状，一个是定 解问题的数学形式． 如果限于第十二章中所涉及的几种典型齐次方程，可以用Helmholtz方程 ∇2 u + k 2 u = 0 统一描述它们的空间部分．这个方程在直角坐标系中是可以分离变量的． 对于所讨论的空间区域，总要适当地放置坐标架，使得区域的边界面与坐标面重 合，从而实现齐次边界条件的分离变量． 如果我们所要讨论的空间区域，是圆柱形(包括它的特殊情形，二维平面上的圆形 区域)或球形，乃至其他更特别的形状，如果仍然选择直角坐标系，无论怎样放置 坐标架，总不能使得区域的边界面全部都和坐标面重合．因此，即使边界条件是齐 次的，也无法分离变量． 解决这个问题的办法是选用合适的坐标系： • 圆形区域，首选平面极坐标系 • 圆柱形区域，首选柱坐标系 • 球形区域，首选球坐标系 在这些坐标系下，Laplace算符的具体形式如何？ Helmholtz方程是否可以分离变量？如何分离变量？
∗
d(a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) = + + ∂a3 ∂a2 − ∂x2 ∂x3 ∂a1 ∂a3 − ∂x3 ∂x1 ∂a1 ∂a2 − ∂x1 ∂x2 √ g11 dx1 det G √ √ g22 dx2 det G g33 dx3 det G
看出．
∗ ∗
d 是散度div的协变微分形式，
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
“∗ ”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 √ det G I gii ∗ i dx = dx , ∗ dxI = √ dxi , gii det G
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其中(i, I )构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4
2
2
其中 gij = gji =
① 这里的xi
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z + + . ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj
(i = 1, 2, 3)中，上标i标记空间点的坐标(分量) ，并不表示方次．
② 这种讨论方法的一个优点是可以直接推广到高维空间的情形． ③ 在微分几何中，更常略去式中的和号，而直接写成
∗
√ 1 = det Gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , √ ∗ ( det Gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ) = 1.
√ 注意 det Gdx1 dx2 dx3 正好是通常的三维空间的体积元． 例 5 柱坐标系，det G = r2 ，
∗
du = r
1 ∂u ∂u ∂u dθ ∧ dz + dz ∧ dr + r dr ∧ dθ. ∂r r ∂θ ∂z
d d是Laplace算符∇2 ≡ ∇ · ∇ ≡ div grad的协变微
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
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例 7 柱坐标系， d∗ du = ∂ ∂r +r r ∂u ∂r dr ∧ dθ ∧ dz + 1 ∂2u dθ ∧ dz ∧ dr r ∂θ2
Fra Baidu bibliotek
∂2u dz ∧ dr ∧ dθ, ∂z 2 1 ∂ ∂u 1 ∂2u ∂2u ∗ ∗ d du = r + 2 2 + . r ∂r ∂r r ∂θ ∂z 2 因此，Laplace算符在柱坐标系下的表达式是 ∇2 ≡ 例 8 球坐标系， d∗ du = ∂ ∂r +
∗ ∗
d (a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) √ √ 1 ∂ det G 1 ∂ det G = √ a1 + √ a2 1 2 ∂x g ∂x g22 11 det G det G √ 1 det G ∂ √ + a3 . 3 ∂x g33 det G
∗ ∗
正交曲线坐标系中的Laplace算符 分形式．
= 0.
对于空间的任意一点，如果通过该点的三个坐标面总是互相垂直的，那么，这个坐标系就 称为正交曲面坐标系．例如，在直角坐标系中，过空间任意一点(x0 , y0 , z0 )的三个坐标面 x = x0 , 就是互相垂直的． 为了判断一个坐标系是不是正交曲面坐标系，当然可以直接由坐标系的定义求出坐标面的 法矢量来判断．更常用的办法② 是计算出弧长③ ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = + + =