不等式恒成立求参数的范围

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用函数最值法处理_恒成立_不等式中的参数范围

/ 故实数 ! 的取值范围为6 4 ’$4 T 3 U% / $& ’( ) 求字母取值范围 V 以平面向量为依托 $ 年湖北高考文科卷 ( 已知向例V 6 3 5 5 W
3 量 X0 6 若函数 Y $ Y& / ( $ Z0 6 /4 Y $ R ( ) 在区间 6 上是增函数 $ 求 L 6 Y ( 0X B Z 4/ $ / (
解
由题意当 ": ’ 时不等 # 5$ B
" " 式 $9 & 9 3)! , G恒成立 6 化简后得> 3 . $" $" 对恒成 ,# ’ ( 9’ ( ": ’ # 5$ B ! & 立6
<
B
令/ ’ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ" (+#
利用指数函数的单调性可知> :’ # 5$ B . 所以 . 当 "+ $ 时/ ’ " ( 3 ,# 0H I +# ! ! . 即实数 3的取值范围为 # -9 5 6 ! 万方数据
’ 3 (# 8 ’ M ( 数所以 8 即8 在< ,G ’ " ( #$ 3# M 上是增函数 6 所以 8 在< 上的最 $ B ’ " ( #$ $ B
故当 ": < 大值为 8 ’ " ( ’ $ ( +$ #$ 0H I+ 8
时即& $ B O& # & 3 O9 $ ,$ 3 O4 O&’ #$ 讨论如下 > 4 34 $ ( 6 显然 O N G 否则上述不等式变为 G4 这是不可能的 6 故分两种情形 > G 时对于 # $ P 当 O, G O, & 3 43 4 故 O% & $恒成立 Q 时对于 # $ R 当 O4 G O4 & 3 43 4 故 O =# & 6 $恒成立 #& BS < & -9 5( 6 以一元高次函数为依托求字母取值范 T 围 $ & . 例 T 设函数 8 ’ " ( +" # " #& "9 & 当 ": ’ 时不等式 8 #$ & ( ’ " ( 4 O恒成 U 立求实数 O 的取值范围 6 解

不等式恒成立中参数范围的确定

数知识紧密结合，有一定的综合性和思维含量。具近
年来成为高考命题的热点．文以不等式恒成立问题本
为例探讨这一问题，结其常见类型与解法，望对总希
同学们提供有益的帮助和启发．
１分离参数法
３最值转化法
善
由＿１一ｎ１ｅ１得到ａｅ从而避免了对ｎ进厂）一 ≥ 一，（ ≥ ，在 ∈ ［＋一）恒成立，即３上
，
一
４ ≤ 一ｍ２３一２＋１
一
由上面２种方法已经可以发现，成立问题和函恒数的最值密切相关．实，多问题都可以等价转化其很为最值问题进行解决．：例３已知函数ｆ（）８。１ｘ一，ｚ）＝ｘ一ｘ＋６ｇ（：＝
争
思想和方法解决问题．于参数不好分离的问题，对可一尝试这一策略．
◇ 辽宁侯绪刚北京重嘉森特级教师）（
∞ 一．
例２（０１浙江卷）函数厂（一ａＩｚ～２１年设）ｎ ≤
◇ （因（一２ｘｚ｝ｘ其ａＯ解析１为厂）ａｎ— ａ，中＞，）ｚｌ－－
所以
厂（，ｚ）一一２十ｎ：一 — －ａ）２（ｘ－（ｘ＋ａ）
— ．
又因为ｘＯ所以由ｆ＞，）０得 ∈ （，）由＞０ａ，若不等式能化为ｇｍ），）（（）－）恒（ ≤ （ｇ ≥ ， ’ ）（

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

要条件是：
一
次函数ｆ）ａ（＝ｘ＋ｂ在 ∈［ｎ上恒大ｍ，］
于零的充要条件是：
｛
或＇或＞。，
）ａ＋ｂ恒小于零的条件亦可类似给出。＝ｘ例１对任意的ａ一１１， ∈［，］函数ｆ）＋（＝（４＋ａ一）４—２ｎ的值总大于零，求的取值范围。解：（可变形为ｇ口＝（一２ａ＋一４厂）（）ｚ）ｘ＋
、
利用一次函数的性质
０ ① 在区间，）上恒成立，要求实参数ｋ的范围。
如果能将不等式①化为Ｆｋ ≥Ｇ）或Ｆｋ（）（（（） ≤Ｇ）（）的形式，且可求出Ｇ）区间，上的最（在大（最小），么不等式 ①在区间，恒成立的充值那上
时，有＋ｋｋ一１恒ｘ＞，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等式总可以化为ａｘｘ＋ｂ
＋ｃ＞０（０ａ＞）的形式，由二次函数Ｙ＝
论：
＋＋ｃ
求实数ｋ的取值范围。
解：等式可化为不
（ａ＜０的图象和性质，们不难得出以下两个结）我
｛｝。
，ｆ２ａ则 —ｔ＞ｍｘ
①
于是该题就变成：ａ∈［一１１内任意取值当，］时，（）ｇａ恒大于零，求的取值范围。因为ｇｎ是一次函数，以ｇａ在［，］（）所（）一１１上
恒为正，要只
ｒ（）一ｘ＋６，ｇ一１：５＞０Ｌ（） —３ｇ１＝ｘ＋２。＞０

不等式恒成立、能成立问题 (1)

√A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1<a<4}
C.{a|a≥4，或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
解析由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4，故选A.
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(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0解集为R，求实数a取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
微专题2
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
5 1＋ <x< 2
5
.
反思感悟
已知参数的取值范围，求变量x的取值范围时，常常把主要变量 x和参数互换身份，构造以参数为变量的函数，根据参变量的取值范围求解x的范围.
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解：令y=－x2＋2x＋3，由题意，a2－3a≥ymax=4,
a2－3a-4≥0, (a-4)(a+1)≥0 a≤－1或a≥4，∴实数a ϵ{a|a≤－1或a≥4}.
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微专题2
分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略

条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中可以判断函数 1#2&是周期为 ,4的周期
函数的条件是
C
D0设函数 1#2&的定义域为 E3任取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出下列 I
个关系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每一个 2都成立3其中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中判断函数 1#2&是偶函数的条件是
又设 25 4 1)%则它是过原点%斜率为 1的直线 9& 在同一直角坐标系下作出
它们的图像-如图 3/&依题意%半圆 8恒在直线 9上方时%只有 1: #时成立%故 1
图3

不等式恒成立求参数的取值范围

不等式恒成立求参数的取值范围武汉市第四十九中学李清华邮政编码；430080一、教学目标1、知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力3、情感目标；优化学生的思维品质二、教学重难点1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择三、教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结四、教学过程1、引人高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。

我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。

引入课题2、新课下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法解法一；分离参数由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ，又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x又因为x∈[-1，1]，所以a<1.解法二；分类讨论、解不等式（x-2）[x-(2-a)]>0当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时-a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1综上得：a<1解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1△=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1解法五；数形结合（用动画来演示a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4分别作两函数的图象当x∈[-1，1]时，总有y=a(x-2)的图象在y=-x2+4x-4图象的上方由图象可得a<1归纳总结（由老师板书）1、如果作图较易，也可用数形结合。

不等式恒成立求参数范围问题的解法初探

摘要：已知不等式恒成立，求参数范围是近几年高考热点问题；常出现填空，选择和简答题，难度较大；为了对恒成立问题有一个全新的认识，面推进新课程标准的发展，何探求恒成立问题中参数取值范围，文对此类问题的求解作一些探讨与研究，全如本特归纳四种类型，大家参考。供关键词：等式恒成立；数范围；法不参解
１一次函数的性质３利用函数的最值（值域）或（）（）ｍ对任意ｘ１，都成立甘， ≥ｍ；（）（）（）ｍ对任意ｘ成立甘 ≥，一。２，都（简单计作： “ 大则大于最大的，则小于最小的” 小。本类问题实质上是一类求函数的最值问题，（叫分离参数法）也；分离参数法实际上是应用函数思想及不等式的有
对于一次函数ｆ（）ｘ＋ｂ ∈【ｎ有：ｘ＝ｋ，ｍ，］
，）。立§１（）０（＞恒成Ｉｍｆ＞
厂）０（＞
，
ｆ＜成甘；（０立｛恒）
将要求的参数分离出来，进而求出其取值范围，它一般适用于在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量ｘ看成是主关知识，元（知数）而把另一个变量ａ成参数，未，看在有些问题中这样的解题过参数易于分离的＇ｇ。ＮＯ－．例４已知函数ｆ１＾（中ａｂ常量，ａＯａ）图像经：ｆ＿ａ其ｘｂｘ，为切＞，≠１的程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，可简化解题过程。（主换元）则变过点Ａ１）（，）（，，３４．６Ｂ２（）１试确定ｆ）（ｘ例１：若不等式２～＞ａ１对满足一ａ１ｘ１（一）ｘ１的所有ａ都成立，求ｘ范围。的（）不等式（＋１ｆ￣ｍ在ｘ一１２若１（ｂｘ／＞（，时恒成立，数ｍ的１求实解：们可以用改变主元的办法，ａ为主变元，元不等式取值范围。我将视即将解：１ｂａ６＊＾２－ａ２＝所以ｆ）３２ｘ（）＊＿，ａ３４＝，３－ｂ＝￣＞ｂ－（－＊＾ｘ化为：（一）（ｘ１０；，＝ａ１（一）贝 — ａ１，由０ａ１２一），）（一）２１０１时，＜ｘ一＜令ｘｘ，（（）＾３在（，）２２ｘ＾，ｘ一１上单调递增且匣正，以ｆ）１ｌ＾所（＝／ｘ／ｘｘ２＋３在（ｏ，）一。１上单诃递减，ｆ）／，趋于＋时，＾３都趋于０又（＝６ｘ１５２ｘ＾，ｘ，ｆ）（趋于＋ｘ ∞。ｆ）域为［６＋。，以ｍ＝／（的值ｘ５，。）／所＜５６ ∈ （掣，３）例５（）求使不等式ａｓｘＣＳ，［７恒成立的实数ａ：１＞ｉ — ＯＸ０ｒｎ ∈ ，］的范２利用一元二次函数的判别式围。，解：于函。一。。“－ ’一卜，，然函由ｍｃ＿（，；ｏ √ｉｘ显数有２１对于一元二次函数，）ａｘｃ０Ｒ．（＝ｘ＋ｂ＋（，）有：ａ ∈ （）（）在 ∈Ｒ上恒成立铮口且Ａ＜０；１厂＞０＞０最大值、．／＞√ 。（）（）在 ∈Ｒ上恒成立甘ｎＡＡ＜０２ｆｘ＜０＜０如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：例２：若不等式一１＋（一１＋２）ａ）ｘ＞０的解集是Ｒ，ａ的范求围。解析：应用上面的结论，得保证是二次的，判别式，要想就才有但二解：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的次项系数含有参数ａ所以要讨论ａ１，一是否是０一。取值范围的变化，这样使得ｙｉｘｏｘｓ —ｃｓ的最大值取不到、，ａｎ／即（）ａｌＯ，不等式化为２０１当－＝时元＞恒成立，满足题意；

数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略

２／ … ＞ｍ，（）＜ｍ恒成立（）＜ｍ此方法特别）ｆ／２２／… ．
于ｎ的最小值１令＿＜， Ⅱ １００ ÷ ．，１解得＞或＜＜
１一ｒ上Ｚ
适用于解厂ｎ的最值容易求出的数列不等式恒成立题型．（）例１已知数列｛满足０ Ⅱ｝Ｊ＝５／，：＝５ｎ＋＝。２，＋
解由题设０＝ｒ一＝ｏ．＝ｎｇ＝ｎｇ．上× ，。ｂｌａ口ｌａ
若ｂ＞ｂ， … 则
ｂ＋１一ｂ＝（凡＋１ｒｌ。一ｎｇ）上ｇｎｌｎ
【键词】等式恒成立问题；列；数范围问题关不数参
在高考压轴题中，与函数恒成立问题既有类似之处，有它又些差别，生容易出错，至不知所措．里通过几个例学甚这子归纳这类问题的几种常用解法和需要注意的问题．
一
的等比数列，ｂ令＝ａｌａ（）若数列｛中的每一ｎｎＥＮ＋．ｇｂ｝项总小于它后面的项，。的取值范围．求
解题技巧与方法嚣
稻啦
。
．～＿
篝童俦纛戚篆
【要】等式的恒成立问题是学生较难理解和掌握的摘不
一
参魏
７６０）４００
只需ｍ≥６．
鼷
曦
◎ 马健（肃省陇南市武都区两水中学甘

五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围

二、量分离策略变变量分离策略即将参数与未知量分离于表达式的两边．
时【Ｊ・＇
由于原不等式在Ｘ∈［ｌ１一，］恒成立，故以上各情形取交集，以ａ４所＝．五、造函数策略构此种策略在综合题中很是常见．据题意设出所
周宇
（睢宁县王集中学，苏睢宁江２１０）２２０
五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围
摘要：观近几年全国高考试题，解不等式中恒成纵求立问题的参数范围的题型经常出现。本文详细介绍了五种行之有效的解此类题的策略。关键词：等式恒成立问题解题策略不不等式中恒成立问题涉及一次函数、次函数的性质、二图像，透着换元、渗化归、形结合、数函数与方程等思想方法．此类问题综合性强。辑能力要求高，法灵活，点考查学生逻解重的分析问题、决问题能力．握以下几种常规策略，实战解掌在中定能收到很好的效果，面一一介绍．下
一
进行研究的方法．种方法让我们有 “ 重水复疑无路，暗花此山柳明又一村 ” 的感觉．使我们的思路清晰化、捷化，效地提可简有高解题效率．

恒成立不等式中参数问题

浅谈恒成立不等式中的参数问题摘要：关于恒成立不等式的问题既含变量又含有参数，又有许多知识的交汇，因此与其相关的命题综合性比较强，题型也多种多样，这就需要我们在平时学习时用好转化思想，多归纳，多总结，多体会。

关键词：不等式恒成立参数恒成立不等式中的参数的取值范围问题，是近年来高考的热点之一，也是学生学习的难点之一。

它涉及的知识面比较广，并且综合性也比较强。

它往往与函数、数列、方程、立体几何、解析几何、复数以及应用型问题结合起来，题型形式灵活多变，而且语言也比较抽象。

那么哪些数学思想能解决此类问题呢？笔者下面就结合自己的教学经验，举一些具体的例子来讨论这类参数问题的处理方法。

例1.若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4∴a的取值范围为：-2说明：对于有关一元二次不等式ax2+bx+c0）的问题，可以设二次函数f（x）=ax2+bx+c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据它的图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

例2.设对于所有的实数x，不等式x2log24（a+1）/a+2xlog22a/（a+1）+log2（a+1）2/4a2>0，都恒成立，求a的取值范围。

解法一：（利用代换，结合判别式）令u=log2（a+1）/2a，则：（3+u）x2- 2ux+2u>0∴ 3+u>0 （1）4u2-8u（u+3）0∴（a+1）/2a>1，解得：0解法二：（分离参数，利用最值法）原不等式可以化为：x2[3+log2（a+1）/2a]-2xlog2（a+1）/2a+2log2（a+1）/2a>0 即：（x2-2x+2）*log2（a+1）/2a+3x2>0∵ x2-2x+2=（x+1）2+1>0∴原不等式可化为：log2（a+1）/2a>（-3x2）/[（x-1）2+1]要使原不等式恒成立，当且仅当log2（a+1）/2a>0解得：0评述：涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可以根据a>f（x）恒成立等价于a>f（x）max， a（-1+■）/2解（2）得，（1-■）/2<x<（1+■）/2由（1）（2）得：（-1+■）/2<x<（1+■）/2∴ x的取值范围为（-1+■）/2<x<（1+■）/2说明：利用转换思想解决恒成立问题，一定要搞清楚谁是自变量，谁是参数。

不等式恒成立求参数的范围

不等式恒成立求参数的范围一、最值的直接应用例1、已知函数f(X)= (x-k)29⑴求/(x)的单调区间；⑵若对于任意的都有/求k的取值范围.例久已知函数f(x)=x + - + b(x^0)9其中a^beR.x⑴若曲线y = /(Q在点P(2,/⑵)处切线方程为＞'=3x +1,求函数/⑴的解析式;(2)讨论函数/⑴的单调性；⑶若对于任意的占訶，不等式几讥1°在刖上恒成立，求b的取值范围.例3、已知函数f(x) = (x 2-a)e\⑴若“ =3,求/W 的单调区间；⑵已知X p X 2是/(A)的两个不同的极值点， 33/(") <(e+-a 2-3a + b 恒成立，求实数的取值范围。

二、恒成立之分离常数例4.已知函数/(x) = - + lnx-l,« e R ・ x(1)若.v = fW 在P(l,儿)处的切线平行于直线y = -x + \ 间； ⑵ 若G>0,且对.2 (0,2刃时，/(A ) > 0恒成立，求实数"的取值范围.且 1召 +x 21>1^%21 ,若求函数y = /(X )的单调区Y"例5、已知函数f(x ) = e x - — -ax-i,(其中"ER,为自然对数的底数).⑴当« = 0时,求曲线y = /(劝在(0,/(0))处的切线方程；(2)当x Ml 时,若关于x 的不等式/(A ) M0恒成立，求实数Q 的取值范围.(1) 求/(x)的单调区间；(2) 求/(x)的取值范围；(3) 已知2占＞仁+ 1)川对任意"(7°)恒成立，求实数加的取值范围。

例人已知函数/(劝=匕旦.(I )若函数在区间(G4 + 】)其中">0,上存在极值，求实数&的取值范围;2(H)如果当x>\时，不等式fM>^-恒成立，求实数励取值范围；例6. 设函数/(A)=(x + l)ln(x + l) 2—1且心0)x + 1例&已知函数f(x) = x2+bx + c(b,ceR).对任意的xeR.恒有广(x)W/(x).⑴证明：当/(x)^(x + c)2;(2)若对满足题设条件的任意从6不等式f(c)-/0)WM(c2-庆)恒成立，求确最小值。

求不等式恒成立问题中参数的取值范围的两种途径

思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48思路探寻∴实数a 的取值范围为a >1.在解答该题时，需首先对函数f ()x =x 3+2判断出函数的单调性，求得其最值，这样便可将问题转化为在x ∈()0,+∞上ax >e x -1恒成立.然后构造-1，画出其图象，O。

含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略

含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作者：刘飞来源：《理科考试研究·高中》2016年第01期含参不等式恒成立问题是高考中的热点问题，此类问题由于题型多样，有利于考查学生的综合解题能力，解答此类问题主要通过转化来解决问题.下面举几种常见的解答方法.一、分离参数此法是把不等式中的参数t与未知数x分离出来，得到t>f（x）或tf（x）max，或t例1已知对于任意x∈（0，1），不等式|loga（2-x）|>|loga（2+x）|-1恒成立，求实数a 的取值范围.解显然a>0且a≠1，当x∈（0，1）时，loga（2+x）>0，loga（2-x）>0，原不等式可化为lg2+x2-x所以2+x2-x=42-x-1∈（1，3），所以lg2+x2-x∈（0，lg3），因为对于任意的x∈（0，1），不等式lg2+x2-x所以|lga|≥lg3，解得a的范围是：a≥3或0二、联系二次函数如果原不等式可化为二次不等式型，可充分联系二次函数的图象及性质解决问题.例2当x∈[-2，2]时，不等式x2+ax+3-a≥0恒成立，求实数a的范围.解构造二次函数f（x）=x2+ax+3-a=（x+a2）2-a24-a+3.当-a2-a2f（-2）=（-2）2+a（-2）+3-a≥0，解集为空集.当-2≤-a2≤2时，原不等式等价于：-2≤-a2≤2，f（-a2）=（-a2）2+a（-a2）+3-a≥0，解得-4≤a≤2.当-a2>2时，原不等式等价于：-a2>2，f（2）=22+2a+3-a≥0.解得-7≤a≤-4.综上，a的取值范围为-7≤a≤2.三、数形结合某些不等式的恒成立问题，可通过构造函数，借助函数的图象来研究.例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2解设f（x）=（x-1）2，g（x）=logax.当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2当0当a>1时，画出f（x）及g（x）的图象，由图象可得，当x∈（1，2）时，要使不等式f（x）则需要f（2）≤g（2），即（2-1）2≤loga2，解得a≤2，故1综上，a的取值范围为1四、变更主元将不等式中的参数与变量地位互换，反客为主，实现难题巧解.例4若x∈（0，13]，不等式1+x+（a-a2）x2>0恒成立，求实数a的取值范围.解原不等式可化为关于a的不等式：x2a2-x2a-（x+1）即[ax-（x+1）]（ax+1）因为x∈（0，13]，所以不等式的解为-1x由条件知[-1x]max所以-3。

恒成立问题

恒成立问题一、新课导学：对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种：1．判别式法：二次不等式在R 上恒成立，常用判别式法。

2．求最值法：①直接求最值：若()0f x >在某区间D 上恒成立，则当x D ∈时，min ()0f x >；若()0f x <在某区间D 上恒成立，则当x D ∈时，max ()0f x <；②分离参数求最值：若()()f a g x >在某区间D 上恒成立，则当x D ∈时，max ()()f a g x >；若()()f a g x <在某区间D 上恒成立，则当x D ∈时，min ()()f a g x <.★3．变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元。

二、典例分析1、判别式法例1、关于x 的不等式210x ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围.变式1、对于x R ∈不等式2(2)2(2)40a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围. 2、分离参量法例2、不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，求a 的最小值.变式1、已知函数(1)()()1a x f x lnx a R x -=-∈+,若函数()f x 在定义域上为单调递增函数，求实数a 的取值范围.变式2、若不等式1lnx kx +≤恒成立，求实数k 的取值范围.3、转换主元法例3、已知不等式212x px x p ++>+①如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的取值范围；②如果不等式当||2p ≤时恒成立，求x 的取值范围.4、数形结合法例4、①若不等式2log x x <对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是②若不等式220x kx -+>对[]3,3x ∈- 恒成立，则实数k 的取值范围是练习：1、对于任意实数x ，不等式2||30x x a ++->恒成立，求实数a 的取值范围.2、已知关于x 的不等式24x x m -≥对任意(0,1]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 . 3、已知2()22f x x ax =-+，当[1,)x ∈-+∞时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.。

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略_晏美林

学知报/2011年/1月/17日/第006版
教学论坛
不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
江西省上高二中晏美林
确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并常要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定其取值范围，教材中却没有论及，但它已成为近年来高考命题中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用数学知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，笔者试对此类问题的求解策略与方法作一探讨.
策略一：分离参数法
所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。

这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。

数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。

在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析，选择适当方法快速而准确地解出。

当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。

因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。