张量分析课件-2.4 二阶张量的标准形

i g2 2 gi
g1 g1
g3 g3
在 g1 , g 2 , g3 为基矢量的坐标系内
2 3 T λ1 g1 g1 T 12 g1 λ1 g2 T 3 g g λ g g 2 3 3 3


T
i j
l1 0 0


T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 0 l1
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 0 1 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g2 λ1 g3 g 3




T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 1 l1



Nij l ij ii jj Ni j
2.4.2
非对称二阶张量的标准形
不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。
设a，l 分别为T 的特征矢量和特征值，则
即 特征方程
l
T a la
i j
Tij a j 0
3 T 1 2 T 2 T 3

l l J l J l J 0
T
i j
l 0

l
0
0 0 l3
g'1
T· g'3=l3g'3 T· g'2 g'3 g'2 g'1
lg'2
T· g'1
g'2
l1g'1
2.4.2.2
特征方程有重根的情况
由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T 的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它 们都应是实根。此时，T 一般可化为约当（Jordan）标 准形，这由T 的特征矩阵
张量分析 及连续介质力学
2.4 二阶张量的标准形
例：已知一点的应力（应变）状态， 求主应力（或主应变）。 求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通 过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。
2.4.1
实对称二阶张量的标准形
总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。 2.4.1.1 基本概念
即
T
i j
T 11 T 12 0 2 2 T 1 T 2 0 3 3 T 3 T T 2 3 1
进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T 化为某 种形式的标准形（不一定是对角标准形）。
2.4.2.1
特征方程无重根的情况
（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。 3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1，
l 0
i j i i

及
N
i j
l 0
i j j i

ii 或ij 有非零解得条件是
l det l ij Ni j 0
解得l 的三个根，便可求出对应的 ii 或ij 及相应的坐标 i x i的方向，即 N i 取驻值的方向。由此可得
反证法（略） 2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性
（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3 唯一且互相正交。 （2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2 a3 为主方向。在 a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2 为其中的二个主方向。 （3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N 都化为 对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的 主分量为
2. 特征方程具有三重根（l1l2l3）
（1）具有3个全为1次的初等因子（l－l1）
l l1 Σ l 0 0 0 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l1
（2）具有初等因子(l－l1)2， (l－l1)
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
i i j i i j i i
取极值得必要条件是 d=0，即
N
i j
l ij iidij ij dii 0


N
N
i j
i j
l ij iidij ij dii 0


由 dij , dii 的任意性得
2
初等因子全简单
2 3 2 T 2 3 2 l1 l3 2 1 2 T 2 0,

T 12 0,

22为任意
22T 12 1,
3
初等因子非全简单

T
1 2
0,


2 2
1 T
1 2
1 2 为任意，所以 g2不唯一。
称 N1，N2，N3 为张量 N 的主分量，正交标准化基e1，e2，e3 的方向为张量 N 的主轴方向（或主方向），对应的笛卡儿坐 标系称为张量 N 的主坐标系。
2.4.1.2
对称二阶张量的特征方程
设 a，l 分别为 N 的主方向和主分量，则
N a la
或 即 N 的特征方程 N 的特征多项式
由于T 的分量、从而其不变量是实数，故特征方程是一个 实系数方程，它必定有一个实根，记作l3。设l3对应的特 征矢量为g3，则
T g3 l3 g3
任选与g3 线性无关的矢量g1，g2，与g3 构成一组基矢量，则
1 2 2 T T 11 g1 g1 T 12 g1 g 2 T 2 g g T g g 1 2 2 2 1 3 2 3 3 T3 g g T g g T g g 1 3 2 3 3 3
T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 0 l3
T· g3=l3g3 g3
l1g2
g2
g1 T· g2 g1 T· g1=l1g1
求特征矢量：
T g1 l1 g1
l1 g2 T g2 l1 g2 g1
设
T g3 l3 g3
初等因子全简单 初等因子非全简单
1. 特征方程具有二重实根（l1l2≠l3） （1）特征矩阵的初等因子全为简单的，即 l经过初等 变换，可以化为
l l1 l 0 0
此时T 可化为对角标准形
0 l l1 0
l l3 0 0
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ3 g3 g 3
可令
g1 g2 g1 g 2 i g1 g2
g3 g3
, g 在 g1 2 , g 3 构成的坐标系中，T 可以化为实数形式的标
准形
3 2 3 g T lg1 g g l g g l g g 2 1 2 3 3
l l1 0 0 J1 l3 0
1 l l1 0
l l3 0 0
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约 当标准形
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g1g 2 λ3 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l1g2 g2 g1 T· g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l 经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0
g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标 系中，T 可化为对角标准形
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
l1 0 0 0 0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l2g2 g2 g1
T
i j
l2
0
T· g1=l1g1
定义 对于一个实对称二阶张量
N Ni j gi g j
（gi 是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基 e1，e2，e3，在这组基中，N 化为对角标准形
N N1e1e1 N 2e2e2 N3e3e3
其对应的矩阵是对角形的，即
N1 N 0 0
0 N2 0
源自文库
0 0 N3
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为 一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
l2 l i
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
式中，与l1,l2 对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T 表示成某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形），
1 P1 P2 P3 J1 3
则
1 P J1G 3
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N· a3=N3a3
ei
ai ai

ai ai2
a1
a3
a2 N· a2=N2a2
N· a1=N1a1
N
a
1
N1
2
a1 a1
a
2
N2
2
a2 a2
a
3
N3
2
a3 a3
T 12
l1
T3 2
0 0 l3
T g2 T
2 2
1 2 1
g l1 g2 T

2 2
3 2
l3 l1 g3
3 2

1

3 22T 3 2 2 l3 l1 0
l3 l1 0
2.4.1.6
主分量是当坐标变换时N 的混合分量对交元素之驻值 条件极值问题
max .or min. st.
N ii ii ij N i j
ii ii 1
引入拉格朗日乘子l ,求无条件极值问题
max .or min.
N l ij ij 1
N a la
i j j
i
l det l
i j
l
Ni j a j 0
i j
Ni j 0

l l3 J1N l2 J 2N l J 3N
特征方程的解：特征根
齐次方程组的非零解矢量：特征矢量
2.4.1.3
实对称二阶张量的特征根必为实根
l l ij T i j
的初等因子决定。当矩阵 l的初等因子都是简单的 （即一次的）式时， l经过初等变换可以化为对交标 准形；当矩阵 l的初等因子不全是简单的（即有高于 一次的初等因子）时， l化为几个约当块按对角排 列构成的标准形。 无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向 都不唯一。