3.解题技巧专题：勾股定理与面积问题
勾股定理与三角形面积的计算
勾股定理与三角形面积的计算勾股定理是数学中一条著名的几何定理，它描述了直角三角形中三个边之间的关系。
根据勾股定理，我们可以通过已知直角三角形的两个边长来计算第三边的长度。
此外，勾股定理还可以应用于计算三角形的面积，为我们解决各种实际问题提供了有力的工具。
一、勾股定理的表述及应用勾股定理可以用以下公式来表述：在一个直角三角形中，设直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
根据勾股定理，我们可以解决多种实际问题。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度为3和4，我们可以通过勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25因此，斜边的长度c为5。
二、三角形面积的计算三角形是几何中常见的形状之一，计算三角形的面积是我们经常遇到的问题之一。
根据勾股定理，我们可以利用三角形的底边和高来计算其面积。
计算三角形面积的公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。
在这个公式中，底边长度表示为b，高表示为h。
三、应用示例下面以一个具体的应用问题来演示勾股定理和三角形面积的计算。
例题：某个直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，请计算该直角三角形的斜边长度和面积。
解答：根据勾股定理，斜边的长度c可以通过以下计算得到：c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169因此，斜边的长度c为13cm。
接下来，我们根据三角形面积的计算公式来计算面积。
首先需要确定底边和高的长度。
由于直角边5cm和12cm分别垂直于底边，我们可以选择其中任意一条作为底边。
假设我们选择5cm作为底边，12cm作为高。
根据面积计算公式：面积 = 底边长度 ×高 / 2面积 = 5 × 12 / 2面积 = 60 / 2面积 = 30（平方厘米）因此，该直角三角形的面积为30平方厘米。
四、总结勾股定理与三角形面积的计算是几何学中重要的内容之一。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理专题总结
勾股定理专题总结一、勾股定理考点：利用勾股定理进行运算二、勾股定理的逆定理考点：利用勾股定理的逆定理判定直角三角形判断勾股数注意：利用勾股定理的逆定理时，可以先求出两条较短的线段的平方和，在与较长的线段的平方进行比较，最后做出判断。
三、勾股定理的应用考点：求立体图形中最短距离（将立体图形表面展开）利用勾股定理解决实际生活中的问题注意：解决实际问题时，如果题目中没有出现直角三角形，可以先构造出直角三角形，再利用勾股定理解题。
特别注意勾股定理应用的前提是在直角三角形中。
题型一：利用勾股定理求三角形的边长或图形面积例1：在ABC ∆中，C B A B ∠∠∠=∠︒,,90，所对的边分别为c b a ,,。
（1）若c b a 求,15,9==；（2）若a c b a 求,8,25:7:==。
1、如图，在ABD ∆中，︒=∠90D ,BD C 是上一点，已知91017===BC AC AB ，，，求AD 的长。
2、如图，275490====∠=∠︒AF AB BC FAC B ，，，，求正方形CDEF 的面积。
3、在ABC ∆中，BC cm AC cm AB ,20,13==边上的高为12cm ，则ABC ∆的面积为cm.题型二：利用勾股定理说明图形面积之间的关系例2：（1）如图1，分别以ABC Rt ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用321S S S ，，表示，那么321S S S ，，之间有什么关系？（2）如图2，分别以ABC Rt ∆三边为边向外作三个半圆，其面积分别用321S S S ，，表示，那么321S S S ，，之间有什么关系？4、如图，如果正方形A 的面积是25，正方形C 的面积是169，则正方形B 的面积是。
5、如图是“赵爽弦图”，DAE CDF BCG ABH ∆∆∆∆和,,是四个全等的直角三角形，四边形EFGH ABCD 和都是正方形，如果210==EF AB ，,那么AH 等于。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(解析版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【答案】D【分析】设斜边上的高为hcm ，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出h 的值，可得答案．【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为5cm ，12cm ，∴斜边长为122+52=13cm ，∴直角三角形的面积为12×12×5=12×13·h ，解得：h =6013cm ，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.32【答案】C【分析】根据图形，可以求出△ABC的面积，然后即可求出AC边上的高．【详解】解：△ABC的面积：2×2-12×1×2-12×1×1-12×1×2=32，AC=22+12=5，设AC边上的高为x，由题意得：1 2×5⋅x=32，x=355，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积、三角形面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．2(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.5【答案】D【分析】根据题意画出图形，如图，根据等腰三角形的性质求出BD，再用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示根据题意得，AB=AC=13，BC=24，AD⊥BC．∴BD=12BC=12，在Rt△ADB中，根据勾股定理得，AD2+BD2=AB2，∴AD=AB2-BD2=132-122=5，即：底边上的高为5，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出图形、熟练掌握等腰三角形的性质是关键．3(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．【答案】455##455【解析】【分析】根据勾股定理计算AC 的长，利用面积差可得三角形ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC =22+42=25，∵S △ABC =3×4-12×1×2-12×3×2-12×2×4=4，∴12AC •BD =4，∴12×25BD =4，∴BD =455，故答案为：455．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC 是格点图形，求△ABC 中AB 边上的高．【答案】△ABC 中AB 边上的高为95【分析】如图所述，过点A 作AD ⊥BC 的延长于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，可得AD ,BC ,BD 的长，在Rt △ABD 中，可求出AB 的长，根据S △ABC =12BC ·AD =12AB ·CE ，即三角形的等面积法即可求解．【详解】解：如图所述，过点A 作AD ⊥BC 的延长于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，∵△ABC是格点图形，每个小正方形的边长为单位1，∴AD=3，BC=3，BD=4，∴在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=32+42=5，∵S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，∴CE=BC·ADAB =3×35=95，∴△ABC中AB边上的高为95．【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．【答案】(1)BC=6(2)斜边AB边上的高是4.8【分析】(1)根据在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，可以计算出AB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长；(2)根据等面积法，可以求得斜边AB边上的高．【详解】(1)解：(1)∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，∴AB⋅DE2=60，即AB×122=60，解得AB=10，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∴BC=AB2-AC2=102-82=6；(2)解：作CF⊥AB于点F，∵AB=10,AC=8,BC=6，AC∙CB2=AB∙CF2，∴8×62=10×CF2，解得CF=4.8，即斜边AB边上的高是4.8．【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD ．【答案】(1)△ABC 的面积为6(2)斜边AB 为5(3)高CD 的长为125【分析】(1)根据三角面积公式底乘高除以2求出即可．(2)根据勾股定理求出AB ．(3)根据等面积法求出高CD ．【详解】(1)△ABC 的面积=12×AC ×BC =12×3×4=6．故△ABC 的面积是6；(2)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，CB =4，∴AB =32+42=5；(3)∵12×AC ×BC =12×CD ×AB ，∴12×3×4=12×5×CD ，解得CD =125．故高CD 的长为125．【点睛】此题考查了求三角形面积、勾股定理，解题的关键是熟悉三角形面积公式、勾股定理．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a +b =10cm ,c =8cm ，则Rt △ABC 的面积为()A.9cm 2B.18cm 2C.24cm 2D.36cm 2【答案】A【分析】根据题意可知，Rt △ABC 的面积为ab ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∴a 2+b 2=c 2∵a +b =10cm ,c =8cm∴2ab =a +b 2-a 2+b 2 =a +b 2-c 2=100-64=36∴S △ABC =12ab =9cm 2故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．【变式训练】1在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD =4,AB =410,AC =5，则△ABC 的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或30【答案】D【解析】【分析】由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．【详解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB2-AD2=12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=AC2-AD2=52-42=3，分两种情况：①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，则△ABC的面积=12BC×AD=12×15×4=30；②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，则△ABC的面积=12BC×AD=12×9×4=18；综上所述，△ABC的面积为30或18，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．2直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【答案】6或30【解析】【分析】根据ΔABC是直角三角形，则在ΔABC中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案．【详解】解：ΔABC是直角三角形，则在ΔABC中即可运用勾股定理，不确定x+1与5哪一个大，所以讨论：(1)若x+1<5，则存在x2+x+12=52，解得x=3，SΔABC=12×3×4=6；(2)若x+1>5，则x+12-x2=52，解得x=12SΔABC=12×5×12=30．ΔABC的面积为6或30．故答案为：6或30．【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论x+1与5的大小是解题的关键．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)183+30【分析】(1)根据30°角的直角三角形的性质得到AC=2AB=12，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；(2)根据勾股定理得到BC=63，再利用三角形的面积公式即可得到结论．【详解】(1)证明：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，∴AC=2AB=12，在△ACD中，AC=12，AD=13，CD=5，∵52+122=132，即AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形；(2)解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=12，∴BC=AC2-AB2=122-62=63，∴S△ABC=12BC⋅AB=12×63×6=183，又∵S△ACD=12AC⋅CD=12×5×12=30，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=183+30．∴四边形ABCD为183+30．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30°角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.【答案】24平方米【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC=AD2+CD2=5米，根据AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，根据直角三角形的面积公式求出结果即可．【详解】解：如图，连接AC，如图所示：∵∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，∴AC=AD2+CD2=5米，∵AB=13米，BC=12米，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴这块地的面积为：S△ABC-S△ACD=12AC⋅BC-12AD⋅CD=12×5×12-12×3×4=24(平方米)．【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．如果一个三角形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形．2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c= 66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析(2)92【分析】(1)根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；(2)根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【详解】(1)解：△ABC是直角三角形．理由：∵a2=232=12，b2=362=54，c2=662=66，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角；(2)解：△ABC的面积=12×23×36=92．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？【答案】(1)36m2(2)清理完这块草地杂草需要720元钱【分析】(1)连接AC，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理得出∠ACD=90°，最后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD即可求解；(2)根据每平方米需要人工费20元，即可解答．【详解】(1)解：连接AC，∵AB=3m，BC=4m，∠ABC为直角，∴AC=AB2+BC2=32+42=5m，∵CD=12m，DA=13m，∴AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴∠ACD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36m2．(2)解：20×36=720(元)，答：清理完这块草地杂草需要720元钱．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【答案】(1)BC=25，CD=5(2)292(3)见解析【分析】(1)根据勾股定理解答即可；(2)运用分割法解答即可；(3)连接BD，根据勾股定理的逆定理解答即可．【详解】(1)∵每个小正方形的边长都为1，∴BC=22+42=25，CD=22+12=5(2)S四边形ABCD =5×5-12×1×5-12×1×4-1×1-12×1×2-12×2×4=25-52-2-1-1-4=292(3)连接BD，∴BD=32+42=5，∵BC2+CD2=252+52=25，BD2=52=25，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且BD为斜边，∴∠BCD=90°．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【答案】B【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积即可．【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：S E=S F+S G=S A+S B+S C+S D=6+10+4+6=26故选B．【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π【答案】B【分析】利用勾股定理求出BD，再求半圆的面积即可．【详解】解：∵正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，∴BE2=289,DE2=225，∵∠BDE=90°，∴BD=BE2-DE2=289-225=8，∴以BD为直径的半圆的面积为：12×822×π=8π；故选B．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．【答案】12；s1+s2=s3【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1=12×AC×AC×32=34×AC2，同理可得：S2=34×BC2，S3=34×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)S1+S2=S3，证明见解析(2)S1+S2=S3(3)24【分析】(1)由扇形的面积公式可知S1=18πAC2，S2=18πBC2，S3=18πAB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3；(2)根据(1)中的求解即可得出答案；(3)利用(2)中的结论进行求解．【详解】(1)解：①∵S1+S2=18πa2+18πb2，S3=18πc2根据勾股定理可知：a2+b2=c2，∴S1+S2=S3；(2)解：由(1)知，同理根据根据勾股定理：a2+b2=c2，从而可得S1+S2=S3；(3)解：由(2)知S阴影=S1+S2-S3-S△ABC=S△ABC=12×6×8=24．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S 1，S 2，S 3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S 1+S 2=S 3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，也满足S 1+S 2=S 3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S 1，S 2，S 3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，则a 2+b 2+c 2+d 2=．【答案】(1)①3；②满足，证明见解析(2)m 2【分析】(1)设两直角边分别为x ，y ，斜边为z ，用x ，y ，z 分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据x 2+y 2=z 2，求解S 1，S 2，S 3之间的关系，进而可得结果；②根据a 2+b 2=c 2，S 1+S 2=πa2 22+πb 222+ab2-πc 222=ab 2，S 3=ab 2，可得S 1+S 2=S 3；(2)由题意知，S A =a 2，S B =b 2，S C =c 2，S D =d 2，S A +S B +S C +S D =S M =m 2，代入求解即可．【详解】(1)①解：设两直角边分别为x ，y ，斜边为z ，则图2中，S 1=x 2，S 2=y 2，S 3=z 2，∵x 2+y 2=z 2，∴S 1+S 2=S 3，故图2符合题意；图3中，S 1=πx2 22=πx28，S 2=πy2 22=πy 28，S 3=πz 2 22=πz 28，∵πx 28+πy 28=πx 2+y 2 8=πz 28，∴S 1+S 2=S 3，故图3符合题意；图4中，S 1=12x ⋅x ⋅sin60°=3x 24，S 2=12y ⋅y ⋅sin60°=3y 24，S 3=12z ⋅z ⋅sin60°=3z 24，∵3x 24+3y 24=3x 2+y 2 4=3z 24，∴S 1+S 2=S 3，故图4符合题意；∴这3个图形中面积关系满足S 1+S 2=S 3的有3个，故答案为：3；②解：满足，证明如下：由题意知a 2+b 2=c 2，S 1+S 2=πa 2 22+πb 222+ab2-πc 222=ab 2，S 3=ab2，∴S 1+S 2=S 3；(2)解：由题意知，S A =a 2，S B =b 2，S C =c 2，S D =d 2，S A +S B +S C +S D =S M =m 2，∴a 2+b 2+c 2+d 2=m 2，故答案为：m 2．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则CE 的长是()A.54B.74C.154D.254【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE =BE ，设AE =x ，则BE =x ，CE =8-x ，再Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度．【详解】解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，∴AE =BE ，设AE =x ，则BE =x ，CE =8-x ，∵在Rt △BCE 中，CE 2=BE 2-BC 2，即8-x 2=x 2-62，解得，x =74，∴CE =74．故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C =90°，AC =4，BC =3，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则BD 的长为()A.34B.1.5C.53D.3【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB =5，由折叠的性质可得AB =AE =5，DB =DE ，求得CE =1，设DB =DE =x ，则CD =3-x ，根据勾股定理可得12+3-x 2=x 2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C =90°，AC =4，BC =3，∴AB =32+42=5，由折叠的性质得，AB =AE =5，DB =DE ，∴CE =1，设DB =DE =x ，则CD =3-x ，在Rt △CED 中，12+3-x 2=x 2，解得x =53，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =6，将△ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段CN 的长为．【答案】103/313【分析】由折叠的性质可得DN =CN ，根据勾股定理可求DN 的长，即可求CN 的长．【详解】解：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，∵将△ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，∴DN =CN ，∴BN =BC -CN =6-DN ，在Rt △DBN 中，DN 2=BN 2+DB 2，∴CN 2=(6-CN )2+22，∴CN =103，故答案为：103．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A =30°,BC =2，点D 是AC 的中点，点E 是斜边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△ADE 翻折到△A DE 的位置，A D 交AB 于点F ．若△BA F 为直角三角形，则AE 的长为．【答案】1或65【分析】分∠BFA =90°和∠BA F =90°两种情形分类讨论，当∠BFA =90°时，根据∠C =90°,∠A =30°,BC =2，点D 是AC 的中点，算出AD =CD =3,根据∠BFA =90°以及翻折性质得出EA =ED ,∠DEA =120°,即可解答；当∠BA F =90°时，作EH ⊥BA 交AB 的延长线于H ，设AE =x ，在Rt △EHA 和Rt △BEH 中用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，当∠BFA =90°时，在Rt △ABC 中，∵∠A =30°,BC =2∴AB =2BC =4,AC =23,∵AD =CD ,∴AD =CD =3,∵∠AFD =90°,∴∠ADF =60°,∴∠EDA =∠EDF =30°,∴∠A =∠EDA =30°,∴EA =ED ,∠DEA =120°,AE =AD 3=33=1.如图，当∠BA F =90°时，作EH ⊥BA交AB 的延长线于H ，设AE =x ，∵∠DA E =30°,∴∠EA H =60°,在Rt △EHA 中，A H =12A E =12x ,EH =3A H =32x ,BE =4-x ,在Rt △BEH 中，∵EH 2+BH 2=BE 2,∴32x 2+2+12x 2=(4-x )2,解得x =65，综上所述，满足条件的AE 的值为1或65，故答案为：1或65．【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在AC 、AB 边上(不与端点重合)．将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B 重合且BC =3,AB =5．①直接写出AC 的长；②求△BCD 的面积．(2)当∠A =37°．①A 与点E 在直线AC 的异侧时．如图②，直接写出∠A EB -∠A DC 的大小；②A 与点E 在直线AC 的同侧时，且△A DE 的一边与BC 平行，直接写出∠ADE 的度数．【答案】(1)①4；②2116(2)①74°；②∠ADE 的度数分别为45°，26.5°【分析】(1)①直接根据勾股定理即可求出AC 的长；②设CD =x ，则AD =BD =4-x ，根据勾股定理求出x 的值，再根据三角形面积公式即可求解；(2)①根据三角形的外角定理可得∠A EB =∠A +∠AFE ，∠AFE =∠A +∠A DF ，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当A D ∥BC 时，当A E ∥BC 时，即可进行解答．【详解】(1)解：①在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC =AB 2-BC 2=52-32=4，②设CD =x ，则AD =4-x ，∵将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在A 的位置，∴AD =BD =4-x ，在Rt △BCD 中，由勾股定理得，32+x 2=4-x 2，解得：x =78∴S △BCD =12×3×78=2116．(2)解：①∵将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在A 的位置，∠A =37°，∴∠A =37°，∴∠A EB =∠A +∠AFE =37°+∠AFE ，∵∠AFE =∠A +∠A DF =37°+∠A DF ，∴∠A EB =37°+∠AFE =37°+37°+∠A DF =74°+∠A DF ，∴∠A EB -∠A DC =74°；②当A D∥BC时，如图：∵A D∥BC，∠C=90°，∴∠ADA =90°，∵△ADE由△A DE折叠所得，∴∠ADE=1∠ADA =45°；2当A E∥BC时，如图：∵∠A=37°，∠C=90°，∴∠B=90°-37°=53°，∵△ADE由△A DE折叠所得，∴∠A=∠A =37°，∵AE ∥BC，∴∠B=∠A EB=53°，∴∠AMA =180°-∠A -∠A EB=90°，即AB⊥A D，∴∠ADA =90°-∠A=53°，∠ADA =26.5°．∴∠ADE=12综上：∠ADE的度数分别为45°，26.5°．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【答案】8【解析】【分析】作AD⊥BC交BC的延长于点D，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2，根据AB2-DB2=AC2-DC2列出方程即可求解．【详解】如图，作AD⊥BC交BC的延长于点D，则AD即为BC边上的高，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2，∴AB2-DB2=AC2-DC2，∵AB=10，BC=9，AC=17，∴102-DB2=172-DB+92，解得DB=6，∴AD=AB2-DB2=102-62=8故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．【答案】6【分析】作DE⊥AB，如图，根据角平分线的性质可得DE=CD=3，勾股定理求出BE，证明Rt△ACD≅Rt△AED HL，推出AC=AE，设AC=AE=x，根据勾股定理列出方程即可求出AC．【详解】解：作DE⊥AB于点E，如图，∵在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，∴DE=CD=3，∴BE=52-32=4，∵DC=DE,AD=AD，∴Rt△ACD≅Rt△AED HL，∴AC=AE，设AC=AE=x，则AB=4+x,BC=3+5=8，在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2，即x2+82=x+42，解得：x=6，即AC=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC ∥DM ，AB =12，BM =18，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接AM ，证明Rt △ABC ≅Rt △ADE (HL )，可得AB =AD ，根据角平分线的判定即可解决问题；(2)证明CM =AC ，设BC =x ，所以CM =AC =18-x ，根据勾股定理即可解决问题．【详解】(1)证明：如图，连接AM ，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∵∠B =∠D =90°，AC =AE ，BC =DE ，∴Rt △ABC ≅Rt △ADE (HL )，∴AB =AD ，∵AB ⊥BM ，AD ⊥DM ，∴MA 平分∠BMD ，∴点A 在∠BMD 的平分线上；(2)解：∵AC ∥DM ，∴∠CAM =∠AMD ，∴∠AMB =∠CAM ，∴CM =AC ，设BC =x ，∴CM =AC =18-x ，在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，∴122+x 2=(18-x )2，∴x =5．∴BC =5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt △ABC ≅Rt △ADE (HL )．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA 悬挂于O 点，静止时竖直下垂，A 点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC =1尺)．将它往前推进两步(EB ⊥OC 于点E ，且EB =10尺)，踏板升高到点B 位置，此时踏板离地五尺(BD =CE =5尺)，则秋千绳索(OA 或OB )长尺．【答案】292【解析】【分析】设OB =OA =x (尺)，在Rt △OBE 中利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设OB =OA =x (尺)，在Rt △OBE 中，OB =x ，OE =x -4，BE =10，∴x 2=102+(x -4)2，∴x =292，∴OA 或OB 的长度为292(尺)．故答案为：292．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺=10寸)，则AB 的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA =OB =AD =BC ，设OA =OB =AD =BC =r 寸，则AB =2r (寸)，DE =10寸，OE =12CD =1寸，∴AE =(r -1)寸，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2=AD 2，即(r -1)2+102=r 2，解得：r =50.5，∴2r =101(寸)，∴AB =101寸，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？【答案】门高为7尺，门宽为1尺．【解析】【分析】设竿的长度为x 尺，则门高为(x +2)尺，门宽为(x -4)尺，利用勾股定理，即可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值即可得出结论．【详解】解：设竿的长度为x 尺，则门高为(x +2)尺，门宽为(x -4)尺，依题意得：2x 2=x +2 2+x -42化简得：4x =20，解得：x =5．∴x +2=7,x -4=1,答：门高为7尺，门宽为1尺．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB =AC ，由于某种原由C 到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A 、H 、B 在一条直线上)，并新修一条路CH ，测得CB =1.5千米，CH =1.2千米，HB =0.9千米．(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)CH 是从村庄C 到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC 的长为1.25千米．【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理证明△CHB 是直角三角形即可；(2)设AC =x 千米，在Rt △ACH 中，由已知得AC =x ，AH =x -0.9，CH =1.2，再根据勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB 中，∵CH 2+BH 2=1.22+0.92=2.25，BC 2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．【答案】 16 1619+16【解析】【分析】(1)根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理计算出DC的长即可；(2)根据题意作出示意图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，由勾股定理求得AC'，设D'M=x，通过勾股定理列出方程，求得x，进而求结果．【详解】解：(1)∵AB=4cm，BC=8cm，设DC=y，则C″D″=y，由图形可得：BC″=BC=8cm，则AC″=8-4=4，AD=AD″=4+y，又AC2+DC2=AD2，即(12)2+y2=(4+y)2，解得：y=16，∴CD=16cm，故答案为：16；(2)根据题意作出示意图如下，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，∵∠ABC'=90°，∴AC=AB2+C′B2=42+82=45，由(1)知，AD'=AD=20，C'D'=CD=16，设C'M=x，则202-(16+x )2=AM 2=(45)2-x 2，解得，x =2，∴AM =(45)2-22=219，∴S 四边形ABC D =S ΔABC +S ΔAD C=12AB ∙BC +12D C ∙AM=12×4×8+12×16×219=1619+16(cm 2)故答案为．1619+16．【点睛】本题主要考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，列出方程．。
苏科版数学八年级上册第3章勾股定理章末重难点题型(举一反三)(解析版)
勾股定理章末重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在中，，，，以为边在的外侧作正方形，则正方形的面积是A ．5B ．25C ．7D ．10【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在中，，，，，四边形是正方形，正方形的面积，故选：．Rt AED ∆90E ∠=︒3AE =4ED =AD AED ∆ABCD ABCD ()5AD ==Rt AED ∆90E ∠=︒3AE =4ED=5AD ∴=ABCD ∴ABCD 22525AD ===B【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为A ．24B ．56C ．121D ．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：；即四个正方形，，，的面积之和为100；故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，中，，以、为直径作半圆E A B C D ()E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=A B C DD Rt ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC 1S和，且，则的长为A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，，， 解得，，则，解得，，故选：．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于A ．25B ．31C ．32D ．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出、，进而得到，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：，，，2S 122S S π+=AB ()222AC BC AB +=222AC BC AB +=2222111()()()222228AC BC AC BC ππππ⨯+⨯=⨯+=2216AC BC +=22216AB AC BC =+=4AB =C a b c 222a b c +=1S 2S 3S 4S S 14S =29S =38S =410S =S ()2AB 2AC 2BC 21213AB S S =+=23418AC S S =+=22231BC AB AC ∴=+=．故选：．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A ．，，B ．C ．，，D ．，， 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；、设三角形三边为，，，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）、、为三边，不是直角三角形的是A ．B ．，，C ．D ．，，【分析】利用勾股定理的逆定理判断、、选项，用直角三角形各角之间的关系判断选项．231S BC ∴==B a b c ()4a =5b =6c =::5:12:13a b c=a=b=c =4a =5b =3c =A 222456+≠B 5k 12k 13k 2(5)(k +2212)(13)k k =C(2(+2(=2D 222345+=A a b c ABC ∆()::3:4:5A B C ∠∠∠=54a =1b =34c =222a c b =-8a k =17b k =15c k =B C D A【答案】解：、，设，则，，，即，解得，，，故本选项错误；、，，故本选项正确；、，，故本选项正确；、，，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有①如果，那么是直角三角形；②如果，则是直角三角形；③，则为直角三角形；④如果三角形三边长分别是、、，则是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到的角；③，则有；④正确，因为．所以正确的有三个．故选：．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是A ::3:4:5ABC ∠∠∠=∴3A x ∠=4B x ∠=5C x ∠=180A B C ∠+∠+∠=︒345180x x x ++=︒15x =︒55157590x ∴=⨯︒=︒<︒B 2226810+=222a b c ∴+=C 222a b c =-222a c b ∴+=D 22281517k k k +=222a b c ∴+=A ()0A B C ∠+∠-∠=ABC ∆::5:12:13A B C ∠∠∠=ABC ∆ABC ∆24n -4n 24(2)n n +>ABC ∆C ∠90︒2271017x +=222(4)(4)(4)n n n -+=+C 90︒A B C DEF ()A ．点、点、点B ．点、点、点C ．点、点、点D ．点、点、点【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：、，，，，不可以构成直角三角形；、，，，，不可以构成直角三角形； 、，，，，可以构成直角三角形 、，，，，不可以构成直角三角形． 故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股 定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．A B C A D G B E F B G E A 213637AB =+=2162541AC =+=21910BC =+=371041+≠B 2161632AD =+=293645AG =+=2145DG =+=32545+≠C 2361652BE =+=2252550BF =+=2112EF =+=50252+=D 225934BG =+=2361652BE =+=29110GE =+=341052+≠C BC 20cm 10cm A P 35PC BC =()20cm 13cm 14cm 18cm AP AP AP【答案】解：如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，则，， ，， ，由勾股定理得：，即蚂蚁爬行的最短路线长是，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A ．15B ．17C ．20D ．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，AP AP 90C ∠=︒11052AC cm cm =⨯=20BC cm =35PC BC =12CP cm ∴=13()AP cm ==13cm B -8dm 3dm 2dm A B A B B ()dm dm dm dm 8dm (23)3dm +⨯B B xdm由勾股定理得：，解得．故选：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A ．B ．C ．D ．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接、，则，，根据两点之间线段最短，．故选：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是22228[(23)3]17x =++⨯=17x =B -1cm 3cm 6cm A B ()12cm 11cm 10cm 9cm A B '13138()AA cm '=+++=6A B cm ''=10AB cm '==C -A A P A ()A厘米 B ．10厘米 C ．厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：，将圆柱展开，，最短路程为．故选：．【点睛】此题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4 勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5【分析】根据勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为；，6，8，10，7，24，25都是正整数勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．P A '→10PA cm '10PA cm '=B ---232425222a b c +=2226810+=22272425+=∴ABC 222a b c +=ABC【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【答案】解：，，故答案为：【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是；第二个是：；第三个数是：． 所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组： ． 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，222a b c +=a b c (a b )c 2221c n n =++21a n =+b a b c b =n n 2221c n n =++21a n =+222b n n ∴=+222n n +26⋯⋯n 2(1)n +(2)n n +2(1)1n ++2(1)n +(2)n n +2(1)1n ++(35)(513)(725)(941)⋯23142-=251122-=271242-=⋯3211=⨯+242121=⨯+⨯2521211=⨯+⨯+5221=⨯+2122222=⨯+⨯21322221=⨯+⨯+7231=⨯+2242323=⨯+⨯22523231=⨯+⨯+9241=⨯+2402424=⨯+⨯24124241=⨯+⨯+11251=⨯+2602525=⨯+⨯26125251=⨯+⨯+故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在中，，于点，，，求，的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得的长．【答案】解：，，，．根据直角三角形的面积公式，得． 在中，．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得的长．【答案】解：（1）在等腰中，，，，，，ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AC cm =4BC cm =ADCD AD 90ACB ∠=︒3AC cm =4BC cm =5AB cm ∴= 2.4AC BC CD cm AB==Rt ACD ∆ 1.8AD cm ==ABC ∆AB AC =BD AC ⊥D 48A ∠=︒CBD∠15BC =12BD =AB CBD ∠AB ABC ∆AB AC =BD AC ⊥ABC C ∴∠=∠90ADB ∠=︒48A ∠=︒，，；（2），，，，，设，则，，，，解得，， 即． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．【分析】先设，则，再运用勾股定理分别在与中表示出，列出方程，求解即可．【答案】解：设，则．在中，，，在中，，，，即，66ABC C ∴∠=∠=︒42ABD ∠=︒24CBD ∴∠=︒BD AC ⊥90BDC ∴∠=︒15BC =12BD =9CD ∴=AB x =9AD x =-90ADB ∠=︒12BD =22212(9)x x ∴+-=22518x =22518AB =ABD ∆90D ∠=︒C BD 9BC =17AB =10AC =AD CD x =9BD BC CD x =+=+ACD ∆ABD ∆2AD CD x =9BD BC CD x =+=+ACD ∆90D ∠=︒222AD AC CD ∴=-ABD ∆90D ∠=︒222AD AB BD ∴=-2222AC CD AB BD ∴-=-22221017(9)x x -=-+解得，，．故的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．【分析】根据正方形的面积公式求得．然后利用勾股定理求得；则利用面积法来求的长度．【答案】解：正方形的面积为，，，，．，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6 利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2的线段；（3）请你在图3为直角边的直角三角形．6x =22210664AD ∴=-=8AD ∴=AD AD Rt ABC ∆90ABC ∠=︒16AB cm =BCEF 2144cm BD AC ⊥D BD 12BC cm =20AC cm =BD BCEF 2144cm 12BC cm ∴==90ABC ∠=︒16AB cm =∴20AC cm ==BD AC ⊥∴1122ABC S AB BC BD AC ∆==∴485BD cm =【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可． 【答案】解：是一个周长为三角形，的面积． ABC ∆ABC ∆ABC ∆111342413135222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10（2）①，②【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，的三角形，一共可画这样的三角形 个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．【答案】解：（1），即为所求， 如图1所示：（2）如图2所示：，，，，都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．5=ABC ∴∆ABC ∴∆DBC ∆⋯--【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：，， ， 整理，得，．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上．（1）求证：；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：．【分析】（1）由全等三角形的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．a b c a b>2S c =大正方形2144()2S S S ab b a =+=⨯+-大正方形小正方形2214()2c ab b a ∴=⨯+-22222ab b ab a c +-+=222c a b ∴=+()Garfield a b c C B D 90ABE ∠=︒222)a b c +=Rt ACB Rt BDE ∆≅∆【答案】解：（1），．，，．（2）由（1）知是一个等腰直角三角形，． 又，， ，即． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高，和梯形的面积公式：（上底下底）高证明勾股定理．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）用含代数式表示四边形的面积；（3）求证：．【分析】（1）利用旋转的性质得出，，即可得出的形状；（2）利用四边形的面积等于正方形面积，即可得出答案；（3）利用四边形面积等于和的面积之和进而证明即可．【答案】（1）是等腰直角三角形，证明：绕其锐角顶点旋转得到在，，，又，Rt ACB Rt BDE ∆≅∆CAB DBE ∴∠=∠90CAB ABC ∠+∠=︒90ABC DBE ∴∠+∠=︒1809090o o ABE ∴∠=︒-=ABE ∆212ABE S c ∆∴=21()2ACDE S a b =+梯形212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c ∆∆∆=++=+梯形∴2211()22a b ab c +=+222a b c +=⨯2÷+⨯2÷Rt ABC ∆A 90︒Rt ADE ∆BE DE BC F 90BFE ∠=︒ACFD ABE ∆b ABFE 222a b c +=90BAE BAC CAE CAE DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒AB AE =ABE ∆ABFE ACFD ABFE Rt BAE ∆Rt BFE ∆ABE ∆Rt ABC ∆A 90︒Rt ADE ∆BAC DAE ∴∠=∠90BAE BAC CAE CAE DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒AB AE =是等腰直角三角形；（2）四边形的面积等于正方形面积，四边形的面积等于：．（3）即：， 整理：．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出是解题关键．【变式7-3】（2019春•东光县期中）和是两直角边为，，斜边为的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中，求证：．【分析】连结，过点作边上的高，根据即可求解．【答案】证明：连结，过点作边上的高，则．． 又【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了ABE ∴∆ABFE ACFD ∴ABFE 2b BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形1122()()22b c b a b a =++-222()()b c b a b a =++-222a b c ∴+=BAE BFE ACFD S S S ∆∆=+正方形ADE ∆ACB ∆a b c 90DAB ∠=︒222a b c +=DB D BC DF ACD ABC ADB DCB ADCB S S S S S ∆∆∆∆=+=+四边形DB D BC DF DF EC b a ==-21122ACD ABC ADCB S S S b ab ∆∆=+=+四边形()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a ∆∆=+=+-四边形∴221111()2222b abc a b a +=+-222a b c ∴+=同学们数形结合的思想方法．【考点8 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形中，，，，，．（1）连结，求的长；（2）求的度数；（3）求出四边形的面积【分析】（1）连接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接，在中，，，，由勾股定理可得：；（2）在中，，，，；（3）由（2）知，，四边形的面积， 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．ABCD 20AB cm =15BC cm =7CD cm =24AD cm =90ABC ∠=︒AC AC ADC ∠ABCD AC AC Rt ABC ∆90ABC ∠=︒20AB cm =15BC cm =∴25AC cm ==ADC ∆7CD cm =24AD cm =222CD AD AC ∴+=90ADC ∴∠=︒90ADC ∠=︒∴ABCD 2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形中，已知，，，且，．求四边形的面积．【分析】连接，在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形的面积为与的面积之差．【答案】解：连接，，，，，，，，，为直角三角形，．故四边形的面积为216．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键．ABCD 12AB =9BC =90ABC ∠=︒39CD =36DA =ABCD AC Rt ADC ∆AB BC AC ADC ∆ABCD Rt ACD ∆Rt ABC ∆AC 90ABC ∠=︒12AB =9BC =15AC ∴=39CD =36DA =222215361521AC DA +=+=22391521CD ==ADC ∴∆ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC AD AB BC =⨯-⨯11153612922=⨯⨯-⨯⨯27054=-216=ABCD ACD ∆【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．【分析】连接，然后根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解．【答案】解：连接，，，，，，，，，，是的直角三角形，四边形的面积的面积的面积，．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接，构造出直角三角形是解题的关键．ABCD 90ABC ∠=︒3AB =4BC =12DC =13AD =ABCD AC AC 90ACD ∠=︒ABCD ABC =∆ACD +∆AC 90ABC ∠=︒3AB =4BC=5AC ∴=12DC =13AD =222251225144169AC DC ∴+=+=+=2213169AD ==222AC DC AD ∴+=ACD ∴∆90ACD ∠=︒ABCD ABC =∆ACD +∆1122AB BC AC CD =+113451222=⨯⨯+⨯⨯630=+36=AC【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形中，，，、分别是和边上的点，且，为的中点，问是什么三角形？请说明理由．【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出，，的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．【答案】解：，，， ，，为的中点，，，，．．是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ABCD 4AB BC CDAD ====90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒E F BC CD 14CE BC =F CD AEF ∆AE AF EF 4AB BC CD AD ====4AB =14CE BC =1EC ∴=3BE =F CD 2DF FC ∴==90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒EF ∴=AF =AE 222AE EF AF ∴=+AEF ∴∆【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高，则绳子长为，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为，解得，旗杆的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．【答案】解：在中：，米，米，（米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，（米，（米，（米，答：船向岸边移动了9米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的xm (2)x m +∴2228(2)x x +=+15x m =∴BCD Rt ABC ∆AB CD AD BD AB AD =-BD Rt ABC ∆90CAB ∠=︒17BC =8AC=15AB ∴==)D 171710CD ∴=-⨯=)6AD ∴==)1569BD AB AD ∴=-=-=)示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？【分析】设千米，则千米，再根据勾股定理得出，进而可得出结论．【答案】解：设千米，则千米，在中，，在中，，，，，解得，千米．答：基地应建在离站10千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得25km A B E E C D DA AB ⊥A CB AB ⊥B 15DA km =10CB km =E A km AE x =(25)BE x =-2222DA AE BE BC +=+AE x =(25)BE x =-Rt DAE ∆222DA AE DE +=Rt EBC ∆222BE BC CE +=CE DE =2222DA AE BE BC ∴+=+22221510(25)x x ∴+=+-10x =A 2.6m AB AO AO 2.4m A 0.5m B 1.77)≈OB OD BD OD OB =-出结论．【答案】解：中，，，；同理，中，，，，．答：梯子底端向外移了0.77米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．【分析】由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，，设，则在中，解得，Rt OAB ∆ 2.6AB m = 2.4AO m=1OB m ∴==Rt OCD ∆2.6CD m =2.40.5 1.9OC m =-=3.15 1.77OD m ∴==≈1.7710.77()BD OD OB m∴=-=-=B 6AC cm =8BC cm =AD AC AE BDE ∆AB 6AC AE cm ==90DEB ∠=︒DE 6AC cm =8BC cm =10AB cm ∴==AD AC AE 6AC AE cm ∴==90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=CD DE x ==Rt DEB ∆2224(8)x x +=-3x =即等于的面积 答：的面积为【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．【分析】由翻折不变性可知：，，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：，，设，则，在中，，，，，的长是．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，已知，．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：；（2）求的长；（3）求重叠部分的面积．DE 3cm BDE ∴∆14362=⨯⨯=BDE ∆26cm 12cm ABCD EF GH B C AD P 90FPH ∠=︒3BF cm =FH BF PF =CH PH =FH x cm =(9)PH x cm =-Rt PFH ∆222FH PH PF =+BF PF =CH PH =FH x cm =(9)PH x cm =-Rt PFH ∆90FPH ∠=︒222FH PH PF ∴=+222(9)3x x ∴=-+5x ∴=FH ∴5cm ABCD AC AD AD 'AD 'BC E 2AB cm =4BC cm =AE EC =EC。
专题复习：勾股定理(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过制作直角三角形模型，演示勾股定理的基本原理。
1.数学抽象：通过勾股定理的学习，使学生能够从实际问题中抽象出数学模型，理解数学概念的本质，提高数学思维能力。
2.逻辑推理：培养学生运用不同的证明方法，理解和掌握勾股定理的推理过程，提高逻辑思维能力和解题技巧。
3.数学建模：学会将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学反思
在今天《勾股定理》的复习课上，我发现学生们对于定理的概念和应用有了较好的掌握，但在证明过程中还存在一些困难。我尝试用生活中的实例引入勾股定理，让学生感受到数学与生活的紧密联系，这一点效果不错，大家都很感兴趣。但在教学过程中，我也注意到了几个问题。
首先，对于定理的证明方法，尤其是代数法的证明，部分学生感到难以理解。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导他们，通过多举例、多解释，帮助他们突破这个难点。
-掌握至直角三角形的边长比例关系，如30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形。
-例：通过实际例题，如计算墙壁上悬挂画框的合适位置，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点
-理解勾股定理的证明过程：学生需要理解并掌握从具体实例中抽象出定理的过程，以及不同证明方法背后的逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
勾股定理典型解题技巧及练习
专题复习一 勾股定理常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由a 2+b 2=c 2可得 a 2= c 2- b 2=(c+b) (c-b) （平方差公式） 例如，已知c=61, b=60, 则a 2= c 2-b 2= (61+60) (61-60) =121, 则 a=11已知c=41, b=40, 则a 2= c 2-b 2= (41+40) (41-40) =81, 则 a=9已知c=17, b=8, 则a 2= c 2-b 2= (17+8) (17-8) =25 x 9=52 x 32= (5 x 3)2 则 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
如图，CD 为斜边AB 的中线，过D 作D E ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F 在RT ▲ADE 和RT ▲DBF 中，∠DAE=∠BDF , AD=DB ∠ADE=∠DBFRT ▲ADE ≌RT ▲DBF ∴ EA=FD, 有因CEDF 为矩形， ∴FD=CE=EA=1/2 CART ▲ADE ≌RT ▲CDE ∴ CD=AD=DB=1/2 AB6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。
该点称三角形的内心（内切圆圆心）。
9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。
该点称三角形的垂心 10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。
该点称三角形的重心。
11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。
中考数学解题技巧专题勾股定理与面积问题
解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上的高1．(郴州桂阳县期末)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则C 点到AB 的距离为【方法1】( ) A.536 B.365 C.334 D.12252．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A ，B ，C 都在网格点上，则AB 边上的高为( ) A.355 B.255 C.3510 D.322第2题图 第6题图◆类型二 结合乘法公式巧求面积或周长3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为( )A．96 B．49 C．24 D．484．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( ) A．7cm B．10cmC．(5＋37)cm D．12cm◆类型三巧妙分割求面积5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．◆类型四“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )A.14cm B．4cm C.15cm D．3cm7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．36 C．16 D．55第7题图第8题图8．(青海中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 9的值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫126B.⎝ ⎛⎭⎪⎫127C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫226D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫227 ◆类型五 “赵爽弦图”中有关面积的计算9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )A ．9B ．36C ．27D ．34第9题图 第10题图10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边(x ＞y )，下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9.其中说法正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④参考答案与解析1．B2．A 解析：过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵S △ABC ＝22－12×1×2－12×1×1－12×1×2＝32，又∵S △ABC ＝12AB ·CD ，∴12AB ·CD ＝32.∵AB ＝12＋22＝5，∴CD ＝355.故选A. 3．C 解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有a ＋b ＝14①，a 2＋b 2＝102②.①两边同时平方，得a 2＋b 2＋2ab ＝142，所以2ab ＝96，所以ab ＝48，12ab ＝24.故选C.4．D5．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD ，即△ACD 是等腰三角形．∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE＝12(12×5＋10×12)＝90. 6．A 7.C8．A 解析：在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，DE ＝CE ，∴S 2＋S 2＝S 1.观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2＝12S 1＝2，S 3＝12S 2＝1，S 4＝12S 3＝12，…，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.当n ＝9时，S 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫129－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126.故选A.9．B 解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.10．B 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝49①，（x －y ）2＝4②，①－②得2xy ＝45③，∴2xy ＋4＝49，①＋③得x 2＋2xy ＋y 2＝94，∴x ＋y ＝94，∴①②③正确，④错误．故选B.解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为( )A．1 B. 2 C. 3 D．27．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。
勾股定理专题复习课
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
勾股定理详解与经典例题解析
勾股定理(基础)学习目标1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6B．5C．11D．16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108B．90C．180D．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()A．12米B．10米C．8米D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为()A．8B．4C．6D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于()A．4B．6 C．8D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A．150B．200C．225D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．勾股定理逆定理(基础)学习目标1．理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12B．3:4:5C．5:4:3D．10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）．A. 9，12，15B．3，4，5C．1.4，4.8,5D．4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是()．A．1∶1∶2B．1∶3∶4C．9∶25∶26D．25∶144∶1695．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形()．A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定6．三角形的三边长分别为、、（都是正整数），则这个三角形是（）．A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8．已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）．9. 已知,则由此为边的三角形是三角形.10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_____．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为．12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．三.解答题13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。
专题21 勾股定理-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)
专题21 勾股定理【考查题型】【知识要点】知识点一勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。
变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
知识点三勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点四直角三角形的性质与判定性质：1）直角三角形的两个锐角互余。
第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-[1]
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第17章 勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2= c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理． 如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2=（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．（图1）（2）（3）ABC点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 ,b 2=c 2-a 2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段． 针对练习:1．下列说法正确的是（ ）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x 2—10的立方根为（ ）A ．．2 D ．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm7．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 8．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） （Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AB=13cm ，AC 于BC 之和等于17cm ，求CD 的长.l类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2． 解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）．例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( ) A ．a 3 B ．a )21(+C ．3aD ．a 5解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a ． 根据勾股定理得.a 5a5a)a 2(AB 222==+=故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把在数轴上作出．解：以3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用∙ ∙ ABC图3⑵∙ A B图3⑴例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么()2ba+的值为（）（A）13 （B）19 （C）25 （D）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①.由题意，得 (b-a)2=1 ②.由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.把①代入③，得 13-2ab=1∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为边长就是．类似地也可作出（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，=∠E222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，2AC在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时.（3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68 3、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ） （A ）2厘米（B ）4厘米（C ）6厘米（D ）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是（ ）（A ）S 1+S 2>S 3 （B ）S 1+S 2<S 3 （C ）S 1+S 2=S 3 （D ）S 12+S 22=S 32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm 和12cm ，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm ．3、如图，CD 是Rt ⊿ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3．已知BC ＝3cm ，则AB ＝ cm ．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．7、如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A 、B 两点之间的距离为 m （结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c 2＝ ＋ ．化简后即为c 2＝ ．第6题图第5题图abc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 ．10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ．11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 . 12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ， ， ）． 三、解答题1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1） 分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a 2+b 2=c 2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？ （2） 写出各数都大于30的两组商高数．（3） 用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空： 寻求某些勾股数的规律：⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ．⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=； 若勾股数为5，12，13，则有131252+=； 若勾股数为7，24，25，则有 ；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ， ，则有=2m ，用m 来表示n ＝ ； 当17=m 时，则n ＝ ，此时勾股数为 ． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面A B C D 倒下到A B C D '''的位置，连结C C '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形B C C D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.aD 'B 'DC ' A BCb c 第4题图5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．一、选择题1、 如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ） A 、13B 、85C 、8D 、都不对2、 在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或113、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ） A 、56B 、48C 、40D 、32214、 若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（ ） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm6、 一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:27、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为 30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ） A 、AC 2+DC 2=AD 2B 、AD 2－DE 2＝AE 2C 、AD 2=DE 2+AC 2D 、BD 2－BE 2＝41BC 210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）A 、6，4B 、6221，4 C 、6221，421 D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边 （1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是角三角形.3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为2m5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，4∠BCACACB则图中阴影部分的面积︒=,,390==是6、在Rt△ABC中，3︒=ABC且BC=136则AC=∠AC90=:5:,7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为8、△ABC中，︒,C则a:b:c=90a∠30==∠︒9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12=︒∠∠BCABBAD求正方形DCEF的面积CBDAD=,,4,3︒90,==90=3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DE︒∠∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．==90︒C,B15,6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80∠ACACB米，BC=60米，若线段CD为一=,︒90=条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”． 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．分析 由斜边长是2，周长是4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,22a b a b ⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩即224,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2， ∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF折叠后A、C重合，∴四边形AFED′与CFED关于EF对称，则四边形AFED′≌四边形CFED．∴∠AFE=∠CFE．∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90°AB=CD=AD′．∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC．∴∠AEF=∠AFE．则AE=AF．∴Rt△ABF≌Rt△AD′E．在Rt△ABF中，∵∠B=90°，∴AB2+BF2=AF2．设BF=x，b2+x2=（a-x）2，∴x=222a ba-．∴S=2S△ABF =2×12bx=2×12·b·222a ba-=22()2b a ba-．练习22-21．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.772-5例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程． 解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ， ∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2， 在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7． 练习51．如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ．求证：AD 2=AC 2+BD 2．2-122．如图2-13，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD 的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子从A 出发，沿长方形表面到达C 处，问绳子最短是多少厘米？2-102-112-14勾股定理及应用 答案: 练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB ×BC ，AB=2， ∴BC=AD=2S ．根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得：AF==12（2）以A 、D 为对称点（如图） ∴BF=12BC=4S ．由∠B=90°，据勾股定理得：AF==3．D练习2 1．214（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B练习31．B 2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2．同理：在Rt△ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2，在Rt△ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516a 2．∵54a 2+516a 2=2516a 2，∴AF 2+EF 2=AE 2． ∴∠AFE=90°． ∴AF ⊥EF ．3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定） 练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE ， AC=AE=5． 则△ACD ≌△AED ． 又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x 2+82=（12-x ）2． 解之得x=103． ∴AD 2=52+（103）2． ∴3．3．过点C 作CE ⊥CP ，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB ． 即∠ACP=∠BCE ．∴△PCA ≌△ECB （SAS ）． ∴BE=AP=3． 在Rt △PCE 中， PE 2=PC 2+CE 2=8． 又∵BP 2=1，BE 2=9，∴BE 2=BP 2+PE 2．∴△PBE 是直角三角形，其中∠BPE=90° 在Rt △PCE 中，PC=CE ， ∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°． 练习5 1．连结AM ． ∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．又∵AC 2=AM 2-CM 2，BD 2=BM 2-MD 2， ∴AC 2+BD 2=AM 2-MD 2． 又∵AD 2=AM 2-DM 2， ∴AD 2=AC 2+BD 2．2．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）．3．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面， 连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离． ∴（cm ）．勾股定理的逆定理1班级 姓名 号次一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且ab c b a 2)(22+=+，则（ ）A.A ∠为直角B.B ∠为直角C.C ∠为直角D.不能确定 2.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )51213 C467 B7 58 A73 53.下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,内错角相等B.若b a =,则b a =C.对顶角相等D.如果a =b ,那么a 2=b 24.下面四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（ ）A. 4，5，6B. 6，8，10C. 8，15，17D. 9，40，415.如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D6.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一回，再回到家里。
勾股定理题型总结
勾股定理1：勾股定理2、勾股逆定理 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等cbaHG F EDCBAa bcc baED CBAbacbac cabcabCABDDABC③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
3：在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为多少？4：已知如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
勾股定理专题(附答案,全面、精选)
勾股定理专题(附答案,全面、精选)勾股定理是初中数学中重要的定理之一，它可以用来求解直角三角形中的边长和面积。
在RT△中，勾股定理表明直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，若已知两条直角边的长度，就可以求出斜边的长度。
例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有以下关系式成立：c² = a² + b²。
在解题时，关键在于确定斜边或直角。
常见的勾股定理题型包括对勾股定理的理解、应用勾股定理求边长和面积、以及利用勾股定理进行计算。
在对勾股定理的理解方面，需要掌握各种关系式的成立条件。
例如，对于已知直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，若c² - a² = b²，则该关系式不成立。
在应用勾股定理求边长和面积时，需要根据已知条件列出方程，然后解方程求解。
例如，在直角三角形ABC中，若已知AB=10cm，BC=8cm，则可以用勾股定理求解AC的长度。
在利用勾股定理进行计算时，需要注意题目中给出的信息，然后根据勾股定理列出方程，最终求解出答案。
例如，在一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米的位置，可以用勾股定理求解旗杆的长度。
推导勾股定理的关键在于找面积相等，可以利用等积法或拼图法进行推导。
例如，可以用四个相同的直角三角形按照一定方式拼接，然后利用面积相等的关系式推导出勾股定理。
总之，勾股定理是初中数学中重要的定理之一，需要认真掌握和理解。
在做题时，需要注意题目中给出的信息，运用勾股定理进行计算，并且要注意验证答案的正确性。
13.两棵树之间的距离为8m，分别高为8m和2m。
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问至少要飞多少米？基础检测：1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求AC的长。
2.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面积。
勾股定理经典例题详解
勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
勾股定理与平行四边形的面积关系
勾股定理与平行四边形的面积关系勾股定理是数学中十分重要的定理之一，常被用于解决与直角三角形有关的问题。
而在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
本文将探讨勾股定理与平行四边形的面积关系。
1. 勾股定理简介勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。
2. 平行四边形的基本概念平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。
它的性质包括对边相等、对角线互相平分和对角线交点连线平分平行四边形。
设平行四边形的底边长为b，高为h，则其面积可以表示为S = b * h。
3. 勾股定理与平行四边形的关系在直角三角形中，我们可以观察到一个有趣的现象：如果我们以直角边为底边，斜边为高，构造一个平行四边形，那么这个平行四边形的面积和直角三角形的面积之间存在着一定的关系。
以直角三角形ABC为例，如下图所示：A|\| \h | \ c| \|____\B a C在该直角三角形中，以边AC为底边，高为h，可以构造一个平行四边形ABCD。
根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积为S = b * h。
而直角三角形ABC的面积可以表示为S' = (1/2) * a * b。
由勾股定理可得 a² + b² = c²，整理得 b² = c² - a²。
这样，我们就可以将平行四边形的面积表示为S = b * h = (c² - a²) * h。
进一步化简，得到S = c²h - a²h。
因此，直角三角形ABC的面积 S' = (1/2) * a * b 可以表示为S' = ((1/2) * a * b) = (1/2)(c²h - a²h) = (1/2)(c² - a²)h，从而我们可以看出，直角三角形ABC的面积与构造的平行四边形ABCD的面积之间存在着这样的关系：直角三角形的面积是平行四边形面积的一半乘以高。
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解题技巧专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗
◆类型一 三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013
cm
2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．
◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )
A ．48cm 2
B ．24cm 2
C ．16cm 2
D ．11cm 2
4．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )
A ．7cm
B ．10cm
C ．(5＋37)cm
D ．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
◆类型三 巧妙利用割补法求面积
6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．
7．如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2，求四边形ABCD 的面积．【方
法6】
◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.
9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
参考答案与解析
1．D
2. 355 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为355
.
3．D 4.D 5.C
6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12
×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE ＝12×5×12＋12
×10×12＝90. 7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°.∴AE ＝2AB ＝8.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝82－42＝4 3.∵∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴CE ＝2CD ＝4.在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE ＝CE 2－DC 2＝42－22＝2 3.∴S
四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE ＝12AB ·BE －12CD ·DE ＝12×4×43－12
×2×23＝6 3. 8．81
9．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，易证四边形AOLP 是矩形，OK ＝BE ＝3.∵∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBF ＝90°.又∵∠ABC ＋∠ACB ＝90°，
∴∠OBF ＝∠ACB .在△ACB 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠FOB ，∠ACB ＝∠OBF ，BC ＝FB ，
∴△ACB ≌△OBF (AAS)．同
理：△ACB ≌△PGC ≌△LFG ≌△OBF ，∴KO ＝OF ＝LG ＝3，FL ＝PG ＝PM ＝4，∴KL ＝3＋3＋4＝10，LM ＝3＋4＋4＝11，∴S 矩形KLMJ ＝KL ·ML ＝10×11＝110.。