§2 凹函数定义及其判定方法 - 江财国际
凸函数 凹函数
凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。
它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。
简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。
下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。
一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。
其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。
1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。
这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。
首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。
因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。
此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
高等数学课件3-7凹凸性
凹凸性研究的重要成果和突破
添加项标题
19世纪初，法国数学家拉格朗日提出了函数的凹凸性概念，为 研究函数的性质提供了新的工具。
添加项标题
19世纪末，德国数学家魏尔斯特拉斯提出了函数的极值定理， 为研究函数的凹凸性提供了理论基础。
添加项标题
20世纪初，英国数学家哈代和波兰数学家莱维提出了函数的凹 凸性判别法，为研究函数的凹凸性提供了新的方法。
化证明过程
举例：利用凸 函数的性质， 可以证明不等 式f(x) > g(x)
凹凸性在优化问题中的应用
凸优化问题：求解凸函数最小值 凹优化问题：求解凹函数最大值 凸优化算法：梯度下降法、牛顿法等
凹优化算法：梯度上升法、牛顿法等
凸优化与凹优化的区别：凸优化问题有 唯一解，凹优化问题可能有多个解
凸优化与凹优化的应用：在机器学习、 图像处理、信号处理等领域有广泛应用
,
汇报人：
目录
凹函数和凸函数的定义
凹函数：对于任意x1,x2∈D， f(x1)+f(x2)≥2f((x1+x2)/2)
凹函数和凸函数的区别在于不等号 的方向不同
添加标题
添加标题
凸函数：对于任意x1,x2∈D， f(x1)+f(x2)≤2f((x1+x2)/2)
添加标题Βιβλιοθήκη 添加标题凹函数和凸函数的定义是判断函数 凹凸性的基础
研究前景：凹凸性研究在许多领域都有广泛的应用前景，如优化问题、图像处理、机 器人控制等
汇报人：
凹凸性的几何意义
凸性：函数在某点处的切线斜 率大于等于该点处的函数值
凹性：函数在某点处的切线斜 率小于等于该点处的函数值
凸性函数：函数图像在定义域 内任意两点之间是凸的
函数凹凸的定义(精)
f x2 f x1 f x1 f x2 , x2 x1
所以 f 为I上的递增函数。
( 2) ( 3) : 在 以 x1 , x2 x1 x2 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理 和 f 递增条件，有
f x2 f x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 . 即f x2 f x1 f x1 x2 x1 .
定义
设f ( x )定义在区间 I 上, 如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凸函数。
如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凹函数。
f x1 f x3 f x3 x1 x3
(1 ) f x2 (1 ) f x3 (1 ) f x3 ( x2 x3 )
两式相加，并将 x3 x1 1 x2代入,
f x1 1 f x2 f x3 f x1 1 x2 .
a b c 3
a a bbc c , 其中a，b，c为正数。
1 证 设 f x x ln x , x 0, 则 f x ln x 1, f x ， x 显然x 0时，f ( x ) 0, 故f为严格凸函数 ,
a b c 1 f f a f b f c , 3 3 abc abc 1 即 ln a ln a b ln b c ln c , 3 3 3 a b c abc 3 a b c a b c abc , 故 a b c . 又 3 3
凸函数与凹函数
凸函数与凹函数
凸函数和凹函数是数学分析中较为基础的概念。
凸函数是一种具有强凸性质的函数，而凹函数则是一种具有强凹性质的函数。
它们分别在数学、物理、经济学等领域具有广泛的应用。
凸函数的定义是：如果对于任意的 $x_1,x_2in[a,b]$ 和
$tin[0,1]$，都有 $f(tx_1+(1-t)x_2)leq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$，则 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的凸函数。
直观地说，凸函数的图像是向上凸起的，即在任意两个点之间的连线都在函数图像上方。
凹函数的定义则是：如果对于任意的 $x_1,x_2in[a,b]$ 和$tin[0,1]$，都有 $f(tx_1+(1-t)x_2)geq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$，则 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的凹函数。
直观地说，凹函数的图像是向下凸起的，即在任意两个点之间的连线都在函数图像下方。
凸函数和凹函数有许多重要的性质和应用。
例如，在最优化问题中，许多约束条件和目标函数都可以表示为凸函数或凹函数，因此凸优化和凹优化成为了研究的重点之一。
此外，在经济学、物理学和机器学习等领域中，凸函数和凹函数也有广泛的应用。
例如，在经济学中，生产函数和效用函数分别是凸函数和凹函数；在物理学中，势能函数和拉格朗日函数也可以表示为凸函数或凹函数。
在机器学习中，凸函数和凹函数也是许多模型的基础。
总之，凸函数和凹函数是数学分析中非常重要的概念，具有广泛的应用。
函数曲线的凹凸性
那么 x x0 就是 y f (x) 的一条铅直渐近线 .
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) b 或 lim f (x) b (b 为常数)
x
x
解 Df (,).
f ( x) 5 x 2 的零点为 2 ，不存在的点为0。
33 x
5
将 f 的符号与 f 的单调性列表如下：
x (-, 0)
0
(0, 2/5) 2/5 (2/5, +)
f
+
不存在
-
0
+
f
连续
连续
f 在 ( , 0]上 单 调 增 ； 在[0, 2]上 单 调 减 ； 在[ 2 , )
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例4 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
那么 y b 就是 y f (x) 的一条水平渐近线 .
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条:
y , y .
2
2
3.斜渐近线 如果 lim [ f (x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f (x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
方法1:
设函数f (x)在x0的邻域内二阶可导 ,且f (x0 ) 0,
凹凸函数的概念
凹凸函数的概念在数学中，凹凸函数是一个非常重要的概念，凹凸函数广泛应用于优化问题和计算机图形学等领域。
凹凸函数一般用于描述图像或函数图像的形状，合理使用凹凸函数能够使问题得到更好的解决。
首先，我们来定义一下凹凸函数。
凹凸函数是定义在某一区间上的实值函数，如果该函数的定义域内任意两点的连线都在该函数的图像上方，那么这个函数就是凸函数；如果该函数的定义域内任意两点的连线都在该函数的图像下方，那么这个函数就是凹函数。
从图像上来看，凸函数的函数值形成的图像曲线是朝上凸起的，而凹函数的函数值形成的图像曲线是朝下凸起的。
凸函数的一个重要性质是，在凸函数上任意两点的线段都完全位于函数上方。
这意味着，如果我们想要最小化某个凸函数的取值，那么最小值一定在函数的一个顶点上取得。
凸函数还有一个重要的性质是对于任意的两个$x,y$和$\lambda$(其中$\lambda$取值在$[0,1]$之间)，都有如下不等式成立：$$f(\lambda x + (1-\lambda)y)\leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$$这个不等式被称为凸函数的Jensen不等式。
这个不等式的意义在于，对于任意两个点$x,y$，函数$f$在它们的中点$\lambda x + (1-\lambda)y$的值大于等于$y$和$f$的线性插值，这意味着凸函数的图像总是朝上方的。
凹函数同样也具有类似的性质和不等式。
对于任意的两个$x,y$和$\lambda$，都有以下不等式成立：$$f(\lambda x + (1-\lambda)y)\geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$$这个不等式被称为凹函数的Jensen不等式。
这个不等式的意义在于，对于任意两个点$x,y$，函数$f$在它们的中点$\lambda x + (1-\lambda)y$的值小于等于$y$和$f$的线性插值，这意味着凹函数的图像总是朝下方的。
12第12讲 函数的凹凸性
第十二讲 函数的凹凸性一、 曲线的凹凸性：1、 定义：()()(,)f x f x a b 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的下方，则称在内为凹函数。
()()(,)f x f x a b 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的上方，则称在内为凸函数。
2、 凹凸性的判断：(,)''()0,''()0,a b fx f x ><在内，函数是凹的，函数是凸的。
图1 凹函数图2 凸函数注意：【拐点：二阶导数为零的点；驻点：一阶导数为零的点】例1：2x y e-=求的凹凸区间和拐点？解：222'2;''(42),2x x y xe y x ey --=-=-⋅=±1122()(,)()(()(),()22f x fx f x e e ---∞+∞-凹区间：凸区间：的拐点： 例2：2y 求的凹凸区间和拐点？解：253312'(4),''(4),4,''39y x y x x y --=-=--=不存在()()(4,)()(4,2)f x f x f x +∞凸区间：的拐点： 二、曲线的水平与垂直渐近线1、 水平渐近线：lim (),()x f x a f x a →∞==则为函数的水平渐近线2、 垂直渐近线：00lim (),x x f x x x →=∞=则为函数的垂直渐近线3、 定义：00lim (),()()lim (),()x x x f x b f x b f x f x x x f x →∞→===∞=若则是的水平渐近线，若则为的垂直渐近线例1：212(3)y x =+-求的水平和垂直渐近线？ 解：22311lim2=22lim 2,3(3)(3)x x y x x x →∞→+=+=∞=--，为水平渐近线；是垂直渐近线例2：2x y e -=求的水平和垂直渐近线？解：2lim 0,0x x ey -→∞==为水平渐近线；例3：1y x x=+求的水平和垂直渐近线？解：01lim =0x x x x→+∞=，为垂直渐近线 三、 函数的性态研究1、 步骤：（1）、求定义域；（2）、求水平、垂直渐近线；（3）、f ‘(x)、f ‘’(x),求出f ‘ , f ‘’ 为零或不存在的点，从小到大划分定义域为若干小区间； （4）、列表 2、 举例：例1：332yx x =--求的增减区间、极值、凹凸区间，拐点？解：（1）、(,)-∞+∞定义域为；（2）、没有渐近线； （3）、2'33,''6,0(),1,1y x y xy y y =-===-=拐点（驻点）（驻点）； （4）、列表如下：()(,1)(1,+)()(1,0)(0,1)()(,1)(1,0)()(0,1)(1,+)(1)0,(1)4f x f x f x f x f f -∞-∞--∞--∞-==-单增区间：，单减区间：，凸区间：，凹区间：，极大值极小值拐点为(0,-2)函数图像如下：例2：2361(3)xy x =++的单调区间，极值，凹凸区间，拐点？ 解：（1）、定义域3x ≠-；（2）、22-33636lim11,1lim1=-,3(3)(3)x x x x y x x x →∞→+==+∞=-++为水平渐近线；为垂直渐近线（3）、3436(3)72(6)','',3()3(6()(3)(3)x x y y x x x x x ---====-=++驻点，没定义)，拐点（4）、列表如下：()(3,3)()(,3)(3,6),(6,)()(,3)(3,3)(3,6)()(6,+)(3)4113f x f x f x f x f --∞-+∞-∞--∞=单增区间：单减区间：，凸区间：，，凹区间：极大值拐点为(6,)函数图像如下：。
凸函数与凹函数（convexconcave）zz
凸函数与凹函数（convexconcave）zz 读⽂章和学习过程中经常会遇到concave,convex以及down,up的组合。
怎样区分呢？
下⾯有⼀些摘⾃⽹络的定义，不同情况下应有不同的定义，以下仅供参考：
定义⼀：当四种都存在时：
上凹（convex upward）：y'>0 y''>0
下凹（convex downward）：y'<0 y''>0
上凸（convex upward）：y'>0 y''<0
下凸（convex downward）：y'<0 y''<0
定义⼆：在同济版《⾼等数学》中，只有凸（上凸）和凹（上凹）两种
此时以⼆阶导数定义
凹(上凹)， y''>0 （），可见包括定义⼀中的上凹和下凹
凸（上凸），y''<0 （），可见包括定义⼀中的上凸和下凸
定义三：wiki上⾯的定义
英⽂wiki的定义和同济⼤学定义正好相反
convex， y''>0 （）
concave，y''<0 （）
定义四：如果只有concave，没有convex时concave upward（=定义三中的convex）：y=x^2 concave downward（=定义三中的concave）:y=-x^2
定义五：有些⼈说
convex up=concave down
convex down=concave up。
判断函数凸凹性的五种方法
判断函数凸凹性的五种方法判断函数的凸性和凹性可以通过以下几种方法：1. 通过二阶导数（对于一元函数）对于一元函数f(x)，其凸性和凹性可以通过其二阶导数f′′(x)来判断：●如果f′′(x)≥0对于所有x在函数的定义域内都成立，并且至少在某个子区间内f′′(x)>0，则函数f(x)在该定义域内是凸的。
●如果f′′(x)≤0对于所有x在函数的定义域内都成立，并且至少在某个子区间内f′′(x)<0，则函数f(x)在该定义域内是凹的。
注意：如果f′′(x)在定义域内恒等于0，则函数是线性的，既是凸的又是凹的。
2. 通过一阶导数（对于一元函数，但较不直观）虽然不如二阶导数直观，但也可以通过分析一阶导数f′(x)的单调性来判断函数的凸凹性。
不过，这种方法通常需要更多的分析和技巧，并且不如二阶导数方法直接。
3. 通过定义（对于一元或多元函数）●凸函数：对于定义域内的任意两点x1,x2（对于多元函数，则是任意两个点x1,x2）和任意实数0≤λ≤1，如果都有●f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)●（对于多元函数，则是类似的向量不等式），则称f是凸函数。
●凹函数：与凸函数相反，将上述不等式中的“≤”替换为“≥”，则称f是凹函数。
4. 利用Hessian矩阵（对于多元函数）对于多元函数f(x)，其Hessian矩阵是一个由二阶偏导数组成的矩阵。
函数的凸凹性可以通过检查Hessian矩阵的正定性或负定性来判断：●如果Hessian矩阵在函数的定义域内处处半正定（即所有特征值非负），则函数是凸的。
●如果Hessian矩阵在函数的定义域内处处半负定（即所有特征值非正），则函数是凹的。
5. 图形判断（直观方法）通过观察函数的图形，也可以直观地判断其凸凹性。
凸函数的图形在其上任意两点之间的连线总是位于图形之上，而凹函数的图形则在其上任意两点之间的连线之下。
注意●在判断函数的凸凹性时，需要注意函数的定义域。
凸函数和凹函数
凸函数和凹函数是高等数学中比较重要的一类函数。
它们在数学分析、统计学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、应用等方面进行论述，希望对读者有所帮助。
一、定义是定义在实数域上的一类函数。
首先，我们先来看一下凸函数的定义。
如果对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$及任意$\lambda\in[0,1]$，都有以下不等式成立：$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$那么，函数$f(x)$就是定义在$[a,b]$上的凸函数。
其中，凸函数的几何意义是：函数图像上任意两点连线的斜率都不小于两点之间函数值的斜率。
同样地，如果对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$及任意$\lambda\in[0,1]$，都有以下不等式成立：$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$那么，函数$f(x)$就是定义在$[a,b]$上的凹函数。
凹函数的几何意义是：函数图像上任意两点连线的斜率都不大于两点之间函数值的斜率。
二、性质有一些共同的性质，下面我们来了解一下。
1.对于凸函数，若$f$在区间$(a,b)$内可导，则$f$是一个递增函数。
同样地，对于凹函数，若$f$在区间$(a,b)$内可导，则$f$是一个递减函数。
2.对于，若$f$在区间$(a,b)$内二阶可导，则$f''(x)$始终不小于零（凸函数）或始终不大于零（凹函数）。
3.对于，若$f$在区间$(a,b)$内连续，则$f$在该区间内的局部最小值（凸函数）或局部最大值（凹函数）即为全局最小值（凸函数）或全局最大值（凹函数）。
三、应用在许多领域都有着广泛的应用，下面我们来介绍一些典型的应用。
1.优化问题。
许多优化问题都可以转化为求解凸函数或凹函数的最值问题。
§2 凹函数定义及其判定方法 - 江财国际
§2. 凹函数定义及其判定方法2.1 凹函数定义1.一元凹凸函数定义（y=f(x)）t[0,1]且满足①如果对任意∈X1,X2D(函数定义域)，都存在∈则称该函数为凹函数。
E.g. 生产函数（生产可能性边际）t[0,1]且满足X1,X2D(函数定义域)，都存在∈②如果对任意∈则称该函数为凸函数。
E.g. y=1/x从函数图像任意点的切线判断函数凹凸性：①凹函数图像上任意点的切线都在图形之上。
②函数图像上任意点的切线都在图形之下。
2.2 凸集的定义（注;没有凹集）t[0,1]且满足X1,X2集合S,都存在∈如果对任意∈则成S为凸集。
（任意两点的连线仍在集合内）推论：f(X)为凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分非必要条件E.g.注：f(X)为拟凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分必要条件2.3 多元情况下（n维空间R）凹函数的判定以二元为例E.g. 效用函数（无差异曲线）U(X1，X2)1）任意点的切平面在图形之上2）凹函数Hessian矩阵为半负定的三个概念①凹函数——Hessian矩阵半负定②严格凹函数——Hessian矩阵负定③拟凹函数——加边Hessian矩阵半负定<结论>2.4 雅可比矩阵与Hessian矩阵1）雅可比矩阵2)Hessian矩阵及其顺序子式3）顺序子式负半定的充要条件是：所有奇数阶顺序子式行列式小于等于零，所有偶数阶顺序子式行列式大于等于零（先负后正符号间隔）4）加边Hessian矩阵及其顺序子式加边Hessian矩阵是Hessian矩阵增广一行一列。
例1 判定函数f(x,y)=xy(x>0,y>0)的凹凸性？2.5 加边Hessian矩阵的应用——条件极值在判断一元函数y=f(x)最值时，不仅要满足一阶条件：（极大值&极小值）还要满足二阶条件：（最大值）（最小值）同样地，在n元函数y=f（X）中，我们可以用矩阵给出一个紧致的表达式。
如何证明凹函数
如何证明凹函数凹函数是数学中的一个重要概念，它在经济学、物理学等多个领域中都有广泛应用。
本文将从凹函数的定义、性质以及证明凹函数的方法等方面对凹函数进行详细介绍。
一、凹函数的定义在数学中，凹函数是指函数的图像在任意两点之间的部分都位于这两点的连线的下方。
具体来说，对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意取定的实数a、b（a < b），以及任意取定的0 ≤ λ ≤ 1，都有f(λa + (1-λ)b) ≤ λf(a) + (1-λ)f(b)那么函数f(x)就是凹函数。
这个定义可以直观地理解为函数图像上的任意两点连线上的函数值都不高于这条连线两个端点的函数值。
二、凹函数的性质凹函数具有以下几个重要的性质：1. 任意两点之间的连线位于函数图像的下方；2. 函数在任意区间上的值都不高于该区间的割线；3. 凹函数的导函数单调递增；4. 凹函数的二阶导数非负。
凹函数的这些性质使得它在许多实际问题中具有重要的应用。
三、证明凹函数的方法证明一个函数是凹函数的方法有多种，下面介绍几种常用的方法。
1. 利用定义证明法根据凹函数的定义，我们可以利用数学归纳法或反证法来证明一个函数是凹函数。
具体来说，可以假设函数f(x)不是凹函数，然后通过推导得出矛盾，从而证明函数f(x)是凹函数。
2. 利用一阶导数和二阶导数对于二次可导的函数，我们可以通过计算其一阶导数和二阶导数来判断其是否为凹函数。
如果函数的二阶导数在定义域上恒大于等于零，则函数是凹函数。
3. 利用凸组合的性质对于一些特殊的函数，可以利用凸组合的性质来证明其为凹函数。
凸组合是指给定一组非负权重，将这些权重乘以对应的函数值并求和，如果权重之和等于1，则称其为凸组合。
如果一个函数对于任意的凸组合都满足凹函数的定义，则可以证明该函数是凹函数。
四、应用举例凹函数在经济学、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
以经济学为例，利润函数、效用函数等都是凹函数。
凹函数在这些领域中的应用可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
凹函数的拐点
凹函数的拐点凹函数是一种在数学上比较重要的函数类别，它在统计学、经济学、物理学等大量实际问题中应用广泛。
其中，凹函数的拐点是一个非常重要的概念，它在函数图像和函数解析上都有着重要的作用。
一、什么是凹函数？凹函数是一类函数，它的二阶导数在定义域内为正，并且在整个定义域上连续。
换句话说，凹函数的图像是向上弯曲的，具体表现为曲线上任意一点的切线都位于曲线的下方。
在统计学中，凹函数常常用于表示风险的增长率与其本身的关系。
例如，收益率的增长率与其风险度之间的关系，用凹函数来表达就非常合适。
二、什么是凹函数的拐点？凹函数的拐点是指函数曲线向上凸时，曲线转为向下凸的那个点，或者反过来，即函数曲线向下凹时，曲线转为向上凹的那个点。
在函数图像上，拐点是函数曲线上比较特殊的点，它标志着函数图像的凹凸性发生了改变。
三、怎么求凹函数的拐点？为了求一个函数的拐点，我们需要首先知道函数曲线的凹凸性质。
一般来说，凹函数的拐点在函数的导数从正数变成负数的时候或者从负数变成正数的时候。
具体来说，对于一条凹函数曲线，我们可以通过二阶导数来确定它的凹凸性质。
如果函数的二阶导数为正，那么函数图像上的任意一点都处于向上凸状态。
反之，如果函数的二阶导数为负，那么函数图像上的任意一点都处于向下凸状态。
通过上述结论，我们可以知道凹函数的拐点应该满足什么条件。
如果函数的二阶导数由正变负，那么这个点就是函数曲线的拐点；如果函数的二阶导数由负变正，那么这个点同样也是函数曲线的拐点。
四、凹函数的拐点在实际问题中的应用凹函数的拐点在实际问题中有着非常广泛的应用。
例如，在经济学中，供求曲线的拐点表示了供给和需求两者之间权衡的平衡点，从而决定了商品的价格和数量，这是市场经济的基础。
在物理学中，一些问题中需要求解物体的稳定平衡点，而这个问题等价于求凹函数的拐点。
凹函数的拐点还在计算机视觉等领域有着广泛的应用，例如在图像处理中，可以通过凹函数的拐点来确定图像中局部的最大值和最小值。
凹函数歧义
凹函数歧义
凹函数是一种在某个区间上具有下凹性质的函数。
也就是说，对于任意两个实数x1和x2，以及它们的中点x = (x1 + x2)/2，如果f(x) ≤ (f(x1) + f(x2))/2，那么函数f被称为在区间[x1, x2]
上是凹函数。
凹函数的歧义主要来自以下几点：
1. 凹函数在一维情况下有多种定义。
有的定义要求对于任意的x1和x2以及t∈[0,1]，有f((1-t)x1 + tx2) ≤ (1-t)f(x1) + tf(x2)，
这被称为Jensen不等式。
还有的定义要求函数的一阶导数是
递减函数，也就是f''(x) ≤ 0。
这两种定义在很多情况下是等价的，但在一些特殊情况下可能会有差异。
2. 凹函数在高维情况下的定义也存在歧义。
在一维情况下，凹函数的定义比较直观。
但在高维情况下，凹函数的定义需要考虑函数的Hessian矩阵，即二阶导数矩阵。
而不同的文献和学
科对凹函数的定义可能略有不同。
3. 凹函数的局部性质和整体性质之间的歧义。
凹函数的局部性质是指函数在某个点附近的性质，如局部凹性、局部极大值等；而整体性质是指函数在整个定义域上的性质。
凹函数的局部性质和整体性质并不总是完全一致的，这会导致凹函数的歧义。
为了避免凹函数的歧义，需要根据具体的问题和上下文来确定凹函数的定义和性质，以确保准确理解和使用凹函数的概念。
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§2. 凹函数定义及其判定方法2.1 凹函数定义
1.一元凹凸函数定义（y=f(x)）
t[0,1]且满足
①如果对任意∈
X1,X2D(函数定义域)，都存在∈
则称该函数为凹函数。
E.g. 生产函数（生产可能性边际）
t[0,1]且满足
X1,X2D(函数定义域)，都存在∈
②如果对任意∈
则称该函数为凸函数。
E.g. y=1/x
从函数图像任意点的切线判断函数凹凸性：
①凹函数图像上任意点的切线都在图形之上。
②函数图像上任意点的切线都在图形之下。
2.2 凸集的定义（注;没有凹集）
t[0,1]且满足
X1,X2集合S,都存在∈
如果对任意∈
则成S为凸集。
（任意两点的连线仍在集合内）
推论：f(X)为凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分非必要条件
E.g.
注：f(X)为拟凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分必要条件
2.3 多元情况下（n维空间R）凹函数的判定
以二元为例
E.g. 效用函数（无差异曲线）U(X1，X2)
1）任意点的切平面在图形之上
2）凹函数Hessian矩阵为半负定的
三个概念
①凹函数——Hessian矩阵半负定
②严格凹函数——Hessian矩阵负定
③拟凹函数——加边Hessian矩阵半负定
<结论>
2.4 雅可比矩阵与Hessian矩阵
1）雅可比矩阵
2)Hessian矩阵及其顺序子式
3）顺序子式负半定的充要条件是：所有奇数阶顺序子式行列式小于等于零，所有偶数阶顺序子式行列式大于等于零（先负后正符号间隔）
4）加边Hessian矩阵及其顺序子式
加边Hessian矩阵是Hessian矩阵增广一行一列。
例1 判定函数f(x,y)=xy(x>0,y>0)的凹凸性？
2.5 加边Hessian矩阵的应用——条件极值
在判断一元函数y=f(x)最值时，不仅要满足一阶条件：（极大值&极小值）
还要满足二阶条件：（最大值）（最小值）
同样地，在n元函数y=f（X）中，我们可以用矩阵给出一个紧致的表达式。
我们要做的就是在原Hessian矩阵的基础上添加几行几列，然后分析这个增广后的矩阵。
例如：我们最大化y=f(X1,X2,…..Xn)，其自变量满足约束条件：
g(X1,X2,…..Xn)=0
用拉格朗日乘数法进行求解，条件极值的一阶条件
二阶条件用到的加边Hessian矩阵表示。
§3. Excel矩阵计算演示
Excel中除了基于纯量的计算函数外，同时还有许多矩阵运算函数，通过这些这些函数，可以直观、快速的完成一些复杂的计算。
本例将全面介绍如何在工作表中进行矩阵运算。
【Summary】
1、矩阵转置
Excel函数：=Transpose(原矩阵)
2、矩阵乘法，A、B矩阵相乘
Excel函数：=MMult(矩阵A，矩阵B)
3、求逆矩阵
Excel函数：=MInverse (原矩阵)
4、求矩阵行列式的值
Excel函数：=MDETERM(矩阵)
5、以上函数均有两种操作方法：
一是直接在公示栏输入以上相应公式；
二是选择“插入→函数→常用函数”，然后选择相应函数即可。
【矩阵类型】
矩阵的基本类型包括行向量、列向量和矩阵，这些形式在工作表中都可以得到直观地展现，如：
【矩阵和纯量的算术运算】
矩阵和纯量的运算要求矩阵中的每个元素和纯量一一运算，在工作表中只需将该纯量设定为绝对引用后通过Ctrl+Enter即可完成计算，如C29为纯量，C31:E33为3*3矩阵，将二者
相乘只需选定结果区域后选择矩阵的第一个元素C31和纯量C29相乘，而后将C29设定为绝对应用，即$C$29，之后按Ctrl+Enter，即在选定区域中返回计算结果：
【矩阵加法】
矩阵相加和普通工作表计算一样，首先选定区域H43:I47，而后输入公式“
=B43+E43”，即矩阵A和B的首个元素相加，之后按Ctrl+Enter返回结果。
【矩阵转置】
矩阵转置在Excel中通过函数Transpose完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=Transpose(原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵为4行3列，则选定的结果区域需为3行4列方可返回全部转置结果，由于Transpose函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
返回结果如下：
【矩阵乘法】
矩阵乘法在Excel中通过函数MMult完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=MMult(矩阵A，矩阵B)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵分别为2行2列和2行3列，则选定的结果区域需为2行3列方可返回全部结果，即要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
由于MMult函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组
运算结果：
【矩阵逆运算】
矩阵求逆在Excel中通过函数MInverse完成，操作方法是先选定结果区域，而后在公式栏输入“=MInverse (原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵大小设定，如原始矩阵为4行4列，则选定的结果区域需为4行4列方可返回全部结果。
由于MInverse函数属于数组函数，输入公式后按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
注意到E，是科学计数法，当数值很大或者小数点后位数很多时会用到，我们可以右键“设
置单元格格式”，选“数值”，设定相应的小数数位。
如1.127E-07，即代表将数字1.127中1后面的小数点向左移去7位，如果我们在小数数位选10的话，得到0.000000127。
又如1.845E+09，即代表将1.845中1后的小数点向右移去9位。
对矩阵逆运算结果可进一步验证其结果，将矩阵和逆矩阵相乘，其结果应为单位矩阵，运用前述乘法公式可完成：
【矩阵运算的应用：方程组求解】
利用矩阵计算功能，可以完成多元方程组的求解，假定方程组及其矩阵表示如下：
显然，未知数X等于系数矩阵的逆矩阵和Y向量的矩阵相乘，由此使用嵌套函数MInverse 和MMult即可完成求解。