张量分析课件-2.4 二阶张量的标准形
张量分析
eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
12:17
16
r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
12:17
7
如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j
张量基础知识
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
张量分解学习PPT课件
.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T
2019-【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间-PPT精品文档-文档资料
4
r2 3 a 2 b1 2 1
b2 b3 r3 a3
( 1 t ) ( 3 , 1 ) t ( 4 , 1 ) 0 t 1 , t F ： r 1 与 r 2 ：(取 sb b ) a b ( 1 t ) ( a s ) t ( b s )a t b 2 2 1 1 ( 1 t ) ( 2 1 . 65 , 2 . 3 0 ) t ( 1 1 . 65 , 2 2 . 3 )a t b ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t )a t b ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t ) ( 0 . 65 , 4 . 3 ) 当 t b 时： ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t ) ( 0 , 3 ) 当 t a 时： .35 b 1 。显然由（1.1-7）式可知 r 1∥r 2 ，但 由此可得 a0 ， 0 . 3 5 0 由（1.2-1）式可知 r1 和 r 2 不等价（因为 a ）。
确定的矢量 u x x y 所构成的一类矢量，称为矢量 y的等价类。V 0 中所有矢量按（1.2-1）所构成 的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 V 0 。 应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是 一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢 量。
r1 ： ( 1 t ) ( 2 , 0 ) t ( 1 , 2 ) 0 t 1 , t F
定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：
x ( xxxx ,, ) ( ,, )(,, x x )
1 n 1 n 1 n
x y ( x y ,x y ) ( zz , n ) z 1 1 n n 1
数学张量分析PPT课件
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
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张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
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若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
2.4二阶张量的标准形
T
i j
l1
0
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l 1 Σ l 0 0
1
1
l
l1 0
1 l l 1 0
T λ1 g 1 g g 1 λ1 g 2 g g 2 λ1 g 3 g
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g g3 g2 g1 T·1=l1g1 g T·2=l2g2 g
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
1
l 2 l i
2 3
1 2 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g
g3
g2 g1
T·2=l1g2 g
T·1=l1g1 g
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0 l l1 0 0 J 1 l 3 0 1
主分量为
P1 P2 P3 1 3 J1
则
P
1 3
J 1G
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N·3=N3a3 a
ei ai ai ai ai
2
a3
a2 a1 N·1=N1a1 a N·2=N2a2 a
N
a
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2
2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3
3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
第 2 章 二阶张量
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件
• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件
(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
张量ppt
示多重求和。
例如：
33
aij xi xj
aij xi x j
i1 j1
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
3
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibici i 1
24
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi aici
bi ci
两边消去ai导得
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d xj d xi d xi d xj d xj
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而 自动消失。
29
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
符号ij 与erst
➢ 常用实例
1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质：
✓ 每个基矢量的模为1，即 ei e j 1 (当i＝j时) ✓ 不同基矢量互相正交，即 ei e j 0 (当i≠j时)
上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i1
Appendix A.1
张量基本概念
➢求和约定
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
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张量分析
6a air aisait eijkerst
11:11
22
1.6 余弦变换矩阵
A A 设 ei 及 e j 分别为笛卡尔系，则 A B AB AB ei e j cosij : Cij A A AB ij 为 ei 与 e j 间的夹角。表为“定义为”；
AB 共九个分量。于是有 Cij A AB B ei C ij e j B BA A ei C ij e j
AB ij 2
AB det[Cij ] 1
11:11
25
r ( x j e j ) ji e j ei xi xi
AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为正常(或正向)正交矩阵； AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为非正常(或负向)正交矩阵。
(续)
1.9 二阶基矢及其坐标变换
1.10 二阶张量——不变量
1.11 张量的记法
11:11
4
1.1 字母标号
为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法 中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量 用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的 各个分量。例如
将 x,
y, z写成x1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； i , j , k e , e , e , 用 ei ( i 1,2,3) 表示； 1 2 3
11:11
9
下列方程组
a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3
aij x j bi
同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的 自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时 改变。
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T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l1g2 g2 g1 T· g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l 经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0
即
T
i j
T 11 T 12 0 2 2 T 1 T 2 0 3 3 T 3 T T 2 3 1
进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T 化为某 种形式的标准形（不一定是对角标准形）。
2.4.2.1
特征方程无重根的情况
（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。 3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1，
l l ij T i j
的初等因子决定。当矩阵 l的初等因子都是简单的 （即一次的）式时， l经过初等变换可以化为对交标 准形；当矩阵 l的初等因子不全是简单的（即有高于 一次的初等因子）时， l化为几个约当块按对角排 列构成的标准形。 无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向 都不唯一。
T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 0 l1
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 0 1 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g2 λ1 g3 g 3
张量分析 及连续介质力学
2.4 二阶张量的标准形
例：已知一点的应力（应变）状态， 求主应力（或主应变）。 求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通 过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。
2.4.1
实对称二阶张量的标准形
总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。 2.4.1.1 基本概念
2. 特征方程具有三重根（l1l2l3）
（1）具有3个全为1次的初等因子（l－l1）
l l1 Σ l 0 0 0 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l1
（2）具有初等因子(l－l1)2， (l－l1)
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
由于T 的分量、从而其不变量是实数，故特征方程是一个 实系数方程，它必定有一个实根，记作l3。设l3对应的特 征矢量为g3，则
T g3 l3 g3
任选与g3 线性无关的矢量g1，g2，与g3 构成一组基矢量，则
1 2 2 T T 11 g1 g1 T 12 g1 g 2 T 2 g g T g g 1 2 2 2 1 3 2 3 3 T3 g g T g g T g g 1 3 2 3 3 3
T
i j
l 0
l
0
0 0 l3
g'1
T· g'3=l3g'3 T· g'2 g'3 g'2 g'1
lg'2
T· g'1
g'2
l1g'1
2.4.2.2
特征方程有重根的情况
由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T 的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它 们都应是实根。此时，T 一般可化为约当（Jordan）标 准形，这由T 的特征矩阵
2
初等因子全简单
2 3 2 T 2 3 2 l1 l3 2 1 2 T 2 0,
T 12 0,
22为任意
22T 12 1,
3
初等因子非全简单
T
1 2
0,
2 2
1 T
1 2
1 2 为任意，所以 g2不唯一。
Nij l ij ii jj Ni j
2.4.2
非对称二阶张量的标准形
不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。
设a，l 分别为T 的特征矢量和特征值，则
即 特征方程
l
T a la
i j
Tij a j 0
3 T 1 2 T 2 T 3
l l J l J l J 0
T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 1 l1
l 0
i j i i
及
N
i j
l 0
i j j i
ii 或ij 有非零解得条件是
l det l ij Ni j 0
解得l 的三个根，便可求出对应的 ii 或ij 及相应的坐标 i x i的方向，即 N i 取驻值的方向。由此可得
N a la
i j j
i
l det l
i j
l
Ni j a j 0
i j
Ni j 0
l l3 J1N l2 J 2N l J 3N
特征方程的解：特征根
齐次方程组的非零解矢量：特征矢量
2.4.1.3
实对称二阶张量的特征根必为实根
2.4.1.6
主分量是当坐标变换时N 的混合分量对交元素之驻值 条件极值问题
max .or min. st.
N ii ii ij N i j
ii ii 1
引入拉格朗日乘子l ,求无条件极值问题
max .or min.
N l ij ij 1
i i j i i j i i
取极值得必要条件是 d=0，即
N
i j
l ij iidij ij dii 0
N
N
i j
i j
l ij iidij ij dii 0
由 dij , dii 的任意性得
可令
g1 g2 g1 g 2 i g1 g2
g3 g3
, g 在 g1 2 , g 3 构成的坐标系中，T 可以化为实数形式的标
准形
3 2 3 g T lg1 g g l g g l g g 2 1 2 3 3
l l1 0 0 J1 l3 0
1 l l1 0
l l3 0 0
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约 当标准形
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g1g 2 λ3 g3 g 3
定义 对于一个实对称二阶张量
N Ni j gi g j
（gi 是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基 e1，e2，e3，在这组基中，N 化为对角标准形
N N1e1e1 N 2e2e2 N3e3e3
其对应的矩阵是对角形的，即
N1 N 0 0
0 N2 0
0 0 N3
1 P1 P2 P3 J1 3
则
1 P J1G 3
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N· a3=N3a3
ei
ai ai
ai ai2
a1
a3
a2 N· a2=N2a2
N· a1=N1a1
N
a
1
N1
2
a1 a1
a
2
N2
2
a2 a2
a
3
N3
2
a3 a3
i g2 2 gi
g1 g1
g3 g3
在 g1 , g 2 , g3 为基矢量的坐标系内
2 3 T λ1 g1 g1 T 12 g1 λ1 g2 T 3 g g λ g g 2 3 3 3
T
i j
l1 0 0
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为 一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
l2 l i
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
式中，与l1,l2 对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T 表示成某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形），
g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标 系中，T 可化为对角标准形
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
l1 0 0 0 0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l2g2 g2 g1
T
i j
l2
0
T· g1=l1g1
反证法（略） 2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性
（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3 唯一且互相正交。 （2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2 a3 为主方向。在 a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2 为其中的二个主方向。 （3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N 都化为 对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的 主分量为