基本不等式说课课件
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式说课课件
2 应用举例
可用于证明数学定理和推导其他数学不等式。
3 实际应用
在概率论、统计学和经济学中有广泛应用。
均值不等式
算术均值不等式
用于描述一组数的算术平均与其他凸函数的关 系。
几何均值不等式
用于描述一组数的几何平均与其他凸函数的关 系。
不等式。
3
几何方法
通过几何关系，可以确定不等式的解 集所对应的图形。
常用不等式的推导
等差中数不等式
用于描述等差数列中，中项与 首末项之间的关系。
三角不等式
用于描述三角形中三边之间的 关系。
平均与几何平均不等式
用于研究算术平均数和几何平 均数之间的关系。
加减平均不等式
1 加减平均不等式
用于描述一组数的算术平均与几何平均的关系。
基本不等式说课课件
这个课件将带你了解基本不等式的重要性和应用。我们将探讨基本不等式的 定义和性质，并展示如何证明和应用它们。让我们开始吧！
什么是基本不等式
定义
基本不等式是数学中一组重要的不等式，描述了数值之间的相对大小关系。
性质
基本不等式可以用于解决各种问题，包括数学、几何和概率统计问题。
重要性
基本不等式在数学领域中起着重要的作用，是其他不等式的基础。
证明基本不等式
利用数学归纳法
通过逐个验证特定情况，可 以证明基本不等式在所有情 况下成立。
利用代数方法
通过变形和运算，可以将基 本不等式转化为更简单的形 式。
利用几何方法
通过图形和几何关系，可以 直观地理解和证明基本不等 式。
基本不等式的应用
1
几何问题
2
基本不等式可用于证明几何定理，如
三角形的性质。
可用于证明数学定理和推导其他数学不等式。
3 实际应用
在概率论、统计学和经济学中有广泛应用。
均值不等式
算术均值不等式
用于描述一组数的算术平均与其他凸函数的关 系。
几何均值不等式
用于描述一组数的几何平均与其他凸函数的关 系。
不等式。
3
几何方法
通过几何关系，可以确定不等式的解 集所对应的图形。
常用不等式的推导
等差中数不等式
用于描述等差数列中，中项与 首末项之间的关系。
三角不等式
用于描述三角形中三边之间的 关系。
平均与几何平均不等式
用于研究算术平均数和几何平 均数之间的关系。
加减平均不等式
1 加减平均不等式
用于描述一组数的算术平均与几何平均的关系。
基本不等式说课课件
这个课件将带你了解基本不等式的重要性和应用。我们将探讨基本不等式的 定义和性质，并展示如何证明和应用它们。让我们开始吧！
什么是基本不等式
定义
基本不等式是数学中一组重要的不等式，描述了数值之间的相对大小关系。
性质
基本不等式可以用于解决各种问题，包括数学、几何和概率统计问题。
重要性
基本不等式在数学领域中起着重要的作用，是其他不等式的基础。
证明基本不等式
利用数学归纳法
通过逐个验证特定情况，可 以证明基本不等式在所有情 况下成立。
利用代数方法
通过变形和运算，可以将基 本不等式转化为更简单的形 式。
利用几何方法
通过图形和几何关系，可以 直观地理解和证明基本不等 式。
基本不等式的应用
1
几何问题
2
基本不等式可用于证明几何定理，如
三角形的性质。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
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2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
高中数学人教A版必修5不等式基本不等式说课PPT全文课件
四、当堂训练
1 2
五、归纳小结：
西工大附中
六、教学反思
目前核心素养已成为学校育人的核心， 本节课着重培养学生数学抽象，逻辑推理， 数学运算等核心素养，我相信，只要我们把 核心素养落实到每一节课，一定会使学生更 加全面的发展，成就学生的同时成就自我。
西工大附中
谢谢！
高中数学【人教A版必修】5不等式基 本不等 式说课P PT全文 课件【 完美课 件】
西工大附中
三、例题探究 加深理解
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形 的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
①
2
即证
ab
②
要证②,只要证
ab
0
③
要证③,只要证
(
-
)2 0
④
显然, ④是成立的,当且仅当a b 时, ④的等号成立
设计意图
证明过程以填空形式出现，体现了分析法证明的关键步骤， 培养学生的逻辑推理能力，并能加深学生对基本不等式的 理解。
高中数学【人教A版必修】5不等式基 本不等 式说课P PT全文 课件【 完美课 件】
西工大附中 五、归纳总结 布置作业
1.思维导图构建：
2.作业1：课本第100页习题A组第1、2题
设计意图：使知识在学生的脑海中形成逻辑清晰的主线，
帮助学生提高学习效率。
西工大附中 五、板书设计
3.4.1 基本不等式
一、概念 1.重要不等式：
2.基本不等式：
注意： 1 2
二、自学检测
三、例题讲解导基本不等式；理解基本不等 式的几何 意义；会用基本不等式求最值。 （2）能力目标:培养学生观察、分析、归纳 、猜想等思维 能力。 （3）情感目标:通过从不同角度探索基本不等式 的证明，体 会数形结合思想，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
1 2
五、归纳小结：
西工大附中
六、教学反思
目前核心素养已成为学校育人的核心， 本节课着重培养学生数学抽象，逻辑推理， 数学运算等核心素养，我相信，只要我们把 核心素养落实到每一节课，一定会使学生更 加全面的发展，成就学生的同时成就自我。
西工大附中
谢谢！
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西工大附中
三、例题探究 加深理解
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形 的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
①
2
即证
ab
②
要证②,只要证
ab
0
③
要证③,只要证
(
-
)2 0
④
显然, ④是成立的,当且仅当a b 时, ④的等号成立
设计意图
证明过程以填空形式出现，体现了分析法证明的关键步骤， 培养学生的逻辑推理能力，并能加深学生对基本不等式的 理解。
高中数学【人教A版必修】5不等式基 本不等 式说课P PT全文 课件【 完美课 件】
西工大附中 五、归纳总结 布置作业
1.思维导图构建：
2.作业1：课本第100页习题A组第1、2题
设计意图：使知识在学生的脑海中形成逻辑清晰的主线，
帮助学生提高学习效率。
西工大附中 五、板书设计
3.4.1 基本不等式
一、概念 1.重要不等式：
2.基本不等式：
注意： 1 2
二、自学检测
三、例题讲解导基本不等式；理解基本不等 式的几何 意义；会用基本不等式求最值。 （2）能力目标:培养学生观察、分析、归纳 、猜想等思维 能力。 （3）情感目标:通过从不同角度探索基本不等式 的证明，体 会数形结合思想，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
不等式基本不等式课件
a_2 cdot ... cdot a_n}$。
柯西不等式
01
柯西不等式
柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它给出了两个向量的内积和它
们的模之间的关系。
02 03
形式化表述
对于任意的向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，有 $mathbf{a} cdot mathbf{b} leq sqrt{(sum a_i^2)(sum b_i^2)}$。
在物理领域的应用
力学
在力学中，基本不等式可 以用来解决与力矩、扭矩 和弹性形变有关的问题。
热力学
在热力学中，基本不等式 可以用来研究热量转移、 热能和机械能之间的转换 等。
电磁学
在电磁学中，基本不等式 可以用来解决与电流、电 压和电阻有关的问题。
在工程领域的应用
结构设计
在工程结构设计中，基本不等式可以用来确定结 构的稳定性、刚度和强度等参数。
详细描述
不等式是用数学符号表示两个量之间大小关系的表达式。在数学中，我们使用 “<”、“>”、“≤”和“≥”符号来表示不等关系。例如，如果 a < b，则表 示 a 和 b 之间存在一个不等关系，即 a 小于 b。
不等式的性质
总结词
不等式具有传递性、可加性和可乘性等基本性质。
详细描述
不等式的性质是数学中研究不等关系的基础。其中，传递性是最重要的性质之一 ，即如果 a < b 且 b < c，则 a < c。此外，不等式还具有可加性和可乘性，即 如果 a < b，则 a + c < b + c 和 a × c < b × c（当 c > 0）。
柯西不等式
01
柯西不等式
柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它给出了两个向量的内积和它
们的模之间的关系。
02 03
形式化表述
对于任意的向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，有 $mathbf{a} cdot mathbf{b} leq sqrt{(sum a_i^2)(sum b_i^2)}$。
在物理领域的应用
力学
在力学中，基本不等式可 以用来解决与力矩、扭矩 和弹性形变有关的问题。
热力学
在热力学中，基本不等式 可以用来研究热量转移、 热能和机械能之间的转换 等。
电磁学
在电磁学中，基本不等式 可以用来解决与电流、电 压和电阻有关的问题。
在工程领域的应用
结构设计
在工程结构设计中，基本不等式可以用来确定结 构的稳定性、刚度和强度等参数。
详细描述
不等式是用数学符号表示两个量之间大小关系的表达式。在数学中，我们使用 “<”、“>”、“≤”和“≥”符号来表示不等关系。例如，如果 a < b，则表 示 a 和 b 之间存在一个不等关系，即 a 小于 b。
不等式的性质
总结词
不等式具有传递性、可加性和可乘性等基本性质。
详细描述
不等式的性质是数学中研究不等关系的基础。其中，传递性是最重要的性质之一 ，即如果 a < b 且 b < c，则 a < c。此外，不等式还具有可加性和可乘性，即 如果 a < b，则 a + c < b + c 和 a × c < b × c（当 c > 0）。
基本不等式说课课件
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
3．基本不等式的意义
(1)代数意义 正数a,b的算术平均数不小于它的几何平均数 (2)几何意义； 圆的半径不小于圆内半弦长
作业 课后探讨
学校计划用一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？
其他同学交流，
运用此图标能较容易的观 察出面积之间的关系
大正方形面积的大小关系
教学情景设计
问题
设计意图
重要不等式的证明
a2 b2 2a b
当且仅当a=b时等号成立
关于不等式的证明学生 可以先独立完成再与小 组其他同学交流 证明方 法不唯一
教学情景设计
问题
设计意图
如果a>0，b>0， 用 a,a, bb 分别代
知识目标
探索基本不等式的证明过程及简单应用
教
学
1.注重学生自主、合作、探究学习；
目 标
能力目标
2.培养学生观察、猜想、归纳等思维 能力
情感目标
培养学生的学习兴趣及获取结论 的体验和感悟
教学重难点
教学重点：应用数形结合的思想理解不等式 教学难点：基本不等式几何意义的挖掘
教法说明
我采用探究式教学，启发引导学生去观 察、思考、归纳，并采取小组式教学，注重 学生自主、合作、探究学习，为学生创造一 个个“科学前沿”，要重视孩子获取知识的 体验和感悟。
例题的简单变式 检查学生的学习应用情况
3. 若实数x，y, 且x+y=5， 则 3x 3y 的最小值是（）
A. 10 B.6 3 C.4 6 D. 18 3
本课小结
1．重要不等式
2.2 基本不等式(第一课时)课件(共16张PPT).ppt
课后练习
1.已知x＞0，求 值．
2x
1 x
的最小值及相应的x
2.已知x,y＞0，x+2y=4，求 xy的最大值及相 应的x,y值．
3.已知0＜x＜1，求x(1－x)的最大值及相应 的x值．
可以得到：
a b 2 a（b a 0,b 0）
通常把上式写作：
ab a b（a 0,b 0）(当且仅当a=b时，等号成立) 2
↑ 几何 平均值
↑ 算术 平均值
通常称上述不等式为基本不等式．其中，a b 叫做正数a，b的 2
算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何平均数．
代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
积定和最小，和定积最大
课堂练习
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
(1) x y 2 yx
2 2xy xy
x y
证明：1因为x, y 0,所以 x ，y 0，
yx
所以 x y 2 x y 2 y x yx
当且仅当 x y ，即x y时，等号成立. yx
又x y，
所以 x y 2. yx
注意 ⇔ ⇒ ⇔
4
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
6
同向同正可乘 性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
8
可开方性 a>b>0⇒ n a n b (n∈N*，n≥2)
只要把上述过程倒过来，就是我们熟悉的方法了。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式公开课课件
三角函数值的比较
三角函数的最值
三角恒等式的证明
04
基本不等式的推广
柯西不等式
总结词 详细描述
均值不等式
总结词 详细描述
贝努利不等式
总结词
详细描述
贝努利不等式表明对于任何正整数n和 正实数x，都有(x+1/x)^n >= x^n + n*x^(n-1)/n。这个不等式在证明其他 不等式和解决优化问题时非常有用。
对于任何正数a、b，有$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$。
性质
不等式的传递性 不等式的加法性质 不等式的乘法性质
分类
严格不等式与非严格不等式
1
单调性
2
可比与不可比
3
02
基本不等式的证明方法
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数 恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公 式、完全平方公式、均值不等式
等。
代数证法通常需要经过一系列的 推导和变换，最终得出基本不等
式的结论。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方法。
常用的几何图形包括三角形、 矩形、圆等。
几何证法通常利用几何图形的 性质和面积、周长等计算来证 明基本不等式。
Hale Waihona Puke 函数证法反证法反证法是通过假设相反的结论来证明 基本不等式的方法。
反证法需要严密的逻辑推理和推理能 力，是数学证明中常用的一种方法。
反证法通常先假设基本不等式不成立， 然后推导出矛盾，从而证明基本不等 式成立。
03
基本不等式的应用
在代数中的应用
01
02
代数式简化
基本不等式说课课件
3. 计算判别式$Delta=b^2-4ac$。 4. 根据$Delta$的值，确定不等式的解集形式。
解法步骤与技巧
01
解题技巧
02
03
04
当$Delta<0$时，不等式无实 数解。
当$Delta=0$时，不等式有一 个重根，解集为单元素集。
当$Delta>0$时，不等式有两 个不相等的实数根，解集为区
CHAPTER 05
分式不等式和绝对值不等式 解法
分式不等式解法
转化思想
将分式不等式转化为整式不等式 ，通过通分、去分母等步骤，简
化问题。
分类讨论
根据分母的符号进行分类讨论，分 别解出不同情况下的解集。
注意事项
在解题过程中，要注意分母不能为 零，以及符号的变化。
绝对值不等式解法
定义法
根据绝对值的定义，将绝对值不 等式转化为分段函数，分别求解
典型例题解析
例题1
解不等式$ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0$。
解析
首先观察不等式，发现含有参数$a$，且$a$的取值会影响不等式的性质和解集。因此，需要对$a$进行分类讨论 。当$a = 0$时，不等式变为$-x + 1 < 0$，解得$x > 1$；当$a neq 0$时，不等式可化为$(ax - 1)(x - 1) < 0$ ，根据$a$的正负和大小关系分别讨论不等式的解集。综合各类情况，得到原不等式的解集。
过程与方法
通过问题导入、探究学习、合作交流 等方式，引导学生主动参与学习和思 考，培养学生的自主学习能力和合作 精神。
教学方法与手段
教学方法
采用启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法等多种教学方法，注重学生的 主体性和能动性。
解法步骤与技巧
01
解题技巧
02
03
04
当$Delta<0$时，不等式无实 数解。
当$Delta=0$时，不等式有一 个重根，解集为单元素集。
当$Delta>0$时，不等式有两 个不相等的实数根，解集为区
CHAPTER 05
分式不等式和绝对值不等式 解法
分式不等式解法
转化思想
将分式不等式转化为整式不等式 ，通过通分、去分母等步骤，简
化问题。
分类讨论
根据分母的符号进行分类讨论，分 别解出不同情况下的解集。
注意事项
在解题过程中，要注意分母不能为 零，以及符号的变化。
绝对值不等式解法
定义法
根据绝对值的定义，将绝对值不 等式转化为分段函数，分别求解
典型例题解析
例题1
解不等式$ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0$。
解析
首先观察不等式，发现含有参数$a$，且$a$的取值会影响不等式的性质和解集。因此，需要对$a$进行分类讨论 。当$a = 0$时，不等式变为$-x + 1 < 0$，解得$x > 1$；当$a neq 0$时，不等式可化为$(ax - 1)(x - 1) < 0$ ，根据$a$的正负和大小关系分别讨论不等式的解集。综合各类情况，得到原不等式的解集。
过程与方法
通过问题导入、探究学习、合作交流 等方式，引导学生主动参与学习和思 考，培养学生的自主学习能力和合作 精神。
教学方法与手段
教学方法
采用启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法等多种教学方法，注重学生的 主体性和能动性。
基本不等式说课课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
为主体的探究式课堂的教学理念。
3.多种证明方法使学生的思维得到充分拓展，独立思考证明出基本不等式大大提高学生在数学学习中的成就感。
培养学生数学抽象素养。
教学过程 环节三
初步运用 归纳提升
例 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
a＋b
(1) 两 个 不 等 式 a ＋ b ≥2ab 与 2 ≥
设计意图：通过例2学生学会利用基本不等式求解简单的最值问题，掌握本课学习重点。
教学过程 环节三
初步运用 归纳提升
例3. 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ;
1
4
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 2 。
（2）证： ∵ x，y都是正数，
天平为喜羊羊称重，第一次用左边称重为G1，第二次用右边再次称重为G2，灰太狼说菜的重量为
1 +2
，
2
喜羊羊陷入沉思中，难道灰太狼真的不再骗羊了吗？
解: 设不等臂天平左臂长为a，右臂长为b，菜的重量为G。
根据杠杆定理得：
∙ a = 1 ∙ b
∙ b = 2 ∙ a
1 =
20min
解析（1）
∵x>0,
4
∴ = +
4
4
当且仅当x= =2时，等
≥2 ∙ =4
号成立。
独立思考+小组合作探究+
4
的最小值，并求此时x的值；
−2
教师总结
3 2 +2+12
（x>0）的最小值，并求此时x的值；
3.多种证明方法使学生的思维得到充分拓展，独立思考证明出基本不等式大大提高学生在数学学习中的成就感。
培养学生数学抽象素养。
教学过程 环节三
初步运用 归纳提升
例 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
a＋b
(1) 两 个 不 等 式 a ＋ b ≥2ab 与 2 ≥
设计意图：通过例2学生学会利用基本不等式求解简单的最值问题，掌握本课学习重点。
教学过程 环节三
初步运用 归纳提升
例3. 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ;
1
4
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 2 。
（2）证： ∵ x，y都是正数，
天平为喜羊羊称重，第一次用左边称重为G1，第二次用右边再次称重为G2，灰太狼说菜的重量为
1 +2
，
2
喜羊羊陷入沉思中，难道灰太狼真的不再骗羊了吗？
解: 设不等臂天平左臂长为a，右臂长为b，菜的重量为G。
根据杠杆定理得：
∙ a = 1 ∙ b
∙ b = 2 ∙ a
1 =
20min
解析（1）
∵x>0,
4
∴ = +
4
4
当且仅当x= =2时，等
≥2 ∙ =4
号成立。
独立思考+小组合作探究+
4
的最小值，并求此时x的值；
−2
教师总结
3 2 +2+12
（x>0）的最小值，并求此时x的值；
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
基本不等式课件(共43张)
应用
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
可用于证明数列中的基本不等式及其他需要归纳证明的数学问题。
复合函数的不等式
概念
由函数f和g构成的复合函数，通常记为f(g(x))。
定理
若g(x) 在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上有连续导数， 则f(g(x)) 在[g(a),g(b)]上也有连续导数；若f(x) 在 [g(a),g(b)]上是凸函数，则有：f(g((sa+tb)/(s+t))) < (sf(g(a))+tf(g(b)))/(s+t) （0<s<t）
3 注意事项
某些情况下需要分类讨论，如系数符号和大小关系不同。
两个变量的基本不等式
定义
指两个变量之间的不等关系。
公式
(a+b)² > a²+2ab+b² （a，b为变量）
多个变量的基本不等式
公式
对于n个非负实数a1、a2、…、an，有(∑ai)² ≥ n∑ai²
应用
可用于证明柯西不等式、绝对值不等式等多项式不 等式。
集中不等式
2
权值后再求和，然后除以所有的权值之 和所得的数。
对于任意n个实数（不限正负），有下 面这些不等式。
(1)（非加权）算数平均数 ≥ （非 加权）几何平均数 ≥ 调和平均数 (2)若各实数互不相等，则平方差
中项≥2几何平均中项减去（非加权） 算数平均中项
3
应用
可以用于求解一些需要加权平均数作为 结果的应用题。
(1+a)^x > 1+ax (1-a)^x > 1-ax
3
应用
可用于证明基本不等式等各种不等式定理。
函数保证与不等式
概念
将不等式在两端同时乘以正数或同时乘以负数， 得到的新不等式的符号不变，就称原不等式与 新不等式互为保证。
基本不等式说课课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
1、通过观察赵爽弦图，从中发现、提出、概括重要的 不等关系，发展学生数学建模素养.
2、通过阅读教材，反思得到基本不等式的方法，从代数 结构、几何直观等角度分析、理解基本不等式.
3、初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学 运算、逻辑推理素养，培养发现问题、解决问题的意识与 能力.
三“相等”
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
课堂小结，提高升华
本节课，我们学习了哪些知识？掌握了哪些方 法？体会哪些思想？
赵爽弦图
重要不等式
由特殊到一般
换元法
基本不等式
转化与化归
分析法 探究法
代数解释 几何证明
数形结合
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程
认知基础
学生已掌握不等式的基本性质，这有助于本节课对基本不 等式的探索。
能力分析
学生通过高中一段时间的学习初步具备了一定的分析问题、 解决问题的能力，同时对新知有强烈兴趣。
困难分析
学生对本节课需要用到的分析法感到陌生，推导过程中蕴 含的数学思想有待进一步培养。
学法 分析
教师地教是为了学生 更好得学。本节课引 导学生主动探究，独 立思考，层层递进， 充分调动学生的课堂 参与度，使他们感受 知识的形成过程。
教材分析
情境导入，发现问题
学情分析
教学目标
教学重难点 教学方法 教学过程
20家大会于2002年8月在北京举行，大会会标看上去像 一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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教学目标
1.知识目标
掌握基本不等式的证明方法,会用基本不等式 解决简单的最值问题
2.能力目标
经历基本不等式的探索过程,发展学生数学思 维能力,增强学生数形结合的能力
3.情感目标
培养学生合作探究、勇于创新的精神，体会数 学与生活的联系，激发学生学习数学的积极性
教学的重点与难点
教学重点
应用数形结合思想理解基本不等式，并从 不同角度探索基本不等式的证明过程
练习2：已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值 是 _______,此时x=___,y= _____
课后作业 自主学习
作业1：
课本第100页习题3.4A组第1、2题 作业2：选做题
求： x2 2 1
的最值？
x2 2
课堂小结
本节课主要学习了基本不等式的探究与证明以及初步应用 ❖ 两个重要的不等式
设问激疑，创设情景
自主探究，发现结论
基
初步应用，总结归纳
本
不
小组讨论，交流提升
等
式
反思小结，培养能力
例2:
y
(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?
100m2
x
(2).一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？
课堂检测
练习1： x 0时，6x 24的最小值为 x
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
C:\Document s and Settings\Admi nistrator\桌面 \1.gsp
自主探究
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
将以上不等式中的a,b用 a , b代替
( a )2 ( b)2 2 ab
a b 2 ab
即 a b ab 2
当且仅当 a b时,等号成立
自主探究
作差法 a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
分析法
当且仅当 a b时,等号成立
要证
ab ab
①
只要证
2
a b 2 ab
②
要证②,只要证 a b 2 ab 0
3.4 基本不等式
ab a b 2
教材：人教A版必修5 第3章第4节
灵宝一高 杜朋青
一 教材分析 二 教法与学法分析 三 教学过程 四 教学评价 五 教学流程
一. 教材分析
教材的地位和作用
基本不等式又称为均值不等式，是高中数学 最重要、最经典的不等式，是不等式部分的重点内 容。本节课是学生学习了“不等式的性质”、“一 元二次不等式的解法”及“二元一次不等式（组） 与简单线性规划”之后对不等式的进一步研究。本 节课的主要作用体现在：（1）基本不等式在不等 式的证明和解决最值问题中有着广泛的应用。（2） 本节课是选修4-5不等式选讲中三元基本不等式以 及一般形式的基本不等式的学习基础。
③
要证③,只要证 ( a b)2 0
④
显然,④是成立的.当且仅当a=b时, ④中的等号成立.
自主探究
你能得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心，
D
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A a OC b B
ab
①如何用a, b表示OD? OD=___2___
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_ Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 BC DC
DC AC 所以DC2 BC AC ab
C:\Documents and Settings\Administrator\桌面
\2.gsp
初步应用
例1.(1)已知x 0, x 1 的最小值为？此时x是多少？ x
❖ （1） a,b R, 那么a 2 b2 2ab
(当且仅当a b时取""号)
❖ （2
(a>0,b>0)
当且仅当a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。
2.公式的正向、逆向使用以及“=”成立条件。
❖ 2. 不等式的简单应用：主要在于求最值 注意三个限制条件即 “一正，二定，三等”
反思小结，培养能力 3分钟
课后作业，自主学习 2分钟
创设情境
2002年国际数学家大会会标
赵爽弦图
第24届国际数学家大会于2002年8月在北京举行，大会会 标看上去像一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪 中国数学家赵爽弦图。
自主探究
D
D
a2 b2
b
a
G Fa
C
A E(FGH)
b
C
A
E
H
B B
板书设计
§ 3.4.1 基本不等式
两个重要不等式 弦图 a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取""号)
ab a b (a>0,b>0)
一正二定2 三相等
例1
例2 练习
四. 教学评价
教学评价
积极主动地探究 谈论交流大胆表述
教师评价 自我评价 学生评价
五.教学流程图
教学难点
应用基本不等式 求最值
二. 教法与学法分析
教学方法
启发 -----探究-----讨论
结合现代教学手段 多媒体、几何画板
学法指导
自主探索 ---合作交流
三. 教学过程
设问激疑，创设情景 2分钟
自主探究，发现结论 15分钟
基
本
初步应用，总结归纳 10分钟
不
等
小组讨论，交流提升 8分钟
式
(2).已知0 x 1, x(1 x)的最大值为？此时x是多少？
变式一： .已知x 2, x 1 的最大值为？此时x是多少？ x2
变式二： .已知0 x 1 , x(1 3x)的最大值为？此时x是多少？ 3
变式三：.已知0 x 1,当x取什么值， x(1 x)的值最大？最大值是多 少？