2004中科院高等数学A
2004年高考数学试题(福建理)及答案
2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数10)11(ii +-的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32 2．tan15°+cot15°的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．3343．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．3332 B ．32C ．22D ．235．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.其中真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 （ ）A ．2426C A B ．242621C A C ．2426A AD ．262A7．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b ) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π9．若(1-2x )9展开式的第3项为288，则)111(lim 2n n xx x +++∞→ 的值是 （ ）A ．2B ．1C ．21D ．5210．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63 C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ）A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1) C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上 选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 .14．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-+=ax x x f 11)()0()0(=≠x x 在x =0处连续，则实数a 的值为 . 15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 （写出所有正 确结论的序号）.16．如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a=(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 19．（本小题满分12分）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ， SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 20．（本小题满分12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 21．（本小题满分14分） 已知f(x)=222+-x ax (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q. （Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST 的取值范围.2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题参考答案一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、13．45 14.1/2 15.1，3 16.2/3 三、17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23.∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.ξ的概率分布如下：E ξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)=310361426C C C C +=1202060+=32， P(B)=310381228C C C C +=1205656+=1514. 因为事件A 、B 相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(B A ⋅)=P(A )P(B )=1－32)(1－1514)=451. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1－P(B A ⋅)=1－451=4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B) =32×151+31×1514+32×1514=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）取AC 中点D ，连结SD 、DB. ∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥SB.（Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ， ∴平面SDB ⊥平面ABC.过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF ， 则NF ⊥CM.∴∠NFE 为二面角N －CM －B 的平面角.∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD.∵SN=NB ，∴NE=21SD=2122AD SA -=21412-=2，且ED=EB.在正△ABC 中，由平几知识可求得EF=41MB=21， 在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=EFEN=22， ∴二面角N —CM —B 的大小是arctan22.（Ⅲ）在Rt △NEF 中，NF=22EN EF +=23， ∴S △CMN =21CM ·NF=233，S △CMB =21BM ·CM=23. 设点B 到平面CMN 的距离为h ， ∵V B-CMN =V N-CMB ，NE ⊥平面CMB ，∴31S △CMN ·h=31S △CMB ·NE ，∴h=CMNCMB S NE S ⋅=324.即点B 到平面CMN 的距离为324.解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ，连结OS 、OB.∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面 ABC=AC ∴SO ⊥面ABC ，∴SO ⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O －x yz.则A （2，0，0），B （0，23，0），C （－2，0，0）， S （0，0，22），M(1，3，0)，N(0，3，2). ∴=（－4，0，0），=（0，23，22）， ∵·=（－4，0，0）·（0，23，22）=0， ∴AC ⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，3，0），=（－1，0，2）.设n=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，·n=3x +3y=0，z=1，则x =2，y=-6，·n=－x +2z=0，6，1)，0，22)为平面ABC 的一个法向量， ∴cos(n ，OS ||||OS n ⋅=31.∴二面角N －CM －B 的大小为arccos 31. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得MB =（－1，3，0），n=（2，－6，1）为平面CMN 的一个法向量，∴点B 到平面CMN 的距离d=|||·|n n =324.20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；B n =500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 2500－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2)=10n 2+10n －n 2500－100=10[n(n+1) － n 250－10].因为函数y=x (x +1) － n 250－10在（0，+∞）上为增函数，当1≤n ≤3时，n(n+1) － n 250－10≤12－850－10<0；当n ≥4时，n(n+1) － n 250－10≥20－1650－10>0.∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2， 方法一： ① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. 方法二：①⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立， 即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)， 方法一：② ⇔ g(－1)=m 2－m －2≥0，g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m=0时，②显然不成立； 当m ≠0时，②⇔ m>0，g(－1)=m 2－m －2≥0 或 m<0，g(1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 ∴ x 0=221x x +=-11x ，y 0=21x 12－11x (x 0－x 1) 消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得 y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l :y=k x +b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b). 分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.由 y=21x 2， y=kx+b 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ 则y 1+y 2=2(k 2+b)，y 1y 2=b 2.方法一： ∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +.当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2bb k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2b b k +=b b k -+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x by -.则x 1y 2－b x 1=x 2y 1－b x 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=1|21|21x x -+1|21|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.2 2。
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112. 西南交 大结构力学2008年
2004年高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x ∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）C已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x e x f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．4316．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα，所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去 当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f图2Cy图1在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512, 所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x ex x e x x e x f xx x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x ex解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nqq q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq q q q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn nnn n n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
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2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x （ ）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．设复数ωω++-=1,2321则i =（ ）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．函数x e y -=的图象（ ）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则 球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ=''A O e ，其中λ= （ ）A ．511 B ．511-C ．2D ．－2 10．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分） 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明： （Ⅰ）数列}{nS n是等比数列； （Ⅱ）.41n n a S =+ 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
2004年数二试题解析
2004年数学（二）试题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解2】11201101)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x z z e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数. 23(23)x z z z e x x -∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e--∂=∂+, 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x z F x y z e y z -=+-= 则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x z x zz z e x y e e ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得即 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x z z y e-∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解: 积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x =,代入方程得从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为1615x yC ==⇒=, 故所求通解为315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得6(1)15y C =⇒=, 从而所求的解为315y x =.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E**⇔-=, (2)A E B A E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 22111110(1)(1)392100001B A E A A *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000lim limcos x x x t dttdtγα++→→=⎰320lim lim 02x x x x++→→===, 即o ()γα=.又 2000tan lim limxx x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.（B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点. 所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.（9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。
(整理)2004考研数学二试题详细解析-4.
2004年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、 第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题， 《考研数学大串讲》P12例17、19.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxe x e y ，111222++-+='x x xx e e e e y ， 所以，1121+-==e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书上均可找到.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ， ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题， P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.（4） 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则 =-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003 ．【分析】 将B 的幂次转化为A 的幂次, 并注意到2A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A PB 200412004-=.故E EP P P A P B===--11002212004)(,=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13. (5) 设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是T)0,0,1(．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33.(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ 故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界； 如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51 第15题.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9，《考研数学大串讲》P96例5.(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]【分析】先求分段函数f (x )的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数F (x )的连续性与可导性即可.【详解】当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0. 即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数：||0x x -在0x x =处 不可导；f (x ) =||0x x x n -在0x x =处有n 阶导数，则||)!1()(0)(x x n x f n -+=. 完全类似的例题见《数学复习指南》P95例4.15，《考研数学大串讲》P42例15. (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130例5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70例5.4. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 从而选 (D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu - . (C) 21αu-. (D) αu -1. [ B ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见《数学复习指南》P.489分位数概念的注释.(14) 设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ．令随机变量∑==ni i X n Y 11， 则(A) 212)(σn n Y X D +=+． (B) 212)(σnn Y X D +=-． (C) nσY X Cov 21),(=． (D) 21),(σY X Cov =． [ C ]【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案..【详解】 由于随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布, 于是可得),(1)1,(),(11111∑∑====ni i n i i X X Cov n X n X Cov Y X Cov),(1),(11111X X Cov nX X Cov n n i i ==∑=211)(1σnX D n ==. 故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题.相关知识点见《数学复习指南》P.454, 类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =30422044sin 212lim 2sin 41lim xxx x x x x x -=-→→. 346)4(21lim 64cos 1lim 22020==-=→→x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.完全类似的例题见《数学复习指南》P28例1.45. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的 平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例8.12(1)，《数学四临考演习》P16 第17题，《考研数学大串讲》P79例2. (17) (本题满分8分)设f (u , v )具有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u='+'),(),(. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求y '，利用已知关系uv v u f v u f v u='+'),(),(，可得到关于y 的一阶微分方程. 【详解】x v x ux x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='， 因此，所求的一阶微分方程为x e x y y 222-=+'.解得 x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是 基本题型. 完全类似的例题见《数学复习指南》P243例11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95例7.13、 例7.14，《数学四临考演习》P3第16题，《考研数学大串讲》P76例14. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结. 完全类似的例题见《数学复习指南》P255例12.4，《数学应用专题(经济类)》P2. (19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线y = F (x )之间的面积. 对任何t > 0，)(1t S 表示矩形-t ≤ x ≤ t ，0 ≤ y ≤ F (t )的面积. 求(I) S (t ) = S -)(1t S 的表达式；(II) S (t )的最小值.【分析】曲线y = F (x )关于y 轴对称，x 轴与曲线y = F (x )围成一无界区域，所以， 面积S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 120202=-==+∞-∞+-⎰xxe dx e S ，t te t S 212)(-=，因此t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于t e t t S 2)21(2)(---='，故S (t )的唯一驻点为21=t ， 又t e t t S 2)1(8)(--=''，04)21(>=''eS ，所以，eS 11)21(-=为极小值，它也是最小值.【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.完全类似的例题见《数学复习指南》P143例6.13，《数学题型集粹与练习题集》P80例6.11.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】 将T)1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21≠λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为T Tk ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000113102121101A ， 42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=,故方程组的全部解为T T T k k ηk ηk ξξ)2,0,2,1()0,1,3,1()0,0,1,21(2122110--+-+-=++=(21,k k 为任意常数)．(Ⅱ) 当21≠λ时，由于32x x =，即 k k -=+-2121，解得 21=k ， 故方程组的解为T T T ξ)1,0,0,1()2,1,1,2(21)0,21,21,1(-=--+-= ．当21=λ时， 由于32x x =，即121231k k k =--， 解得 212141k k -=，故方程组的全部解为 T T T k k ξ)2,0,2,1()0,1,3,1)(2141()0,0,1,21(22--+--+-=T T k )2,21,21,23()0,41,41,41(2---+-=， (2k 为任意常数)．【评注】：(1) 含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点, 几乎年年考, 务必很好掌握.完全类似的例题可见《数学复习指南》P.341例4.9, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.161例10, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.(2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当21≠λ时有惟一解, 当21=λ时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当21=λ时，解得12221k k -=，方程组的全部解也可以表示为T T k ξ)4,1,1,3()1,0,0,1(1-+-=， (1k 为任意常数)．(21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若T α)0,1,1(1=, T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(Ⅰ) 求A 的另一特征值和对应的特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A ． 【分析】 由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】 (Ⅰ) 因为621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T α)0,1,1(1=，Tα)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是0||=A ，所以A 的另一特征值03=λ．设03=λ所对应的特征向量为Tx x x α),,(321=，则有 01=ααT，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x 得基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．(Ⅱ) 令矩阵),,(21αααP =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以1066-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661******** ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224． 【评注】 这是一个有关特征值和特征向量的逆问题, 即已知矩阵的部分特征值和特征向量,要求另一部分特征值, 特征向量和矩阵. 这在历年考研题中还是首次出现．但几乎原题可见《数学复习指南》P.362例5.8, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.186例15和例16, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型．原题可见《数学复习指南》P.434例 2.36, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.240例3, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；(Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. 【详解】 (Ⅰ) X 的概率密度为 ⎩⎨⎧<<=其他，，，010,1)(x x f X在)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，，00,1)|(|x y x x y f X Y当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为xx y f x f y x f X Y X 1)|()(),(|==在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),((Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为⎰⎰-===+∞∞-1ln 1),()(y Y y dx xdx y x f y f ； 当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ．因此 ⎩⎨⎧<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) ⎰⎰⎰⎰->+==>+xx Y X dy xdx dxdy y x f Y X P 112111),(}1{ 2ln 1)12(121-=-=⎰dx x ．【评注】本题考查了二维连续型随机变量的边缘概率密度, 条件概率密度, 联合概率密度的相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型． 原题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.242例5, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.。
中国科学院大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇总(2009-2018年汇编)
|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵
a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1
A
=
a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1
,
···
··· ··· ···
ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
6
4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.
2004高考数学试题(全国1理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅰ理参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60 1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b|=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A) (I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于 （ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线； ④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间. 20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角， 于是,772||||cos -=⋅=BC GA BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π .解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k(－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年春季高考.安徽卷.理科数学试题及解答
2004年全国普通高等院校春季招生考试(安徽卷)数学试卷（理科）及解答一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分. 1. 5(4＋i )2i (2＋i )＝(2004年安徽春(1)5分)A .5(1－38i )B .5(1＋38i )C .1＋38iD .1－38i答：D2. 不等式|2x 2－1|≤1的解集为(2004年安徽春(2)5分)A .{x |－1≤x ≤1}B .{x |－2≤x ≤2}C .{x |0≤x ≤2}D .{x |－2≤x ≤0}答：A3. 已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60º，则椭圆的离心率为(2004年安徽春(3)5分) A .12 B .22C .33D .32答：C4. lim n →∞(n －2)2(2＋3n )3(1－n )5＝(2004年安徽春(4)5分)A .0B .32C .－27D .27答：C5. 等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30º，则四棱锥A －MNCB 的体积为(2004年安徽春(5)5分) A .32 B .32C .3D .3答：A6. 已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋……＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n ＝(2004年安徽春(6)5分) A .2n B .12n (n ＋1) C .2n －1D .2n －1答：C7. 若二面角α－l －β为120º，直线m ⊥α，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是(2004年安徽春(7)5分)A .(0，90º]B .[30º，60º]C .[60º，90º]D .[30º，90º]答：D8. 若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝(2004年安徽春(8)5分)A .2－sin 2xB .2＋sin 2xC .2－cos 2xD .2＋cos 2x答：D9. 直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0，1，2，……，5)与平行直线y ＝n (n ＝0，1，2，……，5)组成的图形中，矩形共有(2004年安徽春(9)5分) A .25个 B .36个C .100个D .225个答：D10. 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是(2004年安徽春(10)5分) A .x －2y ＋1＝0 B .x －2y －1＝0C .x ＋y －1＝0D .x ＋2y －1＝0答：B11. 已知向量集合M ＝{a →|a →＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a →|a →＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R }.则M ∩N ＝( )(2004年春安徽(11)5分) A .{(1，1)} B .{(1，1)，(－2，－2)} C .{(－2，－2)}D .φ答：C12. 函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为(2004年安徽春(12)5分)A .π4 B .π2C .πD .2π答：B二、填空题：本大题共计4小题，每小题4分，共16分13. 抛物线y 2＝6x 的准线方程是________________.(2004年安徽春(13)4分)答：x ＝－3214. 在5名学生(3名男生，2名女生)中安排2名学生值日，其中至少要有1名女生的概率是______________.(2004年安徽春(14)4分) 答：0.715. 函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为_______________.(2004年安徽春(15)4分)答：1416. 若(x ＋1x－2)n 的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝______________.(2004年安徽春(16)4分) 答：3三、解答题：本大题共6个小题，共74分.17. 解关于x 的不等式：log a 3x ＜3log a x (a ＞0且a ≠1)(2004年安徽春(17)12分)本小题主要考查对数、不等式解法等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分解：令log a x ＝y ，则原不等式化为 y 3－3y ＜0解得 y ＜－3或0＜y ＜3 即 log a x ＜－3或0＜log a x ＜3当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a ∪{x |x ＜1}当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a∪{x |1＜x ＜18. 已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式.(2004年安徽春(18)12分)本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查运算能力.满分12分. 解：当n ＝1时，B 1＝b 1. ∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b n 2－b n －12＋2b n －2b n －1)整理得：b n 2－b n －12－2b n －2b n －1＝0∴ (b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0 ∵ b n ＋b n －1＞0， ∴ b n －b n －1－2＝0∴{b n }是首项为b 1＝1，公差d ＝2得等差数列 ∴ b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1 即{b n }的通项公式是b n ＝2n －1.19. 已知k ＞0，直线l 1:y ＝kx ，l 2:y ＝－kx .(2004年安徽春(19)12分)(1)证明：到l 1、l 2的距离平方和为定值a (a ＞0)的点的轨迹是圆或椭圆； (2)求到l 1、l 2的距离之和为定值c (c ＞0)的点的轨迹.本题主要考查直线、圆、椭圆的方程和性质，曲线预防成的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.满分12分. 解：(1)设点P (x ，y )为动点，则 |y －kx |21＋k 2＋|y ＋kx |21＋k 2＝a 整理得：x 2(1＋k 2)a 2k 2＋y 2(1＋k 2)a 2＝1因此，当k ＝1时，动点的轨迹为圆；当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆. (2)设点P (x ，y )为动点，则 |y －kx |＋|y ＋kx |＝c 1＋k 2当y ≥k |x |时，y －kx ＋y ＋kx ＝c 1＋k 2，即y ＝12c 1＋k 2；当y ≤－k |x |时，kx －y －y －kx ＝c 1＋k 2，即y ＝－12c 1＋k 2；当－k |x |＜y ＜k |x |且x ＞0时，kx －y ＋y ＋kx ＝c 1＋k 2，即x ＝12k c 1＋k 2当－k |x |＜y ＜k |x |且x ＜0时，y －kx －y －kx ＝c 1＋k 2，即x ＝－12k c 1＋k 2综上所述，动点的轨迹为矩形.20. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中底面边长和棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝62a .(2004年安徽春(20)12分) (1)求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值. (2)求证：A 1B ⊥面AB 1C .本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力.满分12分.解：过点B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，则BO ⊥侧面ACC 1A 1， 连结A 1O ，在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝62a ，BO ＝32a ∴A 1O ＝32a ，又AA 1＝a ，AO ＝a2ABC C 1A 1B 1ABCC 1A 1B 1 o∴△A 1AO 为直角三角形，A 1O ⊥AC ，A 1O ⊥底面ABC . 解法一：(1)∵A 1C 1∥AC∴∠BC 1A 1为异面直线AC 与BC 1所成的角. ∵A 1O ⊥面ABC ，AC ⊥BO ∴AC ⊥A 1B ∴A 1C 1⊥A 1B . 在Rt △A 1BC 1中，A 1B ＝62a ，A 1C =1＝a ∴BC 1＝102a ∴cos ∠BC 1A 1＝105∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为105. (2)设A 1B 与AB 1相交于点D ∵ABB 1A 1为菱形，∴AB 1⊥A 1B 又A 1B ⊥ACAB 1与AC 是平面AB 1C 内的相交直线， 所以，A 1B ⊥面AB 1C .解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系，原点为BO ⊥AC 的垂足O ，由题设条件可得 B (32a ，0，0)，C 1(0，a ，32a )，A (0，－a 2，0)，C (0，a2，0) ∴BC 1→＝(－32a ，a ，32a )，AC →＝(0，a ，0) 设AC →与BC 1→的夹角为θ，则 cos θ＝BC 1→·AC →|BC 1→|·|AC →|＝a 2102a ·a＝105∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为105. (2)A 1(0，0，32a )，B (32a ，0，0)1∴A 1B →＝(32a ，0，－32a )，AC →＝(0，a ，0) A 1B →·AC →＝0 ∴A 1B ⊥AC 又ABB 1A 1为菱形 ∴A 1B ⊥AB 1又因为AB 1与AC 为平面AB 1C 内的两条相交直线， 所以，A 1B ⊥平面AB 1C .21. 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品，需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ.(2004年安徽春(21)12分)本题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P (ξ＝2)＝810×79＝2845P (ξ＝3)＝810×29×78＋210×89×78＝1445P (ξ＝4)＝1－2845－1445＝115即所取次数的概率分布列为 ξ 2 3 4 P 2845 1445 115∴E ξ＝2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＋4×P (ξ＝4)＝22922. 已知抛物线C :y ＝x 2＋4x ＋72，过C 上一点M ，且与M 处切线垂直的直线称为C 在点M 处的法线.(2004年安徽春(22)14分)(1)若C 在点M 处的法线斜率为－12，求点M 的坐标M (x 0，y 0)；(2)设P (－2，a )为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及这些点的法线方程；若没有，请说明理由.本题主要考查导数的几何意义和应用，直线方程以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.解：函数y ＝x 2＋4x ＋72的导数为y '＝2x ＋4C 上点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k 0＝2x 0＋4 由已知，过点(x 0，y 0)的法线斜率为－12所以 －12(2x 0＋4)＝－1解得 x 0＝－1，y 0＝12故点M 的坐标为(－1，12)(2)设M (x 0，y 0)为C 上一点，(i )若x 0＝－2，则C 上点M (－2，－12)处的切线斜率为k ＝0过点M (－2，－12)的法线方程为x ＝－2此法线过点P (－2，a )(ii )若x 0≠－2，则过点M (x 0，y 0)的法线方程为 y －y 0＝－12x 0＋4(x －x 0) ……①若法线过P (－2，a )，则a －y 0＝12x 0＋4(－2－x 0)即 (x 0＋2)2＝a ……② 若a ＞0，则x 0＝－2±a ，从而 y 0＝x 02＋4x 0＋72＝2a －12将上式代入①，化简得x ＋2ay ＋2－2a a ＝0 x －2ay ＋2－2a a ＝0 若a ＝0，则与x 0≠－2矛盾 若a ＜0，则②式无解综上，当a ＞0时，在C 上有三个点(－2＋a ，2a －12)，(－2－a ，2a －12)及(－2，－12)，在这三点的法线过点P (－2，a )，其方程分别为： x ＋2ay ＋2－2a a ＝0x －2ay ＋2－2a a ＝0 x ＝－2当a ≤0时，在C 上有一个点(－2，－12)，在这点的法线过点P (－2，a )，其方程为x ＝－2.。
2004年考研数学试题详解及评分参考
(C) b ,a ,g . (D) b ,g ,a .
【答】 应选 (B).
【解】 由a ¢ = cos x2 , b ¢ = 2x tan x : 2x2, g ¢ = 1 sin( 2x
x )3
:
1 2
x
（
x
®
0+
），可见
lim b = lim b ¢ = 0 ， lim g = lim g ¢ = 0 ，即 b 比g 高阶，g 比 b 高阶. 故选 (B).
证明 ln 2 b - ln 2
a
>
4 e2
(b - a) .
证法１：设j(x)
=
ln2
x-
4 e2
x ，则j¢(x)
=
2
ln x x
-
4 e2
，j¢¢(x)
=
2
1
- ln x2
x
，
……5
分
所以当 x > e 时，j ¢¢(x) < 0, 故j ¢(x) 单调减少，
从而当 e < x < e2 时，j ¢(x) > j ¢(e2 ) =
xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx = 3dxdy - 0 - 0 = 3p / 2 .
L+ L1 + L2
L1
L2
D
【解法二】
易见
L
的参数方程为
ïì x
í ïî
y
= =
2 cos t 2 sin t
，
(其中 t 从 0
到p 2
)，代入被积函数，有
p
p
ò ò ò xdy - 2 ydx = 2 (2 cos2 t + 4sin2 t)dt = 2 2 (1+ sin2 t)dt = 3p / 2 .
2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
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1.2010年西北工业大学969材料学基础复试大纲2.2010年西北工业大学970商法复试大纲3.2010年西北工业大学 971劳动法复试大纲4.2009年上海外国语大学法语 (二外) 题型结构及法翻汉考研试题5.2009 年上海外国语大学高翻翻译实践（英译汉和完型）考研试题6.2009年上海外国语大学高翻学院翻译理论考研试题7.2009年上海外国语大学高翻学院翻译实践考研试题8.2009年上海外国语大学汉英翻译考研试题9.2009年上海外国语大学西方经济学考研试题10.2009年上海外国语大学新闻学新闻理论考研试题11.2009年上海外国语大学新闻学英语新闻业务考研试题12.2009年上海外国语大学英语语言文学考研试题13.2009年上海外国语大学语言学及应用语言学专业课考研真题回忆14.2010年西北工业大学972工业企业管理复试大纲15.2010年西北工业大学 973毛泽东思想概论复试大纲16.2010年西北工业大学974软件工程复试大纲17.2010年西北工业大学 975数字信号处理复试大纲18.2010年西北工业大学976计算机网络复试大纲19.2010年西北工业大学 977自动控制原理复试大纲20.2010年西北工业大学978生命科学院生物医学工程复试大纲21.2010 年西北工业大学979建筑设计快题复试大纲22.2010年西北工业大学980政治经济学复试大纲23.考研数学真题近十年考题路线分析(高数部分).doc24.政治大纲及样题完全版25.管理学案例全套资料下载26.新东方英译汉试题中常见的重要短语及典型句型27.2010 年考研英语词汇50天突破28.2010年电子科技大学微波技术基础复试大纲29.2010年电子科技大学数字电路复试大纲30.2010年电子科技大学模拟电路复试大纲31.2010年电子科技大学量子力学复试大纲32.2010年电子科技大学光电子技术基础复试大纲33.2010年电子科技大学固体物理复试大纲34.2010年电子科技大学固体物理复试大纲35.2010年电子科技大学831通信与信号系统考研试题（回忆版）36.2010 年电子科技大学836信号与系统和数字电路考研试题（回忆版）37.2008年电子科技大学808金融学基础考研试题及答案38.2008年电子科技大学809管理学原理考研试题39.2008年电子科技大学821经济学基础考研试题及答案40.2007年电子科技大学411管理学原理考研试题及答案41.2007年电子科技大学414经济学基础考研试题及答案42.2007年电子科技大学437金融学基础考研试题及答案43.2006年电子科技大学414经济学基础考研试题及答案44.2006年电子科技大学经济学基础复试试题及答案46.2003-2007年西南交通大学电路分析考研试题47.2003年吉林大学考古学及博物馆学考研试题48.2004年吉林大学考古学综合试考研题49.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所半导体物理考研试题50.2007 年中科院长春光学精密机械与物理研究所电子线路考研试题51.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所高等数学(乙)考研试题52.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所固体物理考研试题53.2007 年中科院长春光学精密机械与物理研究所光学考研试题54.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所机械设计考研试题55.2007 年中科院长春光学精密机械与物理研究所计算机原理考研试题56.2001-2009年西南财经大学管理学考研试题（一）57.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所理论力学考研试题58.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所量子力学考研试题59.2001-2009 年西南财经大学管理学考研试题（二）60.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所普通物理(甲)考研试题61.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所物理化学(甲)考研试题62.2007年中科院长春光学精密机械与物理研究所有机化学考研试题63.2007 年中科院长春光学精密机械与物理研究所自控理论考研试题64.西南财经大学管理学笔记65.2008 年吉林大学新闻学考研试题66.2010 年西南财经大学802经济学二考研试题（回忆版）67.2009年吉林大学940英语专业基础研试题（回忆版）68.2009年西南财经大学802经济学二考研试题（回忆版）69.2009年吉林大学哲学原理、哲学史考研试题（回忆版）70.2008年西南财经大学金融学考研试题71.2010年吉林大学623法学综合（宪法学、刑法学、民法学）考研试题（回忆版）72.2010年吉林大学822法理学考研试题（回忆版）73.2010年吉林大学考古学基础考研试题（回忆版）74.2004西南财经大学管理学辅导班笔记及真题75.2010年吉林师范大学 814文学概论考研试题（回忆版）76.2010年西南财经大学805财务与会计（财务管理与会计学）考研试题（回忆版）77.2004年西南财经大学应用经济学考研试题78.2004年西南财经大学刑法学考研试题79.2004年西南财经大学理论经济学考研试题80.2004年西南财经大学经济法学考研试题81.2003年西南财经大学西方经济学考研试题82.2003年西南财经大学西方经济思想史考研试题83.2003年西南财经大学MBA考研试题84.2002年西南交通大学自动控制原理A考研试题85.2002年西南交通大学土力学考研试题86.2002年西南交通大学结构力学考研试题88.2002年西南交通大学建筑技术考研试题89.2002年西南交通大学建筑材料考研试题90.2002年西南交通大学钢结构考研试题91.2001年西南交通大学土力学考研试题92.2010 年安徽大学部分专业复试大纲93.2010年中国科学技术大学计算机科学与技术学院复试试题94.2010 年中国科学技术大学考研大纲95.2009年中国科技大学普通物理A考研试题及答案96.2005年中国科学技术大学普通地质学考研试卷97.2005年中国科学技术大学高分子化学考研试题98.2004年中国科学技术大学自动控制理论考研试题及答案99.2004年中国科学技术大学原子物理学考研试题及答案100.2004年中国科学技术大学信号与系统考研试题及答案101.2004年中国科学技术大学细胞生物学考研试题及答案102.2004年中国科学技术大学物理化学考研试题及答案103.2004年中国科学技术大学无机化学考研试题及答案104.2004年中国科学技术大学微机原理C考研试题及答案105.2004年中国科学技术大学微波技术基础考研试题及答案106.2004年中国科学技术大学普通地质学考研试题107.2004年中国科学技术大学计算机原理及系统结构考研试题108.2004年中国科学技术大学计算机软件基础考研试题及答案（缺页）109.2004年中国科学技术大学高分子化学与物理考研试题110.2004年中国科学技术大学高等数学（B）考研试题及答案111.考研英语新题型排序题速成宝典112.西南交大结构力学2008年113.考研政治高分讲义114.2010 年兰州大学852西方经济学（经济学院）考研试题（回忆版）115.2004年兰州大学普通地质学考研试题116.1999 年郑州大学新闻业务考研试题117.2000年郑州大学民法（含商法）[民商法学]考研试题118.2000年郑州大学民商法学综合考研试题119.2001年郑州大学民法学[民商法学]考研试题120.2000年郑州大学民事诉讼法学[民商法学]考研试题121.2000 年郑州大学新闻业务考研试题122.2001年郑州大学民商法学综合考研试题123.2001 年郑州大学新闻业务考研试题124.2001年郑州大学商法学[民商法学]考研试题125.2002年郑州大学民法学[民商法学]考研试题126.2002年郑州大学民商法学综合考研试题127.2002年郑州大学商法学[民商法学]考研试题128.2002 年郑州大学新闻业务考研试题129.2003 年郑州大学民商法学考研试题130.2003年郑州大学民商法学综合考研试题132.2009年郑州大学马克思主义哲学原理考研试题133.2008 年兰州大学中国文学考研试题134.2008年兰州大学文学理论和外国文学考研试题135.2007年兰州大学新闻与传播学院新闻理论考研试题136.2007年兰州大学新闻与传播学院传播理论考研试题137.2007年兰州大学社会学（理论）考研试题138.2007年兰州大学620中国文学考研试题139.2007年兰州大学447文学理论和外国文学考研试题140.2006年兰州大学中国近现代史考研试题141.2006年兰州大学中国古代史考研试题142.2005 年兰州大学民商法考研试题143.2005 年兰州大学法理学考研试题144.2004 年兰州大学自然地理考研试题145.2004年兰州大学中国文学史考研试题146.2004年兰州大学中国古代文学史考研试题147.2004年兰州大学中国古代史考研试题148.2004年兰州大学现代汉语和语言学概论考研试题149.2004 年兰州大学文学概论考研试题150.2004年兰州大学社会学专业复试笔试试题151.2004年兰州大学普通地质学考研试题152.2004 年兰州大学民商法考研试题153.2003 年兰州大学自然地理考研试题154.2003年兰州大学中国古代文学史考研试题155.2003年兰州大学中国古代史考研试题156.2003年兰州大学现当代专业古代文学史考研试题157.2003年兰州大学现当代文学史考研试题158.2003年兰州大学无机化学及分析化学考研试题159.2003年兰州大学社会学调查考研试题160.2003年兰州大学古代文学史考研试题161.2003 年兰州大学古代文学考研试题162.2009年西北师范大学中西哲学史考研试题163.2007年西北师范大学自然地理学（含地图学）考研试题164.2007年西北师范大学人文地理学考研试题165.2006年西北师范大学自然地理学考研试题166.2006年西北师范大学中国现当代文学考研试题167.2006年西北师范大学人文地理学考研试题168.2006 年西北师大哲学考研试题169.2003-2005年西北师范大学自然地理学考研试题170.2004-2005 年西北师范大学旅游管理考研试题171.2002-2005年西北师范大学人文地理学考研试题172.2002-2004 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年兰州大学中国文学考研试题236.2010年兰州大学852西方经济学（经济学院）考研试题（回忆版）237.2008年西南大学857民商法综合课考研试题238.2008年西南大学858作品分析考研试题239.2008年西南大学914植物生理学与生物化学考研试题240.2009年西南大学111单考政治考研试题241.2009年西南大学211单考英语考研试题242.2009年西南大学221自命题英语考研试题243.2009年西南大学222单考俄语考研试题244.2009年西南大学223单考日语考研试题245.2009年西南大学224单考德语考研试题246.2009年西南大学225单考法语考研试题247.2009年西南大学360数学(理)(环境科学)考研试题248.2009年华南理工大学849旅游学考研试题249.2009年华南理工大学851化工原理考研试题250.2009年华南理工大学 852物理化学（二）考研试题251.2009年华南理工大学855环境科学与工程导论考研试题252.2009年华南理工大学857工程流体力学考研试题253.2009年华南理工大学858管理学原理考研试题254.2009年华南理工大学 860普通物理（含力、热、电、光学）考研试题255.2009年华南理工大学862电子技术基础（含数字与模拟电路）考研试题256.2009年华南理工大学864高等代数考研试题257.2009年华南理工大学 865有机化学考研试题258.2009年华南理工大学866无机化学考研试题259.2009年华南理工大学 867财会综合考研试题260.2009年华南理工大学868经济学（含宏观、微观）考研试题261.2009 年华南理工大学869管理学考研试题262.2009年华南理工大学870语言学和英美文学基础知识考研试题263.2009 年华南理工大学871毛泽东思想与邓小平理论概论考研试264.2009年华南理工大学874生物化学考研试题265.2009年西南大学602英语综合考试考研试题266.2009年华南理工大学878生物化学与分子生物学考研试题267.2009 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年西南大学715化学(农)(单考)考研试题296.2009年西南大学810包装印刷工艺考研试题297.2009年西南大学811传播学原理考研试题298.2009年西南大学812地质学基础考研试题299.2009年西南大学813地质与地貌学考研试题300.2009年西南大学815电影艺术基础考研试题301.2009年西南大学816电工学考研试题302.2009年西南大学818分析化学(环境类)考研试题303.2009年西南大学819高等代数考研试题304.2009年西南大学820古代汉语考研试题305.2009年西南大学821管理学考研试题306.2009年西南大学823环境工程学考研试题307.2009年西南大学824环境科学考研试题308.2009年西南大学826经济学考研试题309.2009年西南大学827量子力学考研试题310.2009年西南大学828毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想考研试题311.2009年西南大学829普通化学考研试题312.2009年西南大学830普通物理考研试题313.2009年西南大学831人文地理学考研试题314.2009年西南大学832日语语言学基础考研试题315.2009年西南大学833社会心理学考研试题316.2009年西南大学834生物化学考研试题317.2009年西南大学835食品化学与食品微生物学考研试题318.2009年西南大学838思想政治教育学原理考研试题319.2009年西南大学839土地管理学考研试题320.2009年西南大学840土地侵蚀原理与土壤学考研试题321.2009年西南大学842西方经济学考研试题322.2009年西南大学843A 形式逻辑考研试题323.2009年西南大学843B哲学综合考研试题324.2009年西南大学844信号与系统考研试题325.年终盘点：2010年研究生招生有“五大变化”326.2010年全国硕士研究生入学统一考试政治理论新增学科之法律基础327.2010年考研政治近现代史纲命题特点综述之材料题篇328.2010 年考研政治试题的特点详解329.2010 年考研政治试题特点评析330.专家评析2010年考研政治真题“史纲”部分的“雷区”331.2010年考研政治真题“史纲”命题特点及复习对策332.深入剖析2010年考研政治真题命题特点333.从2010年考研政治真题分析2011年政治复习策略334.2010年全国硕士研究生入学统一考试英语真题答案及详解之完型335.2010年全国硕士研究生入学统一考试英语真题答案及详解之作文336.2010 年全国硕士研究生入学统一考试英语真题答案及详解之翻译337.2010年全国硕士研究生入学统一考试英语真题答案及详解之阅读B338.2010 年全国硕士研究生入学统一考试英语真题答案及详解之阅读A339.2010考研英语阅读真题第四篇文章来源出处340.2010 年考研英语真题之翻译试题分析及特点341.2010年考研英语新题型题目来源及出处342.2010年英语新题型排序题的速成宝典343.2010 年考研英语新题型详解344.2010 年考研数学真题特点分析345.2010年考研数学真题之概率部分试题分析346.2010年考研数学真题：线性代数考点及解题思路分析347.2010 年考研数学真题的三个基本点348.洞观2010年考研数学真题稳中求变349.2011年研究生入学考试数学复习的三点建议350.把脉考研英语记读写缺一不可351.2011年考研数学首轮复习之要点概括352.选择考研专业应注重职业生涯和发展规划353.431 分，我是这样考到的！354.考研指导：法硕专业课考研复习方法355.2011 年统考专业课复习之全攻略之：心理学356.考研英语：认识清醒，对症下药攻克阅读357.热门专业深度解析:金融学专业深度解析358.热门专业深度解析:医学专业深度解析359.热门专业深度解析系列之计算机科学与技术深度解析360.我的考研时间规划：奋斗岁月有监督也有证书361.2009年西南大学844信号与系统考研试题362.2009年西南大学845信息组织与检索考研试题363.2009年西南大学846有机化学及物理化学考研试题364.2009年西南大学848语言文学基础考研试题365.2009年西南大学849园林概论考研试题366.2009年西南大学852中国民族史考研试题367.2009年西南大学853中外文学史考研试题368.2009年西南大学854教育经济与管理专业综合课考研试题369.2009 年西南大学855普通物理考研试题370.2009年西南大学856综合化学考研试题371.2009年西南大学857民商法综合课考研试题372.2009年西南大学858作品分析考研试题373.2009年西南大学908计算机学科专业基础综合考研试题374.2009年西南大学914植物生理学与生物化学考研试题375.2002年厦门大学西方经济学考研试题376.2002 年厦门大学宪法学考研试题377.2002 年厦门大学新闻学考研试题378.2002 年厦门大学刑法学考研试题379.2002 年厦门大学行政法学考研试题380.2002年厦门大学有机化学（材料系）考研试题381.2002年厦门大学有机化学 B（化学系）考研试题382.2002年厦门大学政治经济学考研试题383.2002年厦门大学自动控制原理考研试题384.2002年厦门大学综合考试（产业经济学）考研试题385.2002年厦门大学综合考试（国际贸易）考研试题386.2002年厦门大学综合考试（国民经济学）考研试题387.北京第二外国语大学法语二外 2003年考研真题388.北京第二外国语大学法语二外2004年考研真题389.2010 年武汉大学汉语基础考研试题390.2010年宁波大学606中国古代文学史考研试题391.1995年第四军医大学生物化学考研试题392.1995年第四军医大学外科学考研试题.rar393.1996年第四军医大学病理学考研试题394.1996年第四军医大学免疫学（专业基础）考研试题395.1996年第四军医大学生物化学考研试题.rar396.1997年第四军医大学免疫学（专业基础）考研试题397.1997年第四军医大学外科学考研试题398.1998年第四军医大学病理学考研试题399.1998年第四军医大学骨科应用解剖学考研试题400.1998年第四军医大学骨科应用解剖学考研试题401.1998年第四军医大学免疫学（专业）考研试题402.1993年第四军医大学免疫学（专业基础）考研试题403.1993年第四军医大学生物化学考研试题404.1994年第四军医大学病理学考研试题405.1994年第四军医大学矫形外科学考研试题406.1994年第四军医大学免疫学（专业）考研试题407.1994年第四军医大学免疫学（专业基础）考研试题408.1994年第四军医大学生物化学考研试题409.1995年第四军医大学病理学考研试题410.1995年第四军医大学免疫学（专业）考研试题411.1991年第四军医大学病理学考研试题412.1991年第四军医大学矫形外科学考研试题413.1991年第四军医大学生物化学考研试题414.1992年第四军医大学病理学考研试题415.1992年第四军医大学矫形外科学考研试题416.1992年第四军医大学免疫学（专业）考研试题417.1992年第四军医大学病理学考研试题418.1992年第四军医大学矫形外科学考研试题419.1992年第四军医大学免疫学（专业）考研试题420.1992年第四军医大学免疫学（专业基础）考研试题421.1993年第四军医大学病理学考研试题422.2000年西安电子科技大学近代物理学基础考研试题423.2000年西安电子科技大学晶体管原理考研试题424.2000年西安电子科技大学理论力学考研试题425.2000年西安电子科技大学量子力学1考研试题426.2000年西安电子科技大学量子力学2考研试题427.2000年西安电子科技大学数据结构考研试题428.2000年西安电子科技大学微波技术与天线基本理论考研试题429.2000 年西安电子科技大学微机原理及应用考研试题430.2000年西安电子科技大学微机原理与程序设计(16位)考研试题431.2000 年西安电子科技大学无机化学考研试题432.2000年西安电子科技大学物理光学与应用光学考研试题(2)。
中国科学院大学601高等数学(甲)历年考研真题及详解
目录
2016年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题（回忆版）及详解[视频讲解]
2015年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
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2006年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2005年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2004年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2003年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解。
2004年上海高考数学真题试卷及答案解析(理科)
绝密★启用前2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．若tg α=21,则tg(α+4π)=.2．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为.3．设集合A={5,log 2(a +3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A∪B =.4．设等比数列{a n }(n∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1=.5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是.6．已知点A(1,－2),若向量AB 与a ={2,3}同向,AB =213,则点B 的坐标为.7．在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l :ρ(2cos θ+sin θ)=4的距离d=.8．圆心在直线2x －y－7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,－4),B(0,－2),则圆C 的方程为.9．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是.(结果用分数表示)10．若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是.11．教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.12．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2;②a 2与S 3;③a 1与a n ;④q 与a n .其中n 为大于1的整数,S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（）A．若l ⊂β且α⊥β,则l⊥α.B．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C．若l ⊥β且α⊥β,则l∥α.D．若α∩β=m 且l ∥m,则l∥α.14．已知)(x f y =是周期为2π的函数，当21)(,2sin)(,)2,0[==∈x f x x f x 则时π的解集为（）A．{x │x =2k π+3π,k∈Z}.B．{x |x =2kπ+35π,k∈Z}.C．{x │x =2k π±3π,k∈Z}.D．{x|x =2k π3π+(－1)K,k∈Z}.15．若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)=（）A．10－x－1.B．10x －1.C．1－10－x .D．1－10x.16．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业.B．建筑行业好于物流行业.C．机械行业最紧张.D．营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17．(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ,z 2=a －2－i ,其中i 为虚数单位,a∈R,若21z z -<1z ,求a 的取值范围.行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数12462010293589115765167043618．(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?19．(本题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分.记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A,g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B.(1)求A；(2)若B ⊆A,求实数a 的取值范围.20．(本题满分14分)第1小题满分6分,第2小题满分8分已知二次函数y=f 1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f 2(x )的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8,f(x)=f 1(x)+f 2(x ).(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明:当a >3时,关于x 的方程f(x)=f(a)有三个实数解.21．(本题满分16分)第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分如图，P—ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F 分别为棱长PA、PB、PC 上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF—ABC 与棱锥P—ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)证明：P—ABC 为正四面体；(2)若PD=21PA,求二面角D—BC—A 的大小；(结果用反三角函数值表示)(3)设棱台DEF—ABC 的体积为V,是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF—ABC 有相同的棱长和?若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22．(本题满分18分)第1小题满分6分,第2小题满分8分,第3小题满分4分.设P 1(x 1,y 1),P 1(x 2,y 2),…,P n (x n ,y n )(n≥3,n∈N)是二次曲线C 上的点,且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2,…,a n =n OP 2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O 是坐标原点.记S n =a 1+a 2+…+a n .(1)若C 的方程为2510022y x +=1,n=3.点P 1(10,0)及S 3=255,求点P 3的坐标；(只需写出一个)(2)若C 的方程为12222=+by a x (a >b>0).点P 1(a ,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求S n 的最小值；(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1,P 2,…，P n 存在的充要条件,并说明理由.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理工类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．32．(5,0)3．{1,2,5}4．25．(－2,0)∪(2,5]6．(5,4)7．51528．(x －2)2+(y+3)2=59．11410．a >0且b≤011．用代数的方法研究图形的几何性质12．①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13．B 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题满分86分)17．【解】由题意得z 1=ii++-151=2+3i ,于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.由4)4(2+-a <13,得a 2－8a +7<0,1<a <7.18．【解】由题意得x y+41x 2=8,∴y=xx 482-=48x x -(0<x <42).于是,框架用料长度为l =2x +2y+2(x 22)=(23+2)x +x 16≥)223(162+=4246+.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立.此时,x ≈2.343,y=22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时,用料最省.19．【解】(1)2－13++x x ≥0,得11+-x x ≥0,x <－1或x ≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+∞](2)由(x －a －1)(2a －x )>0,得(x －a －1)(x －2a)<0.∵a <1,∴a +1>2a ,∴B=(2a ,a +1).∵B ⊆A,∴2a ≥1或a +1≤－1,即a ≥21或a ≤－2,而a <1,∴21≤a <1或a ≤－2,故当B ⊆A 时,实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)20．【解】(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a =1,∴f 1(x)=x 2.设f 2(x)=xk(k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k ,k )B(－k ,－k )由AB =8,得k=8,.∴f 2(x )=x 8.故f(x)=x 2+x8.(2)【证法一】f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a8,即x 8=－x 2+a 2+a8.在同一坐标系内作出f 2(x)=x8和f 3(x)=－x 2+a 2+a8的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f 3(x)的图象是以(0,a 2+a8)为顶点,开口向下的抛物线.因此,f 2(x)与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f 2(2)=4,f 3(2)=－4+a 2+a8当a >3时,.f 3(2)－f 2(2)=a 2+a8－8>0，∴当a >3时,在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2,f 3(2))在f 2(x)图象的上方.∴f 2(x )与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a8,即(x－a )(x+a －ax8)=0,得方程的一个解x 1=a .方程x+a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0,由a >3,△=a 4+32a >0,得x 2=a a a a 23242+--,x 3=aaa a 23242++-,∵x 2<0,x 3>0,∴x 1≠x 2,且x 2≠x 3.若x 1=x 3,即a =aaa a 23242++-,则3a 2=a a 324+,a 4=4a ,得a =0或a =34,这与a >3矛盾,∴x 1≠x 3.故原方程有三个实数解.21．【证明】(1)∵棱台DEF—ABC 与棱锥P—ABC 的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P—ABC 是正四面体.【解】(2)取BC 的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA 为二面角D—BC—A 的平面角.由(1)知,P—ABC 的各棱长均为1,∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得sin∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF—ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α,则该六面体棱长和为6,体积为81sin α=V.∵正四面体P—ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.22．【解】(1)a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 2=70.∴点P 3的坐标可以为(215,10).(2)【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a .∵a 1=1OP 2=a 2,∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n－1)d≥b 2,∴122--n a b ≤d<0.∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =n a 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为n a 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +.【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由2510022y x +=1,得x 23=60x 23+y 23=70y 23=10由2k =a 2+(k－1)d,解得y 2k =222)1(b a d k b ---22b y k =1∵0<y 2k ≤b 2,得122--k a b ≤d<0∴122--n a b ≤d<0以下与解法一相同.(3)解法一】若双曲线C:22a x －22by =1,点P 1(a ,0),则对于给定的n,点P 1,P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h∈[a ,+∞],且1OP =a 2,∴点P 1,P 2,…，P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.【解法二】若抛物线C:y 2=2P x ,点P 1(0,0),则对于给定的n,点P 1,P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.理由同上【解法三】若圆C:(x －a )2+y 2=a 2(a ≠0),P 1(0,0),则对于给定的n,点P 1,P 2,…，P n 存在的充要条件是0<d≤142-n a .∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP 2=0,∴d>0且n OP 2=(n－1)d≤4a 2.即0<d≤142-n a .即.1402-≤<n a d。
中科院大学参考书目
338 生物化学：《生物化学》（2002年第三版），上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社《基因VIII》（中文版），Benjamin Lewin，科学出版社（分子生物学主要参考教材建议以《基因VIII》为主）601 高等数学（甲）《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。
602 高等数学（乙）《高等数学》（上、下册），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一个版本均可。
603 高等数学（丙）[1]《高等数学》第六版（上、下册），同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。
[2]《线性代数》第五版，同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。
612 生物化学与分子生物学《生物化学》（2002年第三版），上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社《基因VIII》（中文版），Benjamin Lewin，科学出版社（分子生物学主要参考教材建议以《基因VIII》为主）808 电动力学郭硕鸿著，《电动力学》，高等教育出版社，北京，1997年第二版。
614 科学技术史雷·斯潘根贝格和黛安娜·莫泽，《科学的旅程》，郭奕玲、陈蓉霞、沈慧君译，北京：北京大学出版社，2008年。
611 生物化学（甲）《生物化学》上、下册王镜岩等编著，高等教育出版社（2002年第三版）610 分子生物学《现代分子生物学》（第二版），朱玉贤李毅著，高等教育出版社，2002 《Molecular Biology》(第三版)，Robert Weaver著，McGraw-Hill出版社，2005（809）固体物理：黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》高等教育出版社，1988年10月（811）量子力学：《量子力学教程》曾谨言著（科学出版社2003年第1版）。
（819）无机化学：《无机化学》第三版，武汉大学、吉林大学等校编，高等教育出版社。
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及答案
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题及答案一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
中科大、中科院试卷清单总汇
中科大、中科院试卷清单总汇许多试卷属中科院系统通用试卷，适用于中科院很多单位高等数学（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2007高等数学（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2005（第1种），2005（第2种），2007高等数学（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）高等数学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1993——2005（1993——2004有答案）高等数学（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001高等数学（丙）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002 高等数学（乙）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002（2000——2002有答案）普通物理（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2007普通物理（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007普通物理（A）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）普通物理（甲）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——1998，2000普通物理（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2004——2008有答案）普通物理（乙型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002（1998，2000——2002有答案）量子力学（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2007量子力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）量子力学（实验型）（中国科学技术大学命题试卷）1990——1998（1997有答案）量子力学（实验型）（中国科学院命题试卷）1998——1999量子力学（实验型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）（2000——2002有答案）量子力学（理论型）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1990——2002 固体物理（中国科学院研究生院命题试卷）2007固体物理（B）（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2007（2006——2007有答案）固体物理（中国科学技术大学命题试卷）1997——1999（1997有答案）固体物理（中国科学院命题试卷）1998，1999固体物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2008（2000——2008答案）电动力学（中国科学院研究生院命题试卷）2007电动力学（中国科学院命题试卷）1998电动力学（中国科学技术大学命题试卷）1999电动力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002——2008有答案）电动力学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2005分析化学（中国科学院研究生院命题试卷）2007分析化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1997，1997答案，1998，1998答案，1999，1999答案，2000A卷（第1种），2000A卷（第1种）答案，2000A卷（第2种），2000B卷，2000B卷答案，2001B卷（第1种），2001B卷（第1种）答案，2001B卷（第2种），2001B卷（第2种）答案，2002A卷，2002A卷答案，2002B卷（第1种），2002B卷（第2种），2002B卷（第2种）答案，2003A卷，2003A卷答案，2003B卷，2004，2004答案，2005B卷，2005B 卷答案，2006，2006答案，2007，2007答案，2008，2008答案物理化学（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2008物理化学（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007物理化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1987，1995——2008（1995——2008有答案）物理化学（B）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2008（2003——2008有答案）物理化学（C）（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2004物理化学（合肥智能机械研究所命题试卷）2001——2004有机化学（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2008有机化学（中国科学院命题试卷）1986——1990，1992——1998（1986，1988，1995——1998有答案）有机化学（中国科学技术大学命题试卷）1993，1998（1998有答案）有机化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1999——2008（1999——2004，2006——2008有答案）无机化学（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2007无机化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1999——2008（2001，2003——2008有答案）高分子化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1989，1991，1993——1998，2003——2005高分子化学与物理（中国科学院研究生院命题试卷）2007高分子化学与物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1999——2002，2004（2001——2002有答案）高分子物理（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1994高分子物理部分（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003（占总分值50%）高聚物的结构与性能（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1996——1997，2001——2002普通化学（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2007普通化学（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007普通化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001，2004——2008（2004，2006——2008有答案）综合化学（中国科学院命题试卷）1996综合化学（中国科学技术大学命题试卷）1999——2004有答案）基础化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2008（2008有答案）化工原理（中国科学院研究生院命题试卷）2005，2007化学工程学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003——2004（2004有答案）半导体物理（甲）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（乙）（中国科学院研究生院命题试卷）2007半导体物理（中国科学院、半导体研究所、中国科学技术大学联合命题试卷）1997——2002，2004（1997——2002有答案）半导体物理（中国科学院微电子中心命题试卷）2004半导体材料（半导体研究所命题试卷）1996，1998，2000——2001（1996，2000有答案）半导体材料物理（半导体研究所命题试卷）2002——2003半导体集成电路（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001——2002，2004（2002有答案）半导体模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1995——1996，1998（1996，1998，1999有答案）模拟集成电路（中国科学技术大学、半导体研究所联合命题试卷）1997（1997有答案）材料力学（中国科学院研究生院命题试卷）2007——2008材料力学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2001，2003——2008（2001，2003——2007有答案）材料力学（等离子体物理研究所试卷）2004（2004有答案）大气科学导论（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2005——2008（2005——2008有答案）地球化学（中国科学院研究生院命题试卷）2007地球化学（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2000——2002，2004——2005地球物理学（中国科学院研究生院命题试卷）2007第四纪地质学（中国科学院研究生院命题试卷）2007电磁场理论（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）2003电路（中国科学院研究生院命题试卷）2007电子技术（中国科学院研究生院命题试卷）2007电子线路（中国科学院研究生院命题试卷）2007电子线路（中国科学院-中国科学技术大学联合命题试卷）1996——2008（1996——2001，2003——2008有答案）（注：2002年的试卷共12页，缺P2—P5）电子线路（电子所命题试卷）2002——2005（2002——2004有答案）电子线路（半导体研究所命题试卷）2002——2004信号与系统（中国科学院研究生院命题试卷）2006——2007信号与系统（中国科学技术大学命题试卷）1990——1999（1996——1999有答案）（另：有《信号与系统》期末考试试题11份，每份3元。
数学建模国家一等奖优秀论文---2004A
个商区内不同类型 MS 的个数），以满足上述三个基本要求。 4． 阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。 说明 1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲 望。 2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为 10 万人，国家体育馆容量为 6 万人，国家游泳中 心（水立方）容量为 4 万人。三个场馆的每个看台容量均为 1 万人，出口对准一个商区，各商区面 积相同。 附录 对观众发放的问卷调查，收回率为 33%，三次共收回 10000 多份。具体数据请在 access 数据库中索 取，其中年龄分 4 档：1）20 岁以下，2）20—30 岁，3）30—50 岁，4）50 岁以上；出行方式分 4 种： 出租、公交、地铁、私车；餐饮方式分 3 种：中餐、西餐、商场(餐饮)；消费额（非餐饮）分 6 档：1） 0—100，2）100—200，3）200—300，4）300—400，5）400—500，6）500 以上（元）。
求解产量最大问题时，我们利用卡车数量与总运量之间的正相关性，将总运量（吨 公里）作为约束条件放入线性规划模型中求解，利用优选法得到分别以总产量和岩石产 量为目标的流量规划，同样利用计算机仿真完成车辆的优化调度。
本文的主要结论： 运输成本最小问题 铲位选择：1,2,3,4,8,9,10；出动卡车：14 辆；最小总运量：8.8205 万吨公里；平均每车次的等待时间：9.2 秒；车辆调用见模型建立与求解部分； 产量最大问题 铲位选择：1，2，3，7，8，9，10；出动卡车：20 辆：最大产量： 8.7538万吨；最大岩石产量：4.9280 万吨；总运量（万吨公里）：11.6882；平均每车 次的等待时间：33.5秒；车辆调用见模型建立与求解部分。
2004年A题全国数学建模优秀论文4
复结果比重较大，则认为该训练得到的权值是该输入和输出的良好隐
射。
因此此类算法可以运用：
1 空间场能量分布，边坡应力分析等。
byage = 0.2027 0.3323 0.4650
感谢您对中国数学建模网一如既往的支持和厚爱
欢迎光临中国数学建模网－
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Training for 55 Epochs
图 四 流量相关分析 根据题目说明的，出行均采取最短路径，因此上图中的相关的连线（可 行道路），对于每一个迷你超市来说，并不是所有的都分配到。在计 算相关流量时，亦定义：
ζ =M×N k
其中：ζ 为第 k 超市分配到的百分总和比，M 为三个主场管某场管 k
的总人数，N 为调查观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购 物欲望情况百分率分布。此题先把所有连接进行表格描述，然后通过 人工选择确定归属。其中： a=4; b=6; c=10; c1=a*(bb(1)+bb(4))+c*bb(1); c2=a*(bb(1)+bb(4)+bb(3))+b*bb(1)+c*bb(1); c3=1*(a*(bb(2)+bb(5)+bb(6)+bb(7)+bb(8)+bb(9))+c*bb(1)); c4=1*(a*(bb(2)+bb(4)+bb(5)+bb(6)+bb(7)+bb(8)+bb(9))+c*bb(1)); 其中ａ,ｂ,ｃ（注：ａ, ｃ因为程序关系，位置与实际数据不对应） 为场管总容纳人数，bb(i) 为购物主体的兴趣分布，每一项的右项为人