高中数学必修1同步优化训练综合测试卷A卷(附答案)

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人教版A版高中数学必修第一册第一章综合测试01试题试卷含答案答案在前

第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（），∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（），即U U U U A C A B ⊇ （）（），∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分）（2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分）（3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分）（2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分）综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-，则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分）由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人），选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人），选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分）仅选甲的有382454=5---（人），仅选乙的有352452=4---（人），仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分）所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（）等于（）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（）①U U A C A B ⊆ （）（）； ②U U U U A C A B ⊇ （）（）；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （）；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （）；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。

高中数学人教A版(2019)必修一综合测试卷

高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|x2<1}，集合B={x|log2x<0}，则A∩B=（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−1,1)D．(−∞,1) 2．（2分）已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sin2α=（）A．√32B．−√32C．−12D．−√343．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．−14B．14C．−2D．24．（2分）由y=2sin(6x−16π)的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y=2sin(3x−16π)B．y=2sin(3x+16π)C．y=2sin(3x−112π)D．y=2sin(12x−16π)5．（2分）若sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=（）．A．−78B．−14C．14D．786．（2分）已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m 的取值范围（）A．(0, 12)B．(12,1]C．(0,1]D．（0,1）7．（2分）对于函数f（x）=x3cos3（x+ π6），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递减8．（2分）若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则f(x)+f(−x)2x<0的解集为（）A．(－3,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)．9．（2分）已知函数f(x)={x2,x≤0lg(x+1),x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．(−∞,9)D．(−∞,−1)∪(9,+∞)10．（2分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意正实数x1,x2(x1≠x2)，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2﹥0 ，则一定有（）A．f(3)>f(−5)B．f(−3)<f(−5)C．f(−5)>f(3)D．f(−3)>f(−5)11．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞，0)上单调递减，若a=f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a12．（2分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上,则φ的取值范围是()A．(π6,π4]B．(π12,π4]C．(π6,π2)D．(π12,π2)二、填空题(共4题；共4分)13．（1分）若a>0，b>0，a+2b=1，则1a+a+1b的最小值为.14．（1分）若函数f(x)={log2x,x>0−2x−a,x≤0有且只有一个零点，则a的取值范围是．15．（1分）设f(x)是定义在[−2b，3+b]上的偶函数，且在[−2b，0]上为增函数，则f(x−1)≥f(3)的解集为.16．（1分）下列命题中：①已知函数y=f(2x+1)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x)的定义域为[1,3]；②若集合A={x|x2+kx+4=0}中只有一个元素，则k=±4；③函数y=11−2x在(−∞,0)上是增函数；④方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是1.所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.三、解答题(共6题；共65分)17．（10分）若集合A＝{x ∈R| x2−x−12≤0}和B＝{ x ∈R|2m－1≤x≤m＋1}．（1）（5分）当m=−3时，求集合A∪B.（2）（5分）当B∩A=B时，求实数m的取值范围．18．（10分）（1）（5分）计算(lg14−lg25)÷10012的值；（2）（5分）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19．（10分）已知函数f(x)=a(sin2x−π6)−a+b(a，b∈R，且a<0).（1）（5分）若当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[−5，1]，求实数a，b的值；（2）（5分）在（1）条件下，求函数f(x)图像的对称中心.20．（15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3)，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）若g(x)=f(x)−(2t−4)x在区间[−1,2]上有最小值2，求实数t的值；（3）（5分）设ℎ(x)=mx2−4x+m，若当x∈[−1,2]时，函数y=ℎ(x)的图象恒在y= f(x)图象的上方，求实数m的取值范围.21．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0 ， 8]，不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立，命题q：存在x∈(0 ， 2π3)，使不等式2sin2x+2sinxcosx≤√2m(sinx+cosx)成立．（1）（5分）若p为真命题，求m的取值范围；（2）（5分）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（10分）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x （1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f(x)+x①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】根据题意：集合 A ={x|−1<x <1} ，集合 B ={x|0<x <1} ， ∴A ∩B =(0,1)故答案为： A ．【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.2．【答案】B【解析】【解答】角 α 的终边经过点p （﹣1， √3 ），其到原点的距离r =√1+3= 2Cos α=−12 ，sin α=√32∴sin2α=2 sin α cos α=2×（−12）×√32=−√32.故答案为：B ．【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．3．【答案】B【解析】【解答】设幂函数的表达式为 f(x)=xn，则 (12)n =√22，解得 n =12 ，所以 f(x)=x 12 ，则 log 4f(2)=log 4212=12log 2212=12×12=14.故答案为：B.【分析】利用幂函数图象过点 (12,√22) 可以求出函数解析式，然后求出 log 4f(2) 即可。

高中数学必修1同步优化训练第一章集合与简易逻辑1 A卷(附答案)

第一章集合与简易逻辑(一)●知识网络集合集合的有关概念集合与元素补集解含绝对值的不等式并集解简单分式不等式集合与集合交集解一元二次不等式集合的运算集合的应用●范题精讲【例1】已知集合A 、B 是全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A ∩B ={2},(U A )∩(U B )={1,9},(U A )∩B ={4,6,8},求A 、B.UAB 4,6,83,5, 721,9分析:作出文氏图，利用数形结合法求解本题.解:由图可得A ={2，3，5，7},B ={2，4，6，8}.【例2】已知A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +8=2},C ={x |x 2+2x -8=0}.若∅A ∩B ,且 A ∩C =∅,求a 的值.解:∵B ={x |(x -3)(x -2)=0}={3,2}, C ={x |(x +4)(x -2)=0}={-4,2}, 又∵∅A ∩B , ∴A ∩B ≠∅. 又∵A ∩C =∅,∴可知-4∉A ,2∉A ,3∈A. ∴由9-3a +a 2-19=0，解得a =5或a =-2.①当a =5时，A ={2,3}，此时A ∩C ={2}≠∅,矛盾， ∴a ≠5；②当a =-2时，A ={-5,3}，此时A ∩C =∅, A ∩B ={3}≠∅,符合条件. 综上①②知a =-2.评注:求出a 值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果.【例3】解关于x 的不等式x 2-(a +a1)x +1＜0(a ≠0). 分析:解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复.解:原不等式化为(x -a )(x -a1)＜0, ∴相应方程的根为a 、a1. 当a ＞a 1，即-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜a }. 当a =a 1，即a =±1时，解集为∅.当a ＜a 1，即0＜a ＜1或a ＜-1时，解集为{x |a ＜x ＜a1 }.综上，当-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a1＜x ＜a };当a =±1时，解集为∅；当0＜a ＜1或a ＜-1时，解集是{x |a1＜x ＜a }.评注:解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题.【例4】已知A ={x ||x -a |≤1},B ={x |3302x--x-x ≥0},且A ∩B =∅，求a 的取值范围.分析:先利用解含绝对值不等式的方法及积的符号法则解不等式，求出A 和B ，再利用数轴表示出A 和B (如下图所示)，得到A ∩B =∅时应满足的条件，从而求出a 的取值范围.解:A ={x ||x -a |≤1}={x |a -1≤x ≤a +1}.不等式3302x--x-x ≥0,即()()356x-x x +-≥0, 其解集是⎩⎨⎧≥+>05)6)(-(0,3-x x x 与⎩⎨⎧≤+-<-0)5)(6(,03x x x 的解集的并集.解得不等式3302x--x-x ≥0的解集是{x |x ≥6}∪{x |-5≤x ＜3}={x |x ≥6或-5≤x ＜3}.所以B ={x |-5≤x ＜3或x ≥6}. 要使A ∩B =∅，必须满足a +1＜-5或⎩⎨⎧<+≥-,61,31a a即a ＜-6或4≤a ＜5.所以，满足条件的a 的取值范围是a ＜-6或4≤a ＜5.评注:将集合A 、B 都标在数轴上，借助于图形直观性找到需满足的条件，再转化为与之等价的关于a 的不等式组.这种数形结合的数学思想很重要.●试题详解高中同步测控优化训练(一) 第一章集合与简易逻辑(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A 答案:C2.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则A ∩(U B )等于A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3} 解析:∵U ={1,2,3,4,5},B ={2,5}, ∴U B ={1,3,4}.∴A ∩(U B )={1,3}.答案:D3.已知集合S={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形解析:由于集合中的元素是互异的,所以a 、b 、c 互不相等,即△ABC 一定不是等腰三角形. 答案:D4.集合A ={x ∈R |x (x -1)(x -2)=0}，则集合A 的非空子集的个数为A.4B.8C.7D.6解析:集合A ={0，1，2}，共有23=8个子集，其中非空子集有7个，故选C.这里特别注意{0}≠∅.答案:C5.已知集合A ={x ||2x +1|>3},B ={x |x 2+x -6≤0},则A ∩B 等于A.(-3,-2］∪(1,+∞)B.(-3,-2］∪［1,2)C.［-3,-2)∪(1,2］D.(-∞,-3］∪(1,2］解析:A ={x ||2x +1|>3}={x |2x +1>3或2x +1<-3}={x |x >1或x <-2}, B ={x |x 2+x -6≤0}={x |-3≤x ≤2}(如下图).答案:C6.已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ，那么a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.0，1或-1解析:因为由x 2=1得x =±1，所以P ={-1,1}.又因为Q ⊆P ，所以分Q =∅和Q ≠∅两种情况讨论.(1)若Q =∅，则a =0；(2)若Q ≠∅，则a ≠0，Q ={x |x =a1}，所以a =-1或1.综合(1)(2)可知，a 的值为0，1或-1. 答案:D7.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是A.(U P )∪Q =UB.( U P )∩Q =∅ C.P ∪Q =Q D.P ∩(U Q )=∅UPQ解析:由文氏图知(U P )∩Q ≠∅.答案:B8.不等式组⎩⎨⎧>+>03,42a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值范围是A.a ≤-6B.a ≥-6C.a ≤6D.a ≥6答案:B9.若|x +a |≤b 的解集为{x |-1≤x ≤5},那么a 、b 的值分别为A.2，-3B.-2，3C.3，2D.-3，2 答案:B10.设全集U =R ，集合E ={x |x 2+x -6≥0}，F ={x |x 2-4x -5＜0}，则集合{x |-1＜x ＜2}是A.E ∩FB.( U E )∩FC.(U E )∪(U F )D. U (E ∪F )解析:E ={x |x 2+x -6≥0}={x |x ≤-3或x ≥2}, F ={x |x 2-4x -5＜0}={x |-1＜x ＜5}. 借助数轴知{x |-1＜x ＜2}=(U E )∩F .答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0}.若S ∩T ={(2,1)},则a =_______,b =_______.解析:由S ∩T ={(2,1)},可知⎩⎨⎧==1,2y x 为方程组⎩⎨⎧=--=-+0,03b y x y ax 的解，解得⎩⎨⎧==.1,1b a答案:1 112.已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =_______. 解析:∵M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },∴N ={0,2,4}.∴M ∩N ={0,2}. 答案:{0,2}13.不等式1-x ax＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a 的值为________. 解析:由1-x ax＜1得［(a -1)x +1］(x -1)＜0，由不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞2}知，1、2为方程［(a -1)x +1］(x -1)=0的两根，∴(a -1)×2+1=0.∴a = 21. 答案: 2114.不等式3)2(-+x x x <0的解集为_______. 解析:原不等式x (x +2)(x -3)<0.如下图,由数轴穿根法可知原不等式的解集为{x |0<x <3或x <-2}.答案:{x |0<x <3或x <-2}三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2}.若A =B ，求实数c 的值.解:若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a ⇒a +ac 2-2ac =0, 所以a (c -1)2=0,即a =0或c =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当c =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22⇒2ac 2-ac -a =0. 因为a ≠0，所以2c 2-c -1=0, 即(c -1)(2c +1)=0. 又c ≠1，所以只有c =-21. 经检验，此时A =B 成立.综上所述c =-21. 16.(本小题满分10分)设集合A ={x ||x -a |<2},B ={x |212+-x x <1},若A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:A ={x |-2<x -a <2}={x |a -2<x <a +2},∵212+-x x <123+-x x <0(x +2)(x -3)<0-2<x <3,∴B ={x |-2<x <3}. 如下图,∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧≤+-≥-.32,22a a解得0≤a ≤1.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.解:A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2},由x 2-ax +3a -5=0，知Δ=a 2-4(3a -5)=a 2-12a +20=(a -2)(a -10). (1)当2＜a ＜10时，Δ＜0,B =∅⊆A ;(2)当a ≤2或a ≥10时，Δ≥0，则B ≠∅. 若x =1，则1-a +3a -5=0,得a =2, 此时B ={x |x 2-2x +1=0}={1}⊆A ;若x =2，则4-2a +3a -5=0，得a =1, 此时B ={2,-1} A.综上所述，当2≤a ＜10时，均有A ∩B =B .18.(本小题满分12分)解不等式：(1)1＜|x -2|≤3;(2)|x -5|-|2x +3|＜1.分析:解含绝对值的不等式应根据绝对值的概念去掉绝对值符号，(2)中可采用零点分区间法去绝对值符号.(1)解法一:原不等式即⎪⎩⎪⎨⎧≤->-.32,12x x由①得x ＜1或x ＞3.由②得-1≤x ≤5(如图).所以原不等式的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.⎩⎨⎧≤-<≥-321,02x x 或⎩⎨⎧≤--<<-,3)2(1,02x x 即1＜x -2≤3或-3≤x -2＜-1,解得3＜x ≤5或-1≤x ＜1.所以原不等式组的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. (2)解:①当x ≥5时，原不等式可化为 (x -5)-(2x +3)＜1, 解得x ≥5.②当-32≤x ＜5时，原不等式可化为-(x -5)-(2x +3)＜1, 解得31＜x ＜5.① ②③当x ＜-32时，原不等式可化为 -(x -5)+(2x +3)＜1,解得x ＜-7. 综上可知，原不等式的解集为{x |x ＞31或x ＜-7}. 19.(本小题满分12分)已知U ={x |x 2-3x +2≥0},A ={x ||x -2|＞1},B ={x |21--x x ≥0},求A ∩B , A ∪B ,(U A )∪B ,A ∩(U B ).解:∵U ={x |x 2-3x +2≥0}={x |(x -2)(x -1)≥0}={x |x ≥2或x ≤1}, A ={x ||x -2|＞1}={x |x -2＞1或x -2＜-1}={x |x ＞3或x ＜1},B ={x |⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(1(x x x }={x |x ＞2或x ≤1}.由图(1)可知,A ∩B ={x |x ＞3或x ＜1},A ∪B ={x |x ＞2或x ≤1}.图(1)由图(2)可知U A ={x |2≤x ≤3或x =1},易知U B ={x |x =2}.图(2)由图(3)可知,(U A )∪B ={x |x ≥2或x ≤1}=U .图(3)由图(4)可知,A ∩(U B )=∅.图(4)。

优化方案·高中同步测试卷·人教A数学必修1：高中同步测试卷(一)

高中同步测试卷(一)单元检测集合(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5}D ．{2，5}2.设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |－2≤x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}3．若集合P 含有两个元素1，2，集合Q 含有两个元素1，a 2，且P ，Q 相等，则a ＝( ) A ．± 2 B ． 2 C ．－ 2D ．04．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝|a |a ＋|b |b ，a ，b 为非零实数的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定5．已知集合A {2，3，7}，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B 等于( ) A ．{(1，2)} B ．(2，1) C ．{(2，1)}D ．∅7．集合A ＝{a 2，a ＋1，－1}，B ＝{2a －1，|a －2|，3a 2＋4}，A ∩B ＝{－1}，则a 的值是( )A ．－1B ．0或1C ．2D ．08．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 6，k ∈Z ，则( ) A ．A ⊇BB ．ABC ．A ＝BD ．A B9．已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．(0，1)，(1，2) B ．{y |y ≥1} C ．{y |y ＝1或y ＝2}D ．{(0，1)，(1，2)}10．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于( )A ．M ∩NB ．(∁U M )∩(∁U N )C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪N11．设全集U ＝{1，3，5，7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5，7}，则实数a 的值为( )A ．2或8B ．－8或－2C ．－2或8D ．2或－812．设A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)13．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，则集合A 用列举法表示为________．14．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________． 15．若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则使A ⊆B 成立的实数a 的取值范围是________．16．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称之为“孤星集”，则集合A ＝{0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且A ⊇B ，求实数k 的取值范围．18．(本小题满分12分)设全集U为R，A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x||x|＝y＋1，y∈A}，求∁U B.19.(本小题满分12分)已知A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1，2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b，都有A⊆B？若存在，求出相应的a，若不存在，说明理由；(2)若A⊆B成立，求出相应的实数对(a，b)．20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．21.(本小题满分12分)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁U A)∩B＝∅，求m的值．22．(本小题满分12分)设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a∈S .请解答下列问题： (1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(3)在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由．参考答案与解析1．[导学号02100001] 【解析】选B.因为A ＝{x ∈N |x ≥5}＝{x ∈N |x ≥3}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <3}＝{2}．2．【解析】选A.B ＝{－3，2}，图中阴影部分表示A ∩B ＝{2}，故选A. 3．【解析】选A.由于P ，Q 相等，故a 2＝2，从而a ＝±2.4．[导学号02100002] 【解析】选C.若a >0，b >0，则x ＝2；若a <0，b <0，则x ＝－2；若a ，b 异号，则x ＝0.故A ＝{－2，0，2}．5．【解析】选D.因为A{2，3，7}，且A 中至多有一个奇数，所以集合A 可以是∅，{2}，{3}，{7}，{2，3}，{2，7}，故这样的集合A 共有6个．6．【解析】选C.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以A ∩B ＝{(2，1)}．7．[导学号02100003] 【解析】选D.由A ∩B ＝{－1}，得－1∈B .因为|a －2|≥0，3a 2＋4>0，所以2a －1＝－1，这时a ＝0，A ＝{0，1，－1}，B ＝{－1，2，4}，A ∩B ＝{－1}成立．8．【解析】选D.x ＝k 3＝2k 6∈B (k ∈Z )，但16∈B ，16∉A ，故AB .9．【解析】选B.由M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≥1}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝{y |y ≥1}，故选B.10．[导学号02100004] 【解析】选B.根据元素与集合的关系和集合的运算规律可知，2，7既不在集合M 中，也不在集合N 中，所以2，7在集合∁U M 且在∁U N 中，根据交集的意义即可．{2，7}＝(∁U M )∩(∁U N )．11．【解析】选A.由已知得|a －5|＝3⇒a ＝8或2，故选A.12．【解析】选B.集合B ＝(a ，＋∞)，A ⊆B ，则只要a ≤－1即可，即a 的取值范围是(－∞，－1]．13．[导学号02100005] 【解析】因为126－x∈N ，x ∈N ，所以6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.所以集合A ＝{0，2，3，4，5}．【答案】{0，2，3，4，5}14．【解析】因为A ∪∁U A ＝U ，所以A ＝{x |1≤x ＜2}．所以a ＝2. 【答案】215．【解析】由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≥2a ＋1，2a ＋1≥3，3a －5≤22⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥6，a ≥1，⇒6≤a ≤9.a ≤9. 【答案】[6，9]16．[导学号02100006] 【解析】由孤立元素的定义知，对任意x ∈A ，要成为孤立元素，必须是集合A 中既没有x －1，也没有x ＋1，因此只需逐一考察A 中的元素即可．事实上，0有1相伴，1，2则是前后的元素都有，3有2相伴，唯有5是“孤立的”，从而集合A ＝{0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．【答案】{5}17．【解】由A ⊇B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1≤2，2k －1≥－3，得－1≤k ≤12.所以实数k 的取值范围是[－1，12]．18．【解】因为A ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{－1，2}，y ∈A ，所以当y ＝－1时，由|x |＝y ＋1＝0，得x ＝0. 当y ＝2时，由|x |＝y ＋1＝3，得x ＝±3. 所以B ＝{－3，3，0}，所以∁U B ＝{x ∈R |x ≠－3，且x ≠3，且x ≠0}．19．[导学号02100007] 【解】集合A ＝{a －4，a ＋4}，B ＝{1，2，b }，均为有限集． (1)若对任意的实数b ，都有A ⊆B ，只有当1，2也是A 中的元素时，才有可能．这相当于⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝1，a －4＝2，两种情况都不可能，所以这样的实数a 不存在． (2)若A ⊆B 成立，由(1)可知两种情况不成立，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝10，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－7，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6，即所有的实数对(a ，b )为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 20．【解】(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知，⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅得：①当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意．②当2m ＜1－m ，即m ＜13时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或m 不存在，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．21．【解】法一：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅得B ⊆A ，因为方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式 Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，所以B ≠∅，所以B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． (1)若B ＝{－1}，则m ＝1；(2)若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，所以B ≠{－2}；(3)若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．所以m ＝1或2.法二：本题集合B 中的方程的根是x 1＝－1，x 2＝－m .当－m ≠－1时集合B ＝{－1，－m }，此时只能A ＝B ，即m ＝2；当－m ＝－1时集合B ＝{－1}，此时集合B 是集合A 的真子集，也符合要求．所以m ＝1或2.22．[导学号02100008] 【解】(1)因为2∈S ，2≠1，所以11－2＝－1∈S .因为－1∈S ，－1≠1，所以11－（－1）＝12∈S .因为12∈S ，12≠1，所以11－12＝2∈S .所以－1，12∈S ，即集合S 中另外两个数为－1和12.(2)证明：因为a ∈S ，所以11－a∈S .所以11－11－a ＝1－1a ∈S .(3)集合S 中的元素不能只有一个．理由：假设集合S 中只有一个元素．则根据题意知a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0.此方程无实数解，所以a ≠11－a. 所以集合S 中不能只有一个元素．。

2023-2024学年高一上数学必修一综合测试卷(附答案解析)

解析：当 c＝0 时，A 不成立；当 a＝－1，b＝－2 时，B 不成立；
由不等式的性质知 C 不成立；若 a> b，则一定能推出 a>b，故 D 成
立．
3．命题“∃x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是( A )
A．∀x∈R，x3－x2＋1≤0 B．∀x∈R，x3－x2＋1>0
C．∃x∈R，x3－x2＋1≤0 D．不存在 x∈R，x3－x2＋1≤0
的取值范围是( A )
A．[2,6)
B．(2,6)
C．(－∞，2]∪(6，＋∞)
D．(－∞，2)∪(6，＋∞)
解析：①当 a＝2 时，1>0 成立，故 a＝2 符合条件；②当 a≠2 时，
a－2>0，
必须满足 Δ＝a－22－4a－2<0，
解得 2<a<6.由①②可知，a∈
[2,6)．故选 A.
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小
2
4
sinx
在
1π，3π 22
上单调递减，故
y＝
π，3π 2sin2x 在 4 4 上单调递减，故
题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得 5 分，
部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
9．下列函数是偶函数的是( CD )
A．f(x)＝tanx B．f(x)＝sinx C．f(x)＝cosx D．f(x)＝lg|x|
解析：根据题意，依次分析选项：对于 A，f(x)＝tanx，是正切函
解析：存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定为全称量词命题“∀
x∈M，綈 p(x)”，故选 A.
4. 22cos375°＋ 22sin375°的值为( A )

2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版同步练习(含解析)

2022-2023学年全国高一上数学同步练习考试总分：114 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、多选题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1. 设集合＝，则下列表述不正确的是（）A.B.C.D.2. 已知集合，若，则满足条件的实数可能为( )A.B.C.D.3. 设集合＝，则对任意的整数，形如，，，的数中，是集合中的元素的有（）A.B.C.D.4. 下列说法正确的是( )A.A {x |+x ＝0}x 2{0}∈A1∉A{−1}∈A0∈AM ={−2,3+3x −4,+x −4}x 2x 22∈M x 2−2−31M {a |a ＝−,x,y ∈Z}x 2y 2n 4n 4n +14n +24n +34n4n +14n +24n +30∈∅5. 若集合中只有一个元素，则实数的可能取值是（）A.B.C.D.6. 下列结论不正确的是（）A.B.C.D.二、选择题（本题共计 24 小题，每题 3 分，共计72分）7. 已知集合，则下列关系式中，正确的是( )A.B.C.D.8. 下列式子中正确的个数是（）①②＝③④．A.个B.个C.个D.个9. 已知，，则以下选项中正确的是( )A.A ={x|(k +1)−x −k =0,x ∈R}x 2k 01−1−121∈N∈Q2–√0∈N ∗−3∈ZM ={0,1}{0}∈M{0}∉M0∈M0⊆M0∈{0}{0}∅∅⊆{0}0⊆{0}1234a =4A ={x |x ≥3}a ∉AD.10. 下列表述中正确的是（）A.B.C.D.11. 设非空集合，满足＝，则（）A.，B.，有C.，有D.，有12. 已知集合＝，那么下列表示正确的是（）A.B.C.D.13. 下列说法正确的是（）A.与的意义相同B.C.D.集合是有限集14. 若，则 A.B.a ∉{a}{0}=∅{(1,2)}={1,2}{∅}=∅0∈NM N M ∪N N ∀x ∈N x ∈M∀x ∉N x ∉M∃∉M x 0∈Nx 0∃∈N x 0∉Mx 0A {0,1,2}0⊆A0∈A{1}∈A{0,1,2}A0{0}|−3.14|∉Q0∈∅A ={(x,y)|3x +y =4,x ∈N,y ∈N}1∈{2+x,}x 2x =()−1115. 设集合，且，则实数的可能取值组成的集合是( )A.B.C.D.16. 经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程是( )A.B.C.D.17. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为 A.B.C.D.18. 设集合，集合，则集合中有( )个元素．A.B.C.D.19. 集合，若，则实数 A.A ={1,2,3,4}B ={a,4}A ∪B ={1,2,3,4}a {1,2,3}{2,3,4}{1,3,4}{1,2,4}：2x −3y +2=0l 12:3x −4y −2=04x −2y +7=0x −2y +9=04x −2y +9=02x −y −18=0x +2y +18=0A ={(,,,)|∈{−1,0,1},i =1,2,3,4}x 1x 2x 3x 4x i A +++≤4x 21x 22x 23x 24()60658081A ={1,2,4}B ={x |x =a +b,a ∈A,b ∈A}B 4567A ={,2a −1}a 2sin ∈A 90∘a =()120. 已知集合满足条件：若，则，那么集合中所有元素的乘积的值为( )A.B.C.D.21. 已知集合，那么下列表示正确的是（）A.B.C.D.22. 设集合，，则下列关系中正确的是( )A.B.C.D.23. 已知集合，若，则实数的值为( )A.B.C.D.或24. 设是自然数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“酷元”，给定，设集合由集合中的两个元素构成，且集合中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合有（）A.个A a ∈A ∈A 1+a 1−aA −11±1A ={0,1,2}0⊆A 0∈A{1}∈A{0,1,2} AA ={x|x ≤2}m =5–√{m}∈Am ⊆Am ∉Am ∈AA={a,|a |,a −2}2∈A a −22424A k ∈A ∉A k 2∉A k −√k A S ={x ∈N |y =lg(36−)}x 2M S M M 325. 下列命题中，真命题为（）A.终边在轴上的角的集合是B.在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点C.把函数的图象向右平移个单位得到的图象D.函数在上是减函数26. 设集合，则 A.B.C.D.27. 已知，则实数的值为（）A.B.C.或 D.无解28. 已知集合，若，则实数的值为（）A.B.C.D.或29. 设、为两个非空实数集，定义集合．若，，则中元素的个数是（）A.y {a |a =，k ∈Z}kπ2y =sin x y =x y =sin(2x +)π3π6y =sin 2x y =sin(x −)π2[0,π]A ={x |x ∈N |x >1}()∅∉A1∉A1∈A{1}⊆A3∈{1,a,a −2}a 3535M ={x,+x}x 20∈M x x =−1x =0x =1x =−1x =0P Q P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}P ={0,2,5}Q ={1,2,6}P +Q 630. 以下六个关系式：①，②，③，④，⑤，⑥是空集，其中错误的个数是（）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）31. 已知集合＝，若，则实数＝________．32. 若集合，则________（请填“，，或”）．33. 集合，若，则_________，的子集有________个.34. 设集合＝，，，若，且，（表示集合中的元素个数）令表示中最大数与最小数之和，则（1）当＝时，集合的个数为________（2）所有的平均值为________．35. 设集合＝，若，则实数＝________．36. 若，则________.37. 已知，则实数________．38. 已知集合，若，则的值为________．0∈{0}{0}⊇∅0.3∉Q 0∈N {a,b}⊆{b,a}{x |−2＝0,x ∈Z}x 21324A {1,2,−2a}a 23∈A a A ={x |=x}x 20A ∈∉⊂⊂A ={1,a,−1}a 20∈A A =A A {1,2,...n}n ≥4n ∈N ∗X ⊆A 2≤Card(X)≤n −2Card(X)X a X X n 5X a X A {1,a −2,a}3∈A a −2∈{−2a,+1}a 2a =3∈{1,−,a −1}a 2a =A ={m +2,2+m}m 23∈A m参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学同步练习一、多选题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1.【答案】A,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】求出集合＝＝，利用元素与集合的关系能判断正确结果．【解答】集合＝＝，∴，，，，．∴选项均不正确，选项正确．2.【答案】A,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据集合元素的互异性必有＝或＝，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意，得或.若，即，解得或，检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；当时，，与元素互异性矛盾，舍去；A {x |+x ＝0}x 2{0,−1}A {x |+x ＝0}x 2{0,−1}0∈A −1∈A {0}⊂A {−1}⊂A 1∉A AC BD 2∈M 23+3x −4x 22+x −4x 22=3+3x −4x 22=+x −4x 22=3+3x −4x 2+x −2x 2=0x=−2x=1x=−2+x −4x 2=−2x=1+x −4x 2=−2检验，当时，，符合题意，当，，符合题意.故当或时为满足条件的实数．故选.3.【答案】A,B,D【考点】元素与集合关系的判断【解析】将，，分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明．【解答】因为＝，所以，因为＝，所以，因为＝，所以，若，则存在＝，若和都是奇数，则为奇数，不成立，若和都是偶数，则为能被整除，不成立，所以，4.【答案】B,D【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】解：，空集中没有元素，错误；，空集是任何集合的子集，正确；，若，，错误；x=2+x −2x 2=4x=−3+x −2x 2=4x=2x=−3x AC 4n 4n +14n +3M 4n +2∉M 4n (n +1−(n −1)5)24n ∈M 4n +1(7n +1−(4n )2)24n +4∈M 4n +3(5n +2−(8n +1)2)26n +3∈M 4n +3∈M −x 2y 26n +2x +y x −y (x +y)(x −y)x +y x −y (x +y)(x −y)44n +2∉M A A B B C a =00∈N C【答案】C,D【考点】元素与集合关系的判断【解析】当时，可验证其满足题意；当时，根据一元二次方程只有唯一解可得到判别式等于零，【解答】解：①当时，则，解得：，∵中只有一个元素，满足题意，②当时，由中只有一个元素得：，解得：，综上所述的取值为：或.故选.6.【答案】B,C【考点】元素与集合关系的判断【解析】首先要弄清题中大写字母表示的数集的含义：表示自然数集，表示有理数集，表示正整数集，表示整数集，在这些概念的基础之上，再对四个命题加以判断，就不难得出正确命题的个数了．【解答】解：，因为是自然数，用符号表示为：，故正确；，因为是无理数，用符号表示为：，故不正确；，因为不是正整数，用符号表示为：，故不正确；，因为是整数，用符号表示为：，故正确．故选.二、选择题（本题共计 24 小题，每题 3 分，共计72分）k =−1k ≠−1k =−1−x +1=0x =1A k ≠−1A Δ=1+4k (k +1)=0k =−12k −12−1CD N Q N ∗Z A 11∈N A B 2–√∉Q 2–√B C 00∉N ∗C D −3−3∈Z D BCC【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断选项即可【解答】解：对于、，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；对于，是集合中的一个元素，表述正确．对于，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．故选8.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合，集合与集合之间关系的定义，逐一分析四个式子表达方式的正误，可得答案．【解答】①，正确；②＝，错误；③，正确；④，错误．故上述式子正确的有个，9.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】集合给出的是数集，给的是一个元素，看给出的数是不是在给出的数集中即可．【解答】A B C 0D C.0∈{0}{0}∅∅⊆{0}0⊆{0}2a解：元素的值为，集合是由大于等于的元素构成的集合，元素在中，所以．故选．10.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，表示有一个元素，是点的集合，而表示有个元素的集合，是数集，表示有一个元素，可判断．【解答】解：由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，故错误；表示有一个元素，是点的集合，而表示有个元素的集合，是数集，故错误；表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，故错误；，故正确.故选.11.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据＝即可得出，然后即可判断每个选项的正误．【解答】∵＝，∴，∴，有．12.【答案】B【考点】a 4A 3a A a ∈A B ∅{0}0{(1,2)}{1,2}2{∅}∅∅{0}0A {(1,2)}{1,2}2B ∅{∅}∅C 0∈N D D M ∪N N M ⊆N M ∪N N M ⊆N ∀x ∉N x ∉M元素与集合关系的判断【解析】直接由查元素与集合，集合与集合间的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】∵集合＝，∴．13.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：因为表示元素，表示集合，意义不同，所以选项说法错误；，所以选项说法错误；因为不含任何元素，所以，选项说法错误；集合，所以集合是有限集，选项说法正确.故选.14.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】将代入集合，求出，注意集合元素的互异性．【解答】解：∵，∴，或，∴或，若，则，与元素的互异性矛盾，若，则，，符合题意．∴．A {0,1,2}0∈A 0{0}A |−3.14|=3.14∈QB ∅0∉∅C A ={(x,y)|3x +y =4,x ∈N,y ∈N}={(0,4),(1,1)}AD D 1x 1∈{2+x,}x 21=2+x 1=x 2x =−1x =1x =−12+x =x 2x =12+x =3=1x 2x =115.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，∴，即，或，∴实数的可能取值组成的集合是.故选．16.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：联立两条直线的方程，得，解得，所以的交点坐标是设直线平行的直线方程为因为过与的交点，所以，所以所求主直线方程为，即故选17.【答案】DA ∪B ={1,2,3,4}=A B ⊆A B ={1,4}{2,4}{3,4}a {1,2,3}A {2x −3y +2=0，3x −4y −2=0x =14y =10.，l 2l 2(14，10).4x −2y +7=04x −2y +c =0(c ≠7)，4x −2y +c =0l 1l 2(14，10)c =−364x −2y −36=02x −y −18=0. C.元素与集合关系的判断【解析】由题意，每个元素都有种取法，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个元素都有种取法，∴元素个数为．故选．18.【答案】C【考点】集合的确定性、互异性、无序性元素与集合关系的判断【解析】由题意，可列出集合，从而求解．【解答】解：由题意，根据集合的互异性，可得，则共有个元素.故选.19.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】分别令或，求出的值，结合元素的互异性判断即可．【解答】解：若，则，∴，解得：，时：，不合题意，33=8134D B ={2,3,4,5,6,8}B ={2,3,4,5,6,8}6C =1a 22a −1=1a sin ∈A 90∘1∈A =1a 2a =±1a =12a −1=1时：，符合题意，若，解得：，不合题意，故实数，故选．20.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】由实数集合满足条件：若，则，递推出集合中所有元素，可得答案．【解答】解：∵实数集合满足条件：若，则，∴，∴，∴，综上得，集合，∴.故选21.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】对于根据元素与集合之间的关系进行判定，对于集合与集合之间不能用属于符号进行判定，a =−12a −1=−32a −1=1a =1a =−1B A a ∈A ∈A 1+a 1−aA A a ∈A ∈A 1+a 1−a=−∈A 1+1+a1−a 1−1+a 1−a 1a =∈A 1+(−)1a 1−(−)1a a −1a +1=a ∈A 1+a −1a +11−a −1a +1A ={a,−,,}1a a −1a +11+a 1−a a ⋅(−)⋅()⋅()=11a a −1a +11+a 1−a C.A ，B C对于根据集合本身是集合的子集进行判断．【解答】解：，故错误，正确；，，故错误.故选22.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】由于，得到.【解答】解：集合，，∵，∴，中的表示集合与集合之间的关系，而非元素与集合的关系.故选.23.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合＝，，得＝，＝或＝，再由集合中元素的互异性能求出实数的值．【解答】解：∵集合，，∴，或，解得或或．当时，，成立；当时，，中有两个相等元素，不满足互异性；当时，，中有两个相等元素，不满足互异性．综上，实数的值为．D 0∈A A B {1} A {0,1,2}⊂A C ，D B.>25–√m ∉A A ={x|x ≤2}m =5–√>25–√m ∉A B ⊆C A {a,|a |,a −2}2∈A a 2|a |2a −22a A={a,|a |,a −2}2∈A a=2|a |=2a −2=2a=−2a=2a=4a=−2A={−2,2,−4}a=2a=|a |A a=4a=|a |A a −2A故选.24.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】由可解得，又，故可取，，，，，，由题意可知：集合不能含有，，也不能同时含有，，通过列举可得．【解答】解：由可解得，又，故可取，，，，，由题意可知：集合不能含有，，也不能同时含有，故集合可以是、、、、故选25.【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】对四个命题分别分析，找出正确答案．【解答】解：对于选项，当时，的终边在轴上；所以是假命题；对于选项，在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点；所以是假命题；对于选项，根据两个函数的周期相同，所以只要将函数的图象向右平移个单位得到的图象；是真命题；对于选项，函数在上是增函数；是假命题；故选．26.【答案】B【考点】A 36−>0x 2−6<x <6x ∈N x 012345M 012436−>0x 2−6<x <6x ∈N x 012345M 0124M {2,3}{2,5}{3,5}{3,4}{4,5}C A k =2αx A B y =sin x y =x B C y =sin(2x +)π3π6y =sin 2x D y =sin(x −)π2[0,π]D C元素与集合关系的判断【解析】根据集合元素和集合之间的关系进行判断．【解答】解：∵集合，∴集合就是由全体大于的自然数构成的集合，显然，，故选．27.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：，当时，那么：，违背集合元素的互异性，不满足题意．当时，，集合为满足题意．∴实数的值为．故选.28.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】A ={x |x ∈N |x >1}A 11∉AB 3∈{1,a,a −2}a =3a −2=1a −2=3a =5{1,5,3}a 5BC【考点】集合新定义问题元素与集合关系的判断【解析】讨论的取值，根据定义集合分别求出，然后根据集合的互异性求出所求即可．【解答】解：∵，，，∴当时，，，当时，，，当时，，，∴.故选C.30.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】依次对六个关系式判断，注意集合符号的应用．【解答】①，正确；②，正确；③指有理数集，故不正确；④，正确；⑤，正确；⑥是空集，正确；三、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）31.【答案】或【考点】a P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}P +Q P ={0,2,5}Q ={1,2,6}P +Q ={a +b |a ∈P,b ∈Q}a =0b ∈Q P +Q ={1,2,6}a =2b ∈Q P +Q ={3,4,8}a =5b ∈Q P +Q ={6,7,11}P +Q ={1,2,3,4,6,7,8,11}0∈{0}{0}⊇∅Q 0.3∉Q 0∈N {a,b}⊆{b,a}{x |−2＝0,x ∈Z}x 23−1元素与集合关系的判断【解析】根据即可得出＝，解出即可．【解答】∵，＝，∴＝，解得＝或．32.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】解方程求出集合，结合元素与集合关系的定义，可得答案．【解答】解：∵集合，∴，故答案为：．33.【答案】,【考点】元素与集合关系的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，此时；当时，（舍去），此时.的子集有个.故答案为：；.34.【答案】3∈A −2a a 23a 3∈A A {1,2,−2a}a 2−2a a 23a −13∈A A ={x |=x}={0,1}x 20∈A ∈{1,−1,0}8a =0−1=−1a 2A ={1,−1,0}−1=0a 2a =−1a =1A ={1,−1,0}A =823{1,−1,0}8【考点】元素与集合关系的判断【解析】（1）当＝时，集合＝，由，且，则满足条件的共有：个．（2）对所有的进行配对：①当＝时，令＝，＝，必有，可得：，如果＝则＝．②同理，当＝时，也有上述结论．【解答】当＝时，集合＝，∵，且，∴＝，，，，，，，，，，，，}，，，}，，，，，}，，．因此共有个．对所有的进行配对：①当＝时，令＝，＝，必有，不妨设，则＝，．如果，则有，如果＝则＝．②同理，当＝时，令＝，＝必有，不妨设，则＝，．如果，则，如果＝则＝．∴在每一组元素个数相同的子集中，的平均值为．综上，所有的算术平均值为．35.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】推导出＝或＝，再由集合中元素的互异性，能求出结果．【解答】∵集合＝，，∴＝或＝，当＝时，＝，成立；当＝时，＝，不满足集合中元素的互异性，不成立．∴实数＝．20n +1n 5A {1,2,3,4,5}X ⊆A 2≤Card(X)≤3X +=20∁25∁35X Card(X)2X {,}x 1x 2X'{n +1−|∈X}x i x i X'⊆A +=2n +2a X a X /X X'a X n +1Card(X)k(2<k ≤n −2)n 5A {1,2,3,4,5}X ⊆A 2≤Card(X)≤3X {1,2}{1,3}{1,4}{1,5}{2,3}{2,4}{2,5}{3,4}{3,5}{4,5}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,3,4}{1,3,5}{1,4,5}{2,3,4}{2,3,5}{2,4,5}{3,4,5}+=20∁25∁35X Card(X)2X {,}x 1x 2X'{n +1−|∈X}x i x i X'⊆A <x 1x 2a X +x 1x 2=n +1−+n +1−=2n +2−(+)a X /x 1x 2x 1x 2X ≠X'+=2n +2a X a X /X X'a X n +1Card(X)k(2<k ≤n −2)X {,,...}x 1x 2x k X'{n +1−x |∈X}&i x i X'⊆A <<...<x 1x 2x k a X +x 1x k =2n +2−(+)a X /x 1x k X ≠X'+=2n +2a X a X /X X'a X n +1a X n +1a X n +15a −23a 3A {1,a −2,a}3∈A a −23a 3a −23a 5a 3a −21a 536.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】由题意得到或，求解即可.【解答】解：，则或，①当时，，此时，满足集合元素的互异性；②当，此时方程无解.综上所述：.故答案为：.37.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接利用元素与集合的关系，列出方程求解即可．【解答】解：，可得，解得．故答案为：．38.【答案】【考点】元素与集合关系的判断【解析】1−2a =−2+1=−2a 2−2∈{−2a,+1}a 2−2a =−2+1=−2a 2−2a =−2a =1+1=2a 2+1=−2a 2a =1143∈{1,−,a −1}a 23=a −1a =44−32根据集合元素的特征，即可求出．【解答】解：∵集合，若，∴，且，或，且，解得：，或，当时，∴，，根据集合元素的互异性不符合题意，故舍去，故答案为：.A ={m +2,2+m}m 23∈A m +2=32+m ≠3m 2m +2≠32+m =3m 2m =1m =−32m =1m +2=32+m =3m 21−32。

人教A版高中高一数学必修一综合测试卷(含答案)

人教A版高中高一数学必修一综合测试卷姓名：班级：学号：时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝﹣1}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．[﹣1，2]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，2] 2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x﹣e﹣x 3．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}4．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣6，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，6）5．（5分）若0＜a＜b＜1，则a b，b a，log b a，的大小关系为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝sinωx+cosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）在区间[0，100]上的零点个数为（）A．31B．32C．63D．647．（5分）已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝，关于x的不等式f2（x）﹣af（x）＞0在[﹣40，40]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是（）A．[，ln2）B．（，ln2）C．[，）D．（，）8．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（f（x））恰有8个零点，则a的值不可能为（）A．8B．9C．10D．129．（5分）已知函数若函数y＝f（x）﹣a至多有2个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，1﹣）D．[1，1+e]10．（5分）已知函数f（x）＝x+（其中0＜a≤1），g（x）＝x﹣lnx，若对任意x1，x2∈[l，e]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1﹣，1]C．（0，e﹣2]D．[e﹣2，1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣|x|，又，则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）A．2015B．2016C．2017D．201812．（5分）对任意x∈R，不等式2|sin x|+|sin x﹣a|≥a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．﹣1≤a≤1C．﹣1≤a≤2D．﹣2≤a≤2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g （x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于．14．（5分）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5（单位：十万只），若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只．15．（5分）已知正实数x，y，z，则A＝max的最小值为；B ＝max{x，}+max{y，}+max{z，}的最小值为．16．（5分）已知函数，且对于任意的x1，，x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|x1﹣x2|恒成立，则λ的取值范围是．三、解答题（每小题14分，共70分）17．（14分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）用单调性定义证明函数f（x）在区间上是增函数．18．（14分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b为正实数，且3a+2b＝2m，求的最小值．19．（14分）已知函数f（x）＝+lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式f（x（3﹣x））﹣1﹣lg3＞0．20．（14分）已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝﹣x2+2|x﹣a|．（1）若a＝，求函数y＝f（x）的单调增区间；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞﹣ax；（3）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≥2f（x）恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题1.B2.D3.A4.D5.B6.C7.C8.A9.B 10.D 11.C 12.B二、填空题13．814．1.6．15．（2，+∞）．三、解答题17．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，由x＞0时，可知，，又f（x）为奇函数，故，∴函数f（x）在R上的解析式为；（2）证明：设，则＝，∵，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间上是增函数，得证．18．解：（1），∴f（x）≥2等价于或或，∴x≤﹣1或﹣1＜x≤0或，∴不等式的解集为；（2）由可知，∴3a+2b＝3，∵a＞0，b＞0，∴，∴当且仅当时取得最小值为8．19．解：（1）f（x）的定义域为（0，4），f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜4，则：＝，∵0＜x1＜x2＜4，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，∴，，，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，4）上单调递减；（2）∵f（1）＝1+lg3，由得，，∵f（x）在（0，4）上单调递减，∴，解得0＜x＜1或2＜x＜3，∴原不等式的解集为（0，1）∪（2，3）．20．解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．21．解：（1）若a＝，则f（x）＝﹣x2+2|x﹣|＝，当x＜时，y＝﹣（x+1）2+2，可得增区间为（﹣∞，﹣1）；当x≥时，y＝﹣（x﹣1）2，可得增区间为（，1），综上可得，函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1）和（，1）；（2）不等式f（x）＞﹣ax即为2|x﹣a|＞x2﹣ax（a＞0），可得2x﹣2a＞x2﹣ax或2x﹣2a＜ax﹣x2，即为（x﹣2）（x﹣a）＜0或（x+2）（x﹣a）＜0，当a＞2时，﹣2＜x＜a；当0＜a＜2时，﹣2＜x＜a或a＜x＜2；当a＝2时，﹣2＜x＜2，综上可得，当a≥2时，不等式的解集为（﹣2，a]；当0＜a＜2时，不等式的解集为（﹣2，a）∪（a，2）；（3）f（x﹣1）≥2f（x）⇒﹣（x﹣1）2+2|x﹣1﹣a|≥﹣2x2+4|x﹣a|⇒4|x﹣a|﹣2|x﹣（a+1）|≤x2+2x﹣1对x≥0恒成立，由a＞0，可分如下几种情况讨论：①0≤x≤a时，﹣4（x﹣a）+2[x﹣（a+1）]≤x2+2x﹣1即x2+4x+1﹣2a≥0对x∈[0，a]恒成立，由g（x）＝x2+4x+1﹣2a在[0，a]上递增，则g（0）取得最小值，所以只需g（0）≥0，可得a≤，又a＞0，则0＜a≤；②a＜x≤a+1时，4（x﹣a）+2[x﹣（a+1]≤x2+2x﹣1，可得x2﹣4x+1+6a≥0对x∈[a，a+1]恒成立，由①可得h（x）＝x2﹣4x＝1+6a在[a，a+1]递减，所以只需h（a+1）≥0即a2+4a﹣2≥0，可得a≥﹣2或a≤﹣2﹣，由﹣2＜，由①可得﹣2≤a≤；③x＞a+1时，4（x﹣a）﹣2[x﹣（a+1）]≤x2+2x﹣1即x2+2a﹣3≥0对x∈（a+1，+∞）恒成立，由函数k（x）＝x2+2a﹣3在（a+1，+∞）递增，所以只需k（a+1）≥0，即a2+4a﹣2≥0，解得a≥﹣2+或a≤﹣2﹣，由②可得﹣2≤a≤；综上可得，a的范围是[﹣2，]．。

【优化方案】高中人教A数学必修1同步测试卷：高中同步测试卷(九)(含答案解析)

高中同步测试卷(九) 单元检测对数函数、幂函数(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x(a ∈R)；③y ＝log 8x ； ④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．0个 2．函数y ＝lg （1－x ）x ＋1的定义域为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞) C ．[－1，1) D ．(－1，1)3．lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．若函数f(x)＝(a 2－a －1)log (a ＋2)x 为对数函数，则f(64)等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x>0）（12）x （x≤0），则f(f(127))＝( )A ．－18B ．18 C ．－8 D ．86．若log a 23>1，则a 的取值范围是( )A ．1<a<32B ．0<a<1或1<a<32C.23<a<1 D ．0<a<23或a>17．已知a>0，且a≠1，则函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )8．已知函数y ＝log 2(1－x)的值域为(－∞，0)，则其定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(0，12) C ．(0，1) D ．(1，＋∞)9．已知函数f(x)＝mlog 3x ＋nlog 5x ＋2，且f(12 016)＝2，则f(2 016)＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．410．函数f(x)＝(1x )－m 2＋3m(m ∈Z)是幂函数，且当x>0时，f(x)是减函数，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2D ．以上都不对11．下面四个图象都是幂函数的图象，则函数y ＝x －23的图象是( )12．设函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0，a ≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则a ＋b 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．313．计算：lg 4＋2lg 5＋(0.25)－12－823＝________．14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x<0，则f(14)＋f(－2)＝________．15．已知k>0，设直线x ＝k 与y ＝log 3x 的图象交于点P ，与y ＝log 9x 的图象交于点Q ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当点P 与Q 重合时，k ＝1； ②当点P 在点Q 的上方时，k<1； ③当点P 在点Q 的下方时，k<1； ④当k ＝6时，PQ>1； ⑤当k ＝127时，PQ>1.16．函数y ＝lg(x 2－2x)的单调递增区间为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知f(x)＝(m 2＋2m)x m 2＋m －1，求实数m 的值，使得f(x)是：(1)正比例函数；(2)幂函数．18．(本小题满分12分)设y 1＝log a (3x ＋1)，y 2＝log a (－3x)，其中0<a<1. (1)若y 1＝y 2，求x 的值； (2)若y 1>y 2，求x 的取值范围．19.(本小题满分12分)若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，12)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ）g （x ），f （x ）>g （x ），求函数h(x)的最大值以及单调区间．20．(本小题满分12分)已知f(x)＝x ，g(x)＝x 13，设F(x)＝f(x)＋g(x)，试判断F(x)的奇偶性与单调性．21.(本小题满分12分)设函数f(x)＝log a (1－ax )，其中0<a<1.(1)证明：f(x)是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f(x)>1.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x.(1)求a的值；(2)求g(x)的表达式；(3)当x∈[－1，1]时，求g(x)的值域并判断g(x)的单调性．参考答案与解析1．【解析】选A.形如y ＝log a x(a ＞0且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．2．[导学号02100058] 【解析】选D.为使函数y ＝lg （1－x ）x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x>0，得函数y ＝lg （1－x ）x ＋1的定义域为(－1，1)，故选D. 3．【解析】选B.原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg(16×0.06)＝3lg 5lg 2＋3(lg 2)2＋3lg 5＋lg 0.01＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3－2＝1. 4．【解析】选B.由对数函数的定义可知需要满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －1＝1a ＋2>0a ＋2≠1，解得a ＝2，所以f(x)＝log 4x ，f(64)＝3，故选B.5．[导学号02100059] 【解析】选D.因为f(127)＝log 3127＝－3，所以f(f(127))＝f(－3)＝(12)－3＝8，故选D.6．【解析】选C.log a 23>1＝log a a ，当a>1时，函数在定义域上是增函数，则有a<23，此时不合题意；当0<a<1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有a>23，即此时23<a<1.7．【解析】选C.A 中，由y ＝a x 与y ＝log a x 图象得a>1.由y ＝x ＋a 得0<a<1，所以不可能；B 中，由y ＝a x 得a>1，由y ＝log a x 得0<a<1，不可能；D 中，由y ＝a x ，y ＝log a x 得0<a<1，由y ＝x ＋a 得a>1，也不可能．故选C.8．[导学号02100060] 【解析】选C.因为函数y ＝log 2(1－x)的值域为(－∞，0)，所以log 2(1－x)<0，所以0<1－x<1，所以0<x<1，故选C.9．【解析】选C.因为f(12 016)＝mlog 312 016＋nlog 512 016＋2＝－mlog 32 016－nlog 52 016＋2＝2，所以mlog 32 016＋nlog 52 016＝0.所以f(2 016)＝mlog 32 016＋nlog 52 016＋2＝0＋2＝2.10．【解析】选C.幂函数f(x)＝(1x)－m 2＋3m ＝xm 2－3m ，当x>0时，f(x)是减函数，所以m 2－3m ＝m(m －3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m<0m －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧m>0m －3<0，解得0<m<3，又m ∈Z ，所以m ＝1或2，故选C.11．[导学号02100061] 【解析】选B.因为y ＝x －23为偶函数，且x≠0，在(0，＋∞)上为减函数，故符合条件的为B.12．【解析】选C.因为反函数的图象过点(2，8)，所以原函数的图象过点(8，2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧log a （8＋b ）＝2，log a （2＋b ）＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以a ＋b ＝4. 13．【解析】原式＝lg(4×52)＋(14)－12－(23)23＝lg 100＋2－2×(－12)－23×23＝2＋2－4＝0. 【答案】014．[导学号02100062] 【解析】f(14)＋f(－2)＝log 214＋2－2＝－2＋14＝－74.【答案】－7415．【解析】如图所示，点P 与Q 重合在点(1，0)，即与x ＝1的交点，x ＝1的右侧P 在Q 的上方，即k>1；x ＝1的左侧P 在Q 的下方，即k<1，①③正确，②错误；k ＝6时，PQ ＝log 36－log 96＝log 36－12log 36＝log 36<1，④错误；k ＝127时，PQ ＝log 9127－log 3127＝12log 3127－log 3127＝－12log 3127＝32>1，⑤正确．【答案】①③⑤16．【解析】令y ＝lg t ，t ＝x 2－2x.因为y ＝lg t 单调递增，所以需求t ＝x 2－2x>0的递增区间．所以x ∈(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)17．[导学号02100063] 【解】(1)若f(x)是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m≠0m 2＋m －1＝1，解得m ＝1. (2)若f(x)是幂函数，则m 2＋2m ＝1，解得m ＝－1±2.18．【解】(1)因为y 1＝y 2，所以log a (3x ＋1)＝log a (－3x)，所以3x ＋1＝－3x ，解得x ＝－16，经检验x ＝－16在函数的定义域内，所以x ＝－16.(2)y 1>y 2，即log a (3x ＋1)>log a (－3x)(0<a<1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0－3x>03x ＋1<－3x ，解得－13<x<－16，所以x 的取值范围为{x|－13<x<－16}．19.【解】设f(x)＝x α，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，所以f(x)＝x 2.又设g(x)＝x β，由点(2，12)在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝12，解得β＝－1，所以g(x)＝x －1.在同一坐标系中画出函数f(x)＝x 2和g(x)＝x－1的图象，由题意及图可知h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x<0或x>1x 2，0<x ≤1，根据函数h(x)的解析式及图象可知函数h(x)的最大值为1，h(x)的单调递增区间是(0，1]，单调递减区间是(－∞，0)和(1，＋∞)．20．[导学号02100064] 【解】因为f(x)，g(x)的定义域均为R ，所以F(x)＝f(x)＋g(x)＝x ＋x 13的定义域为R. 又F(－x)＝－x ＋(－x)13＝－(x ＋x 13)＝－F(x)，所以F(x)是奇函数．因为f(x)与g(x)在R 上均为增函数，所以F(x)在R 上也为增函数．21．【解】(1)证明：设0<a<x 1<x 2，g(x)＝1－ax ，则g(x 1)－g(x 2)＝1－a x 1－1＋a x 2＝a （x 1－x 2）x 1x 2<0，所以g(x 1)<g(x 2)．又因为0<a<1，所以f(x 1)>f(x 2)．所以f(x)在(a ，＋∞)上是减函数． (2)因为log a ⎝⎛⎭⎫1－ax >1，0<a<1，所以0<1－ax <a ，所以1－a<ax <1，则1－a>0，从而a<x<a1－a.所以不等式的解集为{x|a<x<a1－a}．22．【解】(1)f －1(x)＝log 3x ，log 318＝a ＋2，所以a ＝log 32.(2)g(x)＝(3a )x －4x ＝(3log 32x )－4x ＝2x －4x . (3)令u ＝2x ，因为－1≤x≤1，则12≤u ≤2，g(x)＝φ(u)＝u －u 2＝－⎝⎛⎭⎫u －122＋14，当u ＝12时，φ(u)max ＝14；当u ＝2时，φ(u)min ＝－2，所以g(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－2，14. 当－1≤x≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u ＝2x 为增函数，所以g(x)在[－1，1]上为减函数．。

高中数学必修1同步优化训练第一章集合与简易逻辑2 A卷(附答案)

第一章集合与简易逻辑(二)●知识网络简易逻辑逻辑联结词四种命题及其关系充分条件与必要条件简单命题与复合命题逻辑联结词或、且、非●范题精讲【例1】判断下列语句是否是命题,若不是,请说明理由;若是,判断命题的真假. (1)质数是奇数;(2)偶数的平方是偶数; (3)3x >x ; (4)x 2-x +2>0;(5)我一定学好数学;(6)这是多么好的时代啊!分析:判断语句是否是命题,关键是看能否判定其真假. 解:(1)是命题,且是假命题.因为2是质数也是偶数. (2)是命题,且是真命题.(3)不是命题.因为x 是未知数,不能判断其真假. (4)是命题,且是真命题.因为x 2-x +2=(x -21)2+47>0对任意x ∈R 都成立.(5)不是命题.祈使句不是命题. (6)不是命题.感叹句不是命题.评注:表达命题的语句一般是陈述句,祈使句、感叹句、疑问句都不是命题.同时应注意,只有能够判断真假的陈述句才是命题,否则也不是命题.【例2】有命题a 、b 、c 、d 、e ，已知： ①a 是b 的必要条件； ②b 是d 的充要条件；③由d 不可推出c ，但c 可推出d ； ④c ⇒e 成立，e 又等价于b . 问：(1)d 是a 的什么条件？ (2)a 是c 的什么条件？ (3)c 是b 的什么条件？ (4)d 是e 的什么条件？分析:本题条件之间有较多的交叉，从文字叙述的条件来推理容易混淆，但是若将各个命题间的关系用“⇒”“⇐”“”联接起来，形成一个网络，那么就易解答了.ad cbe解:把已知的a 、b 、c 、d 、e 间的关系表示出来，构成上图，那么， (1)∵a ⇐bd ,∴d 是a 的充分不必要条件. (2)∵a ⇐bd ⇐c 或a ⇐be ⇐c ,∴a 是c 的必要不充分条件. (3)∵bd ⇐c 或be ⇐c ,∴c 是d 的充分不必要条件. (4)∵ebd ,∴d 是e 的充要条件.评注:将语言叙述符号化，可以起到简化推理过程的作用,这是一种常用的方法. 【例3】求证：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)至多有两个不相等的实根. 分析:本题直接证明比较困难，可采用反证法.证明:假设方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有三个不相等的实根x 1、x 2、x 3，则ax 12+bx 1+c =0， ① ax 22+bx 2+c =0， ② ax 32+bx 3+c =0. ③ ①-②得a (x 12-x 22)+b (x 1-x 2)=0.∵x 1≠x 2,∴a (x 1+x 2)+b =0. ④ 同理,由①-③得a (x 1+x 3)+b =0. ⑤ ④-⑤得a (x 2-x 3)=0.∵x 2≠x 3,∴a =0.这与已知a ≠0矛盾,∴假设不成立，原命题成立. 评注:反证法的关键是归谬，即推出矛盾，常有以下几种情形：①与已知条件矛盾； ②与定义、定理、公理矛盾；③自相矛盾；④与假设矛盾.反证法常用于以下问题的证明：①否定性问题；②唯一性问题；③“至多”“至少”问题；④条件较少，直接证明困难的问题.【例4】已知p :{x |⎩⎨⎧≤-≥+01002x x },q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0},若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.分析:先写出⌝p 和⌝q ，然后由⌝q ⌝p 但⌝p ⇒⌝q ,求得m 的取值范围. 解法一:p 即{x |-2≤x ≤10}，∴⌝p :A ={x |x ＜-2或x ＞10}, ⌝q :B ={x |x ＜1-m 或x ＞1+m ,m ＞0}. ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴B A ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥⇒-≤->101,921,0m m m m即m 的取值范围是{m |m ≥9}.解法二:∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件. ∴p 是q 的充分不必要条件.而p :P ={x |-2≤x ≤10},q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}.∴PQ ,即⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥⇒-≤->.101.921,0m m m m∴m 的取值范围是{m |m ≥9}.评注:对于充分必要条件的判断,除了直接使用定义及其等价命题进行判断外,还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系:设p 包含的对象组成集合A ,q 包含的对象组成集合B ,若A B ,则p 是q 的充分不必要条件;若A B ,则p 是q 的必要不充分条件;若A =B ,则p 是q 的充要条件;若A B 且B A ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.●试题详解高中同步测控优化训练(三) 第一章集合与简易逻辑(二)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列语句不是命题的有①x 2-3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗 ③3+1=5 ④5x -3＞6 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④解析:可以判断真假的语句(包括式子)叫做命题.其中①④在不给定变量值之前，无法判定真假；②是问句，不涉及真假.答案:C2.下列命题为简单命题的是 A.5和10是20的约数B.正方形的对角线垂直平分C.6是无理数D.方程x 2+x +2=0没有实数根解析:不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，A 、B 是p 且q 的形式，D 是非p 的形式. 答案:C3.下列理解错误的是A.命题3≤3是p 且q 形式的复合命题，其中p :3＜3,q :3=3.所以“3≤3”是假命题B.“2是偶质数”是一个p 且q 形式的复合命题，其中p :2 是偶数，q :2是质数C.“不等式|x |＜-1无实数解”的否定形式是“不等式|x |＜-1有实数解”D.“2001＞2008或2008＞2001”是真命题解析:命题3≤3是p 或q 形式的复合命题，其中p :3＜3,q :3=3.所以“3≤3”是真命题. 答案:A4.如果命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，那么 A.命题“非p ”与命题“非q ”的真值不同 B.命题p 与命题“非q ”的真值相同 C.命题q 与命题“非p ”的真值相同 D.命题“非p 且非q ”是真命题解析:由“p 且q ”是假命题可知，p 和q 至少有一个是假命题，由“p 或q ”是假命题可知，p 和q 都是假命题.这样“非p ”和“非q ”就都是真命题.由真值表可知，“非p 且非q ”是真命题.答案:D5.给出命题:p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为A.0B.3C.2D.1解析:因为p真q假,由复合命题的真值表可知:“p且q”为假,“p或q”为真,“非p”为假.答案:D6.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A BC.若A B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A答案:C7.在如下图所示的电路图中，“开关A的闭合”是“灯泡B亮”的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析:由“A闭合”“B亮”可知是B亮的必要不充分条件.答案:B8.用反证法证明命题“a、b∈N*,ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a、b有一个不能被5整除答案:B9.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由甲⇒乙丙⇐丁,可知丁甲且甲丁,所以丁是甲的既不充分也不必要条件.答案:D10.已知a为非零实数，x为实数，则命题“x∈{-a,a}”是“|x|=a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a ＞0时，x ∈{-a ,a }|x |=a ;当a ＜0时，x ∈{-a ,a } |x |=a .答案:D第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空. (1)命题“3的值不超过2”是_______形式;(2)命题“方程(x -2)(x -3)=0的解是x =2或x =3”是_______形式; (3)命题“方程(x -2)2+(y -3)2=0的解是⎩⎨⎧==3,2y x ”是_______形式.答案:(1)非p (2)p 或q (3)p 且q 12.“a ≥5,且b ≥2”的否定是_______. 答案:a ＜5或b ＜213.函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)过原点的充要条件是_______. 答案:c =014.给定下列命题：①若k ＞0，则方程x 2+2x -k=0有实数根； ②“若a ＞b ，则a +c ＞b +c ”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy =0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题. 其中真命题的序号是________. 解析:∵①Δ=4-4(-k)=4+4k ＞0, ∴是真命题. ②否命题：“若a ≤b ，则a +c ≤b +c ”是真命题. ③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题. 答案:①②④三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)写出下面“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”形式的复合命题，并判断真假.p ：7是21的约数；q ：7是26的约数.解:因为p 真q 假,所以①p 或q ：7是21的约数或是26的约数(真). ②p 且q ：7是21的约数且是26的约数(假). ③非p ：7不是21的约数(假). ④非q ：7不是26的约数(真).16.(本小题满分10分)证明：ax 2+bx +c =0有一根是1的充要条件是a +b +c =0. 分析:证题的关键是要分清a +b +c =0是条件,ax 2+bx +c =0是结论. 证明:先证必要性.由ax 2+bx +c =0有一根为1，把它代入方程，即得a +b +c =0. 再证充分性.由a +b +c =0,得a =-b -c ，代入ax 2+bx +c =0,得 (-b -c )x 2+bx +c =0,-bx 2-cx 2+bx +c =0，bx (1-x )+c (1-x 2)=0,(1-x )［bx +c (1+x )］=0, (1-x )(bx +cx +c )=0,∴x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根.17.(本小题满分10分)判断命题"若a ＞0，则方程x 2+x -a =0有实数根"的逆否命题的真假. 解法一:∵a ＞0,∴a ＞0＞-41.∴1+4a ＞0.∴方程x 2+x -a =0的判别式Δ=1+4a ＞0. ∴方程有实数根，原命题为真.而原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真.解法二:原命题：若a ＞0,则方程x 2+x -a =0有实数根.其逆否命题为：若方程x 2+x -a =0无实根，则a ≤0.∵x 2+x -a =0无实根，则Δ=1+4a ＜0，即a ＜-41.从而a ＜-41<0,原命题的逆否命题为真.18.(本小题满分12分)已知A ：|5x -2|＞3，B ：5412-+x x ＞0,则非A 是非B 的什么条件？并写出解答过程.解法一:化简A 、B 得A ：{x |x ＜-51或x ＞1},B ：{x |x ＜-5或x ＞1}.∵A B 但B ⇒A ，∴B 是A 的充分不必要条件.∴它的逆否命题:非A 是非B 的充分不必要条件. 解法二:化简A 、B 得 A :{x |x ＜-51或x ＞1},B :{x |x ＜-5或x ＞1}.∴非A ：{x |-51≤x ≤1}，非B ：{x |-5≤x ≤1}.∵非A非B ,∴非A 是非B 的充分不必要条件.19.(本小题满分12分)已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根；q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.解:若方程x2+mx +1=0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m解得m ＞2，即p :m ＞2.若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根，则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)＜0. 解得1＜m ＜3,即q :1＜m ＜3.∵p 或q 为真，∴p 、q 至少有一为真.又p 且q 为假，∴p 、q 至少有一为假.因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真.∴⎩⎨⎧≥≤>31,2m m m 或或⎩⎨⎧<<≤.31,2m m解得m ≥3或1＜m ≤2.。

2023-2024学年人教A版数学必修第一册综合测试(解析版)第一章 1.3 第2课时补集

1.3 第2课时补集一、单项选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∪(∁U B)＝( ) A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}2．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于( )A．{x|1＜x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}∪{x|3＜x＜4}3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a 的值是( )A．－1 B．1 C．3 D．±14．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅5．已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|0<x≤6}和B＝{x∈Z|－4<x<4}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有( )A．5个 B．6个 C．7个 D．无穷多个6．已知集合M＝{x|x－2<0}，N＝{y∈Z|y＝－x2＋4，x∈R}，则(∁R M)∩N的子集有( )A．2个 B．4个 C．8个 D．16个7．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠∅.设集合(∁U A)∩(∁U B)有x个元素，则x的取值范围是( )A．3≤x≤8，且x∈N B．2≤x≤8，且x∈NC．8≤x≤12，且x∈N D．10≤x≤15，且x∈N8．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤32，N ＝{x |x －2>0}，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 的叙述正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．(∁U M )∩N ＝∅D ．N ⊆(∁U M )二、多项选择题9．设A ，B ，I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中正确的是( ) A ．(∁I A )∪B ＝I B ．(∁I A )∪(∁I B )＝I C ．A ∩(∁I B )＝∅ D ．(∁I A )∩(∁I B )＝∁I B 10．设U ＝{1,2,3,4,5}且AU ，B U ，A ∩B ＝{2}．(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁UB )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )A ．3∈A,4∈B B ．2∈A ∩BC ．2∈A,3∈(∁U B )D ．1∈A ∪B,5∈A ∪B11．设A ＝{－1,1,2,3}，B ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，M ＝{x ||x |≤|p －4|}，若∁A B ＝{－1,1}，则下列说法正确的是( )A ．p ＝6B ．(∁R A )∩B ＝∅C ．(∁R M )∩B ＝∅D ．A ∩M ＝{－1,1,2}12．已知I ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}为全集，集合A ，B 为I 的子集，且A ∩(∁IB )＝{1,4,7}，(∁I A )∩B ＝{2,3}，(∁I A )∩(∁I B )＝{6,8,9,10}，那么集合A 的子集可以为( )A ．{6,7,8,9,10}B ．{1,4,7}C ．{1,4,5,7}D ．{6,8,9}三、填空题13．已知集合U ＝{(x ，y )|y ＝3(x －1)＋2}，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪y －2x －1＝3，则∁U A ＝________.14．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x －1≤2}，B ＝{x |x －a ≥0，a ∈R }，若(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x <0}，(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <1或x >3}，则a ＝________.15．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，则a ＝________，b ＝________.16．设集合U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则(∁U M )∩(∁U N )＝________.四、解答题17．已知集合A ＝{x |0<2x ＋a ≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2. (1)当a ＝1时，求A ∪(∁R B )； (2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的值．19．已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？20．已知集合A ＝{x |x <－3或x >2}，B ＝{x |－4≤x －2<2}． (1)求A ∩B ，(∁R A )∪(∁R B )；(2)若集合M ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}是集合A 的真子集，求实数k 的取值范围.1.3 第2课时补集一、单项选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∪(∁U B)＝( ) A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}答案 A解析∁U B＝{1,5,6}，A∪(∁U B)＝{1,2,5,6}．2．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于( )A．{x|1＜x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}∪{x|3＜x＜4}答案 B解析∵B＝{x|－1≤x≤3}，∴∁R B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩(∁R B)＝{x|1＜x＜4}∩{x|x＜－1或x＞3}＝{x|3＜x＜4}．3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a的值是( )A．－1 B．1 C．3 D．±1答案 A解析由A∪(∁U A)＝U，可知A＝{1,3}．又a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.4．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅答案 A解析∵∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．∵B＝{1,2}，∴A＝{3}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，且∁U B＝{3,4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．5．已知全集U＝R，集合A＝{x∈Z|0<x≤6}和B＝{x∈Z|－4<x<4}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有( )A．5个 B．6个 C．7个 D．无穷多个答案 C解析由题可得A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，则A∩B ＝{1,2,3}，A∪B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}，根据Venn图知阴影部分的(A∩B)＝{－3，－2，－1,0,4,5,6}，故选C.集合为∁A∪B6．已知集合M＝{x|x－2<0}，N＝{y∈Z|y＝－x2＋4，x∈R}，则(∁R M)∩N的子集有( )A．2个 B．4个 C．8个 D．16个答案 C解析∵集合M＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，∴∁R M＝{x|x≥2}．又N＝{y∈Z|y ＝－x2＋4，x∈R}＝{y∈Z|y≤4}．∴(∁R M)∩N＝{2,3,4}，则集合(∁R M)∩N的子集有23＝8(个)．故选C.7．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠∅.设集合(∁U A)∩(∁U B)有x个元素，则x的取值范围是( )A ．3≤x ≤8，且x ∈NB ．2≤x ≤8，且x ∈NC ．8≤x ≤12，且x ∈ND ．10≤x ≤15，且x ∈N 答案 A解析因为A ∩B ≠∅，当集合A ∩B 中仅有一个元素时，集合(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )中有3个元素；当A ∩B 中有6个元素时，集合(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )中有8个元素，所以得到3≤x ≤8 且x ∈N .故选A.8．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤32，N ＝{x |x －2>0}，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 的叙述正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．(∁U M )∩N ＝∅D ．N ⊆(∁U M )答案 D解析因为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤32，则∁U M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32，又N ＝{x |x >2}，所以M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤32或x >2，故排除B ；M ∩N ＝∅，故排除A ；(∁U M )∩N ＝{x |x >2}，故排除C ；易得集合N ⊆(∁U M )，故D 正确．二、多项选择题9．设A ，B ，I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中正确的是( ) A ．(∁I A )∪B ＝I B ．(∁I A )∪(∁I B )＝I C ．A ∩(∁I B )＝∅ D ．(∁I A )∩(∁I B )＝∁I B 答案 ACD解析令A ＝{1}，B ＝{1,2}，I ＝{1,2,3}，检验四个选项可知，A ，C ，D 正确，B 错误．故选ACD.10．设U ＝{1,2,3,4,5}且AU ，B U ，A ∩B ＝{2}．(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁UB )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )A ．3∈A,4∈B B ．2∈A ∩BC ．2∈A,3∈(∁U B )D ．1∈A ∪B,5∈A ∪B答案 ABC解析本题可用Venn 图解答，由下图易知A ，B ，C 正确，D 错误．故选ABC.11．设A ＝{－1,1,2,3}，B ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，M ＝{x ||x |≤|p －4|}，若∁A B ＝{－1,1}，则下列说法正确的是( )A ．p ＝6B ．(∁R A )∩B ＝∅C ．(∁R M )∩B ＝∅D ．A ∩M ＝{－1,1,2}答案 ABD解析 ∵A ＝{－1,1,2,3}，∁A B ＝{－1,1}，∴B ＝{2,3}，∴将x ＝2代入x 2－5x ＋p ＝0，得p ＝6，故A 正确；∵B ⊆A ，∴(∁R A )∩B ＝∅，故B 正确；∵M ＝{x ||x |≤|6－4|}＝{x |－2≤x ≤2}，∴∁R M ＝{x |x <－2或x >2}，∴(∁R M )∩B ＝3，故C 错误；A ∩M ＝{－1,1,2}，故D 正确．故选ABD.12．已知I ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}为全集，集合A ，B 为I 的子集，且A ∩(∁IB )＝{1,4,7}，(∁I A )∩B ＝{2,3}，(∁I A )∩(∁I B )＝{6,8,9,10}，那么集合A 的子集可以为( )A ．{6,7,8,9,10}B ．{1,4,7}C ．{1,4,5,7}D ．{6,8,9}答案 BC解析由于集合A ，B 将全集I 划分为四个子集：(∁I A )∩(∁I B )，A ∩(∁I B )，(∁I A )∩B ，A ∩B .所以借助于Venn 图，可迅速做出判断，依题意填充数字到相应区域，如图，可知A ∩B ＝5，故A ＝{1,4,5,7}，所以A 的子集可以为B ，C.三、填空题13．已知集合U ＝{(x ，y )|y ＝3(x －1)＋2}，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪y －2x －1＝3，则∁U A ＝________.答案 {(1,2)}解析 ∵A ＝{(x ，y )|y ＝3(x －1)＋2，x ≠1}．又当x ＝1时，由y ＝3(x －1)＋2得y ＝2，∴∁U A ＝{(1,2)}．14．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x －1≤2}，B ＝{x |x －a ≥0，a ∈R }，若(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x <0}，(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <1或x >3}，则a ＝________.答案 1解析如图所示，由(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{x |x <0}，得A ∪B ＝{x |x ≥0}，由(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝{x |x <1或x >3}，得A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∵A ＝{x |－1≤x －1≤2}＝{x |0≤x ≤3}，∴B ＝{x |x ≥a ，a ∈R }＝{x |x ≥1}，∴a ＝1.15．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，则a ＝________，b ＝________.答案87 －127解析 ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ， ∴4－2a ＋b ＝0. ①又A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0. ②联立①②，得⎩⎨⎧4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意，∴a ＝87，b ＝－127.16．设集合U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则(∁U M )∩(∁U N )＝________.答案 {(2,3)}解析解法一：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎪⎪⎪y －3x －2＝1＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ≠2}．因为N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，如图，集合U 为坐标平面内所有的点，M 表示直线y ＝x ＋1上除点(2,3)外的所有点，而N 表示坐标平面内除去直线y ＝x ＋1以外的所有点，所以M ∪N 表示坐标平面内除点(2,3)外的所有点，所以(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{(2,3)}．解法二：因为M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ≠2}，所以∁U M ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}∪{(2,3)}．又因为N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，所以∁U N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}．所以(∁UM )∩(∁U N )＝{(2,3)}．四、解答题17．已知集合A ＝{x |0<2x ＋a ≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2. (1)当a ＝1时，求A ∪(∁R B )； (2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤1， ∁R B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥2， ∴A ∪(∁R B )＝{x |x ≤1或x ≥2}． (2)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－a 2<x ≤3－a 2，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥－12，3－a 2<2，解得－1<a ≤1，∴a 的取值范围是{a |－1<a ≤1}．18．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，求实数m的值．解由已知，得A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的根的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，所以B≠∅.所以B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，所以B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验，知m＝1，m＝2均符合条件．所以m＝1或2.19．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；(2)是否存在实数a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝∅？解(1)因为A＝{x|0≤x≤2}，所以∁R A＝{x|x<0或x>2}．因为(∁R A)∪B＝R，所以⎩⎨⎧a≤0，a＋3≥2，解得－1≤a≤0.所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．(2)因为A∩B＝∅，所以a>2或a＋3<0，解得a>2或a<－3.由(1)知，若(∁RA)∪B＝R，则－1≤a≤0，故不存在实数a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝∅.20．已知集合A＝{x|x<－3或x>2}，B＝{x|－4≤x－2<2}．(1)求A∩B，(∁R A)∪(∁R B)；(2)若集合M＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围.解(1)因为B＝{x|－4≤x－2<2}＝{x|－2≤x<4}，且A＝{x|x<－3或x>2}，所以∁R A＝{x|－3≤x≤2}，∁RB＝{x|x<－2或x≥4}，所以A∩B＝{x|2<x<4}，(∁R A)∪(∁RB)＝{x|x≤2或x≥4}．(2)因为集合M是集合A的真子集，当M＝∅时，则2k－1>2k＋1，无解，所以M≠∅，则2k＋1<－3或2k－1>2，解得k<－2或k>32，所以实数k的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k⎪⎪⎪k<－2或k>32.。

2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版(2019)同步练习(含解析)

2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：73 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1. 已知，则( )A.B.C.D.2. 在中，，，分别是角，，的对边，设，则的值为（参考公式：）（）A.B.C.D.3. 若，则( )A.B.C.=3sin α+cos αsin α−cos αsin(2α−)=π472–√1045352–√10△ABC a b c A B C a +c =2b tan ⋅tan A 2C 2sin A +sin C =2sin cos A +C 2A −C 22123133sin +2sin =cos(−φ)75∘15∘13−−√75∘tan φ=2332−233D. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法错误的是( )A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则，若，则都成立D.在中，5. 若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为( )A.B.C.D.6. 对任意的实数、，下列等式恒成立的是（）A.B.C.D.二、多选题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）7. 下列各式的值计算正确的是（）A.B.C.D.8. 下列命题中，正确的是( )−32△ABC A B C a b c △ABC a :b :c =sin A :sin B :sin C△ABC sin 2A =sin 2B a =b△ABC sin A >sin B A >B A >B sin A >sin B △ABC =a sin A b +c sin B +sin C x =a f(x)=sin x g(x)=cos x M N |MN |12–√3–√2αβ2sin α⋅cos β=sin(α+β)+sin(α−β)2cos α⋅sin β=sin(α+β)+cos(α−β)cos α+cos β=2sin⋅sin α+β2α−β2cos α−cos β=2cos ⋅cos α+β2α−β2sin cos =030∘0∘−+π=−1sin 2π6cos 276(tan −tan )−tan ⋅tan =13–√55∘25∘55∘25∘=1−cos 60∘2−−−−−−−−−√12α=−mA.若角在第二象限，且，，则B.无论为何角，都有C.总存在一个角，使得D.总存在一个角，使得卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）9. 在中，，分别为，，的对边，若，则为________三角形． 10. 根据及，若，且，，计算________．11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．四、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分）12. 临沂泰盛广场最大的亮点建设在楼顶的空中摩天轮，距地最高米相当于层楼高，城市繁华尽收眼底，百万点阵聚合而成的电子屏幕与城市灯光交相辉映；该摩天轮直径约米，摩天轮的圆周上均安装了个透明座舱，每个座舱最多乘坐人，整个摩天轮可同时共余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟．小明自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？若小明在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰城市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果．13. 在中，，，分别为角，，的对边，且有 .求角；若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积.14. 在中，若．αsin α=m cos α=n tan α=−m nαα+α=1sin 2cos 2αsin α+cos α=1αsin α=cos α=12△ABC a b c ∠A ∠B ∠C cos B +cos C =sin B +sin C△ABC sin α+sin β=2sin cos α+β2α−β2cos α−cos β=−2sin sin α+β2α−β2sin θ+sin μ=(cos μ−cos θ)3–√3θ∈(0,π)μ∈(0,π)θ−μ=△ABC A B C a b c +=14tan A 3tan B 3c b 120408036828030(1)5(2)100△ABC a b c A B C A+cos 2cos A cos(C −B)=sin B sin C (1)A (2)△ABC π⋅AB →AC →△ABC △ABC sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B ∠C（1）求的度数；（2）在中，若角所对的边，试求内切圆半径的取值范围．15. 已知函数，，且的最大值为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边、、，若，且，试判断的形状．∠C △ABC C c =1r f(x)=sin(2x +)+sin(2x −)+cos 2x −m π3π33–√x ∈R f(x)1m f(x)△ABC A B C a b c f(B)=−13–√a =b +c 3–√△ABC参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的和差化积公式运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴.∴.故选.2.【答案】D【考点】三角函数的和差化积公式==3sin α+cos αsin α−cos αtan α+1tan α−1tan α=2sin(2α−)=sin 2αcos −cos 2αsin π4π4π4=(sin 2α−cos 2α)2–√2=()2–√22sin αcos α−α+αcos 2sin 2α+αsin 2cos 2=()=2–√22tan α−1+αtan 2α+1tan 272–√10A【解析】利用正弦定理将条件进行化简，结合三角函数的和差化积公式以及二倍角公式进行化简即可．【解答】解：∵，∴由正弦定理得，即，在三角形中，∴，即，即，即，即，故选：3.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的和差化积公式【解析】因为，所以 .【解答】解：因为，a +c =2b sin A +sin C =2sin B =2sin(A +C)2sin cos =4sin cos A +C 2A −C 2A+C 2A +C 2sin ≠0A +C 2cos =cos A −C 2A +C 2cos αcos +sin sin =2cos cos −2sin sinA 2C 2A 2C 2A 2C 2A 2C 23sin sin =cos cos A 2C 2A 2C 2=sin sin A 2C 2cos cosA 2C 213tan ⋅tan =A 2C 213D 3sin +2sin =3sin +2cos =(sin +cos )=cos(−φ)75∘15∘75∘75∘13−−√313−−√75∘213−−√75∘13−−√75∘tan φ==313−−√213−−√323sin +2sin =3sin +2cos 75∘15∘75∘75∘=(sin +cos )=cos(−φ)13−−√313−−√75∘213−−√75∘13−−√75∘φ==3所以 . 故选. 4.【答案】B【考点】正弦定理三角函数的和差化积公式【解析】在中，由正弦定理可得，，，结合比例的性质，三角函数的图象和性质，判断各个选项是否成立，从而得出结论．【解答】解：选项，在中，由正弦定理可得，，，故有，故正确；选项，若，等价于，或，可得，或，所以不一定成立，故错误；选项，若，则，，，，.，，.又，，.若成立，则有.，，成立，故正确；选项，由，，故正确.故选．5.【答案】B【考点】三角函数的和差化积公式【解析】tan φ==313√213√32B △ABC a =2R sin A b =2R sin B c =2R sin C A △ABC a =2R sin A b =2R sin B c =2R sin C a :b :c =sin A :sin B :sin C A B sin 2A =sin 2B 2A =2B 2A +2B =πA =B A +B =π2a =b B C sin A >sin B sin A −sin B =2cossin >0A +B 2A −B 2∵0<A +B <π∴0<<A +B 2π2∴cos >0A +B 2∴sin >0A −B 2∵0<A <π0<B <π∴−<<π2A −B 2π2sin >0A −B 2∴>0A −B 2∴A >B A >B a >b ∵a =2R sin A b =2R sin B ∴sin A >sin B C D ===2R a sin A b sin B c sin C =b +c sin B +sin C 2R sin B +2R sin C sin B +sin C =2R =a sin A D B F(x)=|sin x −cos x |可令求其最大值即可．【解答】解：由题意知：，，令，当，，，即当时，函数取到最大值.∴的最大值是.故选．6.【答案】A【考点】三角函数的和差化积公式两角和与差的余弦公式求两角和与差的正弦【解析】把所给的两个角的和与差的正弦公式，展开整理，合并同类项以后得到结果．【解答】解：，故选．二、多选题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）7.【答案】C,D【考点】两角和与差的正切公式两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用F(x)=|sin x −cos x |f(x)=sin x g(x)=cos x F(x)=|sin x −cos x |=|sin(x −)|2–√π4x −=+kππ4π2x =+kπ3π4k ∈Z a =+kπ3π4F(x)2–√|MN|2–√B sin(α+β)+sin(α−β)=sin αcos β+cos αsin β+sin αcos β−cos αsin β=2sin αcos βA【解析】【解答】解：因为，所以错误；因为，所以错误；因为，所以，所以，所以正确；因为，所以正确．故选．8.【答案】B,C【考点】三角函数的和差化积公式正弦函数的定义域和值域任意角的三角函数【解析】分别根据三角函数公式和性质即可得到结论．【解答】解：．若角在第二象限，且，，则，故错误；. 无论为何值，都有，故正确；．∵，∴总存在一个角，使得，故正确；．若，则，故错误．故选.三、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）9.【答案】sin cos =sin =30∘0∘30∘12A −+π=−=sin 2π6cos 276cos 2π6sin 2π612B tan ==30∘tan −tan 55∘25∘1+tan ⋅tan 55∘25∘3–√3(tan −tan )=1+tan ⋅tan 3–√55∘25∘55∘25∘(tan −tan )−tan ⋅tan =13–√55∘25∘55∘25∘C =sin =1−cos 60∘2−−−−−−−−−√30∘12D CD A αsin α=m cos α=n tan α==≠−sin αcos αm n m n A B αα+α=1sin 2cos 2B C sin α+cos α=sin(α+)∈[−，]2–√π42–√2–√αsin α+cos α=1C D sin α=cos α=12α+α=+=≠1sin 2cos 2141412D BC直角【考点】三角函数的和差化积公式【解析】要判断三角形的形状，须从已知入手利用三角函数的和差化积公式化简，得到正切值为，根据角的范围和特殊角的三角函数值得到等于，求出，得到三角形的形状．【解答】解：由得到两边同除以得即，由，，得到，所以即，所以，则为直角三角形．故答案为：直角10.【答案】【考点】三角函数的和差化积公式【解析】根据题中已知的公式把等式化简，因为与，根据特殊角的三角函数即可得到的值．【解答】解：因为，而代入到等式得所以，因为，，所以，解得．故答案为：．11.【答案】【考点】B +C 21B +C 2π4A =π2cos B +cos C =sin B +sin C 2coscos =2sin cos B +C 2B −C 2B +C 2B −C 22cos B −C 2sin =cos B +C 2B +C 2tan =1B +C 20<B <π0<C <π∈(0,π)B +C 2=B +C 2π4B +C =π2A =π2△ABC −π23θμ∈(0,π)θ−μsin θ+sin μ=2sincos θ+μ2θ−μ2cos μ−cos θ=−2sin sin μ+θ2μ−θ2sin θ+sin μ=(cos μ−cos θ)3–√32sin cos =−2×sin sin θ+μ2θ−μ23–√3μ+θ2μ−θ2tan =−θ−μ23–√θ∈(0,π)μ∈(0,π)=−θ−μ2π3θ−μ=−2π3−2π32–√正弦定理三角函数的最值三角函数的和差化积公式【解析】由已知化切为弦可得＝，结合正弦定理可得＝，得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．【解答】解：由，得，∴，∴，即，由正弦定理，得，∴．∵，∴，则当时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：.四、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分）12.【答案】解：根据题意如图.设距地面高度，则所以，.由题意.3sin C sin B(sin A −cos A)3c b(sin A −cos A)=sin A −cos A 3c b+=14tan A 3tan B +=14cos A sin A 3cos B sin B 4cos A sin B +3cos B sin A =sin A sin B 3sin(A +B)+cos A sin B =sin A sin B 3sin C =sin B(sin A −cos A)3c=b(sin A −cos A)=sin A −cos A =sin(A −)3c b 2–√π40<A <π−<A −<π4π43π4A −=π4π2sin(A −)2–√π42–√3c b 2–√2–√(1)h =A sin(ωt +φ)+B (A >0,ω>0){A +B =120,−A +B =40,A =40B =80ω==2π30π15π所以当时，，即分钟后小明距离地面米．由得,得.又，所以，解得，即摩天轮转动一周能有分钟会有最佳视觉效果.【考点】在实际问题中建立三角函数模型已知三角函数模型的应用问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意如图.设距地面高度，则所以，.由题意.由时，得，所以当时，，即分钟后小明距离地面米．由得,得.又，所以，解得，即摩天轮转动一周能有分钟会有最佳视觉效果.13.t =5h =40sin(5×−)+80=60π15π2560(2)h =40sin(t −)+80≥100π15π240sin(t −)≥20π15π2cos ≤−πt 15120≤t ≤30≤≤2π3πt 154π310≤t ≤2010(1)h =A sin(ωt +φ)+B (A >0,ω>0){A +B =120,−A +B =40,A =40B =80ω==2π30π15t =0h =40φ=−π2t =5h =40sin(5×−)+80=60π15π2560(2)h =40sin(t −)+80≥100π15π240sin(t −)≥20π15π2cos ≤−πt 15120≤t ≤30≤≤2π3πt 154π310≤t ≤2010，，，，，.，.由题意知，的内切圆半径为，如图，设圆为的内切圆，，为切点，可得，，，由余弦定理知，，于是，化简得，所以或，，所以，，当且仅当时，的最小值为 .此时三角形的面积 .【考点】诱导公式三角形求面积余弦定理三角函数的和差化积公式平面向量数量积【解析】此题暂无解析cos A[cos A +cos(C −B)]=sin B sin C cos A[−cos(B +C)+cos(C −B)]=sin B sin C cos A2sin B sin C =sin B sin C ∵sin B sin C ≠0∴2cos A =1∴cos A =12∵0<A <π∴A =π3(2)△ABC 1Ⅰ△ABC D E AI =2，AD =AE =3–√b +c −a =23–√a =b +c −23–√=+−bc a 2b 2c 2(b +c −2=+−bc 3–√)2b 2c 24+bc =4(b +c)≥83–√3–√bc −−√bc ≥12bc ≤43b >,c >3–√3–√bc ≥12∴⋅=bc ∈[6,+∞)AB →AC →12b =c ⋅AB →AC →6ABC =bc sin A =×12×sin =31212π33–√，，，，，.，.由题意知，的内切圆半径为，如图，设圆为的内切圆，，为切点，可得，，，由余弦定理知，，于是，化简得，所以或，，所以，，当且仅当时，的最小值为 .此时三角形的面积 .14.【答案】解：（1）∵，∴．在中，．∴．∴，．∵，∴．（2）设中，角和角的对边分别是、，则有，．∴的内切圆半径cos A[cos A +cos(C −B)]=sin B sin C cos A[−cos(B +C)+cos(C −B)]=sin B sin C cos A2sin B sin C =sin B sin C ∵sin B sin C ≠0∴2cos A =1∴cos A =12∵0<A <π∴A =π3(2)△ABC 1Ⅰ△ABC D E AI =2，AD =AE =3–√b +c −a =23–√a =b +c −23–√=+−bc a 2b 2c 2(b +c −2=+−bc 3–√)2b 2c 24+bc =4(b +c)≥83–√3–√bc−−√bc ≥12bc ≤43b >,c >3–√3–√bc ≥12∴⋅=bc ∈[6,+∞)AB →AC →12b =c ⋅AB →AC →6ABC =bc sin A =×12×sin =31212π33–√sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B2sin C cos ⋅cos =2sin ⋅cos A +B 2A −B 2A +B 2A −B 2△ABC −<<π2A −B 2π2cos ≠0A −B 22sin =sin C 2cos 2C 2C 2cos =C 22–√20<C <π∠C =π2Rt △ABC A B a b a =sin A b =cos A △ABC．∴内切圆半径的取值范围是．【考点】三角函数的和差化积公式【解析】（1）利用和差化积和积化和差公式化简，解方程可求的度数；（2）由（1）知是直角三角形，可以表示出、，求内切圆半径的表达式，然后求其取值范围．【解答】解：（1）∵，∴．在中，．∴．∴，．∵，∴．（2）设中，角和角的对边分别是、，则有，．∴的内切圆半径．∴内切圆半径的取值范围是．15.【答案】解：（1）…，所以，…令，单调增区间为…（2）因为，则，∵∴…=sin(A +)−≤2–√2π412−12–√2△ABC r 0<r ≤−12–√2sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B ∠C △ABC a b r sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B2sin C cos ⋅cos =2sin ⋅cos A +B 2A −B 2A +B 2A −B 2△ABC −<<π2A −B 2π2cos ≠0A −B 22sin =sin C 2cos 2C 2C 2cos =C 22–√20<C <π∠C =π2Rt △ABC A B a b a =sin A b =cos A △ABC r =(a +b −c)=(sin A +cos A −1)1212=sin(A +)−≤2–√2π412−12–√2△ABC r 0<r ≤−12–√2f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m =1−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2(kπ−，kπ+)k ∈Z 5π12π12f(B)=−13–√2sin(2B +)−1=−1π33–√sin(2B +)=π33–√20<B <πB =π6∴…∴∴，∴，所以，故为直角三角形…【考点】三角形的形状判断三角函数的和差化积公式三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】（1）由和差角公式可得，从而可得，可求，要求函数的单调递增区间，只要令，即可求解（2）因为，可求，，由已知结合正弦定理可可求，即可求解，从而可判断【解答】解：（1）…，所以，…令，单调增区间为…（2）因为，则，∵∴…又，则，∴…∴∴，∴，所以，故为直角三角形…sin A =+sin(−A)=+sin cos A −sin A cos 3–√125π6125π65π6cos A −sin A +=0123–√212sin(A −)=π612A =π3C =π2△ABC f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m −+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2f(B)=−13–√B A +C a =b +c 3–√sin A A f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m =1−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2(kπ−，kπ+)k ∈Z 5π12π12f(B)=−13–√2sin(2B +)−1=−1π33–√sin(2B +)=π33–√20<B <πB =π6a =b +c 3–√sin A =sin B +sin C 3–√sin A =+sin(−A)=+sin cos A −sin A cos 3–√125π6125π65π6cos A −sin A +=0123–√212sin(A −)=π612A =π3C =π2△ABC。

【优化方案】高中人教A数学必修1同步测试卷：高中同步测试卷(三)(含答案解析)

高中同步测试卷 (三 )单元检测函数及其表示 (B)(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下说法：①定义域同样，值域也同样的两个函数相等；②定义域同样，对应关系一致的两个函数相等；③值域同样，对应关系一致的两个函数相等；④只需对应关系一致，两个函数就相等；⑤只需值域不一样，两个函数就不相等．此中正确的个数为 ()A ． 0B ．1C ． 2D ． 3|2－ x| － x － 3 02．函数 f(x) ＝2 的定义域为 ()x ＋ 2A. －2，3B ．( －2，＋ ∞) 233 3C. 2，＋ ∞D ．－2，2 ∪2，＋ ∞3．已知会合 A ＝ {1 ，2，m} 与会合 B ＝ {4 ，7，13} ，若 f ： x →y＝ 3x ＋1 是从 A 到 B 的映照，则 m 的值为 ()A ． 22B ．8C ． 7D ． 44．如下图，能够作为函数图象的是 ( )5．已知函数 f(x) ＝x 2 ＋1（ x<2 ）7＝()，则 ff （ x － 1）（ x ≥2） 229 9A. 4B ．413 53 C. 4D ． 46．已知 f(x 2 －1)的定义域为 [ － 3， 3]，则 f(x) 的定义域为 ( )A ． [－ 2， 2]B ．[0，2]C ． [ －1， 2]D ．[－ 3， 3]1 217．已知 x ≠0，函数 f(x) 知足 f x － x ＝ x ＋ x 2，则 f(x) 的表达式为 ()A ． f(x) ＝x ＋ 1(x ≠ 0) B ．f(x) ＝ x 2＋ 2xC ． f(x) ＝ x 2(x ≠ 0)D ． f(x) ＝ x － 12x (x ≠ 0)8．小明和小华进行自行车竞赛( 比胜过程中，两人平均速行驶 )，刚开始小华当先，但重点时辰自行车掉了链子，小明赶超小华，小华修睦车后，急起直追，但为时已晚，小明还是先到了终点．假如用s 1，s 2 分别表示小明和小华所行走的行程， t 表示时间，则以下图中与该事件切合的是 ()1， x ≥09．已知 f(x) ＝，则不等式 x ＋(x ＋2)f(x ＋ 2) ≤5的解集是 ()－ 1， x<033A ． (－ ∞， 2]B ．[ －2， 2]C ． ( －∞，－ 2)D ． (－ ∞，＋ ∞)10．定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋ y)＝f(x) ＋ f(y) ＋ 2xy(x ，y ∈ R)， f(1) ＝ 2，则 f( － 3)等于()A ． 2B ．3C ． 6D ． 911．设 f(x) ＝x － 2， x ≥ 10，则 f(5)的值为 ()f （ x ＋6）， x<10，A ． 10B ．9C ． 12D ． 131112．若函数 y ＝ f(x) 的值域是 2，3 ，则函数 F(x) ＝ f(x) ＋ f （x ）的值域是 ()1 10 A. 2，3 B ．2，35， 10 10 C.2 3D ． 3，3题号 123456789101112答案二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13．已知函数 f(2x ＋1) ＝3x ＋ 2，且 f(a) ＝4，则 a ＝ ________．bx ＋ 1，此中 a ， b 为非零常数，且 ab ≠2，若 f(x) · f 1＝ k ，k 为常数，14．已知 f(x) ＝ 2x ＋ax则 k 的值为 ________．15．某在校大学生提早创业，想开一家服饰专卖店，经过估算，店面装饰费为10 000元，每日需要房租水电等花费100 元，受营销方法、经营信用度等因素的影响，专卖店销售1 2总收入 P 与店面经营天数 x 的关系是 P(x)＝300x － x ， 0≤x<300 ，2则总收益最大时店面经45 000， x ≥300，营天数是 ________．1x ， x ≤ 0，16．设函数 f(x) ＝ 2(x ＋ |x|)， g(x) ＝ x则 f[g(x)] ＝ ________．2， x>0，三、解答题 (本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分10 分 )长为l 的铁丝弯成下部为矩形、上部为半圆形的框架(如下图)，若矩形底边长为2x ，求此框架围成图形的面积y 对于x 的函数．(写出定义域)1（ 0<x<1 ）18.(本小题满分12 分 )作出函数y＝x的图象，并求其值域．x（ x≥1）119．(本小题满分12 分 )已知函数y＝a x＋1(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上存心义，务实数 a 的取值范围．20． (本小题满分12 分 )已知二次函数知足f(3x ＋ 1)＝ 9x2－ 6x＋5.(1)求 f(x) 的分析式；(2)求 f(x) 的值域．21.(本小题满分 12 分 )跟着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”渐渐被愈来愈多的经营者采纳．一次，小马去“物美”商场购物，一块醒目的牌子吸引了他，上边说该商铺销售茶壸和茶杯，茶壸每个订价 20 元，茶杯每个订价 5 元，在所需茶壸和茶杯一次性购置的状况下，该店推出两种优惠方法：①买一送一 (即买一只茶壶送一只茶杯 )；②打九折 (即按购置总价的90%付款 )．此刻小马需购置茶壸 4 个，茶杯若干个 (许多于 4 个)，那么小马用哪一种优惠方法付款更省钱呢？x＋ 1，x≤－ 2，22．(本小题满分12 分 )已知函数f(x) ＝x2＋2x，－2<x<2，2x－ 1，x≥ 2.(1)求 f( － 5)， f( －3)， f f －5的值；2(2)若 f(a) ＝ 3，务实数 a 的值；(3)若 f(m)>m(m ≤－ 2 或 m≥ 2)，务实数m 的取值范围．参照答案与分析1．【分析】选 C.一次函数 y ＝ x 与 y ＝－ x ，定义域同样，值域也同样，但对于同一个x的值1，对应元素分别为1、－ 1，故①不正确；②明显正确；函数y ＝ x 2， x ∈ {2} 与 y ＝ x 2，x ∈ {2 ，－ 2} ，值域都是{4}，对应关系都是自变量 x 对应着它的平方，但两个函数不相等，故③④不正确；定义域、对应关系和值域是函数的组成因素，值域不一样，自然函数就不一样，故⑤正确．x ＋2>0 ，332．[导学号 02100016] 【分析】选 D.由3 － 2，得 x> － 2 且 x ≠ ，表示为会合 2 x －2≠0， 2∪ 3，＋ ∞.23．【分析】选 D.由 f ：x →y＝ 3x ＋ 1，得 3×1＋ 1＝4，3× 2＋ 1＝7，3m ＋ 1＝ 13，即 m ＝4.4．【分析】选 D. 函数是一对一、多对一的关系，应选 D.5．【分析】选 C.f 7＝ f 7－1＝ f 5 ＝ f 5－1222233 2 13＝ f 2 ＝2 ＋1＝4.6． [ 导学号 02100017]【分析】选 C.因为－3≤ x ≤ 2≤ 3.3，因此 0≤x2因此－ 1≤x－ 1≤2.1 21 1 27．【分析】选 B. 因为 f x － x ＝ x ＋ x 2＝ x － x＋ 2.令 t ＝ x －1x (x ≠ 0)，则 t ∈ R ， f(t) ＝ t 2＋ 2，因此 f(x) ＝ x 2＋ 2(x ∈R)．8．【分析】选 B.小明匀速至终点，小华开始骑得快，半途修车行程未变，后又迅速骑至终点，此时小明已到终点，只有 B 切合，应选 B.9．【分析】选 A. 当 x ＋ 2≥0，即 x ≥－ 2 时， f(x ＋ 2)＝ 1.不等式可化为x ≥－ 23 ? －2≤ x ≤.2x ＋ 2≤52x< －2? x< －2，当 x ＋2<0 ，即 x< － 2 时， f(x ＋2) ＝－ 1，不等式可化为x －（ x ＋ 2）≤53故不等式 x ＋ (x ＋2)f(x ＋ 2) ≤5的解集为 (－ ∞，－ 2)∪ [－ 2，2]＝ (－ ∞，32]．10．【分析】选 C.令 x ＝ y ＝ 0，得 f(0) ＝0；令 x＝y＝ 1，得 f(2) ＝ 2f(1) ＋ 2＝ 6；令 x＝2， y＝1，得 f(3) ＝ f(2) ＋ f(1) ＋ 4＝ 12；令 x＝3， y＝－ 3，得 0＝f(3 －3) ＝f(3) ＋ f(－ 3)－ 18＝12＋f( －3) －18，因此 f( － 3)＝ 6.11．[ 导学号 02100018] 【分析】选 B. 由题意得 f(5) ＝ f(5 ＋6) ＝f(11) ＝ 11－ 2＝9，应选B.11， 3，利用单一性定义知F(x) 在1， 112．【分析】选 B.令 f(x) ＝t ，则 F(x)＝ t＋t，t∈2210上单一递减，在 [1，3]上单一递加，经计算得F(x) 的值域为 2，3，应选 B.t－ 1，13．【分析】设 2x＋ 1＝ t，则 x＝2t－ 131因此 f(t) ＝ 3×＋ 2＝ t＋，222因为 f(a) ＝ 4，因此3a＋17 2＝ 4，因此 a＝ .23【答案】7314． [导学号 02100019]【分析】当 x≠0时，因为 f(x) ＝bx＋1，2x＋ a1b＋ 1x＋ b x因此 f x＝2＝ax＋ 2，＋ ax因此 f(x)1bx ＋ 1x＋ b＝bx2＋（ b2＋1） x＋ b＝ k，f·＝·2ax22x2x ＋ a ax＋ 2＋（ a ＋ 4） x＋2a因此 2akx2＋ k(a2＋ 4)x＋ 2ak＝bx 2＋ (b2＋ 1)x＋ b，即 (2ak－b)x2＋ [k(a 2＋ 4)－ (b2＋ 1)]x ＋ (2ak－ b)＝ 0，2 2 b因此2ak－ b＝ 0，且 k(a ＋ 4)－ (b ＋ 1)＝ 0.由 2ak－ b＝0，得 k＝，2b（ a ＋ 4）222因此－(b ＋ 1)＝0，因此 b(a ＋ 4)－ 2a(b ＋ 1)＝0，即 (ab－ 2) ·(a－ 2b)＝ 0，因为 ab≠2，因此 a－2b＝ 0，得 a＝ 2b，b b1因此 k＝2a＝4b＝4.【答案】1 415．【分析】设总收益为L(x) ，则 L(x) ＝－1x2＋ 200x－ 10 000， 0≤ x<300 ，2－100x＋ 35 000， x≥ 300，则 L(x) ＝－1（x－ 200）2＋ 10 000， 0≤x<300 ，2－100x＋ 35 000， x≥ 300，当0≤x<300时，L(x) max＝10 000，当 x≥300时， L(x) max＝ 5 000，因此总收益最大时店面经营天数是200.【答案】 200x， x>0 ，16．【分析】 f(x) ＝0， x≤ 0.当 x>0 时， g(x) ＝ x2>0.则 f[g(x)] ＝f(x 2)＝ x2.当 x≤0时， g(x) ＝ x≤0，则 f[g(x)] ＝ f(x) ＝ 0.x2， x>0 ，综上可得， f[g(x)] ＝0， x≤0.【答案】x2，x>00， x≤ 017． [导学号 02100020]︵－πx.【解】由题意知AB ＝ 2x，CD ＝πx，于是 AC ＝l－2x2l － 2x－πx12π＋ 4 2因此 y＝ 2x·2＋2πx＝－2 x ＋ lx.2x>0 ，l又l － 2x－πx解得 0<x<.2>0 ，2＋π故所求的函数为π＋ 4x20<x<l. y＝－2＋ lx2＋π18.【解】当 0<x<1 时， y＝1x的图象是反比率函数图象的一部分；当x≥1时，图象为直线y＝x 的一部分．函数的图象如下图．由此可知，值域为 [1，＋∞)．11 19．【解】要使函数 y＝a x＋ 1(a<0且 a 为常数 )在区间 (－∞，1]上存心义，一定有ax＋ 1≥0， a<0，因此 x≤－ a，即函数的定义域为(－∞，－ a]，因为函数在区间(－∞， 1]上存心义，因此 (－∞，1] ? ( －∞，－ a]，因此－ a≥1，即 a≤－ 1，因此 a 的取值范围是(－∞，－ 1]．20． [导学号 02100021]【解】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(3x ＋ 1)＝ a(3x＋1)2＋b(3x ＋ 1)＋ c＝9ax2＋ (6a＋ 3b)x ＋ a＋ b＋c＝9x2－6x ＋ 5.9a＝ 9，a＝ 1，比较系数，得6a＋ 3b＝－ 6，解得b＝－ 4，a＋ b＋ c＝ 5，c＝ 8.因此 f(x) ＝ x2－ 4x＋ 8.(2)因为函数f(x) 是张口向上，对称轴为x＝ 2 的抛物线，且极点坐标为(2， 4)．因此函数图象如下图，因此函数的值域为[4，＋∞)．21．【解】设买茶杯x 只，付款 y 元 (x>3 ，且 x∈ N) ，则用第一种方法需付款y1＝ 4×20＋ (x－ 4) ×5＝5x＋ 60；用第二种方法需付款y2＝ (20 ×4＋ 5x) ×90%＝4.5x＋ 72.设 d＝y1－ y2＝ 5x＋ 60－ (4.5x ＋ 72)＝0.5x－ 12.当 d>0 时， 0.5x－ 12>0，即 x>24 ；当 d＝0 时， x＝24；当 d<0 时， x<24.综上可知，当所购茶杯多于24 只时，方法②省钱；恰巧购置24 只时，两种方法均可；购置个数在4～ 23 之间时，方法①廉价．22．【解】 (1)由－ 5∈( －∞，－ 2]，－3∈ (－ 2，2)，－ 5∈ (－ ∞，－ 2]，2 知 f( － 5)＝－ 5＋ 1＝－ 4，f(－ 3) ＝( － 3)2＋ 2×(－ 3)＝ 3－ 2 3，因为 f －5 5 3 32＝－＋ 1＝－，且－ 2<－ <2，222因此 f f － 53 3 23＝ f －＝－ 2 ＋2× －22 293 ＝ 4－3＝－ 4.(2)①当 a ≤－ 2 时， a ＋ 1＝ 3，即 a ＝ 2>－2，不合题意，舍去．22因此 (a －1)(a ＋ 3)＝0，得 a ＝ 1，或 a ＝－ 3.因为 1∈ (－ 2， 2)，－ 3?(－ 2， 2)，因此 a ＝ 1，切合题意．③当 a ≥2时， 2a － 1＝ 3，因此 a ＝2，切合题意．综合①②③，当 f(a) ＝ 3 时， a ＝ 1，或 a ＝ 2.(3)因为 f(m)>m ，当 m ≤－ 2 时， f(m) ＝ m ＋ 1>m 恒建立，故 m ≤－ 2；当 m ≥2时， f(m) ＝ 2m － 1>m ，解得 m>1. 故 m ≥2.因此， m 的取值范围是 (－ ∞，－ 2]∪ [2，＋ ∞)．。

高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版必修1

学期综合测评(一)对应学生用书P 107 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{0,1,3,5,6,8}，集合A ＝{1,5,8}，B ＝{2}，则集合(∁U A)∪B＝( )A ．{0,2,3,6}B ．{0,3,6}C ．{1,2,5,8}D ．∅答案 A解析 ∁U A ＝{0,3,6}，又B ＝{2}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,3,6}，故选A .2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x|x ∈M ，且x ∉N}，M ⊕N ＝(M －N)∪(N －M)，设A ＝xx≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪(0，＋∞) 答案 C解析依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 A解析设f (x )＝x α，则22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 4．已知函数f (x )＝log 3x 的反函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则函数f (x )的值域为( )A ．[0,1]B ．[－1,1]C ．[0,2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3答案 B解析函数f (x )＝log 3x 的反函数的值域即为它的定义域，所以函数f (x )＝log 3x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.又函数f (x )＝log 3x 在定义域内是单调递增函数，所以函数f (x )的值域为[－1,1]，故选B.5．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )答案 B解析开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.6．函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4) 答案 B解析 f (1)＝ln (1＋1)－21＝ln 2－2＝ln 2－ln e 2<0，f (2)＝ln (2＋1)－22＝ln 3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内．7．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )答案 D解析函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x 得到y ＝log 2|x |，得到y ＝log 2|x －1|，得到y ＝log 2|1－x |.故选D.8．用分数指数幂表示 a 3a a ，正确的是( )A ．a 43B ．a 34C ．a 112D ．a －14答案 B 解析a 3a a ＝[a ·(a ·a 12)13]12＝a 12·a 16·a 112＝a 34.9．已知函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )答案 C解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除A ，B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.10．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f x －f －xx<0，即f xx<0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0. ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f xx<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 答案 A解析因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知a ，b 是方程log (3x )3＋log 27(3x )＝－43的两个根，则a ＋b ＝( )A.1027 B.481 C.1081 D.2881答案 C解析 log (3x )3＋log 27(3x )＝－43，即1log 3x ＋log 3x 3＝－43，即令t ＝log 3(3x )，则1t ＋t 3＝－43，即t 2＋4t ＋3＝0，所以t ＝－1或t ＝－3，所以log 3(3x )＝－1或log 3(3x )＝－3，即x ＝19或x ＝181，所以a ＋b ＝1081，选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (log 14x )<0的解集为________________________________________________________________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，由f (log 14x )<0可得log 14x <－12或log 14x >12，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．14．lg 427－lg 823＋lg 75＝________.答案 12解析原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg2＝12. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4，则实数a 等于________．答案－53解析 ∵0<1，∴f (0)＝20＋2＝3.∵3>1，∴f (3)＝9＋3a ，∴f [f (0)]＝f (3)＝9＋3a ＝4， ∴a ＝－53.16．已知函数f (x )＝lg (2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵要使f (x )＝lg (2x－b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x－b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵a ＝3，∴集合P ＝{x |4≤x ≤7}， ∴∁R P ＝{x |x <4或x >7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}； (2)∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .①当a ＋1>2a ＋1，即a <0时，P ＝∅，∴P ⊆Q ； ②当a ≥0时，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，∴0≤a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤2}．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解 (1)由已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2； (2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1＋x >0，得－1<x <1，定义域为(－1,1)；(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．20．(本小题满分12分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．(1)试求y 关于x 的函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？解 (1)设日均销售量y 与销售单价x (元)的函数关系为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，把(3,600)，(5,500)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝600，5k ＋b ＝500，解得k ＝－50，b ＝750，∴日均销售量y 与销售单价x (元)的函数关系为y ＝－50x ＋750,3≤x ≤12； (2)设销售单价为x 元，日均获利W 元，根据题意得，W ＝(x －3)(－50x ＋750)－300＝－50(x －9)2＋1500，∵a ＝－50<0，且3<9<12，∴当x ＝9时，W 有最大值，最大值为1500元． 21．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b >0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －2bx 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2bx 2＋1 ＝bx 1－bxbx 1＋bx 2＋.当b >1时，由x 1<x 2，得bx 1<bx 2，从而bx 1－bx 2<0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数；当0<b <1时，由x 1<x 2，得bx 1>bx 2，从而bx 1－bx 2>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调减函数；(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0，得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x－1b x ＋1，f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x－1b －x ＋1＝1－bx1＋b x .满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数； (3)f (x )＝1－22x ＋1，∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x＋1∈[2,3]，22x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13. 22．(本小题满分12分)定义在R 上的函数y ＝f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R 有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．(1)证明：f (0)＝1；(2)证明：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)证明：f (x )是R 上的增函数．证明 (1)令a ＝b ＝0，f (0)＝f (0)·f (0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1； (2)由已知当x >0时，f (x )>1，由(1)得f (0)＝1，故当x ≥0时，f (x )>0成立．当x <0时，－x >0，所以f (－x )>1，而f (x －x )＝f (x )f (－x )，所以f (x )＝1f－x，可得0<f (x )<1.综上，对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0成立； (3)设x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]，∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1，而f (x 1)>0， ∴f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]>0.即Δy >0，∴f (x )是R 上的增函数．。

数学人教A版必修一优化练习综合检测 Word版含解析

综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∪∁I B 等于( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{2}D ．{0,1,2}解析：∵x ∈Z ，∴I ＝{－2，－1,0,1,2}∴∁I B ＝{0,1}∴A ∪∁I B ＝{0,1,2}．答案：D2．函数y ＝1x ＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：函数定义域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0x ＋3>0∴－3<x <0或x >0.答案：D3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |解析：偶函数的有C 、D 两项，当x >0时，y ＝lg |x |单调递增，故选C.答案：C4．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，则有f (1)＝ln 1＋1－4＝－3<0.f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<1－2＝－1<0，f (3)＝ln 3＋3－4＝ln 3－1>1－1＝0.∴x 0∈(2,3)．答案：C5．3log 34－2723－lg 0.01＋ln e 3＝( )A ．14B ．0C ．1D ．6 解析：原式＝4－3272－lg 0.01＋3＝7－3(32)3－lg 10－2＝9－9＝0.答案：B6．若y ＝log 3x 的反函数是y ＝g (x )，则g (－1)＝( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题设可知g (x )＝3x ，∴g (－1)＝3－1＝13.答案：C7．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y ＝0，则y 关于x 的函数的图象大致是( )解析：由|x |＝ln 1y ，则y ＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x ≥0e x ，x ＜0.答案：B8．已知f (x )＝log 12x ，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定解析：在同一坐标系中作函数f (x )，g (x )的图象(图略)，从而判断两函数交点个数．答案：B9．函数f(x)＝－1(x－1)3的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：函数的定义域为{x|x≠1}，当x>1时f(x)<0，当x<1时f(x)>0，所以函数没有零点，故选A.答案：A10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售700台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场月数x之间的关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：代入验证即可．答案：B11．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案：A12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.666万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析：设在甲地销售x辆，在乙地则销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)∴当x＝10时，S有最大值45.6万元．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析：∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)＝22－3＝1.答案：114．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，则a的取值范围为________．解析：集合A有为∅和A中只有一个元素两种情况，a＝0时，A＝{23}满足题意，a≠0时，则由Δ＝9－8a≤0得a≥9 8.答案：a≥98或a＝015．用二分法求方程ln x＝1x在[1,2]上的近似解时，取中点c＝1.5，则下一个有根区间为________．解析：令f (x )＝ln x －1x ，则f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e 12>0，f (1.5)＝f (32)＝ln 32－23＝ln 32－ln e 23e 23＝3e 2>32，∴ln e 23>ln 32，即f (1.5)<0.∴下一个有根区间为(1.5,2)．答案：(1.5,2)16. 给出下列四个命题：①a >0且a ≠1时函数y ＝log a a x 与函数y ＝a log a x 表示同一个函数．②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点．③函数y ＝3(x －1)2的图象可由y ＝3x 2的图象向右平移1个单位得到．④若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (2x )定义域为[0,4]．其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)解析：①两函数定义域不同，y ＝log a a x 定义域为R ，y ＝a log a x 定义域(0，＋∞)．②如果函数在x ＝0处没有定义，图象就不过原点，如y ＝1x .③正确．④f (x )定义域[0,2]∴f (2x )定义域0≤2x ≤2即0≤x ≤1，∴f (2x )定义域为[0,1]．答案：③三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，C ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}．若A ∩C ＝∅，B ∩C ≠∅，求a 的值．解析：A ＝{2，－4}，B ＝{2,3}，由A ∩C ＝∅知2∉C ，－4∉C ，又由B ∩C ≠∅知3∈C ，∴32－3a ＋a 2－19＝0解得a ＝－2或a ＝5，当a ＝－2时，C ＝{3，－5}，满足A ∩C ＝∅，当a ＝5时，C ＝{3,2}，A ∩C ＝{2}≠∅，(舍去)，∴a ＝－2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)(1)当函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式．(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解析：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0因为方程f (x )＝0有且只有一个根，∴Δ＝b 2－4a ＝0，∴b 2－4(b －1)＝0，即b ＝2，a ＝1，∴f (x )＝(x ＋1)2.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx＝x 2－(k －2)x ＋1＝(x －k －22)2＋1－(k －2)24∴当k －22≥2或k －22≤－2时即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．19．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对任意x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x y )＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≤2. 解析：(1)∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且对任意x ，y ∈(0，＋∞)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴f (1)＝f (11)＝f (1)－f (1)＝0.(2)若f (6)＝1，则f (x ＋3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≤2＝1＋1＝f (6)＋f (6)， ∴f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋36≤f (6x )， ∴0＜x ＋36≤6x ，解得x ≥335.∴原不等式的解集为{x |x ≥335}．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝mx ＋n 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25.(1)求实数m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0.解析：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m (－x )＋n 1＋(－x )2＝－mx ＋n 1＋x 2. ∴n ＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12m 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25， ∴m ＝1.(2)由(1)得，f (x )＝x 1＋x 2. 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1(1＋x 22)－x 2(1＋x 21)(1＋x 21)(1＋x 22) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，由f (t －1)＋f (t )<0，得f (t )<－f (t －1)＝f (1－t )．又∵f (x )在(－1,1)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t <1，－1<1－t <1，t <1－t ，解得0<t <12.21．(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药，如果成人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg 时治疗痢疾有效．假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳？解析：(1)依题意，得y ＝⎩⎨⎧ 6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4.解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00. 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4. 解得t 2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量为第二、三次的和，即－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4.解得t 3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.22．(本小题满分13分)已知函数f (x )定义域为[－1,1]，若对于任意的x ，y ∈[－1,1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，有f (x )>0，(1)证明： f (x )为奇函数；(2)证明：f (x )在[－1,1]上是增加的．(3)设f (1)＝1，若f (x )<m －2am ＋2，对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0令y ＝－x ，f (x )＋f (－x )＝0∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，令－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x )在[－1,1]上是增加的．(3)f (x )在[－1,1]上是增加的，f (x )max ＝f (1)＝1，使f (x )<m －2am ＋2对所有x ∈[－1,1]恒成立，只要m －2am ＋2>1，即m －2am ＋1>0，令g (a )＝m －2am ＋1＝－2am ＋m ＋1，要使g (a )>0时，a ∈[－1,1]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋3m >0，1－m >0，∴－13<m <1.∴实数m 的取值范围是(－13，1)．。

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高中同步测控优化训练(七)综合测试卷(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知A ={x |y =x ,x ∈R },B ={y |y =x 2,x ∈R },则A ∩B 等于 A.{x |x ∈R } B.{y |y ≥0} C.{(0,0),(1,1)} D.∅解析:∵集合A 代表函数y =x 的定义域，∴A =R ;∵集合B 代表函数y =x 2的值域， ∴B ={y |y ≥0}.∴A ∩B ={y |y ≥0}. 答案:B2.方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于 A.21 B.8 C.6 D.7 解析:由题意可知,2是方程x 2-px +6=0且x 2+6x -q =0的根, 所以22-2p +6=0,22+6×2-q =0. 解得p =5,q =16. 于是p +q =5+16=21. 答案:A3.条件“x1<1”是条件“x >1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:x 1<1xx-1<0x >1或x <0,所以x1<1x >1;但x >1x 1<1,所以"x1<1"是"x >1"的必要不充分条件.答案:B4.函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是 A.［-3,+∞］ B.(-∞,-3) C.(-∞,5］ D.［3,+∞)解析:由-2)1(2-a ≥-4,得a ≤5. 答案:C5.对于任意x ∈R ,都有f (x +1)=2f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x (1-x ),则f (－1.5)的值是A.41 B.81 C.161D.-415解析:令x =－1.5,由f (x +1)=2f (x )得f (－1.5)=21f (-0.5). 令x =-0.5,由f (x +1)=2f (x )得f (-0.5)=21f (0.5).∴f (－1.5)=21f (-0.5)=41f (0.5)=41［0.5(1-0.5)］=161. 答案:C6.已知集合A 到集合B ={0，1，21，31}的映射f :x →11-x ,那么集合A 中的元素最多有 A.3个 B.4个 C.5个D.6个解析:∵f 是映射，∴A 中的每一个元素都应在B 中有象. ∵11-x ≠0，∴0在A 中不存在原象. 当11-x =1时，解得x =±2, ∴±2可作1的原象; 当11-x =21时，解得x =±3, ∴±3可作21的原象; 当11-x =31时，解得x =±4, ∴±4可作31的原象. 故A 中的元素最多能有6个. 答案:D7.已知函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象如下图所示，则b 的取值范围是A.b >0B.b <0C.b <－1D.-2<b <－1解析:由图象得f (0)=1,即c =1. 由f (2)=0,得4a +2b +1=0. 对称轴-ab2<2,a >0, ∴-b <4a =-2b －1b<－1. 答案:C8.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元解析:购物超过200元，至少付款200×0.9=180(元)，超过500元，至少付款500×0.9=450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总额是168+9.0423=168+470=638(元). 若一次购物，应付500×0.9+138×0.7=546.6(元). 答案:C9.若函数y =f (x )存在反函数y =f －1(x ),则下列命题中不正确的是A.若f (x )=f －1(x ),则函数y =f (x )的图象关于y =x 对称B.函数y =f (x )的图象与直线y =x 相交，则交点一定在它的反函数的图象上C.若函数y =f (x )是(-∞,+∞)上的减函数，则其反函数y =f －1(x )也是(-∞,+∞)上的减函数 D.函数值域中的每一个值都有原象解析:原函数y =f (x )是(-∞,+∞)上的减函数，则其反函数y =f －1(x )是原函数值域上的减函数.因为y =f (x )的值域未必是(-∞,+∞),故C 不正确.答案:C10.已知f (x )=3ax +1-2a 在(－1，1)上存在x 0,使得f (x 0)=0,则a 的取值范围是A.－1<a <51 B.a >51 C.a >51或a <－1D.a <－1解法一:f (x 0)=3ax 0+1-2a =0,显然a ≠0, ∴x 0=a a 312-.由题意知－1<a a 322-<1,解得a >51或a <－1. 解法二:当a =0时，f (x )=1,不合题意.当a ≠0时，问题转化为一次函数f (x )=3ax +1-2a 的图象在(－1，1)上与x 轴有交点，∴f (1)·f (－1)<0,即(a +1)(-5a +1)<0,解得a >51或a <－1. 答案:C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知f (x )=x 2－1(x <0)，则f －1(3)=_______.解析:设f －1(3)=x ,则f (x )=3,即x 2－1=3.∴x =±2.∵x <0,∴x =-2.∴f －1(3)=-2. 答案:-212.函数f (x )=1+x +x-31的定义域是_________. 解析:要使函数有意义,只需⎩⎨⎧≠-≥+0301x x ⎩⎨⎧≠-≥.3,1x x所以,这个函数的定义域是{x |x ≥－1,x ≠3}. 答案：{x |x ≥－1,x ≠3}13.某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是_______.解析:由图分析，前3年总产量增长速度越来越快(曲线是下凸型)，3年后，已不再生产. 答案:①③14.定义在R 上的函数f (x )满足关系式：f (21+x )+f (21-x )=2,则f (81)+f (82)+…+f (87)的值为_______.解析:分别令x =0,81,82,83, 由f (21+x )+f (21-x )=2, 得f (21)+f (21)=2,f (85)+f (83)=2,f (86)+f (82)=2,f (87)+f (81)=2,∴f (81)+f (82)+…+f (87)=7.答案:7三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)某热水贮存器的容量是200升,每分钟放水34升,供应热水的锅炉每t 分钟注入贮存器2t 2升热水.问贮存器的最小贮存量是多少?如果每人洗浴时用水65升,而贮存器水量达到最小值时放水自动停止,那么这个贮存器一次最多可供几人洗浴?分析:贮存器内的水量由进水量与原有水量的和减去放水量而得到,求二次函数的最值可用配方法.解:设贮存器内水量为y 升,则由题设有y =2t 2-34t +200=2(t -217)2+2111. 所以当t =8.5时,贮存器内水量y 达到最小值,此时放水停止.总共实际放水为8.5×34=289(升). 又289÷65=46529,所以一次最多可供4人洗浴. 16.(本小题满分10分)求函数y =⎩⎨⎧<≥-0)(x 1-2x 0)(x 12x 的反函数.解:当x ≥0时，y ≥－1, 由y =x 2－1,得x =1+y (y ≥－1),故y =x 2－1(x ≥0)的反函数是y =1+x (x ≥－1); 当x <0时，y <－1,由y =2x－1得x =21(y +1)(y <－1), 故y =2x －1(x <0)的反函数是y =21(x +1)(x <－1).∴f －1(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-1).( 21-1),( 1x x x x17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=x 2-4ax +2a +30, (1)求对一切实数x ,f (x )的值均为非负实数的充要条件； (2)在(1)的条件下，求方程3+a x =|a －1|+1的根的取值范围. 解:(1)依题意，f (x )≥0恒成立的充要条件是 Δ=(-4a )2-4(2a +30)=16a 2-8a －120≤0，解得-25≤a ≤3即为所求. (2)依题意得x =(a +3)(|a －1|+1)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤-++-3)(1 49)23(),125(425)21(22a a a a 当-25≤a ≤1时，49≤x ≤425;当1<a ≤3时，4<x ≤18.综合得49≤x ≤18. 18.(本小题满分12分)某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位)解:设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元，则f =4x +3y +2z ，① ② ③其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥=++=++,60,0,0,120413121 ,360z y x z y x z y x由①②可得y =360-3x ,z =2x ,代入③得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥,602,03360,0x x x 则有30≤x ≤120.故f =4x +3(360-3x )+2·2x =1080-x , 当x =30时，f max =1080-30=1050. 此时y =360-3x =270,z =2x =60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1050千元.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(4-3a )x 2-2x +a ,其中a ∈R ,求f (x )在［0，1］上的最大值.解:(1)当4-3a =0,即a =34时，f (x )=-2x +34为减函数.所以，f (x )在［0，1］上的最大值为f (0)= 34. (2)当4-3a ≠0，即a ≠34时，f (x )=(4-3a )(x -a 341-)2+a -a341-,此时函数图象的顶点坐标为(a 341-,a -a341-).①当a >34时，4-3a <0,f (x )的图象为开口向下的抛物线，且在［0，1］上递减，∴［f (x )］max =f (0)=a ; ②当a ≤32时,0<a 341-≤21,f (x )的图象开口向上且顶点横坐标在(0，21)内, ∴［f (x )］max =f (1)=2-2a ; ③当32<a ≤1时,21< a 341-≤1,f (x )的图象开口向上且顶点横坐标在(21，1］内， ∴［f (x )］max =f (0)=a ; ④当1<a <34时，a341->1,f (x )的图象开口向上，且f (x )在［0，1］上递减， ∴［f (x )］max =f (0)=a .。