柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
柯西积分公式
可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
基于复积分论柯西积分定理与柯西积分公式之异同
复积分论是一个研究复数函数积分的数学分支。
复积分论中有两个经典的定理：柯西积分定理和柯西积分公式。
柯西积分定理是指：如果一个函数在某个区域内连续，且在该区域内的某条曲线的内侧满足某些条件，则该函数在该区域内的积分存在。
柯西积分公式是指：在满足某些条件的情况下，对于某个复数函数，其在某个区域内的积分可以用一个公式来表示。
这个公式通常是由曲线积分的定义推导而来。
两个定理之间的异同在于：
1.异同点：都是基于复积分论，都是关于复数函数的积分的定理。
2.异同点：柯西积分定理是关于复数函数的积分的存在性的定理，而柯西积分公式是
关于复数函数的积分的具体表达式的定理。
总之，柯西积分定理与柯西积分公式是复积分论中的两个重要定理，它们都是关于复数函数的积分，但是柯西积分定理是关于积分的存在性的定理，而柯西积分公式是关于积分的具体表达式的定理。
在无穷处的柯西积分公式
在无穷处的柯西积分公式摘要：一、柯西积分公式的概念二、柯西积分公式的推导过程三、柯西积分公式的意义与应用四、结论正文：在无穷处的柯西积分公式是一种数学公式，它涉及到微积分中的积分运算。
柯西积分公式在数学领域有着广泛的应用，尤其在求解某些复杂函数的积分问题时具有重要意义。
要推导柯西积分公式，首先我们需要了解一些基本的概念。
柯西核函数是一个重要的工具，它可以用来描述柯西积分公式。
柯西核函数的定义为：f(x) = 1 / (x^2 + a^2)，其中a 是一个正常数。
接下来，我们开始推导柯西积分公式。
根据积分的定义，我们可以知道：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是f(x) 的一个原函数，a 和b 是积分区间的上下限。
现在，我们用柯西核函数来表示柯西积分公式：∫(1 / (x^2 + a^2))dx = ∫(1 / (x^2 + a^2)) * (1 / √(x^2 + a^2)) * 2 * a * dx接下来，我们进行积分运算：= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(3/2)) dx然后，我们用部分分式分解法进行进一步的计算：= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(3/2)) * (1 / √(x^2 + a^2)) * √(x^2 + a^2) dx= 2 * a * ∫(1 / (x^2 + a^2)^(1/2)) dx= 2 * a * [arctan(x / a) - arctan(0 / a)]= 2 * a * arctan(x / a)最后，我们可以得到柯西积分公式：∫(1 / (x^2 + a^2))dx = 2 * a * arctan(x / a) + C其中，C 是常数。
柯西积分公式在数学领域具有重要的意义。
它可以用来求解一些复杂函数的积分问题，尤其是当被积函数具有无穷大的特点时。
此外，柯西积分公式还可以应用于求解微分方程、傅里叶分析等领域。
在实际应用中柯西积分公式的用途 正文
在实际应用中柯西积分公式的用途1 前言《复变函数论》是高师院校数学与应用数学专业的必修课，同时也是综合性大学理工科的基础课程，是实变函数微积分的推广和发展，其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的．柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义．通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对复变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去．2 预备知识2.1 柯西积分定理设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=⎰cdz z f ．2.2 推广的柯西积分定理设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则0)(=⎰cdz z f ．2.3 复周线柯西积分定理设D 是有复周线---++++=n C C C 210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数)z (f在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=⎰cdz z f ．2.4 柯西积分公式设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有⎰-=c d zf i z f ζζζπ)(21)( (D z ∈)． 3 柯西积分公式的推论3.1 解析函数平均值定理如果函数)(z f 在R z <-0ζ内解析，在闭圆R z ≤-0ζ上连续，则ϕππϕd e R z f z f i ⎰+=2000)(21)(，即)(z f 在圆心0z 的值等于它在圆周上的值的算术平均数． 证：设C 表示圆周R z =-0ζ，则πϕζϕ20,0≤≤=-i e R z ， 即ϕζi e R z +=0，由此 ϕζϕd e iR d i =， 根据柯西积分公式⎰⎰+=-=c i i i c d e R e iR e R z f i d z f i z f ϕπζζζπϕϕϕ)(21)(21)(000ϕππϕd e R z f i ⎰+=200)(213.2 高阶导数公式设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有),2,1()()()(2!)(1)( =∈-=⎰+n D z d z f i n z f c n n ζζζπ这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式．现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明．引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ∉z ，定义函数⎰Γ-=ζζζd z f z F m m )()()(那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且)()(1z mF z F m m +='证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有ε<-)()(a F z F m m ．因为]))((1)()(1)()(1)[()()(1)11()(1)(12111mm m mk k k m m m a z a z a z a z a z a z a z --++--+---=-----=----=--∑ζζζζζζζζζζζζ (1)所以ζζζζζζζζζζζd az az f a z d a f z f a F z F mmmm m m ]11[)(])()()()([)()(--++---≤---=-⎰⎰ΓΓ（2）因为)(z f 在Γ上连续，所以存在某个常数0>M ，使得对于Γ上一切点ζ，M f ≤)(ζ．设a 与Γ的距离为r ．那么对于任意Γ∈ζ及2ra z <-，有2,2rr z r r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l rMm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-，其中l 为曲线Γ的长．令 lMm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-⇒<-εε． 取 )21,2min(11l Mm r m m ++=εδ． 那么，当δ<-a z ，就有ε<-)()(a F z F m m ．其次证明)(z F m 在区域G 上解析，且满足)()(1z mF z F m m +='，在G 内任取一点a ，设a z G z ≠∈,，由（1）得⎰⎰Γ-Γ---++--=--ζζζζζζd za z f d z a z f a z a F z F mm m m ))(()())(()()(1 ，因为Γ∈a ，所以对于满足不等式m k ≤≤1的每个k ，kz z f --))((ζ在Γ上连续．根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G 上定义了一个变量z 的连续函数，因此，当a z →时的极限存在，即)()()()()()(111a mF d z f d a f a F m m m m+Γ+Γ+=-++-='⎰⎰ζζζζζζ ．对于G 内的一切a 均成立．下面使用这个引理证明高阶导数公式:证明：由柯西积分公式，对于G 内的任意点z ，有 ⎰Γ-=ζζζπd zf i z f )(21)(，⎰Γ-=ζζζπd z f i z F m m )()(21)(． 记)()(1z F z f =根据引理，)(!)()(!3)(!2)()(!2)()()()()(1)(433221z F m z fz F z F z f z F z F z f z F z F z f m m +=='='''='=''='='即 ⎰Γ+-=ζζζπd z f i m z f m m1)()(2!)(． 3.3 柯西不等式设函数)(z f 在区域D 内解析，a 为D 内一点，以a 为心作圆周R a r =-ζ:，只要r及其内部K 均含于D ，则有,2,1,)(max )(,)(!)()(==≤=-n z f R M RR M n a fR a z n n ． 证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式．应用上面得到的定理，则有nn c n n R R M n R R R M n d a f i n a f )(!2)(2!)()(2!)(11)(=⋅⋅≤-=++⎰ππζζζπ注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点a 的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关．3.4 刘维尔定理 有界整函数)(z f 必为常数证：设)(z f 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有M R M ≤)(．于是命1=n 时有RMa f ≤')(， 上式对一切R 均成立，让+∞→R ，即知0)(='a f ，而a 是z 平面上任一点，故)(z f 在z 平面上的导数为零，所以，)(z f 必为常数3.5 摩勒拉定理若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有 0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在D 内解析．证：在假设条件下，即知)()()(00D z d f z F zz ∈=⎰ζζ在D 内解析，且)()()(D z z f z F ∈='．但解析函数)(z F 的导函数)(z F '还是解析的．即是说)(z f 在D 内解析．4 奇点在积分路径C 上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．定义1 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，在C 上0z 的两边各取一点21,z z ，若⎰-→21021,,)(limz z c z z z dz z f存在，则称此极限值是f 沿C 的奇异积分，记为⎰⎰-→=21021,,)(lim)(z z c z z z cdz z f dz z f定义2 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,00)(21limπε存在，则称此极限值是f 沿C 的柯西主值积分，记为dz z z z f i dz z z z f i z z c c ⎰⎰-→-=-21,000)(21lim )(21ππε 定理1 设C 施光滑曲线，取正向，若f 满足Holder 条件，即 )10(,)()(2121<≤-≤-a z z K z f z f a（其中a K ,都是实常数，21,z z 是C 上任意两点）则称柯西主值积分存在，且有)(),(21)(21)(210000C z z f dz z z z f i dz z z z f i c c ∈+-=-⎰⎰ππ证：dz z z dzi z f dz z z z f z f i dz z z z f i z z c z z c c ⎰⎰⎰---+--=-2121,00,0002)()()(21)(21πππ 又 )0(,)]arg()[arg()]log()[log(102010201,021→→---=---=-⎰-επi z z z z i z z z z dz z z z z c（其中)log(0z z -为21,z z c -上任意连续分支，ε=-=-0201z z z z ），)]arg()[arg(0201z z z z ---为当z 从2z 沿21,z z c -变动到1z 时0z z -的幅角改变量，当0→ε即02,1z z z →时，它的极限值为π．又因为)(z f 满足Holder 条件，即az z Kz z z f z f --≤--1000)()( 而10<≤a ，则积分 dz z z z f z f i c ⎰--00)()(21π 存在． 于是，得⎰⎰⎰--→-+--=-c z z c z z c z z dzi z f dz z z z f z f i dz z z z f i ]2)()()(21[lim )(212121,,000000πππε )(21)()(21000z f dz z z z f z f i c +--=⎰π定理2 若C 是简单逐段光滑曲线，D 是以C 为边界的有界单连通区域，)(z f 在D 内解析，在}{0z D -上连续)(0C z ∈，在0z 的邻域有K z D z a z z K z f a},{,10,)(00-∈<≤-≤为常数则0)(=⎰dz z f c．证：以0z 为心，充分小的0>ε为半径作圆，在C 上取下一小段弧εC ，在D 内得到圆弧εL ，取正向，有柯西积分定理,0)()(=+⎰⎰--εεL c c dz z f dz z f设εL 的参数方程为,,210θθθεθ<≤=-i e z z)0(,0)()(121021→→-==-≤-⎰⎰⎰εθθθθεεεεθθaL a aL K d K dz z z K dz z f ． 故0)(lim )(lim )(00=+=⎰⎰⎰-→→εεεεc c L cdz z f dz z f dz z f定理3 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，且在C 上)(z f 满足Holder 条件，则有)(,)(21)(21000C z z z z f i z f c ∈-=⎰π 此式称为0z 在边界C 上的柯西积分公式． 证：)(z f 满足Holder 条件，则有)10(,)()(2121<≤-≤-a z z K z f z f a那么由定理1知： )(),(21)(21)(210000C z z f dz z z z f i dz z z z f i c c ∈+-=-⎰⎰ππ而)10(,)()(1000<≤-≤---a z z Kz z z f z f a于是由定理3得 0)()(00=--⎰dz z z z f z f c故有)(,)(21)(21000C z dz z z z f i z f c ∈-=⎰π 另外，当C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,00)(21limπε不一定存在．因此，此时的柯西积分主值不能确定，故此时0z在边界C 上的柯西积分公式也不能确定．5.3 柯西积分公式的方法与技巧柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁．而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数)(z f 在D 内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域D 内存在．到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式．因此，计算复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养．当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线C 内含有分母的一个零点而分子在C 内处处解析（即对⎰cdz z g )(，0)()(z z z f z g -=或10)()(+-n z z z f ，0z 在C 内，而)(z f 在C 内处处解析），则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分．而在有理函数情形，若C 内含有分母一个以上零点而分子解析，则要先将被积函数化为部分分式，然后依据具体问题是用恰当的方法去求积．6 举例应用例1 计算积分x y x C zz dz c 4:,cos )4(222=+-⎰． 解：化x y x 422=+为4)2(22=+-y x ，即22=-z ．C 内有奇点2,2π，作以2π和2为心的位于C 内的互不相交且互不包含的小圆周1C 和2C ，依复闭合定理与柯西积分公式，有]2cos 41164[2]cos )2(1[2]41[22cos )2(1cos 11cos )4(cos )4(cos )4(222222222121+-=++-=-++-=-+-=-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππi zz i z i dz z z z dz z z zz dzz z dz z z dz z z c c c c c例2 计算积分 （1）⎰=-++1)3141(z dz z z ，（2）⎰=-++4)3141(z dz z z分析：（1）和（2）的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，（1）的结果很好求，符合积分定理的条件，可直接使用柯西积分定理．（2）应为奇点4-=z 在积分路径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求，但满足定理3条件，可利用定理3求值．解（1）直接用柯西积分定理得034)3141(111=-++=-++⎰⎰⎰===z z z z dzz dz dz z z （2）因为 ⎰⎰⎰===-++=-++44434)3141(z z z z dz z dz dz z z又有柯西积分公式有 i i z dzz z ππ2|12334=⨯=-==⎰ 由定理3有 i z f i z dzz z ππ=⨯=+-==⎰4040|2)(24 所以 i i i dz z z z πππ32)3141(4=+=-++⎰= 例3 计算积分⎰+∞sin dx x x分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3求解就简单多了．解：dx ix xi x dx x x dx x x dx x x R R RR R R ⎰⎰⎰⎰+-+-+∞→+∞→+∞∞-+∞+===sin cos lim 21sin lim 21sin 21sin 0dx xe i dx ix e RR ixR R R ix R ⎰⎰+-+-+∞→+∞→==lim 21lim 21（其中经过定积分的计算可以得到积分⎰+-=RRdx x x0cos ） 设ize zf =)(，)(z f 满足Holder 条件，且zz f )(的奇点0=z 在积分路径上，由定理3得i z f i dz z e dx x e z izR RixR ππ==+=Γ+-⎰⎰000|2)(2（其中R Γ是连接R -和R +的一段弧，则],[R R C R +-+Γ=是闭曲线）由约当引理知0=⎰Γdz ze R iz所以 221lim 21sin 0ππ=⨯==⎰⎰+-+∞→+∞i i dx x e dx x x R R ix R 例4 求积分⎰-c dz z z 14sin2π（1）211:=+z C （2）211:=-z C （3）2:=z C解：（1）211:=+z C ，则D ∈-1由于)1(14sin 14sin 2---=-z z z z z ππ选取14sin )(-=ξξπξf )(ξf 在D 内解析，在C D D +=上连续，故由柯西积分公式有：i if d f dz z zc c πξπξξξπξ22|)(2)1()(14sin12==--=--=⎰⎰ （2）211:=-z C ，可见D z ∈=1，而D ∉-1因此将被积函数做如下变形：114sin 14sin 2-+=-ξξξπξξπ选取14sin )(+=ξξπξf ，)(ξf 在D 内解析，在C D D +=上连续，故由柯西积分公式有： i if d f dz z z c c πξπξξξπξ22|)(21)(14sin12==-=-=⎰⎰ （3）2:=z C ，则D z ∈±=1这样D 内有两个点．依柯西积分公式将积分化成两个复积分求之，有：⎰⎰⎰⎰+--=+-=-c c c c dz z z dz z z dz z z dz z z 14sin 2114sin 21)1)(1(4sin 14sin2ππππ i i i πππππ2))4sin(24sin 2(21=--= 例5 计算积分dz z z z I z ⎰=-+-=222)1(12． 解：有高阶导数公式可得：i z z i I z ππ6|)12(212='+-⨯==．例6 计算积分 dz z z e I z z⎰=+=23)1(． 解：被积函数 3)1(+z z e z 在区域2≤z 内有0,1-两个奇点，运用挖奇点法，分别以0,1-为圆心作互不相交的小圆21,C C 且21,C C 包含在2=z 内．由柯西积分公式和高阶导数公式有03133|])1([2|)(!22)1()1(21=-=++''=+++=⎰⎰z z z z c z c zz e i z e i dz z z e dz z z e I ππ )52(25i ei i e πππ-=+-= 例7 求积分dz z e z nz⎰=1，其中n 为整数． 解：当0≤n 时，n zze 在1=z 上及其内部解析，由柯西积分定理得 01=⎰=dz z e z nz当1=n 时，由柯西积分公式得i e i dz ze z z z n zππ2|)(201====⎰ 当1>n 时，由高阶导数公式知：)!1(2|)()!1(20)1(1-=-==-=⎰n i e n i dz z e z n n z n z ππ参考文献[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2009[2] 孙清华,孙昊.复变函数内容、方法和技巧[M].武汉:华中科技大学出版社,2003[3] 西安交大.复变函数第四版[M].西安:高等教育出版社,2007[4] 杨丽,张伟伟.柯西积分公式的应用[J].沧州师范专科学校学报.2006,22(3):65-67[5]易才凤,潘恒毅.柯西积分公式及其在积分中的应用[J].江西师范大学学报.2010,34 (1):5-7,12[6] 邱双月.复积分的计算[J].邯郸学院学报.2009,19 (3):57-60z在积分路径c上的柯西积分公式[J].阜阳师范学院学报.2004,21[7] 朱茱,刘敏.(4):60-63[8] 完巧玲.周线上复积分的几种算法[J].陇东学院学报.2010,21 (2):7-9[9] 张庆.Cauchy积分公式及其应用[J].唐山师专学报.2000,22 (2):27-28[10] 崔冬玲.复积分的计算方法.淮南师范学院学报.2006, (3):31-32[11] 李敏,王昭海.巧用复变函数积分证明实积分.考试周刊.2009,41 :64[12] 泰华妮.复变函数积分方法的教学思考.考试周刊.2011,58 :73-74[13] 官春梅.用留数计算一类数列极限.中国科技创新导刊.2010 :105[14] 韦煜.高阶导数公式的证明[J].黔南民族师范学院学报.2003 (6):8-9仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
第三章 3.2-3.3 柯西积分定理及公式
记作
F ( z ) f ( z ) .
五、原函数
2. 由变上限积分构成的原函数 定理 若 G ( z ) H ( z ) c ,在单连域 D 内处处解析，
P63 定理 3.5
F(z) f()d,
z0 z
D
z,z0D,
令 则 在 D 内解析，且
证明 (略)
13
五、原函数
闭路变形原理
P62
D
C1
如图，设 f ( z) 在 D 内解析，
C C 在边界 C 上连续， 1 2
Γ C2
G 为 D 内的一条“闭曲线”，
则
f ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z . C C Γ
1 2
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
Green公式
C R方程
v u u v ( ) d x d y i ( ) d x d y x y x y G G
0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。
一、柯西基本定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
性质 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的任何两个原函数相差一个常数。
z F ( z ) c .是 G ( z ) H ( z ) c ,的两个原函数，则 (z)c和 f(z)d 证明 设 F
z
0
z
其中，c 为任意常数。
G ( z ) H ( z ) c ,的原函数 F ( z ) 称为 定义 函数 G ( z ) H ( z ) c ,的不定积分，
柯西积分定理及其应用
f ( z) f ( z) d z闭路变形原理 dz z z0 z z0 z z0
f z f z0 0
f ( z0 )
z z0
1 d z 2 π if ( z0 ). z z0
C
z0
D
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 0
sin 1 cos1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
解：
2z
3i
i
e
2z
dz
3 i
i
1 3 i 2 z e dz e d (2 z ) 2 i
1 2 z 3i 1 6i 2i e e e 0. i 2 2
所围成的多连通区域， f ( z )在D内解析.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
在D D 上连续, 则
D
C
或
Hale Waihona Puke f ( z )dz 0Ci
C
f ( z )dz
i 1
n
Ci
f ( z )dz.
复变函数与积分变换
一、柯西积分公式
定理(柯西积分公式) 如果f ( z )在区域D内处处解析， C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，则
f ( z0 ) 1 2πi
C
f ( z) d z. z z0
柯西中积分值定理
柯西中积分值定理1. 引言柯西中积分值定理（Cauchy’s Mean Value Theorem）是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在闭区间上的平均值与函数在内部某点处的导数之间的关系。
这个定理由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于19世纪初提出，被广泛应用于实际问题的解析和数值求解中。
在本文中，我们将介绍柯西中积分值定理的基本概念和主要结果，并通过一些具体例子来说明其应用和意义。
2. 定义与表述设函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，在开区间(a,b )内可导。
则存在ξ∈(a,b )，使得∫f ba (x )dx =f (ξ)(b −a )其中，∫f ba (x )dx 表示f (x )在[a,b ]上的定积分，f (ξ)表示f (x )在(a,b )内某一点ξ处的取值。
换句话说，柯西中积分值定理告诉我们，在闭区间上连续且可导的函数中，至少存在一个点ξ，使得函数在该点处的导数等于函数在整个闭区间上的平均值。
3. 证明思路柯西中积分值定理的证明可以通过应用拉格朗日中值定理来完成。
具体步骤如下：1. 定义辅助函数F (x )，使得F′(x )=f (x )，即F (x )是f (x )的一个原函数。
2. 根据定积分的定义，我们有∫f ba (x )dx =F (b )−F (a )。
3. 应用拉格朗日中值定理，存在c ∈(a,b )，使得F (b )−F (a )=f (c )(b −a )。
4. 由于f (c )=f (ξ)，我们可以得到∫f b a (x )dx =f (ξ)(b −a )。
通过以上证明思路，我们可以看出柯西中积分值定理与拉格朗日中值定理有着密切的关系。
事实上，柯西中积分值定理可以看作是拉格朗日中值定理在积分形式上的推广。
4. 应用举例例1：计算平均速度假设一个物体在时间t 0到t 1之间沿直线运动。
设物体在t 0时刻的位置为x (t 0)，在t 1时刻的位置为x (t 1)。
【完整版】柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
（2012 届）本科毕业论文（设计）题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用学院：教师教育学院专业：数学与应用数学（师范）班级：数学082学号：姓名：指导教师：完成日期：教务处制诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用王莉莉（嘉兴学院数学与信息工程学院）摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式.关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formulas ofthe Origin and its ApplicationWanglili（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）Abstract:Complex-variable function is a comprehensive university or institute of technology of normal colleges and universities professional required courses. It is real veriables function of the promotion and development of calculus. One cauchy integral theorem and cauchy integral formula is a complex function theory foundation. It is the key of sresearching complex function theory. One of its important contents is the cauchy integral theorem, which says that the integral along a contour of an analytic function is zero. This paper studies the cauchy integral theorem and cauchy integral formula related concepts and prove, promotion and in algebra fundamental theorem of integral proof, in the calculation of the application. It discusses the closely related of the cauchy integral theorem and cauchy complex functions. The famous cauchy integral formula can follows easily from the cauchy integral theorem. Also residue theorem are briefly introduced. Use of residue theorem can get the complex functions respectively cauchy integral theorem and cauchy integral formulas and high derivatives formula.Key words:Complex-variable function;cauchy integral theorem;cauchy integral formula;residue theorem目录1 绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.1.1 复变函数概况 (1)1.1.2 复积分的定义 (2)1.1.3 柯西积分定理的引入 (3)1.2 本文的研究工作 (4)1.3 本文的未来工作 (4)2 柯西积分定理 (5)2.1 柯西积分定理 (5)2.2 柯西积分定理的证明 (5)2.3 柯西积分定理的推广 (6)2.4 柯西积分定理的应用 (9)3 柯西积分公式 (12)3.1 柯西积分公式 (12)3.2 柯西积分公式的证明 (12)3.3 柯西积分公式的推广 (13)3.4 柯西积分公式的应用 (14)4 复变函数积分之间的关系 (18)4.1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 (18)4.2 复变函数积分与留数定理的关系 (19)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索.复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯.柯西建立了复变函数的微分和积分理论.1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理[3].1.1.1 复变函数概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显a ，其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复现出来.复数的一般形式是：bi变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点,它是数学分析在研究领域的扩展.在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点.这样，才能抓住本质，融会贯通.复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数.复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具.由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面.利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明.对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数.黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来.近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质.复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明.导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换.共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用.留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数，它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数.广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
3.3柯西积分公式
1 sin z
(1)
dz;
2i z 4 z
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
解 (1) 1 sin z dz
2i z 4 z 因为 f (z) sin z 在复平面内解析,
z 0 位于 z 4内,
例1 求下列积分
1 sin z
(1)
dz;
2i z 4 z
(2)
z
4
z
1
1
z
2
0
L
f (z) z z0
dz＝2 i
f
(z0 ).
定理3.3.1(柯西积分公式) 设D是有界区域, 其边界L由
有限条简单闭曲线组成, f (z)在D及L所组成的闭区域D 上连续，在区域D内解析，则任意z D有
f
(z)
1
2
i
L
f
( )
z
d.
证 取定z D,作以z心，充分小的 0为半径的圆L，
|z1|1 (z 1)3
解 根据定理3.3.2得,
I
sin z dz |z1|1 (z 1)3
2 i (sin z)''
2!
z 1
i (sin z) z1
i sin1.
例5
求积分
(1)
z
2
(
z z
3 1 1)4
dz;
(2)
z
1
e
z
cos z2
z
dz
.
解 (1)函数 z3 1 在复平面内解析,
z1 1
z
2
4 1
dz
z1 1
3.3柯西积分公式
C
2、关于柯西积分公式的说明: 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在 内部任一点的值用它在边界上的 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. 这是解析函数的又一特征 值表示 (这是解析函数的又一特征 这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. 表达式 (这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具) 这是研究解析函数的有力工具
2
z = −1
( 2)
∫
z −1 =
π sin z 4 dz = z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 π sin z z + 1 dz 4 = 2 πi; = 2πi ⋅ 2 1 z −1 z +1
2 z =1
π sin z 由复合闭路定理, ( 3) ∫ 2 4 dz 由复合闭路定理 得 z −1 z =2 π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
由复合闭路定理, 由复合闭路定理 得
ez ∫ z =3 z ( z 2 − 1) dz z ez ez e z ( z + 1) z ( z − 1) z 2 − 1 dz + =∫ 1 ∫ z −1 = 14 ( z − 1) dz + ∫ z +1 = 14 ( z + 1) dz z= z 4
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式
1、定理 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C所围区域 D 内解析 , 、 上连续， z 在 D = D ∪ C 上连续， 0 为 D 内任一点 , 则
1 f (z) f (z0 ) = dz. ∫C 2πi z − z0
柯西积分定理名词解释
柯西积分定理名词解释
柯西积分定理（Cauchy's Integral Theorem）是一个重要的数学定理，它描述了一个复杂函数在
复平面上的行为。
它是由法国数学家Augustin Louis Cauchy在1821年提出的。
柯西积分定理指出，如果一个函数在一个复平面区域内是连续的，那么它的积分在该区域内是
定值的。
这意味着，如果一个函数在一个复平面区域内是连续的，那么它的积分在该区域内是
定值的，而不管它在该区域内的具体形状如何。
柯西积分定理的应用非常广泛，它可以用来解决许多复杂的数学问题，例如求解椭圆方程、求
解拉普拉斯方程、求解热传导方程等。
此外，它还可以用来解决物理问题，例如电磁学中的电
场和磁场问题。
柯西积分定理的另一个重要应用是在复数分析中，它可以用来证明复数函数的连续性和可导性。
它还可以用来证明复数函数的可积性，从而为复数函数的积分提供了一种有效的方法。
总之，柯西积分定理是一个重要的数学定理，它可以用来解决许多复杂的数学问题，也可以用
来解决物理问题，特别是在复数分析中，它可以用来证明复数函数的连续性和可导性，从而为
复数函数的积分提供了一种有效的方法。
柯西积分定理及柯西积分公式在实函数中的应用
令ｚ＝ｅｏｓｑ＋ｉｓｉｎｑ，（一ｐ≤ｑ≤ｐ）
Ｉ：｛ — ：ｆ ｚ＋３
（ｃｏｓｑ＋３＋ｉｓｉｎｑ）（ｃｏｓｑ＋３一ｉｓｉｎｑ）
ｆ －３ｓｉｎｑ＋ｉ（１＋３ｃｏｓｑ）ｄａ
：
一
ｌＯ＋６ｃｏｓｑ
‘
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
一
ｉ 是 ｄ。
一．＝‘ｆ —ｉ— ； ； ｉ ｄｏ＝０
Ｉ， ｚ ：ｉ Ｊ ｌ１ｏ＋ ３１１１ ｄ ０
关 键 词 ：柯 西 积 分 定 理 柯 西 积 分 公 式 实 函 数 积 分
在 数 学分 析 的某 些 积 分 运 算 中 ，如 果 按 照 常 规 的积 分 进 行 运 算 ，就 可 能 导致 被 积 表 达 式 相 当 复杂 ，最 终 无 法 完 成 积 分 运 算 。 通过 引入 柯 西 积 分 定 理 及 柯 西 积 分 公 式 来 求 解 或 证 明 实 函 数 积分 ．从某 种 程 度上 可避 免 这 种 复 杂 的过 程 ，从 而 轻 松 地 进 行求 解 ．有事 半 功 倍 的 效 果 。
品位 、审 美 的 趣 味 等 ．都 可 以 列 为批 改 的范 围 。
２．作 业 批 改 要 凸 显 老 师 的 人 文 关 怀 学 生 做 作 业 和 教 师 批 改 作 业 是 一 种 互 动 的 人 文 活 动 。在 这 里 ．老 师 要 让学 生感 受 到 师 者 的学 识 和修 养 ，体验 到 师 生之 间 民 主 、平 等 的交 往 ．使 作 业 活 动 成 为 学 生 人 文 素养 形 成 的重 要 载体 。老 师 评 语 要 面 对 作 业 的 主 人 ，而 不 是 冷 冰 冰 的 纸 张 。 评 语 要 有 感 情 ，在作 业 本 上 作 指 导 性 、启 发性 的 批 注 和 评 语 ， 让 学 生 通 过 评 语感 受 到 老师 的关 注 和鼓 励 。 ３．作 业 批 改 的 参 与 者 要 多 元 化 由学 生 本 人 、同学 、家 长 、老 师 多 方 参 与 ，综 合 评 价 。传 统 的作 业 批 改 是 教 师单 向 的评 价 ，学 生 处 于 被 动地 位 。新课 程 理 念 强 调 学 生 自主 、合 作 、探 究 的 学 习 方 式 ，我 们 的 作 业 批 改 应 该 变 单 一 的评 价 为 多 元 评 价 ，让 学 生 、家 长也 参 与到 作 业 批 改 中来 ，采 用学 生 自评 、小 组 互 评 、教 师 总 评 等 多 元 化 批 改 ，让 学 生通 过 这 样 的 评 价 ，及 时 纠 正 自己 的错 误 ，指 出 别 人 的错 误 ， 并在 作 业 批 改 中学 会 正 确 评 价 Ａ己 与他 人 。 ４．作 业 批 改 手 段 要 多样 化
柯西积分公式课件
§3.3 柯西积分公式
数学系 樊晓香
一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z在闭域D上解析， C为D的边界，则
二、柯西积分公式
定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z在区域D内处处解析，
C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
或
C
f (z) z z0
在C
内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
五、布置作业
课本 P143 10,12.
补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
K z z0
K z z0
而
K
f (z0 ) dz z z0
C f z dz 0
【完整版】柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
（2012 届）
本科毕业论文（设计）
题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
学院：教师教育学院
专业：数学与应用数学（师范）
班级：数学082
学号：
姓名：
指导教师：
完成日期：
教务处制
诚信声明
我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日。
柯西积分公式
f (z)
f (ζ ζ−
z=) 关2π1于i ζ∫C在ζfD(−ζ上z)不dζ解. 析(柯, 西η积C分ζD平公ρ面式•Γz)C−ρ
ζ = z是它在D上的唯一奇点.
D
ξ
0
因区域D是开集，故∀z ∈ D, 可作z 的充分小领域 ζ − z < ρ ,
使其全落在D 内. 记Γρ : ζ − z =ρ，取逆时针方向，
C z − z0
∫ ∫ sin z
sin z
例. 求(1)
d z，(2)
d z.
z =2 z
z−2 =1 z
解. = (1)奇点 z 0在圆域 z < 2内，
f (z) = sin z处处解析，故由柯西积分公式得
∫ sin z d z= 2π i⋅
z =2 z
sin z z=0
= 0.
y z平面
C
0
f (z)dζ
z
.
(∗)
目标：证明
f
(z)
=
1
2π
i
∫C
f
ζ
(ζ )
−z
dζ
.
(柯西积分公式)
故∫C
f
ζ
(ζ ) dζ
−z
− 2π
i
f (z)
= ∫Γρ f (ζζ)
− −
f z
(z) dζ
. (∗)
η
ζ 平面
C
由于f (z)在 z 解析从而连续,
故对任给ε >0, 存在δ (ε) >0, 使得当
处相等. (这是解析函数和调和函数的一个重要特征)
公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出的是解析函数的一个积分表达式.
数学物理方法课件：03第三章 柯西定理,柯西积分
(3) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(4) | f (z)dz | | f (z) |ds max | f (z) | lC
C
C
zC
| dz | ds
曲线 C 的长度
n
n
f ( k )zk | f ( k ) | |zk | 求极限 (4)
k 1
k 1
§3.2 柯西积分定理及其推广
g(z)
f (a z) f (a) 1 f (z)dz
z
2 i
CR (z a)2
1
2 i
dz f (z) [(z a z)1 (z a)1
CR
z
1 (z a)2 ]
z
f (z)
z( ) i ei
z
四
个
C
dz (z a)n
f [z( )] z( )d
a
步
2π i ei dθ
骤
0
nei n
2π 0
e i (1n)
dθ
2
0,
,
n1 n1
积分值与圆周 C 的半径无关
例2：计算 I Re z dz，其中 C 为： y
C
(1) 从 0 到 1+i 的直线段；
i
1 i
➢ 复变函数积分的定义，性质，计算方法 ➢ 利用柯西定理和柯西积分公式计算积分
作业：习题三 4(2), 6, 8, 10, 11, 14
§3.1 复变积分的概念及其简单性质
1.积分的定义
• 有向曲线： 给定起点和终点的曲线
CB
沿有向曲线 C 反向遍历得到曲线 C • 围线：逐段光滑的简单闭曲线
围线的正向(左手法则)：
第三章 第二节 柯西积分定理
因而
C1
f ( z )dz f ( z )dz
C2
z 例1 计算积分 z 1 z 2 dz. 2 解 被积函数f ( z ) z 在z平面除z 2外解析, z2
2
考虑较小的单连通区域 Re z 2,
则函数f ( z)在该区域内解析,
y
C
1 2
而圆周 z 1在该区域内,
分析 由定理3.1
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
由格林公式如果P(x,y), Q(x,y)在D上具有一阶连续 偏导数，则
C
Pdx Qdy (Qx Py )dxdy
D
所以如果有条件“u(x,y), v(x,y)在D上具有一阶 连 续偏导数”就可以直接用格林公式。
所以
D
1
x
C
4 1 i 1 dz |3i i 2 z 3 z
例5 求
C
(2 z 2 sin z )dz 的值. 其中 C 是连接
0 到 2πa 的摆线 : x a( sin ), y a(1 cos ).
解 因为函数f ( z) 2z 2 sin z在z平面内处处解析, 1 3 z cos z为其一个原函数, 3 积分曲线C起点为0, 终点为2 a. 故 2 a
由定理3.9有,
解 (1) ln(1 z)的支点为-1, ; 所以它在圆 z r(0 r 1)上单值解析，
z 1 1
zdz 0.
四、Cauchy积分定理推广到复周线的情形 1.定义3.3 考虑n 1条周线C0 , C1 , C2 , , Cn , 其中
(完整版)柯西定理及其应用
(完整版)柯西定理及其应用柯西定理及其应用柯西定理是分析数学中的一个重要定理，它在复变函数理论中有着广泛的应用。
本文将介绍柯西定理的原理以及它在几个具体问题中的应用。
柯西定理的原理柯西定理是指在复平面上，如果一个函数在一个简单闭合曲线内是全纯的（即在该曲线内的每个点上有定义且可导），那么该函数在这个曲线内的任何一点的复积分都等于零。
具体来说，设函数f(z)在曲线C内是全纯函数，则对于曲线C内任意一点z0，有以下公式成立：∮C f(z)dz = 0其中∮C表示沿曲线C的积分，f(z)dz表示f(z)乘以dz的积分。
柯西定理的应用柯西定理在许多问题的求解中起着关键作用。
下面将介绍其中几个经典的应用。
1. 柯西积分公式柯西积分公式是柯西定理的一个重要推论。
它表明，如果函数f(z)在一个围绕点z0的简单闭合曲线内是全纯的，那么函数f(z)在该曲线内的任意一点z的导数可以通过曲线上的积分来计算。
具体来说，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内是全纯的，那么对于曲线C内任意一点z，有以下公式成立：f^(n)(z0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(z)}{(z -z0)^{n+1}}dz其中f^(n)(z0)表示f(z)在z0处的n阶导数。
2. 柯西积分定理柯西积分定理是柯西定理的另一个重要推论。
它表明，如果函数f(z)在一个简单闭合曲线内是全纯的，那么函数f(z)在该曲线内的积分只取决于曲线C所围成的区域，而与曲线C的具体形状无关。
具体来说，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内是全纯的，那么对于曲线C内的两条等价曲线C'和C''，有以下公式成立：\int_{C'} f(z)dz = \int_{C''} f(z)dz其中C'和C''是等价曲线，即它们由于同一个简单闭合曲线而围成的区域相同。
3. 柯西不等式柯西不等式是柯西定理的一个重要推论。
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
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（2012 届）本科毕业论文（设计）题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用学院：教师教育学院专业：数学与应用数学（师范）班级：数学082学号：姓名：指导教师：完成日期：教务处制诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用王莉莉（嘉兴学院数学与信息工程学院）摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式.关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formulas ofthe Origin and its ApplicationWanglili（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）Abstract:Complex-variable function is a comprehensive university or institute of technology of normal colleges and universities professional required courses. It is real veriables function of the promotion and development of calculus. One cauchy integral theorem and cauchy integral formula is a complex function theory foundation. It is the key of sresearching complex function theory. One of its important contents is the cauchy integral theorem, which says that the integral along a contour of an analytic function is zero. This paper studies the cauchy integral theorem and cauchy integral formula related concepts and prove, promotion and in algebra fundamental theorem of integral proof, in the calculation of the application. It discusses the closely related of the cauchy integral theorem and cauchy complex functions. The famous cauchy integral formula can follows easily from the cauchy integral theorem. Also residue theorem are briefly introduced. Use of residue theorem can get the complex functions respectively cauchy integral theorem and cauchy integral formulas and high derivatives formula.Key words:Complex-variable function;cauchy integral theorem;cauchy integral formula;residue theorem目录1 绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.1.1 复变函数概况 (1)1.1.2 复积分的定义 (2)1.1.3 柯西积分定理的引入 (3)1.2 本文的研究工作 (4)1.3 本文的未来工作 (4)2 柯西积分定理 (5)2.1 柯西积分定理 (5)2.2 柯西积分定理的证明 (5)2.3 柯西积分定理的推广 (6)2.4 柯西积分定理的应用 (9)3 柯西积分公式 (12)3.1 柯西积分公式 (12)3.2 柯西积分公式的证明 (12)3.3 柯西积分公式的推广 (13)3.4 柯西积分公式的应用 (14)4 复变函数积分之间的关系 (18)4.1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 (18)4.2 复变函数积分与留数定理的关系 (19)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索.复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯.柯西建立了复变函数的微分和积分理论.1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理[3].1.1.1 复变函数概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显a ，其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复现出来.复数的一般形式是：bi变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点,它是数学分析在研究领域的扩展.在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点.这样，才能抓住本质，融会贯通.复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数.复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具.由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面.利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明.对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数.黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来.近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质.复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明.导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换.共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用.留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数，它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数.广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数.广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用.因此，近年来这方面的理论发展十分迅速.从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用.1.1.2 复积分的定义复积分是复变函数理论中的最基本的概念之一,和各种实积分相比，复积分的定义看上去比较简单，但复积分却具有十分奇特的性质——柯西积分定理，从这个著名定理出发可以导出许多关于解析函数的重要性质[4].为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均指光滑或逐段光滑曲线，因而是可求长的[1]，曲线通常还要规定其方向，不是闭的曲线的方向，则只须指出它的起点和终点即可．定义1 设有向曲线()t z z C =:，)(βα≤≤t 以()αz a =为起点，()βz b =为终点，()z f 沿C 有定义，在C 上从a 到b 的方向取分点：b z z z z a n n ==-,,,110 ，把曲线C 分成n 个弧段(图1）(图1）在从k z 到1+k z ()n k ,,2,1 =的每一个弧段上任取一点k ζ，作成和数()k n k k n z f S ∆=∑=1ζ，其中1--=∆k k k z z z ()n k ,,2,1 =.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ,则称()z f 沿C （从a 到b ）可积，J 称为()z f 沿C 的积分，记为()dz z f J C ⎰=，C 称为积分路径.同时()dz z f C ⎰表示沿C 的正方向的积分，()dz z f C ⎰-表示沿C 的负方向的积分． 定理1.1.1 若函数()()()y x iv y x u z f ,,+=沿曲线C 连续，则()z f 沿C 可积，且()⎰⎰⎰++-=C CC udy vdx i vdy udx dz z f . （1.1.1.） 公式（1.1.1.）式说明，复变函数积分的计算问题，可以转化为其实、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.1.1.3 柯西积分定理的引入在积分⎰Czdz （C 表连接点a 及b 的任一曲线）中，被积函数()z z f =在单连通区域z 平面上处处解析，它沿连接起点a 与终点b 的任何路径C 的积分值都是相同，即积分与路径无关，或者说沿z 平面上任何闭曲线的积分为零；但在积分()⎰-C n a z dz （C 表示以a 为心，ρ为半径的圆周）中，被积函数()a z z f -=1只以a z =为奇点，即在“z 平面除去一点a ”的非单连通区域内处处解析，但是积分()02≠=-⎰C n i a z dz π，其中C 表圆周0>=-ρa z ，即在此区间内积分与路径有关；积分⎰Czdz Re 中，被积函数()z z f Re =在单连通区域z 平面上处处不解析，而积分值却与连接起点O 与终点i +1的路径有关，即沿z 平面上任何闭曲线的积分，其值不恒为零．我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域D任何闭曲线的积分值是否为零的问题．1825年，柯西肯定地回答了上述问题，得到了著名的柯西积分定理[1].1.2 本文的研究工作柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19世纪最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一，许多重要的性质定理都由它们直接或间接推导出来的.现有的资料中对柯西积分定理的条件进行深层次的挖掘的文献又很少，故在教学过程中，一般都是用复积分的概念来求解，很少有找到简捷方法，考虑到柯西积分定理是复变函数积分的基础，也是连接其它其他学科的枢纽，对其研究具有较强的理论价值和现实意义.柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一，无论对解析函数的理论研究还是它的直接应用,都是非常有意义的.本文研究的问题是柯西积分定理及柯西积分公式的相关知识及证明，他们在代数基本定理、实积分计算和证明中的应用，在收集和整理已有的文献资料的条件下，认真分析了柯西积分定理的相关条件，结合柯西积分公式、留数定理、高阶导数公式进行了比较研究.1.3 未来的研究工作柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，在后面的学习中，通过推广的柯西积分定理，得到了很多重要的定理，在机械、力学、数学物理等方面有着广泛和重要的应用 ,然而对柯西积分定理的条件进行深层次的挖掘的文献又很少，尽管近几十年来理论上得到了不少结果，但通常很繁琐，还有一些其它因素.2 柯西积分定理2.1 柯西积分定理柯西积分定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性质,都是由这个定理派生出来的.下面给出几个定理：定理2.1.1（柯西积分定理） 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 上解析，C 为D 内任一条周线，则()0=⎰dz z f c.定理2.1.2 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一闭曲线（不必是简单的），则()0=⎰dz z f c.引理2.1.3 设()z f 是在单连通区域D 内的解析函数，设C 为D 内的一个多角形的周界，那么()0=⎰dz z f c.推论2.1.4 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则()z f 在D 内的积分与路径无关.即对D 内任意两点0z 与1z ，积分()dz z f z z ⎰10之值，不依赖D 内连接起点0z 与终点1z 的曲线.2.2 柯西积分定理的证明柯西定理是复变函数论中的重要定理之一,教材中有多种证法,大多数是在附加导函数连续的条件下给出的,证明不够严密,为此,讨论了一种取消该附加条件后的证法,过程虽复杂,但证明严密、思路清晰. 1.黎曼证明1851年，黎曼在附加假设“()z f '在D 内连续”的条件下，得到如下的简单证明. 令()()()y x iv y x u z f iy x z ,,,+=+=，由公式()⎰⎰⎰++-=cccudy vdx i vdy udx dz z f ，而()z f '在D 内连续，导致y x y x v v u u ,,,在D 内连续，并适合..R C -方程：.,x y y x v u v u -== 由格林定理，⎰⎰=+=-ccudy vdx vdy udx 0,0，故得()0=⎰dz z f c.2.柯西积分定理的简化证明[5]设C 所围成的区域是0D ，取一个四边平行于坐标轴的矩形，把C 包含在内.用线段连接矩形对边的中点，最多可把0D 分成四块.不妨设分成1D 、E 、F 、G 四块.由于()z f 沿C 的积分等于沿这四块区域边界积分的和，所以必有一块边界上的积分，满足()()⎰⎰≥∂cD dz z f dz z f 411.用同样的方法把1D 分成至多四块，其中必有一块2D 使得()()()⎰⎰⎰≥≥∂∂cD D dz z f dz z f dz z f 2414112.把这种做法一直进行下去，可以得到曲线C 内的一串矩形区域或矩形被曲线C 截得的区域n D ：使得()()⎰⎰≥∂cnD dz z f dz z f n41 （2.2.1）由Cantor 定理可知存在唯一一点0z 属于每个n D 或n D ∂，而且∞→n 时，0z D n →. 因为()z f 在0z 有导数()z f '，所以对任何0>ε，当z 与0z 充分接近时， ()()()()000z z z f z z z f z f -≤'---ε. 因为()00=⎰∂nD dz z f ，()()00='-⎰∂nD dz z f z z ，所以当n 充分大时，()()()()()ds z z ds z f z z z f z f dz z f nnnD D D ⎰⎰⎰∂∂∂-≤'---≤00000ε. (2.2.2)设最大矩形的周长是L .当n 充分大时，对于n D z ∂∈，有n D z z ∂<-0的周长，所以n n n D n D L L Lds L ds z z n n4221220εεεε=⨯≤≤-⎰⎰∂∂，再由式(2.2.2)和式（2.2.1）得()2L dz z f Cε≤⎰因为ε可以是任意正数，所以()0=⎰dz z f C上面通过构造收敛于一点的嵌套子区域序列，并对围绕子区域边界积分的模进行估计，给出了柯西积分定理的一种简捷证明方法.2.3 柯西积分定理的推广1.单周线的柯西积分定理首先，容易证明柯西积分定理2.1.1与下面定理是等价的：定理2.3.1 设C 是一条周线，D 是C 的内部，函数()z f 在闭域C D D +=上解析，则()0=⎰dz z f c.其次，我们还可将定理2.3.1作更进一步的推广.定理2.3.3 设C 是一条周线，D 是C 的内部，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c.2.多围线的柯西积分定理我们从另一个方面推广柯西积分定理，即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域，推广到以多条围线组成的“复围线”为边界的有界多连通区域.定义2.3.2 考虑1+n 条围线n C C C ,,10，其中n C C C ,,10中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在0C 的内部.在0C 的内部同时又在n C C C ,,10外部的点集构成一个有界的多连通区域D ,以n C C C ,,10为它的边界.在这种情况下,我们称区域D 的边界是一条复周线n C C C ,,10,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的n C C C ,,21.换句话说,假如观察者沿复围线C 的正方向绕行时,区域D 的点总在它的左手边（图2.3.1是2=n 的情形）.图 2.3.1定理2.3.4 设D 是复周线---++++=n C C C C C 210所围成的有界1+n 连通区域，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c.或写成 ()()()010=+++⎰⎰⎰--dz z f dz z f dz z f n C C C （2.3.1）或写成()()()dz z f dz z f dz z f nC C C ⎰⎰⎰++= 1（2.3.2）（沿外边界积分等于沿内边界积分之和）注：定理2.3.4中的复周线换成单周线就是定理2.3.3.所以定理2.3.3是定理2.3.4的推广.证：取1+n 条互不相交且全在D 内(端点除外)的光滑弧n L L L L ,,,210作为割线.用它们顺次的与n C C C ,,21连接.设想将D 沿割线割破,于是D 就被分成两个单连通区域(如图2.3.1是2=n 的情形),其边界各是一条围线,分别记为1Γ和2Γ.而由定理2.3.3,我们有()()0,021==⎰⎰ΓΓdz z f dz z f将这两个等式想加,并注意到沿着n L L L L ,,,210的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质就得到()0=⎰dz z f c.从而有(2.3.1)和(2.3.2). 3.∞处的柯西积分定理[6]定理2.3.5 如果()z f 在00r z z >-内解析，并且()A z zf z =∞→lim ,那么对任何正数0r r >，有()⎰=rK A dz z f i π21，在这里r K 是按反时针方向选取的.证明：对任意的1r K ，2r K ()021,r r r >由定理2.3.4知()()dz z f i dz z f i r r K K ⎰⎰=212121ππ 这表明()dz z f i r K ⎰π21是一个常数，当然就有 ()()dz z f i dz z f i rr K r K ⎰⎰∞→=ππ21lim 21. 下面就来证明()A dz z f i r K r =⎰∞→π21lim.()()dz zAz zf i A dz z f i r r K K ⎰⎰-=-ππ2121,因为()A z zf z =∞→lim ,对于0>∀ε，M ∃，可选择使0r M >使得当M z >时有()ε<-A z zf ,那么对于上述给定的,0>ε当M z r +>0时，()zz A z zf ε<-. 将其代入()dz zAz zf i r K ⎰-π21中，可以得到()επεπεππ=<<-⎰⎰002212121r r ds zdz z A z zf i rr K K . 这说明()A dz z f i r K r =⎰∞→π21lim，那么()A dz z f ir K =⎰π21，所以结论成立. 2.4 柯西积分定理的应用1.周线上的复积分的计算柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具.例1：计算⎰++C z z dz222，其中C 为单位圆周1=z解：1=z 是()2212++=z z z f 的解析区域的一闭曲线，由柯西积分定理有0222=++⎰C z z dz注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西积分定理很简单. 例2：计算dz zz z C⎰--212的值，其中C 为含圆周2=z 的任何正向简单闭曲线. 解：dz z z dz z z z C C⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--111122， 分别以0=z ，1=z 为心做两完全含于C 内且互不相交的圆周1C ，2C ，则有dz z z dz z z dz z z z C C C⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--21111111122 dz z dz z dz z dz z C C C C ⎰⎰⎰⎰-++-+=2211111111i i ππ2002+++= i π4=例3：由积分⎰+=c z dzI 3()1:=z c 值，求周线上复积分的几种算法θθθπd ⎰++0cos 610cos 31的值. 解：因为符合柯西积分定理的条件，则有03=+⎰c z dz令)(,sin cos ππ≤≤-+=q q i q zdq q i q q i q z dzI c ⎰⎰-+++-=+=ππ3sin cos cos sin 3()()()()()⎰⎰⎰⎰----++++-=+++-=-+++-++-=ππππππππdq qq dq q q dq q q i q dq q i q q i q q i q q i q cos 610cos 31cos 610sin 3cos 610cos 31sin 3sin 3cos sin 3cos sin 3cos cos sin⎰-=+-=ππθθθ0cos 610sin 31d I0cos 610cos 312cos 610cos 3102=++=++=⎰⎰-θθθθθθπππd i d i I所以0cos 610cos 310=++⎰θθθπd .从例3我们可以看出,如果按照常规方法，用万能公式代换的话，将变得相当复杂，而柯西积分定理却避免了这种复杂性，使得解题思路清晰，解题过程简洁明了，很大程度上提高了解题效率，是求这类问题的好办法. 2.∞处柯西积分定理的举例 例4.计算积分dz z z ⎰=-2411.解：因为函数()z f 在2≥z 上解析，并且有01lim4=-∞→z zz ，所以由定理2.3.5知01124=-⎰=dz z z .注：如果用柯西积分公式计算会复杂很多. 3.证明代数基本定理[10]代数基本定理是高等代数中一个重要定理，用纯粹代数的方法是不容易证明的，因此，一般的高等代数的教材中都没有给出其证明.但从复变函数论的教材中，得到几种新的定理证明.首先，给出如下几个定理(代数基本定理) 在z 平面上，n 次多项式()nn na za z a z p +++=- 110()00≠a 至少有一个零点.下面分别用两种方法证明.证明：(反证法--应用柯西积分定理） 假设()z p n 在复平面C 上没有零点，则()()()z p z p z f '=在C 上解析，则由Cauchy 积分定理知，对0>∀R , ()0=⎰Γdz z f (2.4.1)其中{}R z z ==Γ()0=Γdz z f ，其中{}R z z ==Γ （2.4.2）同时若设{}i a M max =，则当R 充分大时有： n i ≤≤0()nMR a nMnMR R a nMR z n z f n n n -=-≤--+-201101 因此()mi zndz z f π2lim lim==⎰⎰ΓΓ与(2.4.1)式矛盾， ∞→R 即假设错误，定理得证.3 柯西积分公式3.1 柯西积分公式柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是研究解析函数的重要工具．由柯西积分公式，我们可以从解析函数的边界C 上的值推出它在C 内部的一切值，它反映出解析函数的特性,是解析函数论中最基本的公式．定理3.1.1 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()z f 在D 内解析，在CD D +=上连续，则有()()ξξξπd zf i z f c ⎰-=21 ()D z ∈.此式反映了解析函数值之间很强的内在联系：()z f 在曲线C 内任一点0z 的值()0z f 可以由()z f 在边界曲线C 上的值来决定，而实函数却不具有此性质.定义3.1.2()()c z d zf i c ∉-⎰021ξξξπ上式称为柯西积分，且有()()⎩⎨⎧=-⎰02100z f d z f i c ξξξπ D z D z ∉∈00 3.2 柯西积分公式的证明证明：对于任意固定一点D z ∈，则函数()()zf F -=ζζζ作为ζ的函数在D 内除点z 外解析．现以点z 为心，充分小的0>ρ为半径作圆周ργ，使D ∈ργ．对于复围线-+=ΓργC 及函数()ζF ，应用定理2.3.4的（2.3.1）式，得()()⎰⎰-=-ργζζζζd z z f d z z f C而前面我们已经知道()⎰=-ργπζζi d z z f 2因此()()()()⎰⎰--=--ργπζζζπζζζz if d z f z if d z f C 22 ()()()()⎰⎰⎰--=---=ρργγζζζζζζζζζd zz f f d z f d z f C又根据()ζf 的连续性知对0,0>∀>∀δε，只要δρζ<=-z 时，就有()()πεζ2<-z f f ()p γε∈ 于是由定理3.2知()()()()⎰⎰--=--ργζζζπζζζd zz f f z if d z f C 2επρπρε=⋅22 由ε的任意性即知，有()()⎰=-C z if d z f πζζζ2 （D z ∈）故有 ()()⎰-=C d zf i z f ζζζπ21. 3.3 柯西积分公式的推广1.高阶导数公式由柯西积分公式在积分号下求导数,可推测并能证明下面的高阶导数公式.定理3.3.1 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()z f 在D 内解析，在CD D +=上连续，函数()z f 在区域D 内有各阶导数，并且有()()()()ξξξπd z f i n z f c n n ⎰+-=12! ()D z ∈. 这是一个用解析函数()z f 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式. 由定理3.3.1，我们可得到解析函数的无穷可微性：定理3.3.2 设()z f 在区域D 内解析，则()z f 在D 内具有各阶导数，并且它们也都在D 内解析．注：定理3.3.2说明，只要()z f 在区域D 内解析，（仅假设()z f '在D 内存在），就可推出()z f 的各阶导数在D 内存在且连续，而在数学分析中，由()z f '在[]b a ,上存在且连续，还不能推出()z f ''在[]b a ,上存在，这就是复变函数较之实变函数优越的地方． 2.∞处的柯西积分公式[6]定理 3.3.3 如果函数()z f 在简单闭曲线C 的外区域D 内及C 上每一点解析，并且()a z f z =∞→lim ，那么()()⎩⎨⎧+-=-⎰a a z f d z f i C ζζζπ21 ， D z D z ∉∈这里C 的积分是按照反时针方向选取的. 3.0z 在积分路径C 上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要求被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分定理或柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能用柯西积分定理或柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．定理3.3.4 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，且在C 上f 满足Holder 条件，即()()()10,2121<≤-≤-ααz z K z f z f ，则有()()dz z z z f i z f C ⎰-=002121π，（C z ∈0） 3.4 柯西积分公式的应用柯西积分公式较柯西积分定理的高级之处在于它可以解决积分曲线内有被积函数的奇点且被积函数不是特殊函数的积分问题，它提供了一种计算积分的方法，更重要的是通过柯西积分公式可以把对解析函数的研究化为对柯西积分的研究． 下面举例说明柯西积分公式公式在积分计算中的应用. 例1：求()()ζζζζd i C⎰+-29，其中C 为圆周2=ζ分析：函数()29ζζζ-=f 在2≤ζ内解析，()()()i z i f g +-=--=29ζζζζζ在2≤ζ内有唯一奇点i -=ζ. 可以应用柯西积分公式求解.解：i -±=,3ζ是奇点，但是只有i -=ζ在圆周2=ζ内，且()29ζζζ-=f 在2≤ζ内解析，所以()()()59299222πζζπζζζζζζζζζ=-=---=+--=⎰⎰iC C i d i d i例2：求积分dz z zC⎰-1cos 2，其中C 为圆周：2=z 分析：1±=z 是被积函数的奇点,且都在C 的内部,不能直接套用柯西积分公式，可以分别应用因式分解和复围线的柯西定理,将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形,然后再用柯西积分公式进行求解.解法1：先将被积函数分解为部分分式,再应用柯西积分公式.[]0cos 2cos 2211cos 1cos 211cos 112=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--==⎰⎰⎰z z C C Cz i z i dz z z dz z z dz z z ππ 解法2：分别以1,1-==z z 为圆心, ()1<R R 为半径作小圆1C ,2C ,使1C ，2C 互不相交且都在2=z 的内部.此时,被积函数()1cos 2-=z zz g 在1C ,2C 内都只有1个奇点,应用复围线的柯西定理有⎰⎰⎰-+-=-121cos 1cos 1cos 222C C Cdz z zdz z z dz z z 再由柯西积分公式，得01cos 21cos 211cos 11cos 1cos 11212=-++=+-+-+=--==⎰⎰⎰z z C C Cz ziz zi dz z z z dz z z z dz z zππ例3：计算积分()dz z z I z ⎰=--=314321分析：()()4321-=z z z f 的两个奇点0=z ，2=z 都在31=-z 内，而()z f 的分母的次数大于2次，用高阶导数公式计算.解：在31=-z 内作互不相交互不包含的周线1C ,2C ，使分别包含0和2，由柯西积分定理和高阶导数公式，有 ()()⎰⎰-+-=21434322C C z z dzz z dz I ()!3221!2204i z i z ππ+"⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==()3231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z 0165165=-=ii ππ 例4：计算积分()()()dz z z z i C ⎰---9931121 π,其中98:=z C分析：()()()()99311---=z z z z f 有50个奇点，如果用柯西积分公式计算会很麻烦，所以用∞处的柯西积分公式简便. 解：因为函数()()()()97311---=z z z z f 在98≥z 解析，并且()0lim =∞→z f z ，所以根据定理3.3.3可以得到：()()()()()()492!4919909999219931121⨯-=-=+-=-=---⎰⎰f f d f i dz z z z i C C ζζζππ .例5：计算积分：dx xx⎰+∞sin . 分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化 为复数，利用定理3.3.4来求解就简单多了． 解：⎰⎰⎰⎰+-∞→+-∞→∞+∞-∞+===R R ixR R R R dx x e i dx x x dx x x dx x x lim 21sin lim 21sin 21sin 0设()ize zf =，()z f 满足Holder 条件，且()zz f 的奇点0=z 在积分路径上，由定理3.3.4得()i z f i dz z e dx x e R izRR ix ππ==+⎰⎰Γ+-220 由约当引理知0=⎰ΓRdz ze iz， 所以221lim 21sin 0ππ=⨯==⎰⎰+-∞→∞+i i dx x e i dx x x R R ix R . 例6：计算积分：()dz z z e Cz⎰-31 其中C 是不通过点0，1的周线． 分析：依题意积分路径C 有3中情形，（I ）1,0=z 都在C 的外部；（II ）0=z 在C 的内部，而1=z 在C 的外部；（III ）1=z 在C 的内部，而0=z 在C 的外部；（IV ）1,0=z 都在C 的内部.面根据分析的四中情况分别求出其积分值．解：（i)若1,0=z 都在C 的外部，则被积函数()()31z z e z F z -=在以C 为边界的闭域D 上解。