2020年小学四年级奥数第06讲-变化规律(学)

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四年级《数的变化规律》奥数教案

生：被除数扩大2倍，就变成了120×2=240。
师：除数不变，还是6，现在商变成了多少呢？
生：用240÷6=40。
师：观察当被除数扩大2倍，除数不变，商怎么样了？
生：被除数扩大2倍，除数不变，商扩大了2倍。
师：解决了第一个问题，我们一起来看看第二个问题。“如果被除数缩小4倍，除数不变，商又是多少呢？”
板书：
49÷7=7
答：被除数应缩小7倍。
5. 两数相除，商是17，余数是170，被除数和除数怎样变化，商和余数就相等
了？
板书：
170÷17=10
答：被除数和除数同时缩小10倍时，商和余数就相等了。
家庭作业
主管评价
主管评分
课后反思
（不少于60字）
整体效果
设计不足之处
设计优秀之处
二、教学重点：
使学生经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。
三、教学难点：
发现规律，掌握规律。
四、教学准备：
PPT
五、教学过程：
第一课时（50分钟）
一、导入（5分)
阿派最近喜欢上了吃橙子，请你们帮忙算一算，一千克橙子6元，买2千克花掉多少钱？40千克呢？200千克呢？（学生回答）
6×2=12（元）
6×40=240（元）
6×200=1200（元）
师：仔细观察、比较这组算式，你能发现什么？
生1：有一个乘数都是6。
生2：对，一个乘数相同，另一个乘数不同，积也不同。
师：观察得真仔细!一个乘数相同可以说一个乘数不变，那另一个乘数呢？
生3：另一个乘数变了，积也变了。
生4：我看到一个乘数不变，另一个乘数越变越大，积也越变越大。
三、小结：（5分）

四年级数学思维训练导引(奥数)第06讲行程问题一

第六讲行程问题一1.A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了1小时．如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？2．A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：(1)甲从A走到B需要多长时间？(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？3．在第2题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发．请问：乙出发后多久可以追上甲？4．甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地．2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地．问：什么时候两车在途中相遇？5．小悦和冬冬分别从相距720米的两地出发同向而行，且冬冬比小悦先出发2分钟．已知小悦的速度是每分钟60米，冬冬的速度为每分钟50米，试问：当小悦追上冬冬的时候，冬冬已经走了多少米？6．一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问：(1)2小时后两车相距多少千米？(2)经过几小时后两车第一次相距50千米？7．一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300千米的两地同时出发，同向而行．公共汽车在前，每小时行40千米；小轿车在后，每小时行60千米，问：(1)经过6小时后两车相距多少千米？(2)经过几小时后两车第一次相距100千米？8．甲、乙两人分别在A地和B地，甲从A地到曰地需要20分钟，乙从曰地到A地需要30分钟．如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？9．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行．已知甲车每小时行驶40千米，两车6小时后相遇．相遇后它们继续前进，又过了3小时，甲车到达艿地，问：乙车还要过多久才能到达A地？10.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行．已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分钟．出发3分钟后，甲、乙仍相距450米．问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？1．甲、乙两地相距450千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快车每小时行60千米，慢车每小时行30千米．试问：(1)如果两车同时出发，几小时后相遇？(2)如果慢车比快车早出发3小时，当两车相遇时快车走了多远？2．A、曰两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问：(1)从出发算起，多久后甲、乙两车第一次相距100千米？(2)从出发算起，多久后甲、乙两车第二次相距100千米？3．甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米，乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？4．冬冬步行上学，每分钟行75米．冬冬离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸爸追上冬冬所需要的时间．5．小轿车和大货车上午9点同时同向从甲地出发，小轿车每小时开60千米，大货车每小时开48千米．请问：下午几点的时候小轿车领先大货车72千米？6．一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去．3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城．当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米．问：公共汽车什么时候到达B城？7．甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行．甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离．8．小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米．实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶30千米，这样就晚到了2小时．请问：小悦一家在路上实际花了几个小时？9．甲从A地出发去召地办事情，下午1点出发，晚上7点准时到达．如果他想下午2点出发，晚上7点准时到达，每小时就必须多行2千米，求A、B两地之间的距离．10.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．如果相向而行，l小时后两人相遇；如果同向而行，3小时后甲追上乙．问：甲的步行速度是乙的几倍？11.甲、乙两人分别由A、曰两地同时出发，相向而行．A、B两地相距48千米，甲的速度是乙的3倍．请问：当甲、乙相遇的时候，甲走了多远？12.猎狗追兔子，猎狗的速度是兔子的2倍，兔子径直往兔洞里跑，猎狗则紧随其后．现在，猎狗距离洞口还有1000米，当猎狗跑到兔子现在的位置时，兔子距离洞口将还剩100米．问：现在兔子距离洞口多少米？最终兔子会被猎狗追上吗？1．小悦、冬冬骑车从甲地同时出发，同向而行．小悦的速度比冬冬的速度每小时快4千米，因此小悦比冬冬早20分钟通过途中的乙地，当冬冬到达乙地时，小悦又前进了8千米．求甲、乙两地之间的距离．2．甲、乙两人分别从A、曰两地同时出发，6小时后相遇在中点．如果甲延迟1小时出发，乙每小时少走4千米，两人仍在中点相遇．请问：甲、乙两地相距多少千米？3．冬冬平时每天上学都是先步行10分钟后再跑步2分钟．某天他步行6分钟后就开始跑步，结果比平时早到了2分钟，请问：冬冬跑步的速度是步行速度的几倍？4．阿奇家离学校1000米，平时他步行25分钟后准时到校．有一天他晚出发10分钟，为避免迟到，阿奇先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校，已知公共汽车的速度是阿奇步行速度的6倍，请问：阿奇这天上学步行了多少米？5．甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行．已知：甲车速度是乙车的2倍，甲、乙到达途中C站的时刻依次为5:00和17:00.问：两车是在几点相遇的？6．甲、乙两人分别由A、曰两地同时出发．如果相向而行，1小时后两人相遇；如果同向而行，且乙先出发2小时，那么甲3小时后追上乙，请问：甲的速度是乙的几倍？7．如图6-1所示，一条笔直的公路上有16个车站Al，A2，A，…，A16，已知相邻两站之间的距离都相等．有一天，甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站．甲先出发，当甲到达第2站时，乙出发．当乙到达第3站时丙出发．如果丙在第4站追上乙，甲和丙同时到达第16站，那么甲的速度是乙的速度的几倍？8．甲、乙两人分别从相距24千米的A、B两地同时出发同向而行，一段时间后甲在 C点追上乙，如果甲每小时多走1千米，而乙每小时少走1千米，则甲追上乙的时间会少用2小时，且追上的地点与C点相距12千米．试问：如果甲、乙两人以原速分别从 A、日两地同时出发相向而行，需要几个小时相遇？。

第6讲四年级奥数变化规律

第6讲变化规律一、知识要点加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系：（1）加法：加数部分与和的变化方向是一样的，加数怎么变，和就怎么变。

（2）减数：被减数与差的变化方向相同，被减数增大或减少，差也会随之增大或减少；减数与差的变化方向相反，减数增大或减少，差反而会减少或增大。

（3）乘法：因数部分与积的变化方向相同。

因数扩大或缩小，积随之扩大或缩小。

（4）除法：被除数与商的变化方向相同，被除数扩大或缩小，商也随之扩大或缩小；除数与商的变化方向相反，除数扩大或缩小，商反而缩小或扩大。

二、精讲精练【例题1】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那另一个加数应有什么变化？【思路导航】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。

现在要使和增加6，那么另一个加数应减少。

【例题2】两个数的差是151，被减数减少27，减数增加12.差变成多少？【思路导航】被减数减少27，假如减数不变，差也减少；现在要减数增加12.差应减少。

【例题3】两数相乘，积是96。

如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？【思路导航】如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小4倍，积将缩小倍。

积先扩大3倍又缩小4倍，因此，积扩大了【例题4】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？【思路导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。

所以商是，余数是。

被除数－余数=除数×商，所以余数＝被除数－除数×商↑↑10倍 10倍【例题5】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。

原来两个数相加的正确答案是多少？【思路导航】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。

四年级奥数·变化规律

第9讲变化规律（一）一、知识要点和、差的规律见下表（m≠0）m二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【思路导航】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。

练习1：1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？【思路导航】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。

现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。

练习2：1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？【思路导航】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。

两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。

练习3：1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？【思路导航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。

积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。

练习4：1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？【思路导航】如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。

四年级奥数题(四)变化规律

四年级奥数题（四）变化规律
1、两个数相加,一个加数增加9,另一个加数增加18,和起什么变化?
2、两个数相加,如果一个加数减少7,要使和增加7,另一个加数应如何变化?
3、两个数相加,如果一个加数减少24,要使和减少9,另一个加数应起什么变化?
4、两个数相加,如果一个加数增加11,要使和减少5,另一个加数应如何变化?
5、两数相减,若被减数减少6,减数减少7,有何变化?
6、两数相减,若被减数增加8,减数减少18差有何变化?
7、两数相乘,一个因数扩大5倍,要使积缩小到原数的51,另一个因数应怎样变化？
8、两数相乘,一个因数扩大到原数的12倍,要使积扩大到原数的3倍,另一个因数应怎样变化？
9、两数相乘,积是72,若一个因数缩小到原数的
41,另一个因数缩小到原数的
21,那么积是多少?
10、两数相乘,是150,若一个因数小到原数的
101另一个因数扩大到原数的6倍,那么积是多少？
11、两数相除,被除数扩大到原数的3倍,除数缩小到原数的41,商将怎样变化?。

四年级下奥数 (加、减、乘、除法)变化规律课件

变化规律
概述
01
加法
减法乘法
1
02
2
03
3
04
除法
4
加数＋另一个加数 = 和
加法
01
加法
一个加数（a）另一个加数（b） ±m 不变 ±m 不变 ±m m
和（c） ±m ±m 不变
例1：两个数相加，一个加数增加10，另一个加数减少10，和是否发生变化？
• 分析与解答：一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10；假如一个加数不变，另
思路导航：
减数与差的和即是被减数。2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2＝1038.差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应为 1038÷（2+1）＝346,减数为346×2＝692。被减数不变，差增加42,减数应减少42,所以减数应变为692－42＝650.
对应练习
1、被减数、减数与差的和是120，而差是减数的3倍，如果差不变，被减数减少5，减数应变为多少？ 2、被减数、减数与差的和是90，而差是减数的2倍，如果被减数不变，差增加7，减数应变为多少？
例8：两数相除，如果被除数缩小至原来的1/3，除数扩大2倍，商将怎样变化？
•分析与解答：如果被除数缩小至原来的1/3,除法不变，商就缩小至原来的1/3，如果被除数不变，除数扩大2倍，商就缩小至原来的1/2,商就缩小至原来的1/3,接着又缩小1/2,所以商将缩小至原来的1/3×1/2 = 1/6。
3、被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8，如果被减数不变，减数减少16，差应变为多少？
课后作业
举一反三（B）P17、P18
乘数 × 乘数 = 积
乘法
03
乘法
一个乘数（a）另一个乘数（b） ×m ÷m 不变 ÷m ×m 不变 ×m ÷m ×m ÷m 积（c） ×m ÷m ×m ÷m 不变

高斯小学奥数四年级上册含答案第06讲_相遇问题

第六讲相遇问题院子里两棵槐树之间的距离是10米，一只小猫从一棵槐树跑到10米外的另÷=米．一棵槐树需要5秒，那么小猫每秒跑1052行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系．速度是衡量运动快慢的量．一般我们选用1个单位的时间，如用1小时或1分钟或1秒，用1个单位的时间内经过的路程的多少来表示速度的大小．因此，我们有了速度的定义：速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下：那么本文一开始提到的小猫跑过的距离10米就为路程，行程问题中常用的路程单位是米和千米．而小猫跑了5秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和小时．那么小猫的速度就是2米／秒，行程问题中常用的速度单位有米／秒、米／分和千米／时．例题1甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？「分析」要计算速度，找清楚对应．．的路程和时间即可．练习1兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米．兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程要比计划的要少200米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？例题2A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：（1）甲从A走到B需要多长时间？（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？「分析」从出发到相遇，两人一共走了多远？他俩每分钟一共走多远呢？练习2阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行．阿呆每分钟走150米，阿瓜每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？在两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反．当它们行进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们就称为“相向而行”；如果它们背对背地远离，我们就称为“相背而行”．两人之间的“相遇问题”既可以是“相向而行”也可以是“相背而行”，其中“相向而行”的相遇问题更常见一些．相遇问题关心的是两个人的“速度和”以及“路程和”．根据行程问题基本公式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式：在使用上述公式的时侯一定要注意，两个运动物体必须同时行进．如果整个相遇过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接应用了，需要分段考虑．例题3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问：（1）2小时后两车相距多少千米？（2）出发几小时后两车第一次相距50千米？（3）出发几小时后两车第二次相距50千米？「分析」两辆车从两地出发相向而行，为什么会有两次相距50千米呢？画出线段图，试着找找相同时间内两辆车的路程和吧！练习3A 、B 两地相距400千米，甲、乙两车分别从A 、B 同时出发，相向而行．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问：出发几小时后甲、乙两车第一次相距100千米？再过多长时间两车第二次相距100千米？对一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时就需要用一种形象的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题最得力的助手——线段图．画线段图时要特别注意：（1）专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以把它们的运动路线并排摆放，要注意不同人的运动路线不同；（2）同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线上表示相应的时刻．比如上图表示汽车A 与汽车B 分别从甲地、乙地同时出发，从开始①时刻到②时刻两车相遇，从②时刻到③时刻表示两车相遇后各自的运动情况．这样一来，我们就可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚．画线段图是解行程问题最基本的方法．通过作图，可以将题目中的条件梳理清楚，还可以通过对图形的观察，挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件，进而找到解题的的突破口．汽车A汽车B例题4甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地．2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地．问：什么时候两车在途中相遇？「分析」两辆车不同时出发，可是不能直接用公式计算时间的．还是画出线段图，寻找相同时间内的路程和进行分析计算吧！练习4小王和小许从相距5000米的各自的家里出发，相向而行．小王每分钟走300米，小许每分钟走200米．小王出发10分钟后小许才从家出发，那么小王走了多长时间两人才相遇？例题5（1）小高跑400米用50秒，旗鱼每小时能游120千米．请问：谁的速度更快？（2）一般情况下，成年人跑100米要用14秒，河马奔跑的速度是40千米／时，河马跑的比人快吗？「分析」单位相同时，比较速度的大小即得谁快谁慢，这两小问中速度单位都没办法统一，该怎么去比较快慢呢？例题6甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分钟，出发3分钟后，甲、乙仍相距450米．请问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？「分析」乙已经走了3分钟，那么走完剩下的路程就还需要多长时间？你能找到这段时间的路程吗？画出线段图分析吧！课堂内外作业1.一名长跑运动员以每秒4米的速度奔跑，那么5分钟后，他跑了多少米？2.甲、乙两车从相距700千米的两地同时出发，相向而行．甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，出发几小时后两车相遇？3.甲、乙两车从两地同时出发，相向而行．甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，出发2小时后两车相遇．请问两地相距多少千米？4.一只大老鼠和一只小老鼠分别从一根长1000厘米的直面条的两端开始吃．大老鼠每秒钟吃3厘米，小老鼠每秒钟吃1厘米，请问多长时间后，大老鼠和小老鼠第一次相距40厘米？5.甲、乙两城相距580千米，从甲城开往乙城的客车每小时行驶60千米．客车出发1小时后，货车从乙城开往甲城，每小时行70千米．货车开出多少小时后两车相遇？第六讲相遇问题1.例题1答案：45千米/小时；60千米/小时．详解：（1）行驶路程是360千米，行驶时间是8小时，所以行驶速度是360845÷=千米/小时；（2）后一半路程是3602180÷=千米，行驶总时间仍然是8小时，前半程花了415+=小时，所以后半程行驶时间是3小时，后半程的速度是180360÷=千米/小时． 2.例题2答案：80分钟；30分钟详解：（1）甲行驶的路程是4800米，行驶的速度是60米/分钟，所以行驶的时间是48006080÷=分钟；（2）两人从出发到相遇行驶的路程和是4800米，行驶的速度和是60100160+=米/分钟，所以相遇时间是480016030÷=分钟． 3.例题3答案：150千米；3小时；4小时详解：（1）两车的速度和是4060100+=千米/小时，行驶时间是2小时，所以两车的路程和是1002200⨯=千米，两车相距350200150-=千米；（2）两车第一次相距50千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是35050300-=千米，两车的速度和是4060100+=千米/小时，行驶时间是3001003÷=小时；（3）两车相遇后继续行驶，第二次相距50千米时，两车行驶的路程和是35050400+=千米，两车的速度和是4060100+=千米/小时，行驶时间是4001004÷=小时． 4.例题4 答案：13点详解：画行程图，如下图所示，“车1”提前出发2小时所行驶的路程是40280⨯=千米，剩下的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和，路程和是35080270-=千米，速度和是405090+=千米/小时，所以相遇时间是270903÷=小时，“车2”从10点出发，行驶了3小时，所以13点两车在途中相遇． 5.例题5答案：旗鱼快；河马比人快详解：（1）小高的速度是400508÷=米/秒，单位不一样，无法比较，所以把小高的速度变成米/小时，1小时小高跑8360028800⨯=米，速度即28800米/小时；旗鱼的速度是120000米/小时，所以旗鱼的速度更快；（2）成年人14秒跑100米，所以1秒跑7米多；河马1小时跑40千米，车1 40km /h车2 50km /h乙所以1秒跑11米多，所以河马跑的比人快；或者可以统一路程比速度：河马跑40000米用1小时即3600秒，而成人跑40000米需要144005600⨯=秒，路程相同，河马用时短，所以更快． 6.例题6 答案：5分钟详解：甲3分钟所行驶的路程是503150⨯=米，乙距离A 地还有150450600+=米．乙行驶全程要18分钟，已经行驶了3分钟，还需要行驶15分钟才能走完600米，所以乙的速度是6001540÷=米/分，450米是两人之后的路程和，速度和是504090+=米/分，所以还需要450905÷=分钟，甲、乙两人才能相遇．7.练习1 答案：6分钟详解：原计划5分钟跑完6000米，所以原计划速度为600051200÷=米/分，实际每分钟跑12002001000-=米，所以实际时间为600010006÷=分钟． 8.练习2 答案：10分钟详解：从出发到相遇，路程和为5000米，速度和为150350500+=米/分，所以时间为500050010÷=分钟． 9.练习3答案：3小时；5小时简答：（1）两车第一次相距100千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是400100300-=千米，两车的速度和是4060100+=千米/小时，行驶时间是3001003÷=小时；（2）两车相遇后继续行驶，第二次相距100千米时，两车行驶的路程和是400100500+=千米，两车的速度和是4060100+=千米/小时，行驶时间是5001005÷=小时． 10. 练习4答案：14分钟简答：画行程图，如下图所示，小王提前出发10分钟所行驶的路程是300103000⨯=米，剩下的路程是两人在相同时间内行驶的路程和，路程和是500030002000-=米，速度和是300200500+=米/分，相遇时间是20005004÷=分钟，所以小王一共走了10414+=分钟两人才相遇． 11. 作业1甲50米/分乙BA王 300许 200答案：1200米简答：45601200⨯⨯=米．注意单位换算．12.作业2答案：7小时简答：相遇时间为()÷+=小时．7004060713.作业3答案：270千米简答：两地距离即为两车路程和，为()+⨯=千米．6075227014.作业4答案：240秒简答：第一次相距40厘米，两只老鼠共同吃的面条长度和为100040960-=厘米，用时()÷+=秒．9603124015.作业5答案：4小时简答：客车1小时行60千米，货车出发时两车相距58060520-=千米，相遇时间为()÷+=小时．所以货车出发后4小时两车相遇了．52060704。

四年级奥数专题：变化规律1

变化规律（一）一、知识要点和、差的规律见下表（m≠0）m二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【思路导航】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。

现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。

两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。

积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。

小学四年级奥数课件：变化规律

3，两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
例5：被减数、减数、差相加得2076,差是减数的一半。如果被减数不变，差增加42,减数应变为多少？
思路导航：减数与差的和即是被减数。2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2＝1038.差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应为1038÷（2+1）＝346,减数为 346×2＝692。被减数不变，差增加42,减数应减少42, 所以减数应变为692－42加数另一个加（a）数（b）
±m
不变
不变
±m
和（c）
±m ±m
±m
－
不变
＋m
被减数（a）减数（b）差（c）
±m
不变
±m
不变
±m ±m
±m －＋m
不变
例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
• 分析与解答：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
练习五
1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 120，而差是减数的3倍。如果差不变，被减数减少5，减数应变为多少？
2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 90，而差是减数的2倍。如果被减数不变，差增加 7，减数应变为多少？
3、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 180，而差比减数少8。如果被减数不变，减数减少16，差应变为多少？
例4：两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
• 分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。

四年级奥数之变化规律(一)

变化规律（一）
1.两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
2.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
3.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？
4.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？
5.两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
6.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
7.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
8.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？
9.两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
10.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
11.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？
12.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？
13.两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
14.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
15.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
16.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？
17.两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
18.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
19.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
20.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？。

完整版小学四年级奥数变化规律一

第九周变化规律（一）例 1：两个数相加，一个加数增添 9，另一个加数减少 9，和能否发生变化？剖析与解答：一个加数增添 9，假如另一个加数不变，和就增添9；假如一个加数不变，另一个加数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接着又减少9，所以不发生变化。

练习一1，两个数相加，一个数减8，另一个数加 8，和能否变化？2，两个数相加，一个数加 3，另一个数也加 3，和起什么变化？3，两个数相加，一个数减6，另一个数减 2，和起什么变化？例 2：两个数相加，假如一个加数增添 10，要使和增添 6，那么另一个加数应有什么变化？剖析与解答：一个加数增添 10，假如另一个加数不变，和就增添10。

此刻要使和增添6，那么另一个加数应减少10－6=4。

练习二1，两个数相加，假如一个加数增添8，要使和增添15，另一个加数应有什么变化？2，两个数相加，假如一个加数增添8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3，两个数相加，假如一个加数减少8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？例 3：两数相减，假如被减数增添 8，减数也增添 8，差能否起变化？剖析与解答：被减数增添 8，假如减数不变，差就增添 8；假如被减数不变，减数增添 8，差就减少 8。

两个数的差先增添 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。

练习三1，两数相减，被减数减少6，减数也减少 6，差能否起变化？2，两数相减，被减数增添12，减数减少 12，差起什么变化？3，两数相减，被减数减少10，减数增添 10，差起什么变化？例 4：两数相乘，假如一个因数扩大 8 倍，另一个因数减小 2 倍，积将有什么变化？剖析与解答：假如一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大8 倍；假如一个因数不变，另一个因数减小 2 倍，积将减小 2 倍。

积先扩大8 倍又减小 2 倍，所以，积扩大了8÷2=4倍。

练习四1，两数相乘，假如一个因数减小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和能否起变化？2，两数相乘，假如一个因数扩大 3 倍，另一个因数减小12 倍，积将有什么变化？3，两数相乘，假如一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？例 5：两数相除，假如被除数扩大 4 倍，除数减小 2 倍，商将如何变化？剖析与解答：假如被除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除数减小 2 倍，商就扩大 2 倍。

四年级奥数教师版第六讲幻方与数阵图

第六讲幻方与数阵图知识导航三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。

例1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。

如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。

于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。

接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。

同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。

没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。

看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。

下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E 的四条直线：因为A +E +I =15, B +E +H =15, C +E +G =15, D +E +F =15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I ）+3×E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I 不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是第1题不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。

解：根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。

四年级奥数变化规律试题

四年级奥数变化规律试题四年级奥数变化规律试题练习1：1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化?2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化?3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化?【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化?【思路导航】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。

现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10-6=4。

练习2：1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化?2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化?3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化?【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化?【思路导航】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8;假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。

两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。

练习3：1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化?2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化?3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化?【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化?【思路导航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍;如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。

积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。

练习4：1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化?2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化?3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化?【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化?【思路导航】如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍;如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。

小学数学奥数加减乘除变化规律四年级讲课上课PPT教学精品课件

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乘法中的变化规律
①因数扩大→积也扩大；②因数缩小→积也缩小；
？思考：积÷2×8→积怎么变化？
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是乘的大请还在此是处除输以入所的需标大题?
例3 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化?
乘的大还是除以的大？
例3 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化? 列式解答：积×8÷2=
乘法中的变化规律 ①因数扩大，积也？
思考：扩大4倍怎么表示？
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例1 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数扩大2倍，积将有什么变化?
因数扩大→积也扩大
例1 两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数扩大2倍，积将有什么变化? 列式解答：积×8×2=
商
被除数相同；除数相反！
例2 两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2 倍，商将怎样变化?
列式解答：商×4×2=
商
被除数相同；除数相反！
除法中的变化规律
①被除数与商→变化相同！
相反 ②除数与商→变化
！
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三星训练
练1 两数相除，如果被除数扩大12倍，除数扩大6 倍，商将怎样变化?
商
（在练习本上完成）被除数相同；除数相反！
三星训练
练2 两数相除，如果被除数缩小12倍，除数缩小6 倍，商将怎样变化?
商
（在练习本上完成）被除数相同；除数相反！
三星训练
拓两数相除，商是30！如果被除数扩大12倍，除数缩小6倍，商将怎样变化?
（在练习本上完成）

2020年小学四年级奥数第06讲-变化规律(学)

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四年级数学思维训练导引(奥数)第06讲 行程问题一

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