重庆大学高等数学习题3-1

A 组

1.验证拉格朗日中值定理对函数3

2

452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '，

证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =-

又因为2

()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得

1,21052412

x ±=

=

则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=-

2.证明方程32

20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明

证明：设3

2

()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'=

2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =，

x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32

20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根

3.若方程1

0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程

12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根

解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设

1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定

理的第三个条件

证明：设1

011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12

011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L

根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=

即1

2011(1)0n n n a nx

a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根

4.设2

350a b -<，证明：方程5

3

2340x ax bx c +++=有唯一的实根

解析：考查连续函数的性质，分析题干所给条件，2

350a b -<正是判断函数

53()234f x x ax bx c =+++导数根的存在性的依据，而lim ()x f x →-∞

=-∞，lim ()x f x →+∞

=+∞，

则可以判断函数的根的唯一性

证明：设5

3

()234f x x ax bx c =+++，4

2

()563f x x ax b '=++

令2

t x =，2()563f t t at b '=++（0t ≥）

而2

2

2

(6)543366012(35)0a b a b a b -⋅⋅=-=-<

则2

()5630f t t at b '=++=没有实数解，且lim ()x f x →+∞

'=+∞

因此可得()0f x '>恒成立，方程53

2340x ax bx c +++=有唯一的实根 5.设0a b >>。证明：

ln a b a a b

a b b

--<< 解析：考查微分中值定理的应用，先对所证不等式进行化简，即1ln ln 1

a b a a b b

-<<-，很明显需要利用拉格朗日中值定理 证明：设()ln f x x =，1

()f x x

'=根据拉格朗日中值定理 存在(,)a b ξ∈，使得

()()1

()f a f b f a b ξξ

-'==-

又因为在[,]a b 内，1

()f x x

'=

为单调递减函数 则()()()f a f f b ξ'''<<，即111a b

ξ<< 即证结论

6.证明：当1x >时，x

e ex >

解析：考查微分中值定理的应用，这里并不涉及两个相等的函数值，因此可以不考虑罗尔定理，若设()x

f x e ex =-，则(1)0f =，可以考虑拉格朗日中值定理 证明：设()x f x e ex =-，(1)0f =

()x f x e e '=+

因为函数()f x 在[1,]+∞上连续，在(1,)+∞上可导，根据拉格朗日中值定理 存在一点(1,)x ξ∈，其中(1,)x ∈+∞，使得()(1)()(1)f x f f x ξ'-=-

化简()(1)x

e ex e e x ξ-=--，因为()(1)0e e x ξ

-->，则0x

e ex ->

即证结论

7.若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在

(,)a b ξ∈，使得

()()

()f f a f b ξξξ

-'=-

解析：考查微分中值定理的应用，先对所要证的等式进行化简()()()()f f b f a ξξξ'+-=，很明显，等式左边为一个函数的导数，即令()()()g x f x x b =-，

()()()()g x f x f x x b ''=+-，再利用拉格朗日中值定理证明即可

证明：令()()()g x f x x b =-，()()()()g x f x f x x b ''=+-，且()0g b =

已知函数()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在一点

(,)a b ξ∈，使得

()()

()g b g a g b a

ξ-'=-

即

()()

()()()f a a b f f b b a

ξξξ--'=+--，也即()()()()f f b f a ξξξ'+-=

即证结论

8.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

()()

()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-

解析：考查微分中值定理的应用，从上述几题的求解过程中可以看出，利用微分中值定理解题的过程为分析题干构造函数、找两点、求解，最关键的在前面两步，函数的构造要从已知式子中的得出，本题中，思路比较清晰，直接令()()g x xf x =，题中也很明显的告诉的两点，直接利用拉格朗日中值定理证明

证明：设()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''=+

因为函数()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，根据拉格朗日中值定理 存在一点(,)a b ξ∈，使得()()

()g b g a g b a

ξ-'=-

带入求解

()()

()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-