2011年考研数学一试卷真题及答案解析
2011-数一真题、标准答案及解析
n(-1) 收敛，可知幂级数∑a ∞2011 年考研数学试题（数学一）一、选择题1、 曲线 y = (x -1)(x - 2)2(x - 3)3(x - 4)4的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由 y = (x -1)(x - 2)2(x - 3)3(x - 4)4可知1, 2, 3, 4 分别是y = ( x -1)( x - 2)2 ( x - 3)3 ( x - 4)4= 0的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 y '(1) ≠ 0 ， y '(2) = y '(3) =y '(4) = 0y ''(2) ≠ 0 ， y ''(3) = y ''(4) = 0 ， y '''(3) ≠ 0, y '''(4) = 0 ，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列 {a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n =∑ a k (n = 1,2) 无界，则幂级数n →∞k =1∑a n ( x -1)n的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）n =1(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】 S n=∑ a k k =1(n = 1,2)无界，说明幂级数∑a n n =1( x -1)n的收敛半径 R ≤ 1；{a n }单调减少， lim a n →∞= 0 ，说明级数∑a n n =1∞nn n =1( x -1)n的收敛半径 R ≥ 1。
因此，幂级数∑a n( x -1) 的收敛半径 R = 1 ，收敛区间为(0, 2) 。
2011年考研数学一真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学试题答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)(1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是 （C ） (A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0)(2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn k k S a n ===∑ 无界，则幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的收敛域为 （C ） (A) (1,1]-(B) [1,1)- (C) [0,2) (D) 0,2]((3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f x f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （A ）(A) (0)1,(0)0f f ''>> (B) (0)1,(0)0f f ''>< (C) (0)1,(0)0f f ''<> (D) (0)1,(0)0f f ''<<(4) 设4ln sin I xdx π=⎰,40ln cot J xdx π=⎰,40ln cos K xdx π=⎰, 则,,I J K 的大小关系为（B ）(A) I J K <<(B) I K J <<(C) J I K <<(D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，2100001010⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P ，则A = （D ）(A) 12P P (B) 112-P P (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设1234(,,,)αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵.若(1,0,1,0)T是方程组0x =A的一个基础解系，则*0x =A 的基础解系可为 （D ）(A)13,αα(B)12,αα (C) 123,,ααα(D)234,,ααα(7) 设1()F x 与2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （D ） (A) 12()()f x f x(B) 212()()f x F x (C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =，则()E UV = （B ） (A)EU EV ⋅ (B) EX EY ⋅ (C) EU EY ⋅ (D) EX EV ⋅ 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s =ln(12)(10) 微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y =sin xe x -(11) 设函数20sin (,)1xyt F x y dt t =+⎛⎜⎠，则2202x y F x==∂=∂ 4 .(12) 设L 是柱面221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22y Lxzdx xdy dz ++=⎰π.(13) 设二次曲面的方程22232224x y z a x y x z y z +++++=经正交变换化为221144y z +=，则a = 1 .(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =23μσμ+.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. )(15)（本题满分10分）求极限110ln(1)lim xex x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭.解：记11ln(1)xex y x -+⎛⎫=⎪⎝⎭. 当0x >时，ln[ln(1)]ln ln 1xx xy e +-=-， 00011ln[ln(1)]ln (1)ln(1)lim ln lim lim 11x x x x x x x x xy e +++→→→-+-++==- ……4分 0(1)ln(1)lim (1)ln(1)x x x x x x x +→-++=++20(1)ln(1)lim x x x x x+→-++= 01ln(1)11lim 22x x x +→-+-==-. ……9分当0x <时，ln[ln(1)]ln()ln 1x x x y e -+--=-， 00ln[ln(1)]ln()1lim ln lim 12x x x x x y e --→→-+--==--.综上可知，110ln(1)lim xex x x e-→+⎛⎫=⎪⎝⎭. ……10分(16)（本题满分9分）设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y z x y==∂∂∂.解：由题意(1)0g '= ……2分因为12()zyf yg x f x ∂'''=+∂，……4分 21111222122[()]()()[()]zf y xfg x f g x f yg x xf g x f x y∂''''''''''''=+++++∂∂， ……8分 所以211x y z x y==∂∂∂11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++.……9分(17)（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数.解：令()arctan f x k x x =-，则()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且221(0)0,()1k x f f x x --'==+. ……3分 当10k -≤即1k ≤时，()0(0)f x x '<≠，()f x 在(,)-∞+∞内单调减少，方程()0f x = 只有一个实根0x =.……5分当10k ->即1k >时，在1)k -内，()0f x '>，()f x 单调增加；在(1,)k -+∞内，()0f x '<，()f x 单调减少，所以(1)f k -是()f x 在(0,)+∞内的最大值. 由于(0)0f =，所以(1)0f k ->. 又arctan lim ()lim (1)x x k xf x x x→+∞→+∞=-=-∞，所以存在(1,)k ξ∈-+∞，使得()0f ξ=. 由()f x 是奇函数及其单调性可知：当1k >时，方程()0f x =有且仅有三个不同实根,0,x x x ξξ=-==. ……10分(18)（本题满分10分）（I ） 证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+成立.（II ） 设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛. 解：（I ）根据拉格朗日中值定理，存在(,1)n n ξ∈+，使得 11ln(1)ln(1)ln n n n ξ+=+-=，所以1111ln(1)1n n nξ<+=<+.……4分 （II ）当1n ≥时，由（I ）知111ln(1)01n n a a n n+-=-+<+， ……6分且11111ln ln(11)ln(1)ln(1)ln 22n a n n n n=+++->++++++-ln(1)ln 0n n =+->，所以数列{}n a 单调下降且有下界，故{}n a 收敛. ……10分(19)（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰.解： 因为(1,)0f y =，(,1)0f x =，所以(1,)0y f y '=，(,1)0x f x '=. ……2分 从而11I (,)xy xdx yf x y dy ''=⎰⎰……4分111000(,)|(,)y x y x x yf x y f x y dy dx ==⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰ ……7分 111000(,)(,)x x x f x y f x y dx dy ==⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)dy f x y dx a ==⎰⎰. ……11分(20)（本题满分11分）设向量组1(1,0,1)T a =，2(0,1,1)T a =，3(1,3,5)T a =不能由向量组T1(1,1,1β=），T 2(1,2,3β=），T3(3,4,a β=）线性表示. （I ）求a 的值； （II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.解：（I ）4个3维向量123,,,i βββα线性相关(1,2,3)i =，若123,,βββ线性无关，则i α 可由123,,βββ线性表示(1,2,3)i =，与题设矛盾. 于是123,,βββ线性相关. ……3分从而 123113|,,|1245013a aβββ==-=，于是5a =此时，1α不能由向量组123,,βββ线性表示.……5分（II ）令 123123(,,|,,)αααβββ=A .对A 施以初等行变换1011131002150131240104210115135001102⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， 从而112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-. …… 11分(21)（本题满分11分）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .（I ）求A 的所有特征值与特征向量； （II ）求矩阵A . 解：（I ）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得110011⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，110011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ， 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为1(1,0,1)T k -，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值,且属于1的特征向量为2(1,0,1)T k .2k 为任意非零常数； ……4分 设123(,,)T x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则123(1,0,1)0x x x ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，123(1,0,1)0x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即131300x x x x -=⎧⎨+=⎩. 于是属于0的特征向量为3(0,1,0)T k ，3k 为任意非零常数； ……6分（II ）令 110001110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ， 则 1100010000--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP ， ……8分1100010000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P 1122112211010000010010100000110000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……11分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 0 1 Y -1 0 1 P1/32/3P1/31/31/3且22{}1P X Y ==.（I ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； （II ）求Z XY =的概率分布； （III ）求X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（I ）由22{}1P X Y ==，得22{}0P X Y ≠=，所以{0,1}{0,1}{1,0}0P X Y P X Y P X Y ==-=======.故(,)X Y 的概率分布为X Y-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3……4分（II ）Z XY =的可能取值为1,0,1-. 由(,)X Y 的概率分布可得Z 的概率分布为……7分 （III ）由X ，Y 及Z 的概率分布得222,,0,,()0393EX DX EY DY EZ E XY ======，所以 (,)0,Cov X Y =0XY ρ=.…… 11分(23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未 知.X 和2S 分别表示样本均值和样本方差.（I ）求参数2σ的最大似然估计 2σ； （II ）计算 2E σ 和2D σ. 解：（I ）设12,,,n x x x 为样本观测值，则似然函数20211()2222()(2).ni i nx L eμσσπσ=---∑=，2220211ln ()ln(2)()22n i i n L x σπσμσ==---∑，Z 1-0 1 P1/31/31/3令 2ln 0()d Ld σ=，得 202411()022n i i n x μσσ=-+-=∑， 从而得2σ的最大似然估计 22011()n i i X n σμ==-∑. ……6分（II ）解法1 由于2202122()()nii Xn n μσσσ=-=~χ∑，……8分所以 222E n n σσσ=⋅=， 442222D n n nσσσ=⋅=. ……11分 解法2 222011()n i i E E X n σμσ==-=∑， ……8分4422221001021112()()()n i i X D D X D X D n n n nμσσσμμσ=-=-=-==∑. ……11分数 学（二）一．选择题（1～8小题，每小题4分，共32分）．(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 (C) (A) 1,4k c ==(B) 1,4k c ==-(C) 3,4k c ==(D) 3,4k c ==-(2) 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x →-= (B) (A) 2(0)f '- (B) (0)f '- (C) (0)f ' (D) 0(3) 函数()ln |(1)(2)(3)|f x x x x =---的驻点个数为 (C) (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为 (C)(A) ()x x a e e λλ-+ (B) ()x x ax e e λλ-+ (C) ()x xx ae be λλ-+ (D) 2()x x x ae be λλ-+(5) 【 同数学一（3）题 】 (6) 【 同数学一（4）题 】 (7) 【 同数学一（5）题 】 (8) 【 同数学一（6）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 1012lim 2xxx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2.(10) 【 同数学一（10）题 】 (11) 【 同数学一（9）题 】(12) 设函数,0,()00,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩，则()xf x dx +∞-∞=⎰1λ.(13) 设平面区域D 由直线y x =，圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰712.(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 2 .三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分）已知函数20ln(1)()xt dt F x x α+=⎰.设0lim ()lim ()0x x F x F x +→+∞→==，试求α的取值范围. 解：因为2201ln(1)ln(1)lim ()limlim x x x x t dt x F x x x ααα-→+∞→+∞→+∞++==⎰ 22112211lim lim(1)(1)x x x x x x αααααα--→+∞→+∞+==--， 由题意lim ()0x F x →+∞=，得1α>. ……5分又因为2201000ln(1)ln(1)lim ()limlim xx x x t dt x F x x x ααα+++-→→→++==⎰231001lim lim x x x x x αααα++--→→==， 由题意 0lim ()0x F x +→=，得3α<. 综上所述，13α<<. ……10分(16)（本题满分11分）设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩-确定，求()y y x = 的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.解：令22101dy t dx t -==+，得1t =±.当1t =时，53x =； 当1t =-时，1x =-. ……3分令222222344(1)01(1)td y t t dx t t +===++，得0t =，即13x =. ……6分 列表如下：由此可知，函数()y x 的极大值为1(1)|1t y y =--==，极小值为151()|33t y y ===-. 曲线()y y x =的凹区间为1(,)3+∞，凸区间为1(,)3-∞.由于011()|33t y y ===，所以曲线()y y x =的拐点为11(,33）. ……11分(17)（本题满分10分）【 同数学一（16）题 】 (18)（本题满分10分）设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点. 记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若d dydx dxα=，求()y x 的表达式. 解：由于tan y α'=，即arctan y α'=，所以 ……2分21d y dx y α''='+.于是有21y y y '''='+，即2(1)y y y ''''=+ ① ……4分令y p '=，则"y p '=，代入①式得2(1)p p p '=+，分离变量得2(1)dpdx p p =+， 两边积分得212ln 2ln 1p x C p=++ ② 由题意(0)1y '=，即当0x =时1p =，代入②式 得112C =，于是有 22121x e xy p e'==- ……7分两边积分得222221()x xx e e e y dx C ==+-，由(0)0y =得24C π=-.所以24x e y π=-. ……10分(19)（本题满分10分）【 同数学一（18）题 】(20)（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（I ）求容器的容积；（II ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位：m ，重力加速度为g 2/m s ，水的密度为3310/kg m .） 解： (I) 由对称性，所求的容积为12212V x dy π-=⎰……3分122192(1)4y dy ππ-=-=⎰，即该容器的容积为94π立方米.……5分（II ）123232211210(1)(2)10[1(1)](2)W y y gdy y y gdy ππ-=--+--⎰⎰－ ……8分132323232112271010(22)(44)8g y y y dy y y y dy g ππ-⎡⎤⨯=--++-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰.即所求的功为32710/8g π⨯焦耳. ……11分(21)（本题满分11分）【 同数学一（19）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (23)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】数 学（三）一．选择题 (1～8小题，每小题4分，共32分) . (1) 【 同数学二（1）题 】 (2) 【 同数学二（2）题 】(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) (A) 若1nn u ∞=∑收敛，则2121()n n n u u ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛 (C) 若1n n u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 【 同数学一（4）题 】 (5) 【 同数学一（5）题 】(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为 (C) (A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 【 同数学一（7）题 】(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自该总体的简单随机样本.则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n -==+-∑，有 (D) (A)1212,ET ET DT DT >> (B) 1212,ET ET DT DT >< (C) 1212,ET ET DT DT <>(D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 设0()lim (13)x tt f x x t →=+，则()f x '=3(13)xx e +.(10) 设函数(1)x yxyz =+，则(1,1)|dz =(12ln 2)()dx dy +-.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为2y x=-.(12) 曲线21y x =-2x =及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为4/3π. (13) 设二次型123(,,)T f x x x =x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Q =x y 下的标准形为213y .(14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分） 求极限 012sin 1x x x →+--.解：0012sin 112sin 1x x x x x x →→+--+--= ……2分 0112sin x x→-+= ……4分 0cos 12sin 12sin x x x x →-+=+0sin 12sin x x x →--+= ……8分 12=-.……10分 (16)（本题满分10分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,))z f x y f x y =+.求2(1,1)z x y∂∂∂.解：121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ……3分 2111212(,(,))(,(,))(,)(,)(,(,))zf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''''=+++⋅+⋅+∂∂22 12122()(,(,))(,(,))(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ⎡⎤''''''+++++⋅⎣⎦2 ……7分由题意知，1(1,1)0f '=，2(1,1)0f '=， ……9分从而2(1,1)z x y ∂∂∂11212(2,2)(2,2)(1,1)f f f '''''=+.……10分(17)（本题满分10分） 求不定积分arcsinln x xx+⎛⎜⎠.解：arcsinln 2ln )x xx x x x+=⎰……2分2(arcsin ln )21x x x x x =--⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……6分 2(arcsinln )41x x x x x=+-- ……8分2(arcsin ln )214x x x x x C =+- ……10分(18)（本题满分10分）证明方程44arctan 303x x π-+=恰有两个实根. 证：设 4()4arctan 3f x x x π=-+24(3)(3)()11x x f x x -+'=-=+ ……2分 令()0f x '=，解得驻点123,3x x =-=.由单调性判别法知()f x 在(,3]-∞-上单调减少，在[3,3]-上单调增加，在[3,)+∞上单调减少. ……5分 因为(3)0f -=，且由上述单调性可知(3)f -是()f x 在(3]-∞上的最小值， 所以3x =()f x 在(,3]-∞-上的唯一的零点. ……7分又因为4(3)2(3)03f π=>，且l i m ()x f x →+∞=-∞，所以由连续函数的介值定理知()f x 在(3,)+∞内存在零点，且由()f x 的单调性知零点唯一.综上可知，()f x 在(,)-∞+∞内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根. ……10分(19)（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有连续导数，(0)1f =，且满足()()ttD D f x y dxdy f t dxdy '+=⎰⎰⎰⎰，其中{(,)|0,0}(01)tD x y y t x x t t =≤≤-≤≤<≤.求()f x 的表达式.解：()()tt t x D f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰……2分(()())()()ttf t f x dx tf t f t dx =-=-⎰⎰. ……4分又2()()2tD t f t dxdy f t =⎰⎰，由题设有20()()()2t t tf t f t dx f t -=⎰. ……6分两边求导整理得 (2)()2()t f t f t '-=，解得2()(2)Cf t t =-. ……9分代入(0)1f =，得4C =，故24()(01)(2)f x x x =≤≤-. ……10分(20)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (21)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（22）题 】 (23) （本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0x y -=，2x y +=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 解：(I) (,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其他.X 的概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.（1）当0x <或2x >时，()0X f x =； （2）当01x ≤≤时，0()xX f x dy x ==⎰； （3）当12x <≤时，20()2xXf x dy x -==-⎰；综上所述 ,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其 他……7分(II) Y 的概率密度为2,01,2(1),01,()(,)0,0,y yY dx y y y f y f x y dx -+∞-∞⎧≤≤-≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰=其他其他； 在(01)Y y y =≤<时，X 的条件概率密度为|1,2,(,)2(1)(|)()0,X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其他. ……11分。
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
2011考研数一真题及答案解析
(18)(本题满分 10 分)
(Ⅰ)证明：对任意的正整数 n，都有 1 ln(1 1 ) 1 成立．
n 1
nn
(Ⅱ)设
an
1
1 2
1 n
ln
n(n
1, 2,) ，证明数列an 收敛．
(19)(本题满分 11 分)
已 知 函 数 f (x, y) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 f (1, y) 0 ， f (x,1) 0 ，
r( A) 4 1 3 ， 即 1 3 0 ， 且 A 0 ． 由 此 可 得 A* A | A | E O ， 即
A*(1,2 ,3,4 ) O ，这说明1,2 ,3,4 是 A*x 0 的解．
由 于 r( A) 3 ， 1 3 0 ， 所 以 2 ,3,4 线 性 无 关 ． 又 由 于 r( A) 3 ， 所 以
n 1
n 1
k 1
处发散，(D)不正确．当 x 0 时，交错级数 (1)n an 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x 0 n1
时 (1)n an 收敛．故正确答案为(C)． n1
(3)【答案】(A)．
z
【解析】
x
|(0,0)
f (x) ln
f ( y) |(0,0)
f (0) ln
f
(0)
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
(9)【答案】 ln 1 2 ．
【解析】选取 x 为参数，则弧微元 ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx
所以 s
4 0
sec
xdx
ln
sec
x
tan
x
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
^
（1）求参数 2 的最大似然估计 2 ;
^
^
（2）计算 E( 2 ) 和 D( 2 ) .
2011 年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是
y
x
1
x
2
2
x
33
x
4
4
0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
C. P2P1
D. P21P1
6．设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax 0 的一 个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )
2011考研数学一真题及答案解析
(A)1,3(B)1,2 ♦(C)2021年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题一、选择题：1〜8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有 个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在做题纸指定位置上.⑴ 曲线 y (x 1)(x 2)2(x 3)3(x 4)4 的拐点是() (2,0) . (C)(3,0) . (D) (4,0).a n (x 1)n 的收敛域为()n 1z f(x)ln f(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A) f(0) 1 , f (0) 0.(B)(A) (1,0) •(B)(2)设数列a n 单调减少,lim a n 0 , S n na k (nk 11,2,L L )无界,那么哥级数(A) ( 1,1] •(B)[1,1).(C)[0,2).(D)(0, 2] .⑶设函数f (x)具有二阶连续导数,且f (x)0 , f (0)0 ,那么函数(C) f (0) 1 , f (0) 0.(D) f (0) 1 , f (0) 0 .41nsinxdx,J41n8txdx, K4ln cosx dx ,那么 I , J, K 的大小关系是()(A) I J K .(C) J IK .(5)设A 为3阶矩阵,将(B)I KJ . (D) KJI .A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵,记 P(A) R P2 . (B)1R P 2 .(C)P 2PV(D)P 2P(6)设A ( 1, 2, 3, 4)是4阶矩阵,T rA 为A 的伴随矩阵,假设(1,0,1,0)是万程组Ax 0的一个根底解系,那么* …… •,一 ・一A x 0的根底解系可为()(7)设F I (X ), F 2(X )为两个分布函数,其相应的概率密度 L(x), f 2(x)是连续函数,那么必为概率密度的是()V min X,Y 那么 E(UV)242 2x 3y z 2axy 2xz 2yz 4 ,经过正交变换化为2 2~y 14z 1 4 ,那么 a(14) 设二维随机变量 X,Y 服从正态分布N , ; 2, 2;0,那么E XY 2 =三、解做题：15〜23小题,共94分.请将解答写在做题纸 指定的位置上.解容许写出 文字说明、证实过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分) 求极限lim(—x 0(A) f i (x)f 2(x). (B) 2 f 2(X )F I (X ).(C) f i (x)F 2(x). (D)G(x)F 2(x) f 2(x)R(x).(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且E(X)与 E(Y)存在,记 U max X,Y ,(A) E(U) E(V). (B) E(X) E(Y). (C) E(U) E(Y).(D)E(X) E(V).(9)(10) (11) (12) 填空题：9〜14小题, x曲线y .匕讨出 微分方程y y设函数F(x, y)设L 是柱面方程每题4分, 共24分,请将答案写在做题纸 指定位置上.(0 x —)的弧长sxcosx 满足条件y(0) 0的解为y2 .xy空出,那么T 0 1t 2x 22 2x y 1与平面z x y 的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向,那么曲线积分2, , y ,? xzdx xdy - dz(13)假设二次曲面的方程(16)(此题总分值9分)设函数z f (xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数, 函数g(x)可导且在x 处取得极值g(1) 1,求一z-lx y x iy i(17)(此题总分值10分)求方程k arctanx x 0不同实根的个数,其中k为参数.(18)(此题总分值10分)1 11,、(I )证实：对任意的正整数n,都有―― in(i 1) 1成立.n 1 n n____ 1 1 ............(卫)设a n 1 一L 一ln n(n 1,2,L ),证实数列a n收敛.2 n(19)(此题总分值11分)函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y) 0 , f(x,1) 0 , f(x, y)dxdy a,其中D (x, y)|0 x 1,0 y 1 ,D・… 一一… , n计算二重积分I xyf xy(x, y)dxdy.(20)(此题总分值11分)设向量组i (1,0,1)T, 2 (0,1,1)T, 3 (1,3,5)T ,不能由向量组i (1,1,1T,2 (1,2,3)T,3 (3,4,a)T 线性表示.(I) 求a的值；(II)将1, 2, 3由1, 2, 3线性表示.(21)(此题总分值11分)A为三阶实对称矩阵, A的秩为2,即rA 2,且A0 0(I)求A的特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .(22)(此题总分值11分)设随机变量X与Y的概率分布分别为(I)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;(III) 求Z XY的概率分布；(IV) ) 求X与Y的相关系数XY.(23)(此题总分值11分)2 2设X1,X2,L ,X n为来自正态总体N( 0,)的简单随机样本,其中0, 0未知.X和S2分别表示样本均值和样本方差.(I)求参数2的最大似然估计量 2 ；(II)计算E( 2)和D( 2) .2021年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题答案一、选择题：1〜8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一 个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在做题纸...指定位置上.(1)【答案】(C). 【解析】记 y 〔 x1,y 1 1,y 1 0, y 2(x 2)2, y 2 2(x 2),y 2,32y 3 (x 3) , y 3 3(x 3) ,y 3 6( x 3), y 4 (x 4)4, y 4 4(x 4)3,y 4 12(x 4)2,y (x 3)P(x),其中P(3) 0, y x3 0,在x 3两侧,二阶导数符号变化,应选(C).(2)【答案】(C).【解析】观察选项：(A) , (B), (C), (D)四个选项的收敛半径均为 1,哥级数收敛区间 的中央在x 1处,故(A) , (B)错误；由于 a n 单调减少,lim a n 0 ,所以a n 0 ,所以 nna n 为正项级数,将x 2代入哥级数得 a n,而S n =a k 无界,故原哥级数在x 2n 1n 1k 1处发散,(D)不正确.当x 0时,交错级数 (1)n a n 满足莱布尼茨判别法收敛,故 x 0n 1时 (1)n a n 收敛.故正确答案为(C). n 1(3)【答案】(A).【解析】-1(0,0)f (x) ln f (y)|(0,0) f (0)ln f (0) 0,x|(0,0) f(x), |(0,0) f ⑼0,故 f (0)0,yf (y)2z-1(0,0)f (x) ln f (y) |(0,0)f (0) ln f (0) 0,x又因ln x 是单调递增的函数,所以 lnsin x lncos x Incot x .故正确答案为(B).(5)【答案】(D). 【解析】由于将 A 的第2列加到第1列得矩阵B ,故1 0 0 A 11 0 B , 00 1即 AR B , A BR 1.由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵,故1 0 0 0 0 1 B E, 0 1 02 Z |(0.0)x y f(x)糊(0.2ZF |(0,0)yf(x)f (y)f(y) [f (y)] f 2 * 4(y)2一|(0,0) (0)陪 f (0).即P2B E,故B P21 P2 .因此,A P2P11,应选(D).(6)【答案】(D).【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组Ax 0的一个根底解系,所以A(1,0,1,0)T 0,且*r (A) 4 1 3 ,即 1 3 0 ,且A 0 ,由此可得A A | A| E O ,即一* *A ( 1, 2, 3, 4) O ,这说明1, 2 , 3, 4 A x 0 的斛.由于r(A) 3, 1 3 0,所以2, 3, 4线性无关.又由于r(A) 3,所以*、r(A) 1,因此Ax 0的根底解系中含有4 1 3个线性无关的解向量.而2, 3, 4线性无关,且为A x 0的解,所以2, 3, 4可作为A x 0的根底解系,应选(D).⑺【答案】(D).【解析】选项(D)L(X)F2(X)f2(x)F - x) dx F2(x)dF1(x) FOdF.lx)d F I(X)F2(X) F I(X)F2(X)| 1.所以GF2(X) f2F1(x)为概率密度.(8)【答案】(B).X. X Y. Y. X Y.【解析】由于U max X,Y V min X,YY, X Y, X, X Y.所以,UV XY,于是E(UV) E(XY) E(X)E(Y).二、填空题：9〜14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答理纸 (9)【答案】ln 1 J 2 .【解析】选取x 为参数,那么弧微元ds J 1 y 2 dx J 1 ~tan 2 xdx所以 s o 4 secxdx In secx tan x|04 ln(1 72).(10)【答案】y e x sinx. 【解析】由通解公式得dx x dxy e ( e cosx e dx C)e x ( cosxdx C) e x (sin x C).由于 y(0) 0,故 C =0.所以 y e x sinx. (11)【答案】4.F sin xy[解析]—— -------- J y ,x 1 (xy)22F y cosxy sin xy 2xy2-y2 2,x [1 (xy)]皿2F .故 2~ | (0,2) 4 ,x(12)【答案】 .【解析】取S:x y z 0,x 2 y 2 1,取上侧,那么由斯托克斯公式得,dydz dzdx dxdy原式=— — —Sx y z2y xz xydydz xdzdx dxdy .S因z x y,z x 1,z y1.由转换投影法得2ydydz xdzdxdxdy [y x 2y 21 (1) x( 1) 1]dxdy .指定位置上.secxdxdxdy22 dx y 1(13)【答案】a 1.【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值,故 A 的特征值为0, 1, 4.二次型所对应的矩阵1 a 1 A a 3 1 , 1 1 13由于A ii 1(14)【答案】【解析】根据题意,二维随机变量 X,Y 服从N , ; 2, 2;0 .由于xy 0,所以由二维正态分布的性质知随机变量X,Y 独立,所以X,Y 2.从而有_2 __2__2E XYE X E YD Y EY三、解做题：15〜23小题,共94分.请将解答写在做题纸 指定的位置上.解容许写出 文字说明、证实过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)1x 2 o(x 2)2 ____2x(16)(此题总分值9分) 【解析】z f xy,yg(x)— f 〔xy, yg(x) y f 2 xy,yg(x) yg (x)xlim[ -----------x 0 xex * 2(x y 1)dxdyy 2 1ln(1 x)]e【解析】lim[limx 0eln(1 x) x x 2limx (ex 2 o(x 2) xx 21 a 1 0,故 a 3 10 a 1.1 1 1222—— f 1 xy,yg(x) y fn(xy, yg(x))x f/xy, yg(x))g(x) x yg (x) f 2 xy,yg(x) yg(x) f^xy, yg(x)] x f 22【xy, yg(x)]g(x).由于g(x)在x 1可导,且为极值,所以g(1) 0,那么d 2z--|x1 "1,1) 3(1,1) f 12(1,1). dxdy y1(17)(此题总分值10分), x arctan x -------- 21 xarctan x又由于g 00,即当x 0时,g 0;当x 0时,g 0. 当x 0时,f ' 0;当x 0时, 0.所以当x 0时, x 单调递减,当x 0时, f x 单调递增又由l x m 0limxlimx—x — k 1 arctan x—x - k arctan x 所以当1 k 0时,由零点定理可知 ,0) , (0,)内各有一个零点;0时,那么f x 在(,0),(0,)内均无零点.综上所述,当k 1时,原方程有三个根.当k 1时,原方程有一个根.【解析】显然X 0为方程一个实根. 当x 0时,令farctan xk,arctan x 1 1 x 211 x 2x R,即 x R, g x0. x 2x 2 2 x2x 2 1 x(18)(此题总分值10分)【解析】(I )设f x ln 1 x , x 0」n显然f (x)在0,1n 上满足拉格朗日的条件,所以结论得证.a n利用数列0,1 时,n(II )设先证数列1 a n1ln 1 ln1n ln10,-nana n即:亦即:InIn单调递减.n 1 1ln nk 1 k(I)的结论可以得到a n单调递减.再证数列a n有下界.a nnlnk 1lnlnln(1ln lnlnlnk 1ln1)n 所以lnlnln0得到ana n,即ln n4L3lnln nln得到数列 a n 有下界.利用单调递减数列且有下界得到a n 收敛.(19)(此题总分值11分)i i ’' i i ’xdx 0 yf xy (x, y)dy 0xdx 0 ydf x (x, y)故1, 2, 3不能由1, 2, 3线性表示.xdx yf x x, y |o1’0 f xx,y dy1 'xdx f x (x,1)f x (x,y)dy .由于 f (x,1) 0,所以 fx(x,1) 0.1 1 ’ 1 1 ’xdx 0 f x (x,y)dy 0dy 0 xf x (x, y)dx1 11 1dy xf( x, y) |0 0f (x, y)dx 0dy f (1,y) f (x,y)dxfdxdy a.D(20)(此题总分值11分) 【解析】(I)由于1, 2, 3不能由 1,2, 3线性表不,对(1, 2, 3, 1, 2, 3)进仃初等行变换:2, 3)113 10 1j1 2 4 0 1 3 1 3 a 1 1 5 1 1 31 0 1I0 11 1 12 I0 2 a 3 0 1 4 1 1 310 1 I0 11 1 1 2I0 0 a 5 21 0I当 a5时,r( 1, 2, 3) 2r ( 1, 2, 3, 1)3,此时,1不能由1, 2, 3线性表示,(II) X ^( 1, 2, 31, 2, 3)进行初等行变换:(1, 2 , 3 , 1 , 2, 3)10 1113I0 13 12 4 115 13 5 10 111310 111 I 0 13 12(21)(此题总分值11分)11 【解析】(I)由于A 0 01 11, A 2 2,而1 0, 2 0,知A 的特征值1, 2 1,对应的特征向量分别为k 1 1 k 10 , k 2 2k 2 0由于r A 2,故A 0,所以3 0.由于A 是三阶实对称矩阵,故不同特征值对应的特征向量相互正交,设 特征向量为 3 x 1,x 2,x 3 ,那么0,1,0 T ,故3 0对应的特征向量为k 3 3k 3 0(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交,只需单位化:11T 21 T 3n 721,0,1 ,2 n721,0,1 ,3 u1令 Q 1, 2, 3,那么 Q T AQ1A Q Q T2 2 — —0 2 2 0 0 1故 121423 , 2 10 ,35 1 10 2 2 31 1TT0 0 ,设 1 1,0, 1 , 2 1,0,1 ,那么1 11, 2,即 A 13 0对应的T 1 3 T 230,即 x1 x 30,0, x 1 x 3 0.解此方程组,得T0,1,0〔22〕〔此题总分值11分) 【解析】〔I〕由于P X2即P X 0,Y、J 22V、222-2"立222222 V0 Y2利用边缘概率和联合概率的关系得到0,Y1,Y(II) 0,Y 1P X2Y2P X2Y20.1,Y0,Y0,YP X 0,Y 11,Y 1 P Y 1即Z的所有可能取值为1,0,1.P X 1,Y0,Y 1P X 1,YXY的概率分布为(III)由于其中1/3 1/3 1/3-1 0 1Cov XY E XY E X XY . DeXT ,丽E XY E Z 113 3 °,所以E XY E 0, Y的相关系数XY (23)(此题总分值11 分)【解析】由于总体X服从正态分布,故设的概率密度为f(x)1「2一e(x 0)2(I) 似然函数L(n2) f (X i；n2)(x i20)22] (2n2) 2ge0)2取对数：ln L( 2) 刎22) (X i20)22求导：dln I, d() 2) (X i 0)2- 2 22()[(X i10)2 2]-2人dlnL( 2)八令------ 0 ,d() 解得(Xi1、20) •2 .一........ .. 的最大似然估计量为(X i i10)2・(II) 方法1 ：X i~ N( 0, 2),令Y i X i 0~N(0, 2),那么Y i2E( 2) E(1nnY i2)1E(Y2) D(Y i) [E(Y)]2D( 2)1D(-nY2) 2 :—D(Y1 Y2 Y n2) D(Y i2)方法2: X i ~ N( 1{E(Y i4)n [E(Y2)]2}1(3n 4)- nn 0,那么X——~ N(0,1)n X i22又 AC B 2 [f (0)]2 ln f (0) 0,故 f(0) 1,f (0) 0 . ⑷【答案】(B).【解析】由于0 x —时,0 sin x cosx 1 cotx,4「「ln(1 x)1 n E2 1E (X i n i 1 212 1 2 1 2 0)2-E 2Y- 2E Y- 2nnn n21 n2D 2-D (X i 0)2n i 1,D2YJ 4D Y 342n nnn。
2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
A = E 0
知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α x = 0 的解，且 Α x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
∗ ∗
1 1 0 0 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = α1 + α 3 = 0 ， 所 以 α1 , α 3 线 性 相 关 ， 故 α1，α 2，α 4 或 1 1 0 0
） (D)
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。
= A 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A
∫
x
0
π tan tdt 0 ≤ x ≤ 的弧长 s = 4
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
π
4
π
4
【解析】 s =
∫
0
(y )
' 2
dx = tan xdx = sec 2 x − 1dx = tan x − x 04 = 1−
0 0
∫
π
4 2
∫
π
4
π
π
4
10、微分方程 y ′ + y = e − x cos x 满足条件 y (0) = 0 的解为 y = 【答案】 y = sin xe − x 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出 其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为
2011考研数一真题答案及详细解析
所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解 由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工 尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值 ， 则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�
2011年考研数学(一)真题(含答案解析)
= −[ ∫ xf x ( x, y ) 1 0 dy − ∫ dy ∫ f x ( x, y ) dx ] = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = a
0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
D
20 解：
1) ∵ α 1 , α 2 , α 101 = 013 =1≠ 0 115 0 0 1 ∴ r (α 1 , α 2 , α 3 ) = 3
针方向，则曲线积分 xzdx + xdy +
∫
y2 dz = ___________ 2
13.若 二 次 曲 面 的 方 程 为 x 2 + 3 y 2 + z 2 + 2axy + 2 xz + 2 yz = 4 ， 经 正 交 变 换 化 为
y12 + 4 z12 = 4 ，则 a = _______________
因为用心，所以专业
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
18 证明：1）对任意正整数 n，都有 2）设 an = 1 + 3）
1 1 1 < ln(1 + ) < n +1 n n
1 1 + … + − ln n(n = 1,2, …) ,证明 {an } 收敛。 2 n
2011年考研数学一真题及答案解析
即可。
【解析】由 z f (x) ln f ( y) 知 zx f (x) ln f ( y),
z
y
f (x) f (y)源自f ( y) ， zxy
f (x) f (y)
f ( y)
z
xx
f
(x) ln
f
(
y)
，
z
yy
f
(x)
f
( y)
f
(y) ( f 2(y)
6、设 A 1,2,3,4 是4阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵，若 1,0,1,0 是方程组 Ax 0 的一个基
础解系，则 Ax 0 基础解系可为（ ）
(A) 1， 3
(B) 1， 2
(C) 1， 2， 3 (D) 2， 3， 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面
2011年考研数一真题及答案解析
一、选择题
1、 曲线 y x 1x 22 x 33 x 44 的拐点是（ ）
（A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0） 【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即 可。
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A） f (0) 1， f (0) 0 (B) f (0) 1， f (0) 0
(C) f (0) 1， f (0) 0
(D) f (0) 1， f (0) 0
【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件
0 0 1
2011年全国考研数学一真题
F (x)dF (x) F (x)dF (x) 1
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U maxX ,Y ,V min X ,Y , 则
E(UV ) (
(A) EU EV 【答案】 （ B）
) (B) EX EY (C) EU EY (D) EX EV
（2）如果级数
un 收敛，而级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛.
n1 n1 n1
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在本题中，因 an 0 （ n ） an 0(n 1, 2,) 当 x 0 时，幂级数
a (x 1)
n n 1
n x0
(1) n an （交错级数）
n r ( A* ) 4 1 3 .故 A* x 0 的基础解系中有 3 个线性无关的解，可见选项（A）（B）均错误.
再由 A* A A E ，知 A 的列向量全是 A* x 0 的解，而秩 r ( A) 3 ，故 A 的列向量中必有 3 个线 性无关.
1 1 0 0 最后，因向量(1, 0,1, 0)T 是 Ax 0 的解，故 A (, , , ) 0 ，即 1 0 ，说 1 2 3 3 4 1 1 0 0
3, 0 是拐点，因此选（C）.
(2) 设数列an单调减少，lim a n 0 ，S n
n
a k (n 1, 2,) 无界，则幂级数 an (x 1)
k 1 n 1
n
n
的收敛域为 ( (A) (1,1]
) (B) [1,1) (C) [0, 2) (D) (0, 2]
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
2
E ( XY 2 ) = EXEY 2 = μ ( μ 2 + σ 2 )
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
∫
π
x
0
tan tdt (0 ≤ x ≤
π ) 的弧长 s = 4
【答案】 ln( 2 + 1) 【详解】 s =
∫
4 0
1 1 + sin x 4 1 + tan xdx = ∫ 4 sec xdx = ln = ln( 2 + 1) 0 2 1 − sin x 0
2
−x
π
π
（10）微分方程 y '+ y = e 【答案】 e
1
=e =e
x→0 e x −1⎝
lim
1 ⎛ ln(1+ x ) ⎞ −1⎟ ⎜ x ⎠
=e
x→0
lim
ln(1+ x ) − x x2
x→0 2 x (1+ x )
lim
−x
=e
−
1 2
函数 f 具有二阶连续偏导数， 函数 g ( x) （16） （本题满分 10 分） 设函数 z = f ( xy, g ( x)) ， 可导且在 x = 1 处取得极值 g (1) = 1 ，求
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx = 1 ，故由题知
2011年考研数学试题(数学一)答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题1、【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k kn n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nnn a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim=∞→n n a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy f y f y f y z f x f y '''-''=所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，2200(0)(0)((0))(0)(0)(0)yy x y f f f z f f f =='''-''''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅> 所以有0)0(1)0(>''>f f ， 4、【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
2011年考研数学数一真题解析
(B) f (0) 1, f (0) 0 (D) f (0) 1, f (0) 0
【答案】 (A)
【解析】
z x
|(0,0)
f (x) ln
f
( y) |(0,0)
f (0) ln
f (0)
0
z y
|(0,0)
f
( x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
f (0)
0, 故
f
(0)
0
故选 (A) 。
(4)
设
I
4 0
ln sin
xdx ，J
4 0
ln cot
xdx
，K
4 0
ln cos
xdx
，则
I,
J,K
的大小关
系式（ ）
(A) I J K
(B) I K J
(C) J I K
(D) K J I
【答案】 (B)
【解析】 当 0 x 时,有 0 sin x cos x 1 cot x ,所以 ln sin x ln cos x ln cot x ，所
f
(0) [ f (0)]2 f (0)
f (0) 。
所 以 当 f (0) 1 且 f (0) 0 时 ， 有 AC B2 [ f (0)]2 ln f (0) 0 ，
A f (0)ln f (0) 0 ，即此时函数 z f (x)ln f (y) 在点 (0,0) 处取得极小值，
n
(2)
设数列
{an
}
单调减少，lim n
an
0 ，Sn
k 1
ak (n
1, 2,
) 无界，则幂级数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2011年考研数学一真题及答案详解
0
2F sin t | x 0 ______________ ，则 dt x 2 y 2 1 t 2
12、设 L 是柱面方程 x 2 y 2 1 与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向 看去为逆时针方向，则曲线积分 xzdx xdy
L
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参考答案：
一、选择题 1、 曲线 y x 1x 2 x 3 x 4 的拐点是（
2 3 4
）
（A） （1，0）
（B） （2，0）
（C） （3，0）
（D ） （4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即 可。 【 解 析 】 由
D
20、 （本题满分 11 分） 设向量组 1 (1,0,1)T ， 2 (0,1,1) T ， 3 (1,3,5) T 不能由向量组 1 (1,1,1)T ，
2 (1,2,3)T ， 3 (3,4, a) T 线性表示；
（1） 求 a 的值； （2） 将 1 , 2 , 3 用 1 , 2 , 3 线性表示； 21、 （本题满分 11 分）
X
P
0
13
1
23
Y P 且 P X 2 Y 2 1
-1
13
0
13
1
13
求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2） Z XY 的概率分布 （3）X 与 Y 的相关系数 XY 23、 （本题满分 11 分） 设 X 1 , X 2 X n 是来自正态总体 N ( 0 , 2 ) 的简单随机样本， 其中 0 已知， 2 0 未知. X , S 2 为样本均值和样本方差. 求（1）求参数 2 的最大似然估计 2 (2) 计算 E 2 和 D 2
2011年考研数学一试卷真题与答案解析
2011 年考研数一真题及答案解析一、选择题1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是（）（A）（ 1， 0）（ B）（ 2， 0）（ C）（ 3， 0）（ D）（4， 0）【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由 y x 1 x 2 2x 3 3 x 4 4可知 1,2,3,4 分别是y x 12x34 x 23x 40的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y (1) 0， y (2)y (3)y (4)0y (2)0， y (3)y (4)0， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。
n n2、设数列a n单调减少， lim a n0 ，S n a k n1,2a n x 1无界，则幂级数的收敛域n k 1n1为（）（ A） (-1， 1]（B） [-1 ， 1)（ C） [0，2)（ D） (0， 2]【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
n n1；【解析】 S n a k n1,2a n x 1无界，说明幂级数的收敛半径 Rk 1n 1a n单调减少，lim a n0a n1n a n x1n1。
，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径 R n n 1n1a n x n的收敛半径 R10,2。
又由于 x0时幂级数收敛， x 2 时因此，幂级数1，收敛区间为n 1幂级数发散。
可知收敛域为0,2。
3、设函数f (x)具有二阶连续导数，且 f ( x)0 ， f (0)0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)在点 (0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A） f (0)1， f (0)0(B) f (0)1， f(0)0(C) f (0)1， f ( 0)0(D) f (0)1， f(0)0【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
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2011年考研数一真题及答案解析一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k kn n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11nnn a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''<f f ， (D) 0)0(1)0(<''<f f ， 【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''=()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，2200(0)(0)((0))(0)(0)(0)yy x y f f f z f f f =='''-''''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>所以有0)0(1)0(>''>f f ，4、设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
【解析】(0,)4x π∈时，0sin cos cot 2x x x <<<<，因此lnsin lncos lncot x x x << 444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121PP - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。
直接应用相关定理的结论即可。
【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ） 6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（ ）(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。
【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由0A A A E *==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又()1234131100,,,01100A αααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ）7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞+∞-∞-∞+==⎰。
可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。
8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则=)(UV E （ ） (A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。
计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。
【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY ==可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=xx tdt y 040tan π的弧长s =【答案】14π-【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
【解析】()2444'2240tan sec 1tan 14s y dx xdx x dx x x πππππ===-=-=-⎰⎰⎰10、微分方程x e y y xcos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y【答案】sin xy xe-=【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。
先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。
【解析】原方程的通解为11[cos ][cos ][sin ]dx dxx x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----⎰⎰=⋅+=+=+⎰⎰由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin xy xe -=11、设函数()⎰+=xydt t t y x F 021sin ,，则=∂∂==2022y x xF【答案】4【考点分析】本题考查偏导数的计算。
【解析】()()22232222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-∂∂==∂+∂+。
故22024x y Fx ==∂=∂。
12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=⎰Ñ【答案】π【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。
首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。
【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，其中t 从0到2π。
因此2220232222sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22Ly xzdx xdy dztt t t t t t t t dt t t t t t t dtπππ++=+-++-=--+-=⎰⎰⎰Ñ13、若二次曲面的方程为22232224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为221144y z +=，则a =【答案】1-【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。
题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。
【解析】本题等价于将二次型222(,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后化为了22114f y z =+。