高中数学(人教A版)解三角形-面积问题.ppt

自测自评
1．在△ABC中，AB＝ 3 ，AC＝1，A＝60°，则
3 S△ABC＝____4____.
2．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64 3 ，
则c＝___1_6____.
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积
S△ABC＝
3 2
，则边BC的长为____3____．
2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转 化为方程组是复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式 子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．
3．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚 至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公 式列式．
4．若试题有单位，回答时要注意书写．
解三角形
1.2.3 面积问题
运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解 决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的推导和 简单应用．
基础梳理
1．三角形面积：△ABC 中用a和BC边上的高h表示三角 形面积的公式为______________．
练习1：△ABC 中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC 面积为________．
∴tan A＝tan (45°＋60°)＝11－＋
3＝－2－ 3
3.
又 sin A＝sin 105°＝sin (45°＋60°)
＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝
2＋ 4
6 .
∴ S△ABC＝12AC·ABsin A
＝12×2×3×
2＋ 4
6＝34(
2＋
6)．
法二：∵sin A＋cos A＝ 22，① ∴(sin A＋cos A)2＝12. ∴2sin Acos A＝－12. ∵0°＜A＜180°，∴sin A＞0，cos A＜0. ∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝32，
∴sin A－cos A＝ 26.②
①＋②得：sin A＝
2＋ 4
6，
①－②得：cos A＝
2－ 4
6 .
∴tan A＝csoins AA＝－2－ 3.
(以下同法一)
跟踪训练
3．若AB＝2，AC＝ 2 BC，则S△ABC的最大值是
________．
解析：设 BC＝x，则 AC＝ 2x.根据三角形面积公式得：
S△ABC＝12AB·BCsin B＝x 1－cos2B，
根据余弦定理得
cos B＝AB2＋2ABBC·B2－C AC2＝4＋x42－x 2x2＝4－4xx2，
代入上式得 S△ABC＝x
1－4－4xx22
＝
128－x2－122
16
.
2x＋x＞2
由三角形三边关系有
，解得
x＋2＞ 2x
2 2－2＜x＜2 2＋2.故当 x＝2 3时取得 S△ABC 最大值 2 2. 答案：2 2
三角变换与三角形面积公式的综合应用
在△ABC中，sin A＋cos A＝
2 2
，AC＝2，AB＝3，
求tan A的值和△ABC的面积．
解析：法一： ∵sin A＋cos A＝ 2cos (A－45°)＝ 22，
∴cos (A－45°)＝12.又 0°＜A＜180°.
∴A－45°＝60°，A＝105°.
Hale Waihona Puke Baidu
跟踪训练
2．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝ 6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
解析：因为 ABCD 是圆内接四边形，所以 A＋C＝180°， 所以 cos A＋cos C＝0，由余弦定理得： BD＝2 7，cos A＝－12， ∵0＜A＜π，∴A＝23π，C＝π3，S△ABD＝2 3， S△BCD＝6 3. ∴四边形 ABCD 面积为 8 3.
3．△ABC 中，A 与 B＋C 互补，A2与B＋2 C互余，所以 sin(B＋C)＝__________，cos(B＋C)＝__________， sinB＋2 C＝__________，cosB＋2 C＝__________.
练 练习 习 22： ：解 解析 析： ：由 由三 三角 角形 形面 面积 积公 公式 式知 知 SS＝ ＝1212bbccssiinn AA＝ ＝33.. 答 答案 案： ：33 33． ．ssiinn AA － －ccooss AA ccoossAA22 ssiinnAA22
解析：由余弦定理得：
b2＝c2＋a2－2accos B，
所以(a＋c)2－ac＝13，ac＝3，所以三角形ABC 的面积为
S＝ 1 acsin 120°＝ 3 3 .
2
4
余弦定理与三角形面积公式的综合应用
已知三边的长分别为a＝2 cm，b＝3 cm，c＝4 cm，求三角形的面积S.
解析：根据余弦定理得： cos B＝c2＋2ac2a－b2＝422＋×242×－232＝1116， sin B＝ 1－cos2B＝3 1615， S＝12acsin B，得： S＝12×2×4×3 1615＝3 415(cm2)．
c＝bssiinnBC，S＝12bcsin A＝12b2sinsCinsBin A，
B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，
S＝12×42×sin
45°sin 75° sin 60°
＝43＋3 3(cm2)．
跟踪训练
1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
若B＝120°，b＝ 13 ，a＋c＝4，求△ABC的面积．
4．设Rt△ABC的两直角边长为a，b，则它的内切圆 半径r＝______.
5．设△ABC的周长为2p，内切圆半径为r，则 △ABC的面积＝________.
6．S＝
1 2
absin
C＝________＝________.
答案：4.12(a＋b－ a2＋b2)
5．pr
1
1
6.2acsin B 2bcsin A
祝
您
一、选择填空题
1．在△ABC中，a＝ 3 ， b＝ 2 ，C＝45°，则
三角形的面积为( )
A.
3 2
B. 3
C.
6 2
D. 6
解析：S△ABC＝12absin C＝12
3×
2×
22＝
3 2.
答案：A
2．在△ABC中，a＝5，c＝7，C＝120°，则三角形 的面积为( )
15
15
A. 2
B. 4
2．△ABC中用a、b和角C表示三角形面积的公式为
______________．
答案：1．S＝
1 2
ah
练习1：解析：由已知易得出BC边上的高为4，
所以S＝
1 2
×6×4＝12.
答案：12
2．S＝
1 2
absin
C
练习2：△ABC中，已知A＝30°，b＝4，c＝3，则 △ABC面积为________．
15 3
15 3
C. 4
D. 2
解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，即
72＝52＋b2＋5b，
∴b＝3或b＝－8(舍去)，
∴S△ABC＝
1 absin C＝
2
15 3 4
.
答案：C
1.求三角形的面积的问题，先观察已知什么？尚缺什么？ 用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形 的面积．
三角形面积公式及正弦定理应用
在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.
(1)已知a＝4 cm，c＝5 cm，B＝30°；
(2)已知A＝75°，C＝45°，b＝4 cm.
解析：(1)依题意，三角形的面积 S＝12acsin B，
得：S＝12×4×5×sin 30°＝5(cm2)．
(2)根据正弦定理sinb B＝sinc C，