不等式恒成立求参数的范围

一、最值的直接应用

例1、已知函数2()()x k f x x k e =-。

⑴求()f x 的单调区间；

⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤

1e ，求k 的取值范围.

例2、已知函数()()0≠++=x b x

a x x f ，其中R

b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式； ⑵讨论函数()x f 的单调性； ⑶若对于任意的??????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在??

????1,41上恒成立，求b 的取值范围.

例3、已知函数2()()x f x x a e =-.

⑴若3a =，求()f x 的单调区间；

⑵已知12,x x 是()f x 的两个不同的极值点，且1212||||x x x x +≥，若

3233()32

f a a a a b <+-+恒成立，求实数b 的取值范围。

二、恒成立之分离常数

例4、已知函数()ln 1,.a f x x a R x

=+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间；

(2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.

例5、已知函数12)(2

---=ax x e x f x

,（其中∈a R ,e 为自然对数的底数）. (1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程；

(2)当x ≥1时,若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.

例6、设函数1()(1(1)ln(1)

f x x x x =>-++且0x ≠）（1）求()f x 的单调区间；

（2）求()f x 的取值范围；

（3）已知1

12(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

例7、已知函数1ln ()x f x x

．（Ⅰ）若函数在区间1(,)2

a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；

例8、已知函数2()(,),f x x bx c b c =++∈R 对任意的,x ∈R 恒有()()f x f x '≤. ⑴证明：当20()();x f x x c +≥时，≤

⑵若对满足题设条件的任意b 、c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，求M 的最小值。

例9、已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈.

（１）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值．

①求t 的取值范围；②若22a c b +=，求t 的值．

（２）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大值．

例10、已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).

(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数；

(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；

(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.

例11、设函数2()ln f x a x bx =-.

⑴若函数()f x 在1x =处与直线12

y =-

相切： ①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在1[,]e e

上的最大值； ⑵当0b =时，若不等式()f x ≥m x +对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值范围.