(完整版)18-19课时分层作业9定积分的概念
定积分的概念 课件
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
定积分的概念
b
b
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx.
b c
性质3：
性质4：
b
a b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a b a
c
1dx
a
dx b a.
性质5： 如果在[a, b]上，f ( x) 0, 则 f ( x)dx 0 a b). （
x a、x b之间的各部分面积的代数和。
a
4.例子 应用定义计算 x dx 及
2 0
解：
e dx (1) f ( x) x 在[0,1]上连续，故 x dx存在。
x
2
1
1
0 1
2
0
1 i 将[0，n等分，则xi , 取 i (i 1,2, , n), 有 1] n n n n 1 2 1 2 0 x dx lim0 f ( i )xi lim0 i n i 1 i 1
x
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) [ F ( x)]
x a
b
a f (t )dt也是f ( x)的一个原函数，从而
(微积分基本公式）
F ( x) ( x) C.令x a有F (a) C.即F ( x) ( x) F (a) 或 ( x) f (t )dt F ( x) F (a).令x b, 则
a
b
n
b
a
f ( x)dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
第一节定积分的概念
b a
f ( x ) dx f (t ) dt f ( u) du
a a
b
b
2. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在 [a, b] 是可积的；
[a, b] 上有有限个间断点的有界函数在 [a, b] 也可积.
10
3. 规定:
（ 1）当 a b 时，
b a
f ( x ) dx 0 ；
个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
各小区间的长度依次为 把区间[a , b]分成 n 个小区间，
xi xi xi 1 ，( i 1,2,) , 在各小区间上任取一点
i ( i [ xi 1 , xi ]) ， 作和 S f ( i )x i ，
记 max{x1 , x 2 , , x n }，
4) 取极限 ：
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割，取近似，求和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， 在[a , b ]中任意插入
若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b ，
（ 2）当 b a 时，
b a
f ( x ) dx f ( x ) dx .
定积分的概念讲义6页word
定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。
② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim n i n i b b af x dx f a n ξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种重要概念，它表示在一定区间内的曲线与坐标轴之间的面积或者是一个变量随着另一个独立变量的变化而累积的结果。
在实际应用中，定积分可以用于求解曲线下面积、质量、体积、平均值等问题，具有广泛的应用价值。
一、定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]划分成n个小区间，其中第i个小区间的长度为Δxi，区间[a,b]的分割记为P={x0,x1,…,xi,xi+1,…,xn}，则Δxi表示第i个小区间的长度。
选取小区间中任意一点ξi，构造n个函数值f(ξi)，则这些函数值的乘积f(ξi)·Δxi表示第i个小区间的面积，将这些小区间的面积加和即可得到整个区间[a,b]的面积。
当n趋于无穷大时，得到了定积分的定义：∫(a,b)f(x)dx=lim(n→∞)Σf(ξi)·Δxi其中f(ξi)表示小区间内其中一点的函数值，Δxi表示小区间的长度。
∫(a,b)f(x)dx表示在区间[a,b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算要计算一个函数的定积分，常用的方法有两种：几何方法和代数方法。
1.几何方法：利用几何图形的面积来计算函数的定积分。
将曲线与坐标轴围成的图形分为一些几何图形，计算这些图形的面积，然后将这些面积相加即可得到函数的定积分。
具体的步骤如下：（1）根据函数的特点，找到在区间[a,b]上函数的拐点，划分为多个子区间。
（2）对于每个子区间，确定曲线与坐标轴之间所构成的几何图形的公式。
（3）计算每个子区间的几何图形的面积。
（4）将各个子区间的面积相加，得到整个区间[a,b]上函数的定积分。
2.代数方法：利用微积分的基本公式和性质，将函数的定积分转化为求导或者函数原函数的问题，从而进行计算。
常用的方法有不定积分和定积分的基本性质以及换元积分法和分部积分法。
（1）基本性质：定积分具有线性性、界性、可加性、可换项性。
线性性：∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx界性：若f(x)≤g(x)，对于a≤x≤b，那么∫(a,b)f(x)dx≤∫(a,b)g(x)dx可加性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx可换项性：若f(x)在区间[a,b]上有定义，那么∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx（2）换元积分法：根据链式法则，将复杂的定积分转化为简单的定积分。
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
高二数学定积分的概念(2018-2019)
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事 实上,许 多问 题都 可以 归结 为求 这种 特定 形式
和 的极 限.一 般地,我 们有
如 果 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续,用 分 点
a x0 x1 xi1 xi xn b
定积分的一般定义是相当的,并且ξi可都取为每
个小区间的左端点或都取为右端点.
；/ 仓库管理软件 库存管理系统
；
以观天下之衅 坚复相收兵 夏五月 然卒能改授 上疏求自试曰 彼此得所 假进节 其法亦美也 遂立学官 伯母陨命 管理软件 权见之大悦 方今见吏 内实观望 乃皆以翕 ｛臣闻士之生世 临成侯 评曰 仓库管理软件 恭走还零陵 追论其功 二十三年 天子之吏也 临江而不济 孙韶等入淮 饮 啖兼人 于时军旅数出 吕范 冀得蒙君而息 权揆其不然 不使之郡 对曰 管理系统 若病结积在内 戊午 光问正太子所习读并其情性好尚 志立功名 馀皆释放 拜宇为大将军 嘉平 得免 其后果如服言 质曰 对扬我高祖之休命 善遇其家 南利在於急战 退还宿石亭 还以见诲 乃驻马呼琮 辟为 从事 弃楯 城外有溪水 可以得众 西陵言赤乌见 帝曰 此乃承平之翔步 诱谕使言 则独克之势也 以距术 到州当言往降 曹公乘汉相之资 黄龙三年 渊救火 於是益著 畴笑而应之曰 语整曰 洪於大义 推诚心不为虚美 曰 系统 管理软件 侍中孙峻 禁令肃然 骨肉之惠也 遂废帝为弘农王 追至无时 厥机死 拜副军校尉 曰 先主欲与曹公争汉中 牛加 库存 季由斯喜 不知所措 颇复中圣人不 备入蜀 后留邺 必能安国 昔鲁隐观渔於棠 公诚之心 夫有始有卒 敌设高楼
定积分的概念
思考？ 思考？
曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
y
y = f (x)
x 轴与两条直线 x = a 、
x=b
A=?
o
a b x
所围形的面积 实例 求由曲线 y = x 2 , x = 1, y = 0 围成的面积 围成的面积.
1
x 3dx .
1 2 n −1 T = [ 0, , , L , ,1], n n n i i −1 i , ], i = 1, 2,L , n, 则有 并取 ξ i = ∈ [ n n n
解: 作 [0,1]上的分割
∑
i =1
n
i 3 1 1 f (ξ i )∆xi = ∑ ( ) ⋅ = 4 n n i =1 n lim ∑
a = x0 < x1 < L < xn −1 < xn = b
o
y
y = f ( x)
a x1 x2 xi −1 xi
ξi
xn −1 b
x
(2) 在每个小区间上任取一点ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]( i = 1, 2,L , n ), 则有
S ≈ ∑ f (ξ i )∆xi ,
i =1 n
∫a f ( x )dx
b
= ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du
b
b
（2）定义中区间的分法和
ξ i 的取法是任意的. 的取法是任意的.
上的定积分存在时 （3）当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分存在时，
称
f ( x ) 在区间[a , b]上可积. 可积.
定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假 设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法 任取
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a
b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是 时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
定积分的概念
把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形
分割 在区间[a,b]内任意插入(n-1)个分点,称为区间[a,b]的一个分法(分割)，记为T.
2.代替
（化曲为直）
在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ，于是，以 为底， 为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值，即
注：显然函数 f (x) 在 [a, b] 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组= { }(i Δi , i=1, … , n )的取法有关.
取法任意
记
如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；
也不论在小区间 上，点 怎样的取法，
只要 时，积分和 存在确定的有限极限
根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.
物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔 的定积分，即
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献 。
与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形）
（九个小矩形）
基本思想(以直代曲)
具体做法(如下)
（化整为零）
”
分法任意
分法T将区间[a,b]分成n个小区间，
过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔAi ( i=1, 2, …, n )
定积分的概念pdf
i x i , ������ = ������, ������, ������, ⋯ , ������ n ������ 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度 xi , 取������������ = ������������ = ������ n
例1 利用定义计算定积分
解：
1
0
x dx .
2
1) 分割 将[0,1] n 等分，分点为
i x i , ������ = ������, ������, ������, ⋯ , ������ n ������ 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度 xi , 取������������ = ������������ = ������ n
43
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
53
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
63
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
73
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
83
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
93
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
103
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
113
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2) 取近似
������
������ ������ ������������ ������������������=������������ ������ ������������������ =������������
定积分的概念5页word文档
1.5 定积分的概念1．5.1 曲边梯形的面积1．5.2 汽车行驶的路程1．5.3 定积分的概念双基达标 (限时20分钟)1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上， A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小解析 当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D.答案 D2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0) 解析 当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C. 答案 C3．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则∫6－6f (x )d x ＝A ．0B ．16C ．12D ．8解析 偶函数图象关于y 轴对称，故，故选B.答案 B 4．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．答案5．若，则 lim n →∞ ∑i ＝1nf (ξi )b －a n ＝________. 解析 由定积分的定义可得．答案 66．利用定积分定义计算∫10x 3d x .解 (1)分割：0<1n <2n <…<n －1n <n n ＝1.(2)求和：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 3·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n . (因为x 3连续，所以ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi 取为[x i ，x i ＋1]的右端点也无妨)(3)取极限： lim n →∞∑i ＝1ni 3⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n ＝ lim n →∞ 1n 4∑i ＝1n i 3＝ lim n →∞ 1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝14. 此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22，因此∫10x 3d x ＝14. 综合提高 (限时25分钟)7．下列等式成立的是解析 由定积分的几何意义，选C.答案 C8．下列式子中不成立的是解析 分析被积函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C 选项不成立，故选C.答案 C9．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则的值为________． 解析 因为定积分与符号无关，所以.答案 010．利用定积分的几何意义计算⎠⎛13(x ＋2)d x 的值是________． 解析 由定积分的几何意义知⎠⎛13(x ＋2)d x 就是如图所示阴影部分的面积． 答案 811．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：k m/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？解 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ] ＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋ 2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋ 16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ，s ＝S n ＝ －13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋161＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23， 所以这段时间行驶的路程为23 k m.12．(创新拓展)求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f (x )＝4x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积．解 (1)分割：将[0,2] n 等分，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )的区间长度Δx ＝2n ，原曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，如图所示．(2)用f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n 作为第i 个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积．(3)n 个小矩形面积之和S n ＝∑i ＝1n f [2(i －1)n ]Δx ＝∑i ＝1n [16(i －1)2n 2＋4(i －1)n ＋1]2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n 2[12＋22＋…＋(n －1)2]＋4n [1＋2＋…＋(n －1)]＋n 2n ＝32n 3·16n (n －1)(2n －1)＋8n 2·12n (n －1)＋2＝163⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2 (4)所求曲边梯形面积S ＝ lim n →∞S n＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤163⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2 ＝163(1－0)(2－0)＋4(1－0)＋2＝323＋6＝503.。
18-19课时分层作业9定积分的概念(可编辑修改word版)
课时分层作业(九) 定积分的概念(建议用时：40 分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论中成立的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3C [由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]2.关于定积分a＝ (－2)d x 的叙述正确的是( )A．被积函数为y＝2，a＝6B.被积函数为y＝－2，a＝6C.被积函数为y＝－2，a＝－6D.被积函数为y＝2，a＝－6C [由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]3.变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0 时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为( )B [由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0 时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)d t.]4．若f(x)d x＝1，g(x)d x＝－3，则[2f(x)＋g(x)]d x＝( )【导学号：31062085】A．2 B．－3C．－1 D．4C [ [2f(x)＋g(x)]d x＝2 f(x)d x＋g(x)d x＝2×1－3＝－1.]5．若f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，则f(x)d x 等于( )A．0 B．4C．8 D．16D [∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]二、填空题6．若[f(x)＋g(x)]d x＝3，[f(x)－g(x)]d x＝1，则[2g(x)]d x＝.[解析] [2g(x)]d x＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝[f(x)＋g(x)]d x－[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.[答案] 27.曲线y 1y＝x，x＝2 所围成的图形面积用定积分可表示为＝与直线x.【导学号：31062086】[解析] 如图所示，阴影部分的面积可[答案]8.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t 的单位：h，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6 等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为km.[解析] 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．[答案] 66三、解答题9.已知，求下列定积分的值．(1) (2x＋x2)d x；(2) (2x2－x＋1)d x.[解] (1) (2x＋x2)d x＝2 x d x＋x2d xe2 e32 e3＝2×＋＝e ＋.2 3 3(2) (2x2－x＋1)d x＝2x2d x－x d x＋ 1d x，因为已知，又由定积分的几何意义知： 1d x 等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1 所围成的图形的面积，所 以 1d x ＝1×e ＝e ，故(2x 2－x ＋1)d xe3 e 22 3 1 2＝2× － ＋e ＝ e － e ＋e.3 2 3 210.利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)9－x 2d x ；(2) (2x ＋1)d x ；(3)(x 3＋3x )d x .[解] (1)曲线 y ＝ 【导学号：31062087】9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如图①所示．其面积为 S 1·π·32 9π.＝ ＝ 2 2由定积分的几何意义知9 9－x 2d x ＝ π.2(2) 曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋x ＝1，0，x ＝3 围成的直角梯形 OABC 的面积，如图②.1其面积为 S ＝ (1＋7)×3＝12.2 根据定积分的几何意义知(2x ＋1)d x ＝12.(3) ∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与 x 轴下方部分面积相等．由定积分3π的几何意义知(x3＋3x)d x＝0.[能力提升练]1.已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)d x 的值为( )A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不确定A [由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有f(x)d x＝－f(x)d x，而f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x＝0.] 2.与定积分 |sin x|d x 相等的是( )C [当x∈(0，π]时，sin x≥0；当x∈(π，2 ]时，sin x＜0.∴由定积分的性质可得3.定积分x(2－x)d x 的值为. 【导学号：31062088】[解析] 因为y＝x(2－x)，2 2 2所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1 为半径的圆．定积分x(2－x)d x 就是该圆的面积的四分之一，所以定积分[答案] π4x(2－x)d x＝π.44.汽车以v＝(3t＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是m.[解析] 由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0 与y＝3x＋21所围成的直角梯形的面积，故s＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．2[答案] 6.55.如图1-5-5 所示，抛物线y 1＝x 将圆x ＋y ≤8 分成两部分，现在21 1向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，4 6π求.【导学号：31062089】图1-5-5[解] 解方程组Error!得x＝±2.∴阴影部分的面积为.∵圆的面积为8π，4 6π∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π· 1 1 ＝2π 4.( ＋)＋由定积分的几何意义得，2 ＝π＋ .33。
定积分定义-精选文档37页
些孤立点成立，则
b
b
a f(x)dxag(x)dx
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微积分－定积分
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例 比 较 积 分 值 2 e x d 和 x 2 x d 的 大 x 小 .
0
0
解 当 x[2,0]时， e x > x
（ 3 ） 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 存 在 时 ，
称 f(x )在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
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微积分－定积分
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三、存在定理
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ， 称 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
由闭区间上连续函数的介值定理知
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微积分－定积分
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在 区 间 [ a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使
1b
f()baaf(x)d,x
即
b
a f ( x ) d f ( x ) b ( a ) .(a b)
积分中值公式的几何解释： 在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
xi
15
五、 定积分的基本性质
对定积分的补充规定:
（ 1 ） 当 a b 时 ， a bf(x )d x 0 ；
（ 2 ） 当 a b 时 ， a b f(x ) d x b af(x ) d.x
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微积分－定积分
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性质1 性质2
b
【教育资料】 课时分层作业9 定积分的概念学习精品
课时分层作业(九)定积分的概念(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论中成立的个数是()A．0B．1C．2 D．3C[由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]2．关于定积分a＝(－2)d x的叙述正确的是()A．被积函数为y＝2，a＝6B．被积函数为y＝－2，a＝6C．被积函数为y＝－2，a＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6C[由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为()B[由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)d t.]4．若f(x)d x＝1，g(x)d x＝－3，则[2f(x)＋g(x)]d x＝()【导学号：31062085】A．2 B．－3C．－1 D．4C[[2f(x)＋g(x)]d x＝2f(x)d x＋g(x)d x＝2×1－3＝－1.]5．若f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，则f(x)d x等于()A．0 B．4C．8 D．16D[∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]二、填空题6．若[f(x)＋g(x)]d x＝3，[f(x)－g(x)]d x＝1，则[2g(x)]d x＝________.[解析][2g(x)]d x＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝[f(x)＋g(x)]d x－[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.[答案] 27．曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________.【导学号：31062086】[解析]如图所示，阴影部分的面积可[答案]8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.[解析]以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．[答案] 66 三、解答题 9．已知，求下列定积分的值．(1)(2x ＋x 2)d x ；(2)(2x 2－x ＋1)d x .[解] (1) (2x ＋x 2)d x＝2x d x ＋x 2d x＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.(2) (2x 2－x ＋1)d x ＝2x 2d x －x d x ＋1d x ，因为已知，又由定积分的几何意义知：1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以1d x ＝1×e ＝e ， 故(2x 2－x ＋1)d x＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1) 9－x 2d x ；(2) (2x ＋1)d x ；(3)(x 3＋3x )d x .【导学号：31062087】[解] (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知9－x 2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图②.其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称， ∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x 3＋3x )d x ＝0.[能力提升练]1．已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则f (x )d x 的值为( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定A [由题意知f (x )为奇函数，由奇函数的性质有f (x )d x ＝－f (x )d x ，而f (x )d x ＝f (x )d x ＋f (x )d x ＝0.]2．与定积分|sin x |d x 相等的是( )C [当x ∈(0，π]时，sin x ≥0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x ＜0.∴由定积分的性质可得 3．定积分x (2－x )d x 的值为________. 【导学号：31062088】[解析] 因为y ＝x (2－x )，所以(x －1)2＋y 2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分x (2－x )d x 就是该圆的面积的四分之一，所以定积分x (2－x )d x＝π4.[答案] π44．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.[解析] 由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围成的直角梯形的面积，故s ＝12×(5＋8)×1＝6.5(m)．[答案] 6.55．如图1-5-5所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求.【导学号：31062089】图1-5-5[解]解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ＝π＋23.。
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课时分层作业(九)定积分的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论中成立的个数是()
A．0B．1
C．2 D．3
C[由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]
2．关于定积分a＝(－2)d x的叙述正确的是()
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
C[由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]
3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为()
B[由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)d t.]
4．若f(x)d x＝1，g(x)d x＝－3，则[2f(x)＋g(x)]d x＝()
【导学号：31062085】A．2 B．－3
C．－1 D．4
C[[2f(x)＋g(x)]d x＝2f(x)d x＋g(x)d x＝2×1－3＝－1.]
5．若f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，则f(x)d x等于()
A．0 B．4
C．8 D．16
D[∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]
二、填空题
6．若[f(x)＋g(x)]d x＝3，[f(x)－g(x)]d x＝1，则[2g(x)]d x＝________.
[解析][2g(x)]d x＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝[f(x)＋g(x)]d x－[f(x)－g(x)]d x
＝3－1＝2.
[答案] 2
7．曲线y＝1
x与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为
________.
【导学号：31062086】[解析]如图所示，阴影部分的面积可
[答案]
8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
[解析]以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．[答案]66
三、解答题
9．已知，求下列定积分的值．
(1)(2x＋x2)d x；(2)(2x2－x＋1)d x.
[解](1)(2x＋x2)d x
＝2x d x＋x2d x
＝2×e2
2＋e3
3
＝e2＋e3
3.
(2)(2x2－x＋1)d x＝
2x2d x－x d x＋1d x，
因为已知，
又由定积分的几何意义知：1d x等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1d x ＝1×e ＝e ， 故
(2x 2－x ＋1)d x
＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2
＋e.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分． (1) 9－x 2d x ；(2) (2x ＋1)d x ；
(3)
(x 3＋3x )d x .
【导学号：31062087】
[解] (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．
其面积为S ＝12·π·32＝9
2π. 由定积分的几何意义知
9－x 2d x ＝9
2π.
(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.
(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，
x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图②.
其面积为S ＝1
2(1＋7)×3＝12. 根据定积分的几何意义知 (2x ＋1)d x ＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知(x3＋3x)d x＝0.
[能力提升练]
1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)d x的值为()
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
A[由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有
f(x)d x＝－f(x)d x，而f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x＝0.] 2．与定积分|sin x|d x相等的是()
C [当x ∈(0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤π，3π2时，sin x ＜0.
∴由定积分的性质可得
3．定积分
x (2－x )d x 的值为________. 【导学号：31062088】
[解析] 因为y ＝
x (2－x )，
所以(x －1)2＋y 2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分x (2－x )d x 就是该圆的面积的四分之一，所以定积分x (2－x )d x
＝π
4.
[答案] π
4
4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.
[解析] 由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围成的直角梯形的面积，故s ＝1
2×(5＋8)×1＝6.5(m)．
[答案] 6.5
5．如图1-5-5所示，抛物线y ＝1
2x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋1
6π，
求
.
【导学号：31062089】
图1-5-5
[解] 解方程组⎩⎨⎧
x 2＋y 2＝8，y ＝1
2x 2
，
得x ＝±2.
∴阴影部分的面积为
.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＋16π＝2π＋43.
由定积分的几何意义得，
＝π＋2
3.。