趣味题(二)——一笔画问题(0k)

教学内容与过程

备注课后分析

§趣味题（二）一笔画问题

一、数学故事吧——哥尼斯堡的七座桥

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点？

1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。也由此展开了数学史上的新进程。问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。

二、趣味题（二）——一笔画问题

一笔画是一个几何问题，与传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质不同，它研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关。一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？

下面，请大家探究一下，下面哪些图形可以一笔画出？哪些不可以？

为了研究这些图案是不是可以用一笔画出来，我们先来了解三个新概念。

（1）奇点：有奇数条边相连的点。如

（2）偶点：有偶数条边相连的点。如

（3）一笔画：下笔后的笔尖不能离开纸，每条线都只能画一次而不能重复。

仔细探究以上图形后，填写以下表格。

早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．

但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇数点和偶数点的数目来决定的。

数学家欧拉找到一笔画的规律是：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

也就是说：只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。

课堂练习

1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？

2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？

3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？

三、小结

数学家欧拉找到一笔画的规律是：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一

偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几

笔画成。)

也就是说：只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔

画。只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另

一点结束。

请大家课后下载手机小游戏《一笔画》并玩一玩，看谁能过关最多。