《随机过程概论》第3章随机信号的平稳性与各态历经性作业

第3章平稳随机过程

上第三章平稳随机过程海大上一章讨论的随机过程的数学特征：学 2 2 E X ( t ) m ( t ) , ( t ) E X ( t ) , ( t ) D X ( t ) , X X X 通 RX ( t1 , t 2 ) , C X ( t1 , t 2 ) , RXY ( t1 , t 2 ) , C XY ( t1 , t 2 ) 。信学 1. 它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数还院取决于不同的时刻点。 2 ( t ) 所对应的物理量都是瞬时平均值。 2. 由 mX ( t ) , X ( t ) 和 X 工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平稳”随机过程，或在研究相对稳定状态下的物理过程中，其所涉及的随机量也都属于“平稳”随机过程。同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。
一、互相关函数的性质

（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质

3.2.1 相关函数的性质设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。

第3章随机过程及答案

若a(t1) = 0或a(t2)＝0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)

互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12

数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a

R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]

x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；（2）自相关函数只与时间间隔有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )

这与R()的实偶性相对应。
23
例题

[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )

n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。

在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。

样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t

T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )

随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述

关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么就是平稳过程,平稳过程就是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。

在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响。

有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点就是:过程的统计特性不随时间的推移而变化。

严格地说,如果对于任意的ｎ(=１,2…),12,,t t t T ∈n …,与任意实数h,当12,,n t h t h t h T +++∈…,时,n 维随机变量(X(1t ),X(2t ),…,X(t n ))与 (Ｘ(1t h +),Ｘ(2t h +),…,Ｘ(n t h +))具有相同的分布函数,则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机过程,或简称平稳过程。

在实际工作中,确定随机过程的均值函数与相关函数就是很重要的。

而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布,这在实际问题中往往不易办到,因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验,以便得到很多的样本函数。

但就是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化,就会提出这样一个问题:能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢?所谓各态历经,就是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性;具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程,只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。

定义设X(t)就是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈Ｘ(t)〉存在,即〈Ｘ(t)〉＝1lim ()2T TT X t dt T -→∞⎰ 存在,而且〈X(ｔ)〉＝E{Ｘ(ｔ)}＝X μ依概率１相等。

即〈X(ｔ)〉依概率１等于X μ＝ E ｛Ｘ(t)｝, X μ代表随机过程的集平均(或称统计平均),则称该过程的均值具有各态历经性。

定义设X(t)就是一均方连续平稳随机过程,且对于固定的τ,()Xt X t τ（+）也就是连续平稳随机过程,〈()X t X t τ（+）〉代表()Xt X t τ（+）沿整个时间轴的平均值,即()X t X t τ（+）=1lim (+)()2TT T X t X t dt T τ-→∞⎰ 若〈()Xt X t τ（+）〉存在,称〈()X t X t τ（+）〉为Ｘ(τ)的时间相关函数。

随机过程第三章

随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件发生的时间间隔与它们是否同时发生无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程，如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛，而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。

随机信号2-2 平稳随机过程和各态历经性

17
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
严格各态历经：所有参数各态历经
广义各态历随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
19
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
20
随机过程和随机序列
12
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
13
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
14
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
15
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
各态历经性或遍历性：在一定的条件下，平稳随机信号的任何一个样本函数的时间平均，从概率意义上来说等于它的统计平均。
随机过程和随机序列
7
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
8
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
9
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
10
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
11
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
1
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
平稳：与时间起点无关
2
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列
严平稳也称狭义平稳
严格平稳要求所有阶次原点矩、中心矩必须时间平移不变
3
2-2 平稳随机过程和各态历经性第二章
随机过程和随机序列

《概率论与随机过程》第3章习题答案

《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。

概率论第三章平稳随机过程

则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)
严平稳过程只要均方值有界，就是广义平稳的，但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即

随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述

关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。

在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。

有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。

严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和（X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +））具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。

在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。

而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。

但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。

定义设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。

即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。

第三章随机信号分析

5
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻的值。一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如周期正弦波、雷达的发射信号等自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的生理信号等。在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1

p 2 x 1 , x 2 ,

24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1）数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t

x p1 x , t d x
第三章随机信号
1
学习目标

随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性；余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学）匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征

精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第3章

根据定义式可求得信号X(t)的均值、自相关函数和均方
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。式中， ω0为常数， A、B的数学期望为零，方差σ2相同。
证明由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上，工程中很难用到严格平稳随机信号，因为其定义实在太“严格”了。函数的时移不变性通常是十分困难的，几乎不可能实现。实际应用中讨论的各种随机信号，通常只研究其一、二阶矩（均值、均方值和相关函数）的特性。因此，接下来研究随机信号一、二阶矩特性的平稳性，也就是下面讨论的广义平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-10)
第三章随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt，其中A是均值为零、方差为σ2A的高斯随机变量，试问随机信号X(t)是否严
解当t=1／2时， X(t)=0，它与t=0时的分布不同，则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX

第3章随机信号分析

第三章随机信号分析
➢ 随机信号：信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知。 ➢ 随机噪声：不能预测的噪声。（简称噪声）
➢ 随机过程：随机信号与随机噪声的统称。
1
主要内容
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
12
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
13
定义一：若随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，则称之为平稳随机过程。（狭义）
即： fn (x 1 ,x 2 , x n ;t1 ,t2 , ,tn ) f n ( x 1 ,x 2 , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
15
假设x(t)是平稳随机过程的任一实现，其数字特征为：
a
lim T
2
lim T
T 1 T 1 T 2 T 2 T 2T 2 [x x((tt)) dat]2dt
lim R ()T T 1 T 2 T 2x(t)x(t)dt
则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为：
a a
2 2
R ()R ()
平稳随机过程的数字特征： ① 数学期望和方差与t无关，分别为a和σ2 ② 自相关函数仅与时间间隔有关，即 R (t1,t1)R ()
14
定义二：数字特征满足上述特性的随机过程称为平衡随机过程。（广义）
通信系统中的信号与噪声大部分都是平稳随机过程。
平稳随机过程的各态历经性：平稳随机过程的数字特征可由随机过程中的任一实现的数字特征来决定，即随机过程的数字特征可用“时间平均”代替“统计平均”。

第3章平稳随机过程总

在通信中，常常把稳定状态下的随机过程，当作平稳随机过程来处理，这样，对这个随机过程任何时候来测量，都会得到同样的结果，从而大大简化了数学模型。对一些非平稳的随机过程，在较短的时间内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格平稳随机过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程） • 由于求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二
阶矩，如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格，若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系：宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征；严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平稳的，反之不一定成立；正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。

E(Y
2)

(1)2

2 3

22

1 3

2 3

4 3

2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2

2-2-平稳随机过程和各态历经过程

各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知2应用均值各态历经判别定理平稳过程xt的均值具有各态历经性的充要条件平稳过程xt的自相关函数具有各态历经性充要条件2自相关函数各态历经判别定理对于正态平稳随机过程若均值为零自相关函数连续则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为注意
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
A2 2
cosc
14
例题
比较统计平均（例1）与时间平均，得
mX= mX
R(τ)= R( )
因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
15
2、应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数不可能无限长，只要足够长即可。
A
2
[cosct
2
0
cosd
sin ct
2
0
sind ] 0(常数）
8
例题
X(t)的自相关函数为
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
2 X
mX2
此值在[－1，1]之间。rX ( ) 0 表示不相关，rX ( ) 1 表
示完全相关。rX ( ) 0 表示正相关，表明两个不同时刻起
伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
27
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。
22
⑵ R(τ) =R(-τ) [R(τ)是偶函数]
证明：
R( ) E[X (t)X (t )],令t ' t ,即t t '

随机信号分析第三章平稳随机过程(1)

C X ( )
0, C X ( 0 ) R X ( 0 ) m X 2 X 2
2.宽平稳随机过程
如果随机过程 X (t )满足 E [ X (t )] m X (t ) m X R X [t1 , t 2 ] R X ( ) 且 E [ X (t )]
0 0 0
T
T
cos w dt lim 4T .2T .cos w
0 T 0
a2
a2 2
cos w0
可见，随机过程 X (t )的时间均值和自相关函数满足： E [ X (t )] X (t ) 0， R X ( ) X (t ) X (t ) 因此， X (t )是各态历经过程。 a2 2 cos(w0 )
3.1.2各态历经过程
设X(t)是一个平稳过程
1 .若 x (t ) E [ X (t )] m X 以概率 1成立，则称随机过程 X (t )的均值具有各态历经性。
2 .若 X (t ) X (t ) E [ X (t ) X (t )] R X ( )以概率 1成立，则称随机过程 X (t )的自相关函数具有各态历经性。
0
1
2
t1 ) a cos 2 (t1 t 2 ) a ]da
0.5, t1 t 2 0, t1 t 2
所以，X(t)是宽平稳的
3.1.2各态历经过程
辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳过程的一个样本函数取时间均值.当观察时间充分长,将从概率意义上趋近它的统计平均.这样的平稳过程就说它具有各态历经性或遍历性. 各态历经过程的每个样本都经历了随机过程的各种可能状态,任何一个样本都能充分代表随机过程的统计特性

随机过程2-3各态历经性

性不能由 X(t) 的平稳性推得，需要作为假定条件。
第2章平稳过程
第22页
对 Y (t)用定理 1 可得下面定理。
定理2（相关函数各态历经定理）设对任意给定的 , {X(t)X(t ), t } 是平稳过程，则
X (t)X (t ) RX ( ), a.s.
成立的充分必要条件是
第2章平稳过程
第1页
§3 各态历经性
一、各态历经性概念
平稳过程的数学期望和相关函数怎样通过试验近似地确定呢？一种很自然的方法是进行多次试验得到多个样本函数，用在某固定时刻的试验平均值去近似数学期望。
如果作 n(n很大)次试验观察得到的样本函数为
x1(t), x2 (t),..., xn(t)，对于固定的 t1 ，数学期望
第2章平稳过程
第12页
二、各态历经定理
一个平稳过程需要加什么条件才能具有各态历经性呢？下面介绍两个定理。
定理（数学期望各态历经定理）
设 {X(t), t } 是平稳过程，则
X(t) = mX , a.s.
的充分必要条件是
1
lim T T
2T 0
(1
2T
)[ RX
(
)
mX2
]d
0
证先分别计算 X (t) 的数学期望和方差。
第2章平稳过程
第13页
X(t)
mX
,a.s.
lim
T
1 T
2T
(1
0
2T
)[RX
(
)
m
2 X
]d
0
数学期望 E X(t)
E[l.i.m 1
T
1
T
X (t)dt] lim E[ X (t)dt]

随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性

随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T

T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性遍历性正交性、不相关性与独立性正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。平稳性：若一个函数判断方法：方法一：若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义：随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下，从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分布律的均值和方差的代数和。

平稳随机过程

时刻, y (t )为常数, X (t )为高斯分布
2 2 A
m ( t ) m y ( t ), X A
( t ) y ( t ).
2 X
Xt () 的一维概率密度为 : 1 f ( xt , ) e X 2 X
2 ( x m ) X 2 2 X
X (t ) A cos( t ) E [ A 2 ] E [cos( t ) cos( t )]
= 1 E [ A 2 ] E [cos(2 t 2 ) cos( )] 2 1 R X ( ) E [ A 2 ] E [cos( )] 2
X () t不是平稳过程

3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
E[ X (t )]
X (t ) A cos( t )
E[ A cos(t )] E[ A] E[cos(t )] =E[cos(t ) cos sin( t ) sin ] =0
幅度、相位和频率都是随机的
R X (t , t ) E [ X ( t ) X ( t )]
X (t ) A cos( t )
E [ A 2 cos( t ) cos( t )] E [ A 2 ] E [cos( t ) cos( t )] 1 = E [ A 2 ] E [cos(2 t 2 ) cos( )] 2 1 R X ( ) E [ A 2 ] E [cos( )] 2