14.7量子物理之势垒和隧道效应(动画)

隧道效应也得到广泛的应用， 例如半导体器件，超导和扫 描隧道显微镜，等等。
当粒子能量小于势垒高 度时，在势垒中，反射 波很小，主要是入射波。 当粒子能量一定时，势垒 常数越大，透射波越小。 势垒常数较大时，对于一 定质量和能量的粒子来说， 势垒的宽度较大，波函数 在势垒中衰减得较厉害， 透射波较小。
2 − i2k1a % i2k1 x % % % % % % 2[1 + ik1 ( x − a )] →A = A2 + A1 − ( A2 − A1 )ik1 x → A1 + A1 1 2 − ik1a 2 − ik1a 2 − ik1a 当粒子能量等于势垒高度时， 当粒子能量小于势垒高度 时，k2是复数，势垒中的 势垒中仍然有波函数存在。 波函数按指数规律变化。
%k exp(ik a) % %k exp(−ik a) = B k exp(i k a ) − B C 1 2 2 2 2 2 1 1 1
2k1k2 exp(−ik1a ) 2 2k1k2 cos k2 a − i(k12 + k2 ) sin k2 a %+ (k − k ) A % 1 ( k + k ) A 2 1 1 2 1 2 %+ A %− k1 ( A %− A %)] % B = = [ A 1 2 1 2 1 2k 2 2 k2 %+ (k + k ) A % 1 ( k − k ) A 2 1 1 2 1 2 %+ A %+ k1 ( A %− A %)] % B = = [ A 2 2 1 2 1 2k 2 2 k2
dψ 2 (a ) dψ 3 (a ) = dx dx
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
%+ A % =B %+ B %, A % % % % A 1 2 1 2 1k1 − A2 k1 = B1k 2 − B2 k 2
%exp(ik a) %exp(ik a ) + B % exp(−ik a) = B C 1 2 2 2 1 1
当粒子能量趋于势垒高 %→ A % −ik1a , % % 2 exp(−ik1a) A C1 → A1 1 度时，k2趋于零，可得 2 2 − ik1a 2 − ik1a 势垒内的波函数为
%(1 + ik x) + B %(1 − ik x) = B %+ B % + (B %− B %)ik x ψ 2 ( x) → B 1 2 2 2 1 2 1 2 2
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
如图所示，一质量为m的粒子，能量为E， V ( x) = 0 ( x < 0, x > a) 在力场中沿x轴方向运动。力场势能分布为 V0 (0 < x < a ) 这种势能分布称为一维势垒。一粒子从势垒左 边向右运动，求粒子的波函数，演示波的传播。 [解析]由于势能V0与时间无关，因此是一个定态问题。 V 粒子在三个区域的薛定谔方程组为
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
2 2 − i( k − k 1 2 )sin k 2 a %= A % A , 2 1 2 2 2k1k2 cos k2 a − i(k1 + k2 )sin k2 a
2k1k2 exp(−ik1a) 2k1k2 cos k2 a − i(k12 + k22 ) sin k2 a %+ (k − k ) A % 1 ( k + k ) A 2 1 1 2 1 2 %+ A %− k1 ( A %− A %)] % B = = [ A 1 2 1 2 1 2k 2 2 k2 %+ (k + k ) A % 1 (k2 − k1 ) A k1 % % 1 2 1 2 % % % B= = [ A2 + A1 + ( A2 − A1 )] 2 2k 2 2 k2 %= A % C 1 1
当粒子能量等于势垒高度 时，势垒中的入射波和反 射波合并为一个波函数， 波函数随距离线性变化。
当粒子能量小于势垒高度 时，粒子虽然会发生反射， 还能够穿过势垒产生透射， 如同势垒中有一条隧道， 这种现象称为隧道效应。 隧道效应已经被大量 实验所证实，例如冷 电子发射(电子在强电 场作用下从金属表面 逸出)，α粒子从原子 核中释放，等等。
= k2 当E > V0时，可设II区的波矢为
薛定谔方程 组可化为
2m( E − V0 ) / h
O
2 2 d ψ3 2 d 2ψ 1 ψ d 2 2 2 + k 0. + k2ψ 2 = 0, 1ψ 3 = + k1 ψ 1 = 0, 2 2 2 dx dx dx
2 2 方程的 d 2ψ 1 d ψ3 ψ d 2 2 2 2 + k2ψ 2 = 0, + k1 ψ 3 = 0 + k1 ψ 1 = 0, 2 2 通解为 2 dx dx dx %exp(ik x) + A % exp(−ik x) (x < 0) ψ1( = x) A 1 1 2 1 V V0 %exp(ik x) + B % exp(−ik x) (0 < x < a) ψ = ( x) B
O a dψ 1 (0) dψ 2 (0) = dx dx
再得两 个方程 B %k exp(ik a) % %k exp(−ik a) = k exp(i k a ) − B C 1 2 2 2 2 2 1 1 1 手工求解方程组比较麻烦，用MATLAB比较容易求解。
%exp(ik a) %exp(ik a ) + B % exp(−ik a) = B C 1 2 2 2 1 1
2 2 − i( k − k ) sin k2 a 1 2 %= A % A 2 1 2 2k1k2 cos k2 a − i(k12 + k2 ) sin k2 a
求解结 果是
%= A % C 1 1
虚部和实 部只差一 个相位因 子，因此 两者中的 可见：其他波的复振幅由入射波的复振幅决定。 任何一个 当入射波函数取实部时，其他波函数也取实部； 都可以表 当入射波函数取虚部时，其他波函数也取虚部。 示波函数。
h d ψ3 h d ψ2 h d ψ1 − = Eψ 3 − + = V ψ E ψ , − = Eψ 1 , 0 2 2 2 2 2 I 2 m dx 2 m dx 2m dx
2 2
2 2
2 2
V0 III x a
II
(x < 0)
(0 < x < a)
(x > a)
设I区和III区的波矢为 k1 = 2mE / h
3
ψ2(x)中的两个分量是势垒II区中右行波和左行波， 没有反射波， % = 0. C 所以 2 Ψ (x)中第一个分量是势垒III区中右行波。
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画) V
%exp(ik x) + A % exp(−ik x) (x < 0) = ψ1( x) A 1 1 2 1 %exp(ik x) + B % exp(−ik x) (0 < x < a) ψ = ( x) B
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
2
1
2
2
2
%exp(ik x) + C % exp(−ik x) ψ3( = x) C 1 1 2 1
(x > a)
I
II
III
将ψ1(x)乘以exp(-iωt)，然后取函数的实部。 x 由于cos(k1x - ωt) = cos(ωt - k1x)，可知：第一项 O a 表示I区向x正方向传播的波，即入射波， % A 是入射波的复振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。 1 同理可知：第二项表示向x负方向传播的波，即反射波， %和B % 是反射波的复振幅。 %是复振幅。 B A 1 2 2 由于在III区
在某时刻，波函数 的实部与虚部重叠。
说明：波函数的虚部和实 部都能描述粒子的状态。
当粒子能量大于势垒高 度时，粒子虽然能够越 过势垒，还会发生反射。
当粒子能量一定时，势垒 常数越大，波长就越短。
在势垒左边界，入射波 和反射波都不连续，但 叠加的波是连续的。在 势垒右边界，叠加的波 与透射波是连续的。
2 1 2 2 2
V0 II III x
I
%exp(ik x) ψ 3 ( x) = C 1 1
(x > a)
根据波函数的单值和连 ψ1(0) = ψ2(0)， 续的条件，在x = 0处有 %+ A % =B %+ B %, A % % % % 可得两个方程 A 1 2 1 2 1k1 − A2 k1 = B1k 2 − B2 k 2 在x = a处有ψ2(a) = ψ3(a)，
设一无量纲的常数 k0 = a 2mV0 / h 常数由粒子质量、势阱高度源自文库 宽度决定，不妨称为势垒常数。
可见：不论是右行波是 左行波，波函数的实部 和虚部的幅度是相同的。
势垒常数将影响波长。 入射波的振幅取实数，初始 时各区域的波函数的实部和 虚部(对应颜色的点虚线) 。
随着时间的推移，入射波的 波函数向右移，反射波的波 函数向左移，合成波函数向 右移，其幅度不断发生改变。