趣味题(二)——一笔画问题(0k)
一笔画题目
一笔画题目一笔画，又称“涂鸦帖”，是一种古老而有趣的游戏，它可以锻炼我们的脑力和创造力。
一笔画的规则非常简单，只需用一笔画完整图案，笔不能离开纸面，也不能重复画线。
这个游戏不仅适合儿童，也对成年人有益。
在这篇文档中，我们将分享一些有趣的一笔画题目，希望能给你带来挑战和乐趣。
一笔画不仅仅是一个游戏，也是一种艺术形式。
它要求我们在有限的线条和空间内创造出美丽的图案，这对我们的观察力和手眼协调能力提出了挑战。
一笔画可以激发我们的创造力，使我们能够想象出许多不同的可能性并加以实现。
下面是一些有趣的一笔画题目，你可以尝试挑战自己，看看你能否用一笔画出完整的图案：1. 鱼：试着画一条鱼，要求鱼的形状清晰可辨，尽量画出细节，如鳞片和鱼尾巴。
2. 马：用一笔画一匹奔驰的马，尽量表现出马的力量和速度。
3. 花：画一朵漂亮的花朵，可以选择不同的花种和花朵形状。
4. 城堡：尝试用一笔画出一个迷人的城堡，包括塔楼和城墙。
5. 岛屿：画一座孤岛，可以在岛上添加一些椰树和海浪的细节。
6. 蜘蛛网：试着画一个复杂的蜘蛛网，让它看起来真实而有趣。
7. 森林：画一个充满树木和野生动物的森林景观。
8. 人脸：用一笔画出一个人的脸，尽量表现出表情和轮廓。
9. 蝴蝶：尝试画一只绚丽多彩的蝴蝶，让它看起来飞舞在空中。
10. 狗：试着用一笔画出一只可爱的小狗，包括它的耳朵和尾巴。
这些题目只是一小部分，你可以根据自己的兴趣和想象力创造更多的一笔画题目。
一笔画不仅可以培养我们的艺术技巧，还能提高我们的空间想象力和观察能力。
在这个数字时代，一笔画也是一种解压和放松的方式，让我们抛开手机和电脑，专注于纸面上的线条和形状。
一笔画也可以成为一个团队活动。
你可以和朋友或家人一起挑战一笔画题目，并比较彼此的成果。
这不仅可以增进彼此之间的交流和合作，还可以增强团队的凝聚力。
总之，一笔画是一个有趣而具有挑战性的游戏和艺术形式。
它可以锻炼我们的脑力和创造力，并提供一种放松和解压的方式。
一笔画问题
一笔画问题
你 能 一 笔 画 出 来 吗 ？
不重复的路
——一笔画
“一笔画”是指笔不 离开纸，而且每条线 都只画一次不准重复 而画成的图形。
规发你画呢可什学一“
律
。
现 一
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一 画
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游 戏
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一 笔
笔象，一笔的，趣画
画力发试画图那的”
的，挥，成形么数是
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
数 点 为 终 点 。
一 个 单 数 点 为 起 点 ， 以 另 一
定 可 以 一 笔 画 成 。 画 时 必 须
） 凡 是 图 形 中 两 个 单 数 点 ，
一 定 可 以 一 笔 画 成 。
） 凡 是 图 形 中 没 有 单 数 点
于 图 中 单 数 点 的 多 少 。
个 图 形 能 否 一 笔 画 成 ， 关 键
图1
连通的图形有可能一笔画
图2ห้องสมุดไป่ตู้
两条相交的线处都有一个交点
数一数下列图形各有几个交点？
（ 4 ）个
（ 2 ）个
（ 9 ）个
（ 5 ）个
交点分为两种
（1）从这点出发的线的数目 是双数的，叫双数点（偶点）。 （2）从这点出发的线的数目 是单数的，叫单数点（奇点）。
数一数下列图形各有几个交点？ 几个奇点？几个偶点？
你能用一笔画出下列图形吗？
图一 图二 图三 图四 图五 图六
交点
6 5 9 6 6 5
奇点
2 0 4 4 0 0
偶点
4 5 5 2 6 5
能否一笔画
能 能 不能 不能 能 能
能数（单从一（的（在一
小学奥数 奇妙的一笔画 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要3种颜色的旗子。
因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。
二年级一笔画的题目
二年级一笔画的题目以下是一些二年级的一笔画题目：画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，但是可以经过其他点。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，但是可以经过其他点，而且经过的点越多越好。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，而且不能经过其他点。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，而且不能经过其他点，但是可以经过A点或B点。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，而且不能经过其他点，但是可以经过A点或B点，而且经过的点越多越好。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，而且不能经过其他点，但是可以经过A点或B点，而且经过的点越多越好，但是最后一个点必须是B点。
画出从A点到B点的最短路径，只能沿着直线走，不能拐弯，而且不能经过其他点，但是可以经过A点或B点，而且经过的点越多越好，但是最后一个点必须是B点，而且必须经过A点和B点的所有相邻点。
希望这些题目能够满足您的需求。
以下是一些二年级一笔画题目的例子：有一个村庄，村长家在村子的一头，村民家在村子的另一头。
现在我们要从村长家走到村民家，只能沿着村庄的街道走，不能拐弯。
请问，我们如何找到最短的路径？在一个城市的地图上，A大厦和B大厦是两个点。
我们只能沿着街道走，不能拐弯，而且不能重复走相同的路线。
请问，我们如何找到从A大厦到B大厦的最短路径？在一个公园的地图上，A点和B点是两个景点。
游客只能沿着小路走，不能拐弯，而且不能重复走相同的路线。
请问，游客如何找到从A点到B点的最短路径？在一个工业园区的地图上，A工厂和B工厂是两个点。
物流车只能沿着道路走，不能拐弯，而且不能重复走相同的路线。
请问，物流车如何找到从A工厂到B工厂的最短路径？希望这些例子能够帮助您更好地理解二年级一笔画题目。
对于二年级的一笔画题目，以下是一些答题技巧：观察图形：首先仔细观察题目中的图形，了解图形的结构、线条和交点。
一笔画问题
一笔画问题例题选析：例1：找出下面图形中各有几个交点？哪些是奇点？哪些是偶点？例2：下面各图各有几个奇点，几个偶点，能不能一笔画出来？例3：下面各图形能不能一笔画，为什么？例4：下面两幅图都不能一笔画出，请你在前一幅图中添加一条线，在后一幅图中去掉一条线，使两幅图都变成能一笔画成的图形。
习题精练1．数一数下图各有多少个交点？有几个奇点？有几个偶点？能不能一笔画？2．判断下面各图形能不能一笔画。
把能一笔画出的图形试着画出来。
3．下面每个汉字，哪个能一笔写出来？哪个不能一笔写出来？中田回日电人4．右图是“奥林匹克运动会会标”，图中有几个交点？各是什么点？你能一笔画出来吗？5．下面的每个图形都是一个小朋友一笔画出来的，请你也画一下，并说出每幅图的起点各有几处？6．下面的这些字母中，哪个能一笔描出，哪个不能一笔描出，为什么？一笔画，就是能一笔画出的图形。
这里的“一笔”是指下笔后，笔不离开纸，图中的每条线都经过一次，不重复。
一笔画是非常有趣的数学游戏，又能解决很多实际中的问题。
那么什么样的图形能一笔画，什么样的图形不能一笔画呢？这就是我们本章学习的内容。
1．连通图：如下左图和下中图这样，图中任意两点之间都有通路，是连在一起的图叫连通图。
如下右图，有的两点之间没有通路，叫做不连通图。
2．奇点、偶点：从一点出发的线的数目是单数第的叫单数点，也叫奇点。
从一点出发的线的数目是双数条的叫双数点，也叫偶点。
3．不是连通图的不能一笔画。
4．凡是由偶点组成的连通图都可以一笔画，画时可以从任意一点出发，最后还回到这点。
5．凡是只有两个奇点，其余的是偶点的连通图也可以一笔画，画时必须从一个奇点出发到另一个奇点结束。
6．奇点数目超过两个的图形都不能一笔画。
判断一个图形能不能一笔画，首先要看是不是连通图，因为不连通图是无论如何也不能一笔画的。
是连通图也不能都一笔画，还要数清图中奇点的个数。
通过例题的学习，我们知道奇点的个数都是偶数个。
小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一） 一笔画以及多笔画【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a、图b、图c能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB ADCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在． 下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后 仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】 右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门． 本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】 已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】 右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9； 图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】 邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过 这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局 他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？ 分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。
一笔画问题
一笔画问题画一个图案，如果用笔既不重复也不遗漏，纸不离笔，一笔画成，那么就称这个图案是一笔画图案.现在我们来研究的问题是：（1）怎样的图案才能一笔画成？（2）如果一个图案能一笔画成，那么该从哪里起笔到哪里收笔？需提醒大家的是，这些问题与图案中的“奇点”的个数有关.何谓奇点呢？我们知道，任何图案都是由线条（直线或曲线）连成的.在图案中，由三条或三条以上的方向各不相同的线连接在一起的点叫做图案点，通过图案点的线是奇数条就称奇点（当然，通过图案点的线是偶数条就称偶点，现在只需回答前面的问题而与偶点无关）.例如，在下面各图案中的奇点个数见统计表（请读者对照图案辨认奇点）.统计表：接着就请读者朋友拿起你的笔来逐个试画以上各图案，看能否一笔画成，将结论填在统计表内.并注意体会能一笔画的图案应该怎样画.最后，请根据上表归纳出前面两个问题的答案.【规律】（1）奇点数为0或2的图案可以一笔画成.奇点数多于2的图案不能一笔画成.（2）画奇数为0的图案时，可以选择任意点起笔都能一笔画成；画奇数为2的图案时，必须选择其中的一个奇点起笔，而到另一个奇点收笔才能一笔画成.【练习】1.下面各图案，能一笔画出来吗？试一试.2.容易看出，下面的两个图案都不能一笔画成，请在每个图案上各补画一条线就能使新图案一笔画成了.会吗？3.这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问题----七桥问题.东普士的多尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥、如下图所示：问人们能不重复地走遍这七座桥吗?4.回龙州公园的游览点与路线示意图如下.如果要使游人游完所有的游览点而不重复行走的路线，请问入口处和出口处应该设在什么位置?如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
四年级趣味数学思维训练题50道及答案
四年级趣味数学思维训练题50道及答案(1) 【一笔画】如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从A 处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用______分．(2) 【三角形】周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？(3) 【一笔画】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？(4) 【图形面积】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？(5) 【图形拼接】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．A(6) 【还原问题】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？(7) 【图形面积】两个正方形的面积相差29cm ，边长相差1cm ．求两个正方形的面积和．(8) 【还原问题】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？(9) 【等比数列】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”④③②①CB A樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？(10)【鸡兔同笼】一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做对______题，做错________题，没做__________题．(11)【正方形】把一个正方形分割为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8．如何分？(12)【图形拼接】试将一个49 的长方形分割成两个大小相等，形状相同的图形，然后拼成一个正方形．(13)【图形分割】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．OA(14) 【盈亏问题】猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若大猴分5个，小猴分3个，猴王可以留10个，若大，小猴都分4个，猴王能留下20个。
二年级数学奥数训练：一笔画问题PPT课件
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甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速 度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从 B点出发，最后都回到邮局（C）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
邮
乙
甲
局
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根据今天学习知识，先判断下列图 形能不能一笔画成？再想一想该从 哪里开始画？最后再动手画画看。
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脑筋急转弯： 想一想
一笔画问题
你能一笔画出来吗？
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不重复的路
——一笔画
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“一笔画”是指笔不 离开纸，而且每条线 都只画一次不准重复 而画成的图形。
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“一笔画”是一种有趣 的数学游戏，那么什么 样的图形可以一笔画成 呢？试一试，画一画， 发挥你的想象力，发现 一笔画的规律。
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下列图形能否一笔画
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我们刚才画的图形都有几个交点？ 几个双数点？几个单数点？
Hale Waihona Puke 202111一个图形能否一笔画成，关键在于图 中单数点的多少。 （1）凡是图形中没有单数点的一定可以 一笔画成。 （2）凡是图形中只有一个或者两个单数 点，一定可以一笔画成。画时必须从一个 单数点为起点，以另一单数点为终点。 （3）凡是图形中单数点的个数多于两个 时，此图肯定是不能一笔画成。
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下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
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判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图5
图2
图4
图6
小学奥数 奇妙的一笔画 精选例题练习习题(含知识点拨)
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【例 3】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？（1）（2）（3）【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A【例 7】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙甲【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？IHGFEDC BA【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 11】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？（1）A ED HCF G B （2）（3）【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例 13】 有16个点排成的44 方阵。
2023年小学奥数奇妙的一笔画题库教师版
奇妙的一笔画例题精讲所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准反复．从图中容易看出：能一笔画出的图一方面必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，假如有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？【解析】 奇点：J D H F 偶点：A E B C G I【例 2】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图aNMLKF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA【解析】 图a 能，由于有2个奇点，图b 不能，由于图形不是连通的， 图c 能，由于由于图中全是奇点【例 3】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应当如何画？【解析】 图1能 由于图中全是偶点，图2能 由于图中全是偶点， 图3不能由于有4个奇点．【例 4】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【解析】 第1个能，2、3不能【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【解析】不能一笔画出，由于图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．【例 6】下图中的线段表达小路，请你仔细观测，认真思考，可以不反复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该如何爬？【解析】要想不反复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应当从奇点出发才干一笔画出图形，所以甲蚂蚁可以．【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【解析】可以．【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不反复，那么出、入口应设在哪里？【解析】要想不反复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应当分别放在两个奇点出，即F和I点．【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走反复路，如何走最合适？【解析】 不走反复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应当从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【例 10】 观测下面的图，看各至少用几笔画成？【解析】 图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出．【例 11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IFD CA 图aH G I KLJ F EDCA DC HG FBA图c【解析】 图(1)不能一笔画出，由于图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，由于图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出． 图(3)不能一笔画出，由于图中有4个奇点，去掉AB 可以使图形能一笔画出．一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才干变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，假如在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．【例 12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．假如游人要一次走过这七座桥，并且对每座桥只许走一次，问如何走才干成功？【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不反复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以当作是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B中有4个奇点显然不能一笔画出．【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不反复地走遍这七座桥？【解析】能【例 13】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅尚有一个进口和一个出口，问游人能否一次不反复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【解析】 将图形中的6个区域当作6个点，每个门当作连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不反复的走过所有的门．【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不反复地穿过每一扇门？假如不能，请说明理由．假如能，应从哪开始走？E CDB A【解析】 不能【例 14】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．假如它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？【解析】 8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A －B －G －H －A －D －C －F －E －D 总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许反复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？【解析】最多34厘米【例 15】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不反复地穿过所有的门．假如可以，请指明穿行路线，假如不能，应关闭哪个门就可以办到？【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相称于各点之间的连线．于是题目中餐厅的平面图就抽象成为一个连通的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即①、④、③和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不也许一次不反复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，可行路线如下图：B【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走反复路，他最多能走多少米？【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，事实上可以用一笔画原理求解．一方面，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才干使这8个奇点变成偶点；另一方面，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点．所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如图【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表达各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．如何走才干使所走的行程最短？全程多少千米？【解析】图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才干消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表达要反复走的路，显然，这样反复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．。
(2021年编)小学数学二年级一笔画问题习题及答案
二年级一笔画问题习题及答案1.下面的各个小图形都是由点和线组成的。
请你仔细观察后答复：①与一条线相连的有哪些点？②与二条线相连的有哪些点？③与三条线相连的有哪些点？④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？2.假设把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你答复：①有0个奇点〔即全部是偶点〕的图形有哪些？②有2个奇点的图形有哪些？③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画画看，然后答复：①哪些图形能够一笔画成？②哪些图形不能一笔画成？4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后答复：①如果把各局部连结在一起的图形叫做连通图形，那么能一笔画出的图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出。
这句话说得对吗？②有0个奇点〔即全部是偶点〕的连通图形一定可以一笔画出来〔画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点〕，这句话对吗？③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来。
这句话对吗？5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律。
解答1.解：见以下图①与一条线相连的点有：〔在图中画成黑点，下同。
〕②与两条线相连的点有：③与三条线相连的点有：④与四条及四条以上的线相连的点有：2.解：①有0个奇点〔即全部是偶点〕的图形是：〔1〕、〔5〕、〔10〕；②有2个奇点的图形是：〔2〕、〔3〕、〔6〕、〔7〕；③有4个奇点的图形是：〔4〕、〔9〕有6个奇点的图形是：〔8〕。
④〔1〕～〔10〕是连通图形，〔11〕不是连通图形。
3.解：①一笔画有：〔1〕、〔5〕、〔10〕、〔2〕、〔3〕、〔6〕、〔7〕。
②不能一笔画出的图形是：〔4〕、〔8〕、〔9〕、〔11〕。
4.解：①对；②对；③对；④对。
一笔画问题例题加解析
一笔画问题例题加解析一、什么是一笔画问题。
一笔画问题呀，就像是一个超有趣的小谜题呢。
简单来说，就是在一个图形里，能不能一笔就把这个图形画出来，而且笔不能离开纸，也不能重复画已经画过的线。
这就像是在走迷宫，但是这个迷宫是用线条画出来的。
比如说，一个圆形，那肯定能一笔画出来，就顺着圆的边画一圈就好啦，简单得很。
二、一笔画问题的小规则。
这里面可是有小秘密的哦。
有个叫欧拉的超级聪明的人发现了一些规律。
对于一个连通图（就是这个图里的各个部分都是连着的，没有分开的小块），如果这个图里的奇点（就是从这个点出发的线的数量是奇数条的点）个数是0或者2的时候，这个图就能一笔画出来。
要是奇点个数是0呢，就可以从任何一个点开始画，最后还能回到这个点；要是奇点个数是2呢，就得从其中一个奇点开始画，然后到另一个奇点结束。
三、例题来啦。
1. 比如说这个三角形，我们来看看它能不能一笔画出来呢。
三角形的每个顶点，都有两条线连着，那就是说，它的奇点个数是0。
按照我们刚刚说的规则，它肯定能一笔画出来啦。
怎么画呢？就从三角形的一个顶点开始，顺着边画，绕一圈就画好啦，是不是很容易呢？2. 再看这个正方形加上一条对角线的图形。
这个图形的四个顶点本来都是有两条线连着的，但是加上对角线之后呢，对角线的两个端点就变成了奇点，这时候奇点个数是2。
那按照规则，我们从其中一个奇点开始，沿着边画，就能一笔画出来啦。
四、解析例题。
1. 对于三角形那个例子，因为每个顶点都是偶点（从这个点出发的线的数量是偶数条的点），所以我们在画的时候，就可以很顺畅地绕着图形走一圈，不会出现画不下去或者必须重复的情况。
这就像是在一个没有障碍的小路上散步，一路畅通无阻。
2. 在正方形加对角线的例子里，由于有两个奇点，这就像是两个特殊的出入口。
我们从一个奇点这个特殊的入口进去，然后沿着图形的边和线走，最后到达另一个奇点这个出口，就刚好把整个图形一笔画完了。
如果我们不按照这个规则，从别的点开始画，就会发现画到一半就会走不下去，或者必须要重复画某些线了。
二年级数学奥数训练课件一笔画问题
下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图5
图2
图4
图6
观察下列图形，完成统计表
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
观察下列图形，完成统计表
可以一笔画的图形
不能一笔画的图形
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
下图是一个公园的平面图，要使游 人走遍每一条路不重复，出口和入 口应设在哪儿？
二年级数学奥数训练课件一笔 画问题
你能一笔画出来吗？
不重复的路
——一笔画
“一笔画”是指笔不 离开纸，而且每条线 都只画一次不准重复 而画成的图形。
“一笔画”是一种有趣 的数学游戏，那么什么 样的图形可以一笔画成 呢？试一试，画一画， 发挥你的想象力，发现 一笔画的规律。
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
我们刚才画的图形都有几个交点？ 几个双数点？几个单数点？
一个图形能否一笔画成，关键在于图 中单数点的多少。 （1）凡是图形中没有单数点的一定可以 一笔画成。 （2）凡是图形中只有一个或者两个单数 点，一定可以一笔画成。画时必须从一个 单数点为起点，以另一单数点为终点。 （3）凡是图形中单数点的个数多于两个 时，此图肯定是不能一笔画成。
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速 度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从 B点出发，最后都回到邮局（C）。如果 要选择最短的线路，谁先回据今天学习知识，先判断下列图 形能不能一笔画成？再想一想该从 哪里开始画？最后再动手画画看。
脑筋急转弯： 想一想
一笔能写出1000吗？
谢谢大家！
一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗?他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成(没有重复的笔划)，但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.(见下图)这可真有意思!由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢?下面是他试着画的图样.(见下图)经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的(1)、(3)、(5)能一笔画成;(2)、(4)、(6)不能一笔画成.真奇怪!小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢?小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢?能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成?先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连;有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组(见下图)(1)两个点，一条线.每个点都只与一条线相连.(2)三个点.两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.第一组的两个图都能一笔画出来.(但注意第(2)个图必须从一个端点画起)第二组(见下图)(1)五个点，五条线.A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.(2)六个点，七条线.(“日”字图)A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点(或B 点)，而终点则定是B点(或A点).第三组(见下图)(1)四个点，三条线.三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.(2)四个点，六条线.每个点都与三条线相连.(3)五个点，八条线.点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.第三组的三个图形都不能一笔画出来.第四组(见下图)(1)这个图通常叫五角星.五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.(2)由一个圆及一个内接三角形构成.三个交点，每个点都与四条线相连(这四条线是两条线段和两条弧线).(3)一个正方形和一个内切圆构成.正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.(四条线是两条线段和两条弧线).第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组(见下图)(1)这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.(2)这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点;把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：①不连通的图形必定不能一笔画;能够一笔画成的图形必定是连通图形.②有0个奇点(即全部是偶点)的连通图能够一笔画成.(画时可以任一点为起点，最后又将回到该点).③只有两个奇点的连通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点);④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点;如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。
有趣的一笔画问题
精心整理有趣的一笔画问题一笔画问题的提出：我们从生活提出一笔画问题。
为了更好的解决这个问题，一笔画是一个大问题，希望在这他为了检查几个城市之间的若干公路，我们先看一个公路检查员的问题：使他能不重复地恰好通过每条公路些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线一次，而经过每个城市的次数不限。
这就是拓扑学中的数学问题一笔画的含这种图形就叫一笔画如果用笔在纸上连续不断又不重复一笔画成某种图形下面的画能一笔画成，你也试着描一描，画一画吧那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？那我们就要一起学习一笔画的规律。
传统意义上的几何学其实一笔画是一个几何问题，一个图形由一笔构成叫一笔画。
通常的几而对于平面图形的一笔画与多笔画问题，是研究图形的形状大小等性质，何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状和线段的长我们可以随而是与图形中线段的数目及连接关系有关，短等几何概念都没有关系，意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。
即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画问题是一个简单的数学游戏，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日'和‘中'字都可以一笔画一笔画成，在日本动画片一休中，是采用对折纸张的方法画的，而‘田'和‘目'则不能。
( 出‘田'和‘目'的一笔画）也是可取之处。
一笔画图形的规律和判别：精心整理欧拉最终证明了这个图著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。
并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的形是不能一笔画成的，判别法则。
连通图就是指一个图形各部分总是欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
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教学内容与过程
备注课后分析
§趣味题（二）一笔画问题
一、数学故事吧——哥尼斯堡的七座桥
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点？
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。
也由此展开了数学史上的新进程。
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
二、趣味题（二）——一笔画问题
一笔画是一个几何问题，与传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质不同，它研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？
下面，请大家探究一下，下面哪些图形可以一笔画出？哪些不可以？
为了研究这些图案是不是可以用一笔画出来，我们先来了解三个新概念。
（1）奇点：有奇数条边相连的点。
如
（2）偶点：有偶数条边相连的点。
如
（3）一笔画：下笔后的笔尖不能离开纸，每条线都只能画一次而不能重复。
仔细探究以上图形后，填写以下表格。
早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇数点和偶数点的数目来决定的。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)
也就是说：只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。
课堂练习
1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？
2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？
3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。
如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
三、小结
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一
偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几
笔画成。
)
也就是说：只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔
画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另
一点结束。
请大家课后下载手机小游戏《一笔画》并玩一玩，看谁能过关最多。