集合与充要条件练习题

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新高考高中数学1.2.3充分条件、必要条件类型题

命题判断、充分条件、必要条件类型题数学思想：集合与补集，数型结合、正难则反一、判断命题的真假例1：（正面）设集合A，B，有下列四个命题。

①A⊈B⇔与对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B=φ；③A⊈B⇔B⊆A⊆⊆A⊈B⇔⊆⊆x⊆A⊆⊆⊆x⊆B⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆ ⊆ ⊆点评：正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要。

例2：判断下列命题的真假.（反面）（1）若a>b，则ac2>bc2；（2）正项等差数列的公差大于零。

解：（1）假命题，当c=0时，ac2=b c2；（2）假命题，如数列20，17，14，11，8.点评：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可。

例3：（利用等价命题判断命题的真假）命题“若a>-6，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4因为原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题。

因为其逆命题若“a>-3，则a>-6”为真命题，故选B。

点评：因为原命题与其逆否命题的真假性保持一致，原命题的否命题与原命题的逆命题也互为逆否命题，所以判断原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假性时，只需判断两组逆否命题中的各一个命题的真假性即可。

四种命题中，真命题的个数只能是0，2或4个。

二、判断充分条件、必要条件以及充要条件的方法例4：（集合思想）已知p:|x|<1.q:x2+x-20<0，试判断┐p是┐q的什么条件。

解：设p、q对应集合P，Q，则P={x|-1<x<1），Q={x|-5<x<4）.因为P⫋Q，所以p=>q，且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件。

所以┐q➩┐p，┐p⇏┐q，所以┐p是┐q的必要不充分条件。

点评：若给出两个条件，通过数轴或者veen图得到两个条件的范围大小，从而得出结论。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习4 充分条件与必要条件(解析版)

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题4 充分条件与必要条件题型一根据充分不必要条件求参数1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 【答案】m ＞1．【解析】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，2．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|210A x m =-≤≤；（2）11a ≥.【解析】（1）若关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题，则()24250m m ∆=-+>，即28200m m -->，解得：2m <-或10m >，所以方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题则{}|210x m -≤≤，所以{}|210A x m =-≤≤，（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则AB ，则122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得11a ≥，经检验11a =时，{|2110}B x x =-≤≤，满足A B ，所以11a =成立，所以实数a 的取值范围是11a ≥.3．已知不等式11m x m -<<+成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围．【答案】1423m -≤≤【解析】由题意11,32⎛⎫⎪⎝⎭ ()1,1m m -+，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，所以1423m -≤≤4．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．（1）当3a =时，求A B ；（2）若>0a ，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）01a <<. 【解析】（1）∵当3a =时，{}15A x x =-≤≤， {1B x x =≤或}4x ≥， ∴{11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤；（2）∵{1B x x =≤或}4x ≥，∴{}14R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A 是B R 的真子集，且A ≠∅，又{}()22>0A x a x a a =-≤≤+，∴2>1,012+4a a a -⎧∴<<⎨<⎩．5．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）12a ≤< 【解析】解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得CA ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,题型二根据必要不充分条件求参数1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0有两个大于1的实数根．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题q ：3－a <m <3＋a ，是否存在实数a 使得p 是q 的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）m >2；（2）存在a ≤1.【解析】（1）由x 2－(3m －2)x ＋2m 2－m －3＝0得[x －(m ＋1)][x －(2m －3)]＝0，所以x ＝m ＋1或x ＝2m －3，因为命题p 为真命题，所以m ＋1>1且2m －3>1，得m >2．（2）设集合A ＝{}|2m m >，集合B ＝{}|33m a m a -<<+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B ＝时，33a a -+≥，解得a ≤0；当B ≠时，33,32,a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得01a <≤．综上所述：存在a ≤1，满足条件．2．（1）已知集合{}{}21241A a B a ==，，，，，，且A B B =，求实数a 的取值范围；（2）已知2040p x q ax ->->:，:，其中a R ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4a =或16a =或0a =；（2）02a ≤< 【解析】（1）B A ⊆．①当2a =时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意． ②当4a =时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意． ③当2a a ='时，0a =或l ，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意．当1a =时，{}1241A =，，，由于元素的互异性，所以舍去．综上：4a =或16a =或0a =．（2）∵p 是q 的必要不充分条件， ∴{}{}240A x x B x ax =>=->，， ∴BA ．①当0a >时，42a >， ∴02a <<，②当0a <时，不满足题意． ③当0a =时，40q ->:， ∴B =∅，∴符合题意．综上：02a ≤<．3．已知:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，:11q m a m -≤≤+，0m >．若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】9m ≥【解析】解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，对于p ，依题意，知()()()222442548200a a a a ∆=--⨯+=--≤，∴210a -≤≤，设{}210P a a =-≤≤，{}11,0Q a m a m m =-≤≤+>，由题意知P Q ，∴012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，或012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩，解得9m ≥，故实数 m 的取值范围是：9m ≥．4.已知集合2{|320}A x x x =-+=，2(1)0{|}B x x ax a -+==-，2{|20}C x x mx =-+=．（1）命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”，若命题p 为真命题，求a 的值；（2）若“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求m 的取值范围．【答案】（1）2或3 （2）{|3m m =或}2222m -<< 【解析】解:（1）由题意得{1,2}A =，∵命题p 为真命题， ∴B A ⊆．又∵{|[-(-1)](-1)0}B x x a x ==，由B A ⊆，可知B 有两种可能， ①若{1}B =，则11a -=，解得2a =； ②若{1,2}B =，则12a -=，解得3a =．因此a 的值为2或3．（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件， ∴“x C ∈”能推出“x A ∈”，从而C A ⊆，因此集合C 有四种可能：①C A =，此时280,12,m m ⎧∆=->⎨=+⎩解得3m =；②{1}C =，此时280,2,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；③{2}C =，280,4,m m ⎧∆=-=⎨=⎩此时方程组无实数解，m 的值不存在；④C =∅，此时280m ∆=-<，解得2222m -<<．综上可知，m 的取值范围为{|3m m =或2222}m -<<．题型三根据充要条件求参数1．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】由已知，:{|210}p x x -≤≤，由p 是q 充要条件得{|210}{|44x x x m x m -≤≤=-≤≤+,0}m >，因此42,410,m m -=-⎧⎨+=⎩解得6m =，故选：C .2．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围; （3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件. 【答案】（1）{a |a <3}；（2）{a |a >3}；（3）p 是q 的充要条件. 【解析】设A={x |x >a }，B={x |x >3}.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⫋A ，所以a 的取值范围为{a |a <<3}. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A ⫋B ，所以a 的取值范围为{a |a >3}. （3）因为方程x 2-6x +9=0的根为3，则有A=B ，所以p 是q 的充要条件.3．已知{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+．是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求实数m 的取值范围．【答案】不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件【解析】解：因为x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，由{}210P x x =-<<，{}11S x m x m =-<<+，知要使P S =，则12110m m -=-⎧⎨+=⎩，无解，故不存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的充要条件．4．已知m Z ∈，关于x 的一元二次方程222440,44450x x m x mx m m -+=-+--=，求上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】1m =【解析】∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m≠0．又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎨∆=---≥⎩，解得145≤≤-m ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩，∴m 为4的约数．又∵145≤≤-m ，∴m＝－1或1．当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1．题型四充要条件的证明1．方程2210ax x++=至少有一个负根的充要条件是A．01a<≤B．1a<C．1a≤D．01a<≤或0a<【答案】C【解析】①0a≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a<；若方程有两个负的实根，则必有12{001440aaaa>-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a=时，可得12x=-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a≤．反之，若1a≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程2210ax x++=至少有一负的实根的充要条件是1a≤．故答案为C2．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【答案】证明见解析【解析】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=21-2a b⎛⎫⎪⎝⎭+34b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1. （2）必要性(q⇒p)：因为a +b =1，所以b =1-a ，所以a 3+b 3+ab -a 2-b 2=a 3+(1-a )3+a (1-a )-a 2-(1-a )2 =a 3+1-3a +3a 2-a 3+a -a 2-a 2-1+2a -a 2=0，综上所述，a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-. 【答案】证明见解析【解析】（1）证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=.所以()()33222222()a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()22(1)a b a ab b =+--+0=.所以必要性成立. （2）证明充分性：因为33220a b ab a b ++-=-，即()22(1)0a b a ab b +--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠.因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以10a b +-=，即1a b +=. 所以充分性成立.综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.4．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 【答案】见解析．【解析】 (1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,cx x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.。

《集合与充要条件的关系综合题》【高中数学人教版同步测试】

集合与充要条件的关系综合题1．若集合A ＝{x |x 2-5x ＋4<0}，B ＝{x ||x -a |<1}，则“a ∈(2，3)”是“B ⊆A ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A ．【解析】由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |-1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则1411 , ,a a +≤⎧⎨-+≥⎩解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故选A ．2．已知集合233|1224 , , A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥；p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】3344 , , + ⎛⎤⎡⎫-∞-∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【解析】由2312y x x =-+，配方得237416y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，∴x ≥1-m 2， B ＝{x |x ≥1-m 2}． ∵p 是q 的充分条件， ∴A ⊆B .∴1-m 2≤716，得m ≥34或m ≤-34． ∴实数m 的取值范围是3344 , , + ⎛⎤⎡⎫-∞-∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 3．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}，求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件.【答案】-3≤a ≤5【解析】由题意知，a ≤8.M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件－3≤a ≤5.4．关于x 的不等式22(1)(1)22a a x +--≤与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0的解集分别为A 与B ，则“A ⊆B ”是“1≤a ≤3或a ＝－1”的充要条件吗？【答案】是【解析】由题意知A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．当2≤3a ＋1，即13a ≥时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}． 22213131a A B a a a ≥⎧⊆⇔⇔≤≤⎨+≤+⎩，．当2＞3a ＋1，即13a <时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 2231112a a A B a a ≥+⎧⊆⇔⇔=-⎨+≤⎩，．综上所述，A ⊆B ⇔a ＝－1或1≤a ≤3．∴“A ⊆B ”是“1≤a ≤3或a ＝－1”的充要条件．。

充要条件练习题

课时作业(三)[学业水平层次]一、选择题1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(2014·镇海高二检测)已知命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b ＝2”，则命题甲是命题乙的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若a b ＋c b ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．【答案】 A3．(2014·湖南省株洲二中期中考试)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】 A4．(2014·山东省实验中学月考)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】本题综合考查函数零点与充要条件的判断．当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】 B二、填空题5．“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分6．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】充要7．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[12，＋∞)上是增函数”的________．【解析】本题考查命题的充要条件的判断．(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在[12，＋∞)上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间[12，＋∞)上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．【答案】 (1)③ (2)①三、解答题8．(2014·陕西省西工大附中月考)下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC ，p ：sin A >12，q ：A >π6.【解】 (1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为A ∈(0，π)时，sin A ∈(0,1]，且A ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ＝sin A 单调递增，A ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，y ＝sin A 单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6 sin A >12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．9．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B .即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A －B )＝sin B ，sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc，即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a 2bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升层次]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C 的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A D，故选A.【答案】 A2．(2014·马鞍山四校联考)设有如下命题：甲：相交两直线l、m 在平面α内，且都不在平面β内．乙：l、m中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．那么当甲成立时()A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C．乙是丙的充分必要条件D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l、m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l、m中也至少有一条与β相交，否则若l、m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】 C3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________.【解析】因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4， f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，所以2－t <－1，即t >3.【答案】 (3，＋∞)4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.【证明】充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .。

1-4 充分、必要条件(精练)(解析版)

1.4 充分、必要条件（精练）【题组一充分、必要条件的判断】1．（2021·浙江）命题:|1|2p x +>，命题1:1q x<，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题知，命题:|1|21p x x +>⇔>或3x <-；命题1:11q x x<⇔>或0x <，故p 是q 的充分不必要条件故选：A 2．（2021·天津）设x ∈R ，则“12x <<”是“22x -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集，所以“12x <<”是“22x -<<”的充分不必要条件.故选：A3．（2021·全国高三月考）设a R ∈，则“23a <<”是“2560a a --<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2560a a --<可得()()610a a -+<，即16a -<<，则23a <<是16a -<<的充分不必要条件，故选：A.4．（2021·天津）已知x ∈R ，则“2x <”是“21x >”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1x =-时，“x <2”成立，但20x < ,故“21x<”，故“x <2”不是“21x >”的充分条件， “21x >”等价于2002x x x -<⇔<<，即21x>能推出2x <，∴“x <2”是“21x >”的必要条件，故“x <2”是“21x >”的必要不充分条件，故选:B.5．（2021·天津）设x ∈R ，则“1x >”是“2x x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由1x >，解得1x <-或1x >，由2x x >，解得0x <或1x >，故由1x >能够推出2x x >，由2x x >不能够推出1x >，故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．6．（2021·天津高三二模）设x ∈R ，则“210x -<”是“31x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由210x -<得1x >或1x <-，由31x >得1x >，因为1x >或1x <-推不出1x >，但1x >能推出1x >或1x <-成立，所以“210x -<”是“31x >”的必要不充分条件，故选：B7．（2021·江西高三二模（文））已知a ∈R ，则“0a <”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当“0a <”成立时，2(1)0a a a a -=->，∴“2a a >”成立，即“0a <”⇒“2a a >”为真命题．而当“2a a >”成立时，2(1)0a a a a -=->，即1a >或0a <，0a ∴<不一定成立，即“0a <”是“2a a >”的充分不必要条件．故选：A8．（2021·天津）“201x x -≥+”是“213x -≥”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解不等式201x x -≥+可得1x <-或2x ≥，解不等式213x -≥得213x -≤-或213x -≥，解得1x ≤-或2x ≥，因为{1x x <-或}2x ≥ {1x x ≤-或}2x ≥，因此，“201x x -≥+”是“213x -≥”的充分而不必要条件. 故选：A. 9．（2021·浙江高一期末）设x ∈R ，则31x <是1123x x +≤-的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件【答案】A【解析】由31x <可得1x <，由1123x x +≤-可得()()4230230x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得32x <或4x ≥，据此可知“31x <”是“1123x x +≤-”的充分不必要条件．故选：A. 10．（2021·全国高一单元测试）命题:2p x y +=，命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩；则p 是q 的（） A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】因为当2x y +=时，y 可取任意实数，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的充分条件；因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=，所以p 是q 的必要条件.故选：B.11．（2021·广东清远市）清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C12．（2021·全国高一课时练习）下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：三角形为等腰三角形，q ：三角形存在两角相等；（2）:p O 内两条弦相等，:q O 内两条弦所对的圆周角相等；（3）:p A B ⋂为空集，:q A 与B 之一为空集.【答案】（1）p 是q 的充要条件；（2）p 不是g 的充要条件；（3）p 不是q 的充要条件【解析】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以p q ⇔，所以p 是q 的充要条件；在（2）中，O 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件；在（3）中，取{1,2}A =，{3}=B ，显然，A B =∅，但A 与B 均不为空集，因此，p q ⇒/，所以p 不是q 的充要条件. 13．（2021·全国高一课时练习）已知a ,b ,c 是实数,判断下列命题的真假：(1)“a b >”是“22a b >”的充分条件；(2)“a b >”是“22a b >”的必要条件；(3)“a b >”是“22ac bc >”的充分条件；(4)“a b >”是“22ac bc >”的必要条件.【答案】(1)假命题(2)假命题(3)假命题(4)真命题【解析】(1)假命题,因为a b >a b >⇔22a b >；(2)假命题,因为22a b >a b⇔>a b >；(3)假命题,因为a b >22ac bc >,依据为2c 可能为0； (4)真命题,因为()2220ac bc a b c >⇒>≠.【题组二充分、必要条件的选择】1．（2020·全国高一课时练习）函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是（）A ．m =-2B ．m =1C ．m =-1D ．m =0 【答案】A【解析】当m =-2时，f (x )=x 2-2x +1，其图象关于直线x =1对称，反之，若函数f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称，则12m -=，即2m =-.所以f (x )=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是m =-2. 故选：A. 2．（2020·全国高一课时练习）“x y>1”的一个充分不必要条件是（） A ．x >yB ．x >y >0C ．x <yD ．y <x <0【答案】B 【解析】如果p 是q 的充分不必要条件，那么p q ⇒，而q p ⇒/. 当x >y >0时，必有x y>1，而x y >1⇔-x y y>0⇔x >y >0或x <y <0.所以x >y >0是x y>1的充分不必要条件. 故选：B. 3．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一期中）（多选）一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件是（）A ．4n =B ．5n =-C ．1n =-D ．0n <【答案】BC【解析】设()24f x x x n =++，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为2x =-，要使得一元二次方程240x x n ++=有正数根，则满足()00f <，即0n <，所以一元二次方程240x x n ++=有正数根的充分不必要条件可以为B 、C ，故选：BC.4．（2021·江苏盐城市）（多选）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．14m >B ．01m <<C ．2m >D ．1m【答案】CD【解析】因为“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的20x x m -+=判别式140m ∆=-<，即14m >. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，14m >不可推导出01m <<，B 不正确； C 选项中，2m >可推导14m >，且14m >不可推导2m >，故2m >是14m >的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，1m 可推导1>4m ，且1>4m 不可推导1m ，故>1m 是14m >的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD. 5．（2021·全国高一单元测试）（多选）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（）A ．若22x y >，则x y >B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若2121x y +=+，则x y = 【答案】BCD【解析】对于A 选项，取1x =，1y =-，则x y >，但22x y =，即“22x y >”不是“x y >”的必要条件；对于B 选项，若10x >，则5x >，即“5x >”是“10x >”的必要条件；对于C 选项，若a b =，则ac bc =，即“ac bc =”是“a b =”的必要条件；对于D 选项，若x y =，则2121x y +=+，即“2121x y +=+”是“x y =”的必要条件.故选：BCD.6．（2020·全国高一课时练习）（多选）下列条件中是“0a b +>”的充分条件的是（）A ．0,0>>a bB ．0,0a b <<C ．3,2a b ==-D ．0,0><a b 且a b >【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为0,0a b >>，故0a b +>，所以A 选项正确；对于B 选项，因为0,0a b <<，故0a b +>不成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为3,2a b ==-，故10a b +=>，故C 选项正确；对于D 选项，因为0,0a b ><且a b >，故a b >-，即：0a b +>，故D 选项正确.所以A ，C ，D 中的条件均是“0a b +>”的充分条件，B 中的条件不是“0a b +>”的充分条件.故选：ACD7．（2021·合肥市第十中学高一期末）（多选）“02x x ≤-”的充分条件有（） A ．02x <<B ．12x -<<C ．02x ≤<D ．02x ≤≤ 【答案】AC 【解析】解：02x x ≤-，即(){2020x x x -≠-≤，解得：02x ≤<，即[)0,2x ∈，要找“02x x ≤-”的充分条件，即找[)0,2的子集；对A ，02x <<，即()0,2x ∈，易知()0,2 [)0,2，故A 正确；对B ，12x -<<，即()1,2x ∈-，易知()1,2-不是[)0,2的子集，故B 错误；对C ，02x ≤<，即[)0,2x ∈，易知[)[)0,20,2⊆，故C 正确；对D ，02x ≤≤，即[]0,2x ∈，易知[]0,2不是[)0,2的子集，故D 错误.故选：AC.【题组三文字中的充分、必要条件】1．（2021·湖南长沙市）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B ．2．（2021·新余市第一中学）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，故选：B ．3．（2021·江苏宿迁市·高二期末）2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”；其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”；即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.故选：B.4．（2021·安徽）王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）【答案】必要【解析】因为“非有志者不能至”所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件.故答案为：必要【题组四根据充分、必要条件求参数】1．（2021·浙江高一期末）（多选）已知{}28200P x x x =--≤，集合{}11S x m x m =-≤≤+．若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值可以是（）A ．1-B ．1C ．3D ．5 【答案】ABC【解析】由28200x x --≤，解得210x -≤≤，∴[]2,10P =-，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+，又x P ∈是x S ∈的必要条件，所以S P ⊆，当S =∅，即0m <时，满足题意；当S ≠∅，即0m ≥时，∴21 110m m -≤-⎧⎨+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是(],3-∞，实数m 的取值可以是1,1,3-，故选：ABC.2．（2021·全国高三专题练习）（多选）设:(3)0,:()(2)0p x x q x a x a -<--+≤．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 可以是（）A ．32B ．52C ．72D ．73【答案】BD【解析】解()30x x -<得，03x <<，记{}|03A x x =<<，解()(2)0x a x a --+得，2a x a -，记{}|2B x a x a =-≤≤， p 是q 的必要不充分条件，所以B A ∴203a a ->⎧⎨<⎩，解得23a <<， a ∴的取值范围是(2,3)．故选：BD ．3．（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题2:430p x x -+≤，命题2:40q x x m -+≥.若p 是q 的充分条件，则m 的取值范围是（）A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．(],4-∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】命题p 为真，则2430x x -+≤，所以13x ≤≤，因为p 是q 的充分条件，所以[1,3]x ∈时，240x x m -+≥恒成立，注意到2x =[1,3]∈，所以1640m ∆=-≤，解得4m ≥．故选：A ．4．（2021·浙江丽水市）已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥．故选：D ． 5．（2021·全国高二单元测试）若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】m ≥3【解析】p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则32m x +<，因为p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，所以332m +≥，解得m ≥3.故答案为：m ≥3 6．（2021·盐城市伍佑中学）已知p ：2340x x --≤，q ：3x m -≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[)4,+∞【解析】∵由2340x x --≤，得14x -≤≤，由p 是q 的充分不必要条件知：3x m -≤有解，故0m ≥，即原不等式可化为：3m x m -≤-≤，解得：33m x m -≤≤+，设{}14A x x =-≤≤，{}33B x m x m =-≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，A B ∴⊆,则03134m m m ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，即041m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解得：4m ≥，故m 的取值范围是[)4,+∞．故答案为：[)4,+∞.7．（2021·陕西宝鸡市）已知条件:2(0)p m x m m ≤≤>，条件:14q x ≤≤，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_________．【答案】[]1,2 【解析】p 是q 的充分不必要条件，[],2m m ∴ []1,4，需满足124m m ≥⎧⎨≤⎩，解得12m ≤≤，综上，m 的取值范围是[]1,2.故答案为：[]1,2.8．（2021·湖南岳阳市·高一期末）已知集合{}1A x a x a =-≤≤，{}2430B x x x =-+≤.若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围 .【答案】[]2,3. 【解析】由题意知，{}1A x a x a =-≤≤不为空集，{}2|430{|13}B x x x x x =-+≤=≤≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，则113a a -≥⎧⎨≤⎩，解得23a ≤≤. 所以实数a 的取值范围是[]2,3.9．（2021·云南大理白族自治州）已知集合22{|11}{|4}A x m x m B x x =-<<+=<，．（1）当2m =时，求A B A B ⋃⋂，；（2）若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()()2,51,2-，；（2）11m -<≤ 【解析】（1）当2m =时，{|15}{|22}A x x B x x =<<=-<<，，()()2,51,2A B A B ⋃=-⋂=，；（2）若''''x A ∈是''''x B ∈成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，211m m -≥+或22111212m m m m ⎧-<+⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得：11m -≤≤，因为m =-1时为充要条件，不合题意，所以11m -<≤10．（2021·寿县第一中学高一开学考试）已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤，{}3782B x x x =-≥-.（1）求A B ；（2）若{}44C x a x a =-≤≤+，且“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]3,6；（2）[]2,7. 【解析】1）{|3782}{|3}B x x x x x =--=，又{}26A x x =≤≤{|36}A B x x ∴=，（2）因为“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，所以()A B C ，因为{}44C x a x a =-≤≤+所以4643a a +≥⎧⎨-≤⎩解得27a ≤≤，即[]2,7a ∈ 11.（2021·东莞市光明中学）设:24p x ≤<，:q 实数x 满足22230(0)x ax a a --<>（1）若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}23x x ≤<；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）当1a =时，可得22230x ax a --<，可化为2230x x --<，解得13x，又由命题p 为真命题，则24x ≤<．所以p ，q 都为真命题时，则x 的取值范围是{}23x x ≤<．（2）由22230,(0)x ax a a --<>，解得3a x a -<<，因为:24p x ≤<，且p 是q 的充分不必要条件，即集合 {}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集，则满足 2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得43a ≥，所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12．（2021·湖北十堰市）已知集合{}22320A xx ax a =-+≤∣，集合{}220B x x x =--≤∣，:p x A ∈，:q x B ∈.（1）当1a =时，p 是q 的什么条件？（2）若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）当1a =时，集合{}2320{12}A xx x x x =-+≤=≤≤∣∣， {}{}22012B x x x x x =--≤=-≤≤∣∣，所以A B ，所以p 是q 的充分不必要条件.（2）因为q 是p 的必要条件，所以A B ⊆，而{}22320{()(2)0}A x x ax a x x a x a =-+≤=--≤∣∣. 当0a >时，{2}A xa x a =≤≤∣，所以1222a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，所以01a <≤；当0a =时，{0}A =，成立；当0a <时，{2}A xa x a =≤≤∣，所以2122a a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪<⎩，所以102a -≤<. 综上所述，112a -≤≤，即实数a 的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【题组五充分、必要条件的证明】1．（2021·全国高一课时练习）求证：关于x 的方程210x mx ++=有两个负实根的充要条件是2m ≥．【答案】详见解析【解析】充分性：2m≥，∴240m∆=-≥，方程210x mx++=有实根，设210x mx++=的两根为1x，2x，由韦达定理知：1210x x=>，∴1x、2x同号，又122x x m+=-≤-，∴1x，2x同为负根；必要性：210x mx++=的两个实根1x，2x均为负，且121=x x，∴121112()22m x x xx-=-+-=-⎛⎫⎪⎝⎭+-()2211111211xx xx x+++=-=-≥，∴2m≥．所以命题得证．2．（2021·全国高一单元测试）设,x y R∈，求证||||||x y x y+=+成立的充要条件是0xy≥．【答案】见解析【解析】①充分性：若0xy≥，则有0xy=和0xy>两种情况，当0xy=时，不妨设0x=，则||||x y y+=，||||||x y y+=，∴等式成立．当0xy>时，0x>，0y>或0x<，0y<，当0x>，0y>时，||x y x y+=+，||||x y x y+=+，∴等式成立，当0x<，0y<时，||()x y x y+=-+，||||x y x y x y+=--=+，∴等式成立．综上，当0xy≥时，||||||x y x y+=+成立．②必要性：若||||||x y x y+=+且,x y R∈，则22||(||||)x y x y+=+，即222222||||x xy y x y x y++=++⋅，∴||xy xy=，∴0xy≥．综上可知，0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件．。

数学充分条件与必要条件试题答案及解析

数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，若a＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝>0，且在区间0，上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．2.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos 〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．3.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a＋＝a－bi，若a＋为纯虚数，a＝0且b≠0，所以ab＝0不一定有a＋为纯虚数，但a＋为纯虚数，一定有ab＝0，故“ab＝0”是复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.4.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题．当f(x)＝a x为R上的减函数时，0<a<1,2－a>0，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a>0即a<2，但1<a<2时，f(x)＝a x为R上的减函数不成立，故选A.5. 设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋bi 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵若a ＝0，则复数a ＋bi 是实数(b ＝0)或纯虚数(b≠0)．若复数a ＋bi 是纯虚数则a ＝0.综上，a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋bi 是纯虚数”的必要而不充分条件．6. 数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x n 2＋x n ＋c(n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c<0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明：先证充分性，若c<0，由于x n ＋1＝－x n 2＋x n ＋c≤x n ＋c<x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c<0.(2)(i)假设{x n }是递增数列，由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c ，由x 1<x 2<x 3，得0<c<1.由x n <x n ＋1＝－x n 2＋x n ＋c 知，对任意n≥1都有x n <.①注意到－x n ＋1＝x n 2－x n －c ＋＝(1－－x n )(－x n )．② 由①式和②式可得1－－x n >0即x n <1－. 由②式和x n ≥0还可得，对任意n≥1都有－x n ＋1≤(1－)(－x n )．③ 反复运用③式，得－x n ≤(1－)n －1(－x 1)<(1－)n －1， x n <1－和－x n <(1－)n －1两式相加，知2－1<(1－)n －1对任意n≥1成立．根据指数函数y ＝(1－)x 的性质，得2－1≤0，c≤，故0<c≤.(ii)若0<c≤，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x n 2＋c>0. 即证x n <对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c≤时，x n <对任意n≥1成立．(1)当n ＝1时，x 1＝0<≤，结论成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时结论成立，即：x k <.因为函数f(x)＝－x 2＋x ＋c 在区间内单调递增，所以x k ＋1＝f(x k )<f()＝，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <对任意n≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x n 2＋c>x n ，即{x n }是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是.7. 命题且满足.命题且满足.则是的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，，即，故，反之也成立，故是的充要条件．8.条件，条件；若p是q的充分而不必要条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，只需满足，则，即，选B.9.对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则是的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题得,当时,满足,但是,所以.若,则,所以.综上,是的必要不充分条件,故选B.10.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．11.已知集合,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，因为，所以；反之，若，则必有，所以或，故“”是“”的充分不必要条件.选.12.条件，条件，则是的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】不等式的解集为：或，不等式的解集为：，故为，为，则，则是的充分非必要条件．13.设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】由不能得到且，如也满足；由且一定可以得到，因为，故选B.14.已知，则是成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时,成立,而,所以,条件,由于,所以,则,所以是成立的必要不充分条件,故选C15.“”是“函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，此时函数在区间内单调递增，当时，令，解得或，当时，结合图象可知，函数在区间内单调递增，当时，结合图象可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合乎题意！因此“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件，故选C.16.设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若函数在上是减函数，则这样函数在上单调递增；若函数在上是增函数，则【考点】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定，从基础知识出发，通过最简单的指数函数入手，结合熟知的三次函数设计问题，考查了综合解决问题的能力17.“命题是假命题”是“或”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由“命题是假命题”得“命题”是真命题，故，即或，记或，或，因为，所以“命题是假命题”是“或”的必要不充分条件．【命题意图】本题考查含一个量词命题的否定、充分条件和必要条件等基础知识，意在考查逻辑思维能力.18.已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”的充要条件是；“”的充要条件是，显然“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分也不必要条件.故选A.【命题意图】本题主要考查充要条件的判断以及对数函数与指数函数的性质，意在考查学生基本的逻辑推理能力.19.“”是“数列为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】设，由，得故能推出数列为递增数列，但数列为递增数列不能推出，故“”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件，故选A．【命题意图】本题考查充分必要条件、数列的单调性等基础知识，意在考查基本运算能力、逻辑推理能力．20.已知，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查不等式性质以及充要条件的判定等基础知识，意在考查运算求解及逻辑推理能力．【答案】A．【解析】解得，，故可以推出，但不能推出，故选A．。

202新数学复习第一章集合与常用逻辑用语2充分条件与必要条件含解析

课时作业2 充分条件与必要条件一、选择题1．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的(A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:x＝1成立，则x2－3x＋2＝0成立，反之不成立．2．“a3〉b3”是“ln a〉ln b"的（B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:ln a>ln b⇒a>b>0⇒a3〉b3，所以必要性成立．a3>b3⇒a〉b>0或0〉a>b，则当0>a〉b时，充分性不成立．故选B。

3．已知a，b∈R，条件甲：a>b〉0;条件乙：错误!〈错误!。

则甲是乙的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:当a〉b>0时，不等式a〉b两边同时除以ab,得错误!>错误!；当错误!>错误!时,若b＝1，a＝－1,则有b>a。

所以条件甲是条件乙的充分不必要条件．4．p：(2－x)（x＋1)〉0；q：0≤x≤1。

则p成立是q成立的(A）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若p成立，则x满足－1<x<2，则p成立是q成立的必要不充分条件,故选A.5．已知p：错误!〈1，q：2 019x〉2 019,则p是q的（B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由错误!〈1得，错误!<0，即错误!〉0，得x〈0或x〉1,故p：x〈0或x〉1；由2 019x〉2 019得x〉1,故q：x〉1。

所以p 是q的必要不充分条件．6．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（C) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A。

所以“A∩B＝A"是“A⊆B"的充要条件．故选C.7．设θ∈R，则“0〈θ〈错误!”是“0<sinθ<错误!"的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当0<θ〈错误!时，利用正弦函数y＝sin x的单调性知0〈sinθ〈错误!；当0<sinθ〈错误!时，2kπ<θ<2kπ＋错误!（k∈Z)或2kπ＋错误!<θ〈2kπ＋π(k∈Z）．综上可知“0〈θ〈错误!"是“0<sinθ〈错误!"的充分不必要条件,故选A.8．在等比数列{a n}中,“a1,a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根"是“a2＝±1"的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在等比数列{a n｝中，a1·a3＝a2，2.由a1,a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根可得a1·a3＝1，所以a2，2＝1，所以a2＝±1,所以“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a2＝±1”的充分条件；由a2＝±1得a1·a3＝1，满足此条件的一元二次方程不止一个．所以“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a2＝±1"的充分不必要条件，故选A.9．“不等式x2－x＋m〉0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(C)A．m>错误!B．0〈m<1C．m>0 D．m〉1解析：若不等式x2－x＋m〉0在R上恒成立，则Δ＝(－1）2－4m<0，解得m〉错误!，因此当不等式x2－x＋m〉0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m〉0。

专题5 充要条件(解析版)

专题5 充要条件题组1 充要条件的判断1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A.0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D.0＜a≤1或a＜0【答案】C【解析】方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.方法二 (排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.4．在下列三个结论中，正确的有（）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.②，AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C. 题组2 寻求充要条件5.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5【答案】A【解析】A ∩(∁U B )满足∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则∴6.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0①，x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.【答案】方程①有实数根的充要条件是即m ≤1且m ≠0.方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m )2－4(4m 2－4m －5)≥0，即m ≥－.∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m ≤1，且m ≠0，即－≤m ＜0或0＜m ≤1. 题组3 充要条件的证明7.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.【答案】证明 (1)充分性：当0＜m ＜时，Δ＝4－12m ＞0，所以方程mx 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根，设为x 1，x 2.由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1x 2＝＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.即0＜m ＜⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则∴0＜m ＜，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜.综上可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.8．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【答案】见解析．【解析】充分性：若0ac <，则240b ac ->，且0c a<，∴方程20ax bx c ++=方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，则240b ac ∆=->，12,0,0c x x ac a =<∴<，即可得结论.试题解析：(1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.9．已知,a b 是实数，求证：44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【答案】必要条件,证明见解析.【解析】由44221a b b --=，即442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为2210a b ++≠,故()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=,所以44221a b b --=成立的必要条件是221a b -=.题组4 由充分、必要条件求参数的范围10.已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是() A.(－2，－1]B.[－2，－1]C.[－3,1]D.[－2，＋∞)【答案】A 【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞).不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0可以化为(x －1)(x ＋a )＞0，当－a ≤1时，解得x ＞1或x ＜－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a ＞1时，不等式(x －1)(x ＋a )＞0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为(－2，－1].11.已知p ：|x －4|＞6，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.【答案】0＜a ≤3【解析】依题意，可得p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，q ：B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，⇒0＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是0＜a ≤3.12.已知p ：，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.【答案】[9，＋∞) 【解析】由已知，p ⇒q ，q ⇏p . 13.已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)＞0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}.(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.【答案】M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}.(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件.(2)当M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.14．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =．【解析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<，所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-；（2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <，根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞，即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3，根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩，所以52a =-，12b =． 15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件（2）当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件【解析】（1）{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤. 要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,12,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S ⊆P ，当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥要使S ⊆P ，则有11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩，解得0m ≤，所以0m =，综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．题组5 含有否定性语句的命题处理16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或故所求实数a的取值范围是.17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需即∴a≤9.故所求实数a的取值范围是(－∞，9].17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁R B＝{x|－4≤x＜－2}，{x|x满足p}＝∁R A＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，则或即－≤a＜0或a≤－4.∴a的取值范围为.。

集合考点充分条件与必要条件教案以及练习

1．4集合充分条件与必要条件1．4.1充分条件与必要条件充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系指由p通过推理可以得出q，即由p可以推出q，记作p⇒q由条件p不能推出结论q，记作p⇏q续表命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分也不是必要条件D．不确定A解析：x>0⇒x≠0；x≠0时，x可为正值或负值，故选A.2．“－12<x<3”的一个必要条件是()A．－12<x<3B．－12<x<0C ．－3<x <12D ．－1<x <6D 解析：因为－12<x <3⇒－1<x <6，但－1<x <6D ⇒/－12<x <3，所以“－12<x <3”的一个必要条件是“－1<x <6”．3．“角A ＝60°”是“三角形ABC 是等边三角形”的________条件．必要解析：角A ＝60°D ⇒/三角形ABC 是等边三角形，但三角形ABC 是等边三角形⇒角A ＝60°，所以“角A ＝60°”是“三角形ABC 是等边三角形”的必要条件．4．“△ABC 为直角三角形”是“其三边关系为a 2＋b 2＝c 2”的________条件．必要解析：△ABC 为直角三角形，则三边符合勾股定理，但须知哪个角为直角，若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为以C 为直角的三角形．5．“x <0”是“x >2或x <1”的________条件．充分解析：因为x <0⇒ x >2或x <1，但x >2或x <1D ⇒/x <0，所以“x <0”是“x >2或x <1”的充分条件．【例1】给出下列四组命题：(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：一个四边形是矩形，q ：四边形的对角线相等； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A . 试分别指出p 是q 的什么条件．解：(1)∵两个三角形相似D ⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要条件． (2)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qD⇒/p.∴p是q的充分条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．充分条件、必要条件的判断方法在判定p是q的什么条件时，首先分清什么是p，什么是q，再分清谁推谁．例如p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．下列哪些命题中，p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC.(2)对于实数x，y，p：x＝2且y＝6，q：x＋y＝8.(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，所以p是q的充分条件．(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，所以p是q的充分条件．(3)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.【例2】是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．解：令A＝{x|x>2或x<－1}；由4x＋p<0，得x<－p4，令B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x<－p4，当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x <－p4≤－1，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x ＞2或x ＜－1的充分条件．【例3】已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．{a |－1≤a ≤5} 解析：因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.集合法判断充分条件和必要条件的技巧设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A⃘B ，则p 不是q 的充分条件． (2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B⃘A ，则p 不是q 的必要条件．已知M ＝{x | a －1<x <a ＋1}，N ＝{x |－3<x <8}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解：∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎨⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是{a |－2≤a ≤7}．课时分层作业(六)(25分钟50分)1.(5分)设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是()A．x＋y＝2B．x＋y>2C．x2＋y2>2D．xy>1B解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合題意．2．(5分)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件A解析：当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，但是x＝0，y＝4时，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件．3．(5分)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件A解析：由(a－b)a2<0知，a2>0，a－b<0，即a<b成立；反之，当a<b时，由于a2可能为0，故(a－b)·a2≤0.因此“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分条件，但不是必要条件．4.(5分)下列不等式：①x<1；②0<x <1； ③－1<x <0； ④－1<x <1.其中，可以为－1<x ≤1的充分条件的所有序号为________．②③④ 解析：由于－1<x ≤1，①显然不能使－1<x ≤1一定成立，②③④满足题意．5.(5分)设集合A ＝{x ∈R|x －2>0}，B ＝{x ∈R|x <0}，C ＝{x ∈R|x <0或x >5}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的________条件．必要解析：∵A ∪B ＝{x ∈R|x <0或x >2}，C ＝{x ∈R|x <0或x >5}， ∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的必要条件．6.(5分)若不等式a －1<x <a ＋1成立的充分条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．12≤a ≤32 解析：因为不等式a －1<x <a ＋1成立的充分条件是12<x <32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≥a －1，32≤a ＋1，∴12≤a ≤32. 7.(5分)若“x <m ”是“x >2或x <1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．m ≤1 解析：由已知条件，知{x |x <m }{x |x >2或x <1}，∴m ≤1.8.(5分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．－1≤a ≤5 解析：因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.9.(10分)已知条件p ：x <1－a 或x >1＋a 和条件q ：x <12或x >1，求使p 是q 的充分条件的a 的取值范围．解：要使p 是q 的充分条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12.∴p 是q 的充分条件的a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥12.。

高中数学教师资格证笔试练题：充分条件和必要条件(练习)

1.4 充分条件和必要条件一、单选题1．“23x -<<”的一个充分条件是（） A ．24x -<< B ．03x << C ．32x -<<D ．33x -<<2．设x ∈R ，则x ＞2的一个必要而不充分条件是（） A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜33．已知x ，y 为实数，则“3x ≥，2y ≥”是“6xy ≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x ，y ∈R ，x y x y +=+成立的充分不必要条件是（） A ．0xy > B ．0xy ≥ C ．0xy <D ．0xy ≤5．“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，则C 是A 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要不充分条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设集合(){},,U x y x R y R =∈∈，若集合(){},20,A x y x y m m R =-+>∈，(){},0,B x y x y n n R =+-≤∈，则()()2,3U A B ∈⋂的充要条件是（）A ．1m >-，5n <B ．1m <-，5n <C ．1m >-，5n >D ．1m <-，5n >9．22530x x --<的必要不充分条件可以是（） A ．132x -<<B ．14x -<<C ．02x <<D ．23x -<<10．（2020-2021学年山东省日照市五莲县高一上学期期中）一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A ．0a <B ．2a <-C ．1a <-D ．1a <11．已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则（） A ．p 是q 的充分条件 B ．p 是s 的必要条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件12．下列叙述中正确的是（）A ．若,,,a b c R ∈则“22ab cb >"的充要条件是“a c >”B ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C ．若,,,a b c R ∈则“20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立"的充要条件是“240b ac -≤”D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件三、填空题13．已知△ABC ，△A 1B 1C 1，两三角形对应角相等是△ABC ≌△A 1B 1C 1的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14．设p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)15．已知:p 4x a -<；:q (2)(3)0x x --<，若q 是p 的充分条件，则a 的取值范围为_______.16．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}40C x x x =∈->R ，则“x A B ∈”是“x C ∈”的_______条件．(填：充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要)17．指出下列命题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：{6x x >或}3x <；q ：2{|60}x x x --<；（2）p ：a 与b 都是奇数；q ：a b +是偶数；（3）p ：103m <<；q ：方程2230mx x -+=有两个同号且不相等的实根.18．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |m ﹣2＜x ＜m +2，m ∈R}，集合B ＝{x |﹣4＜x ＜4}．（1）当m ＝3时，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．设集合{}1,2A =，（1）请写出一个集合B ，使“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的必要条件；（2）请写出一个集合B ，使“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的充分条件．20．已知集合{}}{22331,2,1,24A y y x x xB x x m ==-+≤≤=+≥:p x A ∈，q ：x B ∈，并且p 是q 的充分条件，求m 的取值范围.21．已知:p 实数x 满足集合{}|11A x a x a =-≤≤+，q ：实数x 满足集合{2B x x =≤-或}3x ≥.（1）若1a =-，求A B ；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.参考答案1．B解：“23x -<<”的一个充分条件就是集合{}|23x x -<<的一个子集即可，所以 B 选项满足题意. 2．A因为2x >，一定有1x >成立，但是当1x >时，2x >不一定成立，即2x >的一个必要而不充分条件是1x >． 3．A因x ，y 为实数，且3x ≥，2y ≥，则由不等式性质知6xy ≥，命题“若3x ≥，2y ≥，则6xy ≥”是真命题，当6xy ≥成立时，“3x ≥，2y ≥”不一定成立，比如1x =，10y =，满“6xy ≥”，而不满足“3x ≥，2y ≥”，即命题“若6xy ≥，则3x ≥，2y ≥”是假命题，所以“3x ≥，2y ≥”是“6xy ≥”的充分不必要条件. 4．A0x y x y xy +=+⇒≥，显然00xy xy >⇒≥，但00xy xy ≥>，易判断A 正确5．A先考虑充分性：因为两个角是对顶角，所以这两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；再考虑必要性：两个角相等，但是这两个角不一定是对顶角，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的非必要条件；所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分不必要条件. 6．B因为A 是B 的充分不必要条件，所以A B ⇒且B 推不出A ，而B 是C 的充要条件，所以B C ⇔，所以,A C C ⇒推不出A ，所以C 是A 的必要不充分条件， 7．A根据充分条件的定义可知如果p 是r 的充分不必要条件p ⇒r , s 是r 的必要不充分条件，可知r s ⇒, , 同理q 是s 的必要条件,,s q ⇒所以p ⇒q , 且反之不成立，可知p 是q 成立的充分不必要条件，8．A由题意，可得()()20,0U x y m A B x y x y n ⎧⎫-+>⎧⎪⎪⋂=⎨⎨⎬+->⎩⎪⎪⎩⎭，因为()()2,3U A B ∈⋂，所以2230230m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩，解得1,5m n >-<，反之亦成立，所以()()2,3U A B ∈⋂的充要条件是1,5m n >-<． 9．BD212530(21)(3)032x x x x x --<⇔+-<⇔-<<,即22530x x --<的充要条件是132x -<<，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，观察选项发现132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭是{}23{|14}x x x x -<<-<<，的真子集， 10．BC若方程()24300ax x a ++=≠有一个正根1x 和一个负根2x ，则121612030a x x a ∆=->⎧⎪⎨=<⎪⎩，解得0a <，则一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(),0-∞的真子集，故BC 正确，AD 错误.11．AD解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.12．BD对于A ，因为22ab cb >可得a c >，当a c >，0b =时，有22ab cb =，所以若,,,a b c R ∈则“22ab cb >"是“a c >”的充分不必要条件，故A 错；对于B ，方程20x x a ++=有一个正根和一个负根，则120140x x a a =<⎧⎨∆=->⎩ ，整理得0a <，所以“1a <”是“0a <”的必要不充分条件，故B 正确；对于C ，当0a >时，“20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立"的充要条件是“240b ac -≤”，故C 错；对于D ，当“1a >”是“11a <”成立，当“11a <”得“1a >或0a <”，故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，D 正确．13．必要不充分由两三角形对应角相等，对应边可能成任意的比例，不一定对应相等，所以△ABC ≌△A 1B 1C 1不一定成立，所以“两三角形对应角相等”是“△ABC ≌△A 1B 1C 1”不充分条件；由△ABC ≌△A 1B 1C 1必然有对应角相等，所以“两三角形对应角相等”是“△ABC ≌△A 1B 1C 1”必要条件；所以“两三角形对应角相等”是“△ABC ≌△A 1B 1C 1”必要不充分条件. 14．必要不充分由于{2x x 或}1x <-{2x x ⊆或23x ⎫<⎬⎭，故p 是q 的必要不充分条件.15．16a -≤≤记{}{}|||4|44A x x a x a x a =-<=-<<+，{}{}|(2)(3)0|23B x x x x x =--<=<<，因为q 是p 的充分条件，所以B A ⊆，所以421643a a a -≤⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩. 16．必要不充分因为集合{}{}202A x x x x =∈->=∈>R R ，{}0B x x =∈<R ，所以()(),02+A B ⋃=-∞∞，而(){}()()40,04+C x x x =∈->=-∞∞R ，因为C ()A B ，所以“x A B ∈”是“x C ∈”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.17．（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件. （1）∵2{|60}{|23}x x x x x --<=-<<，∴{6x x >或}3x <不能推出{|23}x x -<<，而{|23}x x -<<能推出{6x x >或}3x <， ∴p 是q 的必要不充分条件；（2）∵a .b 都是奇数能推出a b +为偶数，而a b +为偶数不能推出a .b 都是奇数， ∴p 是q 的充分不必要条件；（3）∵2230mx x -+=有两个同号不等实根，∴030m ∆>⎧⎪⎨>⎪⎩，∴41200m m ->⎧⎨>⎩，∴103m <<，∴p 是q 的充要条件.18．（1）A ∩B ＝{x |1＜x ＜4}，A ∪B ＝{x |﹣4＜x ＜5}；（2）[﹣2，2]．（1）当m ＝3时，A ＝{x |1＜x ＜5}；∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜4}，A ∪B ＝{x |﹣4＜x ＜5}；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集；∴2424m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：﹣2≤m ≤2，当2m =-时，40{|}A x x -＝＜＜，当2m =时，04{|}A x x ＝＜＜，A 是B 的真子集都成立，所以实数m 的取值范围是：[﹣2，2]．19．（1）{}1,2,3B =（答案不唯一）；（2）{}1B =（答案不唯一）（1）由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，由此可得{}1,2,3B =符合题意.（2）由于于“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，由此可知{}1B =符合题意.20．)33,,44⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎢⎦⎣⎝.由题意，{}23371,222416A y y x x x yy ⎧⎫==-+≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭， }{}{221|1B x x m x x m =+≥=≥-，命题p 是命题q 的充分条件，27116A B m ∴⊆∴-≤，，解得34m ≥或34m ≤-，实数m 的取值范围是)33,,44⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎢⎦⎣⎝21．（1）{0x x ≤或}3x ≥；（2）3a ≤-或4a ≥. （1）因为1a =-，所以{}20A x x =-≤≤A B ={0x x ≤或}3x ≥；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，所以12a +≤-或13a -≥，所以3a ≤-或4a ≥.故答案为：（1）{0x x ≤或}3x ≥；（2）3a ≤-或4a ≥.。

高中数学(必修一)第一章充要条件练习题及答案

高中数学（必修一）第一章充要条件练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．若命题“若a M ∈，则b M ∉”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉2．设x ∈R ，则“2x >”是“21x <”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知下列四组陈述句：①p ：集合(){}**|3A x y x y x y =+=∈∈N N ，，，；q ：集合{(1,2)}． ①p ：集合A B C A ⊆⊆⊆；q ：集合A B C ==．①p ：{}21x x x n n ∈=+∈Z ，；q ：{}61x x x n n ∈=-∈N ，．①p ：某中学高一全体学生中的一员；q ：某中学全体学生中的一员．其中p 是q 的必要而不充分条件的有( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①4．已知,R a b ∈，则“1a >或1b >”是“2a b +>”的（）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 5． “2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件7．命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A ．4a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．1a ≥8．若α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l α⊂，则“l β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合{}{}22,1A xx x B x a x a =-≤=≤≤+∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,2- D ．[]1,1-二、填空题10．下列说法错误的是_________________①若0xy ≥，则x y x y +>+①若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠①“2a b x +>是x >的充分不必要条件 ①“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”11．直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是__________.12．已知p ：210x ≤≤，q ：11a x a -<<+，R a ∈，且p 是q 成立的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________．三、多选题13．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（）A ．p ：0xy >，q ：0x >，0y >B ．p ：A B A ⋃=，q ：B A ⊆C ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分四、解答题14．已知集合{|211}A x a x a =-≤≤+，{|03}B x x =≤≤．(1)若a ＝1，求A B ；(2)给出以下两个条件：①A ①B ＝B ；①“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）参考答案与解析：1．D【分析】原命题与其逆否命题同真假,故找出题设命题的逆否命题即可.【详解】命题“若a M ∈,则b M ∉”的逆否命题为:“若b M ∈,则a M ∉”,因为原命题与其逆否命题同真假,故由原命题为真命题可知其逆否命题为真命题,故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查命题间的真假关系,属于基础题.2．A 【分析】根据分式不等式的解法求21x <的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】当21x<时，有0x <或2x >，所以2x >是21x <的充分条件，但不是必要条件. 故选：A3．D【分析】逐个判断是否有q p ⇒且p q 即可．【详解】①若**3x y x y +=∈∈N N ，，，则12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，①{(1,2),(2,1)}A =，即p ：{(1,2),(2,1)}A =；故q p⇒且p q ，即p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①若A B C A ⊆⊆⊆，则根据子集的性质可得A B C ==，即p ：A B C ==；故p 是q 的充要条件，不符题意；①对于21x n n =+∈Z ，，当31n k k =-∈Z ，时，61x k k =-∈Z ，，故{}61x x n n =-∈N ， {}21x x n n =+∈Z ，，①p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①易知p q ⇒且q p ，即p 是q 的充分而不必要条件，不符合题意；综上，p 是q 的必要而不充分条件的有①①．4．B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】当1a >或1b >时，如2a =，3b =-，此时1a b +=2<，因此不充分，若1a ≤且1b ≤，则2a b a b +≤+≤，因此是必要的．即为必要不充分条件．故选：B ．5．D【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当2x π=时，函数cos 2cos 1y x π===-，故充分性不成立；当函数cos 2y x =取得最大值时，22,Z x k k π=∈，即,Z x k k π=∈，故必要性也不成立，综上可得：“2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的既不充分也不必要条件．故选：D ．6．B【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足. 故选：B7．A【分析】充分不必要条件是指由结果不能推出条件，故放宽条件即可.【详解】由题知，命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，满足[1,3]x ∀∈-，22x x a -≤.则当[1,3]x ∈-时，222(1)13x x x -=--≤，所以命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，3a ≥.经验证，A 选项符合题意；8．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定分析判断即可.【详解】若l α⊂，l β∥，则平面α和平面β可能平行，也可能相交；若l α⊂，αβ∥，则l β∥，所以“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选：C ．9．D【分析】根据二次不等式的求解，结合集合关系的区间端点大小关系求解即可【详解】{}()(){}[]222101,2A x x x x x x =-≤=-+≤=-∣∣，因为B A ⊆，故112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤ 故选：D10．①①①【分析】①当,x y 均为正数时结论是错误的；①220x y +≠出,x y 不同时为0，故正确；①只有0a ，0b 时，2a b x +>才可推出，x > ①命题的否定只否定结论，故错误.【详解】对于选项①：若0x ，0y ，则||||||x y x y +=+，故①错误；对于选项①：若0x =且0y =，则220x y +=，所以：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠，故①正确；对于选项①：当0a ，0b 时，若2a b x +>，则x >题中没有说明,a b 的范围，所以是不充分，当x >时，2a b x +>不一定成立，如：2,8,4a b x ==>=，2a b x +>为2852x +>=，不成立，故“2a b x +>是x >的即不充分也不必要条件，故①错误；对于选项①：“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x +”，故①错误.故答案为:①①①11．0m =或1m =-【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】当m=0时，两直线为y=2与x= -1，此时两直线垂直;当2m -1=0，即m=12时，两直线为x= -4与3x+12y+3=0，此时两直线相交不垂直;当m≠0且m ≠12时，两直线的斜截式方程为233,2121m y x y x m m m m -=-=----, 由两直线垂直可知3121m m m -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得m= -1，故两直线垂直的充要条件是0m =或1m =-.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，本题的关键是由两直线垂直得出参数m 的取值，易错点是忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误,12．[]3,9【分析】根据题意可得()1,1a a -+ []2,10，即可建立不等关系求解.【详解】因为p 是q 成立的必要非充分条件，所以()1,1a a -+ []2,10，所以12110a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]3,9.故答案为：[]3,9.13．BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由0xy >，得0x >，0y >或0x <，0y <，故P 不是q 的充要条件，故A 错误；对于B ：由A B A ⋃=，则B A ⊆，若B A ⊆则A B A ⋃=，故P 是q 的充要条件，故B 正确；对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确；对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误；故选：BC14．(1){|03}A B x x ⋃=≤≤ (2)1[,)2+∞【分析】（1）由并集定义计算；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆，然后分类讨论：A =∅与A ≠∅两类求解；若选择①，得A 是B 的真子集，同样分类A =∅与A ≠∅求解．（1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤，所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意；当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤；所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．若选择①，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ．当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤；所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．。

高三数学充分条件与必要条件试题

高三数学充分条件与必要条件试题1.设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的____________条件．【答案】必要不充分【解析】M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，所以N M，故a∈M是a∈N的必要不充分条件．2.“”是“”的( ).A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，；当时，，解得：，或，或.所以“”是“”的充分而不必要条件.【考点】1.对数函数的单调性；2. 充分条件、必要条件和充要条件的判断3.以q为公比的等比数列{}中，，则“”是“”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等比数列中，若，则由可得，，即或；若，则有，所以，，即.所以，“”是“”的必要而不充分条件．故选.【考点】充要条件，等比数列的通项公式.4.“是真命题”是“为假命题”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】①是真命题为真命题或为真命题，不能得出是假命题，即是真命题不能得出是假命题；②是假命题是真命题是真命题．由①②可知“是真命题”是“为假命题”的必要不充分条件，故选A．【考点】逻辑关系与充要条件．5.设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b＞0是f(x)＞0在[0,1]上恒成立的________条件．(填充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)【答案】必要但不充分【解析】由∴a＋2b＞0.而仅有a＋2b＞0，无法推出f(0)＞0和f(1)＞0同时成立．6.条件，条件，则是的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】不等式的解集为：或，不等式的解集为：，故为，为，则，则是的充分非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7.“”是“” 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以“”是“” 的必要不充分条件.【考点】充分与必要条件.8.设a∈R，则“a＝1”是直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＝1⇒l1∥l2，反之不一定成立．9.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则m=【答案】【解析】，，解得【考点】向量共线的充要条件是.10.圆与直线有公共点的充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆与直线有公共点，则，即或，那么其充分不必要条件选B.【考点】1.点到直线的距离；2.充分不必要条件.11.已知直线、，平面、，且，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，因为，故，又，∴；当时，可能相交，所以选A.【考点】1、面面平行的判定和性质；1、充分条件和必要条件.12.已知是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若中有非正数，则虽有成立，但不成立，所以不是的充分条件；若，根据函数在上是增函数，有，又在上是减函数，所以，所以是的必要条件，选B.【考点】充分条件与必要条件，指数函数和对数函数.13.已知是直线，是平面，且，则“”是“”的( )A．必要不充条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】有线面垂直的判断定理可知，由“”推不出“”，但是反之成立，故答案为A.【考点】条件的判断.14.设，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取，，则，此时，；当时，则，在不等式的两边同时除以正数得，，故，即“”是“”的必要不充分条件.【考点】不等式的性质、充分必要条件15.已知向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以选A.【考点】向量的坐标运算.16.“”是“”成立的条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分【解析】若去此时无法推出，但是反之，根据对数函数单调递增可知成立，故填“必要不充分”.【考点】充分必要条件的判断.17.已知在平面内有一区域M，命题甲：点；命题乙：点,如果甲是乙的必要条件，那么区域M的面积有（）A．最小值8B．最大值8C．最小值4D．最大值4【答案】B【解析】根据题意，由于在平面内有一区域M，命题甲：点；命题乙：点,如果甲是乙的必要条件，则说明甲表示的区域中包含点(a,b)所在的区域M，那么结合不等式表示的平面区域，区域可知有最大值为围成的面积8，故答案为B。

中职教育数学《集合与充要条件》测试题

集合与充要条件一、选择题（每小题3分，共39分）1、①“全体著名文学家”构成一个集合；②集合{0}中不含元素；③{1，2}，{2，1}是不同的集合；上面三个叙述中，正确的个数是（）A 、0B 、1C 、2D 、32、集合A={0，1，2，3，4，5}，B={2，3，4}，A B ⋃=（） A 、{0，1，2，3，4，5} B 、{2，3，4} C 、{0，1，2，2，3，3，4，4，5} D 、{1，2，3，4}3、设{}()M 1{1,2},{1,2,3},S P M S P ===⋃⋂，则等于（） A 、{1，2，3} B 、{1，2} C 、{1} D 、{3}4、}3,2,1,0{}1,0{⊆⊆A ，则集合A 的个数有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个5、下列各式中，不正确的是（） A 、A A = B 、A A ⊆ C 、A A ⊂≠D 、A A ⊇ 6、已知集合*{|2}A x x x N =≥∈且，*{|6}B x x x N =≤∈且，则B A ⋂等于（）A 、{1，2，3，4，5，6}B 、{2，3，4，5，6}C 、{2，6}D 、{|26}x x ≤≤7、已知集合}12|{<<-=x x M ，则下列关系式正确的是（）M A 、∈5 M B 、∉0 M C 、∈1 8、设{|33},42A x x a =≤=，则下列关系式正确的是（）A 、{}a A ∉B 、{}a A ∈C 、a A ∉D 、a A ∈ 9、在下列式子中，①}210{1，，∈ ②}210{}1{，，∈ ③}210{}210{，，，，⊆ ④{0,1,2}⊂∅≠ ⑤{0，1，2}={2，1，0}，其中错误的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 10、满足条件{}M 1{1,2,3}⋃=的集合M 的个数是（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、111、设全集{0,123456}U =，，，，，，集合{3456}A =，，，，则U C A =（）A 、{0，3，4，5，6}B 、{3，4，5，6}C 、∅D 、{0，1，2} 12、225x =的充要条件是（）A 、55x x ==-且B 、55x x ==-或C 、5x =D 、5x =-13、下列集合是无限集的是（） A 、{|01}x x ≤≤ B 、2{|10}x x += C 、2{|60}x x x --= D 、{|(1),}n x x n N =-∈ 二、填空题（每小题4分，共20分） 14、用适当的符号（,,,,⊂⊃∈∉=≠≠）填空：(1) a {,}a b(2) {a } {,}a b(3) {2，4，6，8} {4，6} (4) {2，3，4} {4，3，2}15、{|2}{|2}x x x x >-⋂≤=16、设U 是一个全集，A 、B 为U 的两个子集，试用阴影线在下图中分别标出下列集合：（1）U C B A ⋂（2）()()U C A B A B ⋃⋃⋂17、设{(,)|0},{(,)|4},A x y x y B x y x y =+==-= 则A B ⋂= 。