因式分解在初中数学竞赛中的应用_王盛裕

b !" 的值 , 只能猜想 a ! !" b 之间有一种内在的 联系, 通过作差构造新的多项式 , 分解因式后 找到它们之 间的关系 ) 决了未知多项式的求值. 解 注意 到 ,
a, (b + " 一 (a + e ) ) 6,
是等值的, 从而解
x , 一 l 二(x , + x + l) (:2 + z: + 4 ) 二+ 的所 有 实根. = 4]
之和为 1,证明 : 这三个分数的值有两个为 1,
一个 为 一1.
练 习 题
1. 已知 a ! !" 6 不全 为零 , 满足
a + b + e = o , a 3 + 6 3 + e3 = 0 .
(20 7 , 北京市中学生数学竞赛(初二 )) 0 提示:参见本刊 20 8 年第 1 期. 0
参考 文献 :
+ 少= 3 x + 4 ,
(2 11, 青少年数学国际城市邀请赛) 0
= 分析 >解高次方程最基本 的方法是转
化 为低 次方程 求 解 , 即化 为一 元 一 次 方 程 或
一元二次方程来处理.而因式分解是实现这 种转 化最 有力 的工 具. 高 次 多项 式 分 解 的 方
法首 选试 根法 (综 合 除法 ).此 题 将方 程 整 理 成f x ( ) = O 后 发现 ,其 各 项系数 均 为正 , 如 有 有理 数根 必为负根 ,最 高 项 系数 为 1 , 常 数 项
= 4 0 17 .
a, ( b + " 二 (a + " 二 0 10 , 且 a 笋6. ) 6, ) 2 则 e, (a + 6 ) = . [, ]
= 评注 >对于一元的高次多项式分解问
题 , 通常采用综合除法或试根的方法进行尝
试 , 发现 : 一 ! 一 ! 一 的 因式 是 根据 已知 2 y 2 : 2
中 等 数 学
因式分解在初 中数学竞赛 中的应 用
王 盛 裕
( 浙江 省宁波市惠贞书院 , 3 150 6 1 )
中圈分类号 :0 2 .1 1
文献标识码: A
文章编号 : 10 5 一 16 20 3 )0 - 仪 2 一 0 4 6 ( l 2 X) 0 4
(本讲适合初 中)
l
一
任
+ 万~+ )
x 4 + 3 x 3 + 6 x2 + 7 x + 3 二0 .
易知 ,x = 一 是方 程 的一个 解. 1 故 x4 + 3x, + 6x 2 + 7x + 3
赛)
解 由题 意 知
= (二+ 川 二 + Zx , + 4 二+ 3 ) ,
= (二+ l ) .(二 + : + 3 ) = 0. ,
r少 2 = 一 + 肠 + 2 = 一(二一 )(二+ l) ., 一 x, 2 {z 一 = 一 + 勿+4 = 一 了 2)() + l)2 y 2 . 2( 一 , tx 一 = 一. + 9 + 6 二一 一 )(: + l)名 2 z 3 z 3(: 2 . 以上 三式 相乘得
(x 一 ) (少一2 )(z 一 ) 2 2
的 多项 式 因式 分解 问 题 , 通 常 采 用 选择 主元
n (n + l ) (n + 2 ) (n + 3 ) + l = (n, + 3 n ) (n , + 3n + 2 ) + l
二(n, + 3 n )2 + 2 (n, + 3n ) + l = ( n, + 3n + l ) .. 所 以 ,k = 3 .
注 到# =( 合 替# # 意 , .,, 二 ).# "
所 以 , 方程有 唯一 的实根 一1.
例6
求方 程组
2013 年第 2 期
将
" a" (" " 人 式 =粤 一 + ),代 上 得
J
(2以 我爱数学初中生夏令营数学竞赛) 万,
提示 :参见本刊 20 7 年第 1 期. 0 , 3.设 "!6 ! " 是三个质数, 且满足 ab "二 (a + 6 + e). 5 则这三个数从小到大依次是_
修 回 日 : 12 一 一15 期 20 11
劝 6+ e二 或 " a =0 或 a + b =0 0 + 井 a ! !"中至少有 两个 数互 为相反 数. b
不 妨设 a + 6 二 . 0
收稿 日 : 1 一 一 期2 2 的 0 0 3
2013 年第 2 期
则 (土+李+上 .二 )./ .=去 )./ (上
20 11( 12 ).
(2( 7 , 四川省初中数学联赛决赛 (初 二) ) ) X 提 示 :参见 本刊 2 0 8 年第 1 期.
- "力 性 -/一 一 丁 = 一 甲丁 的解是 百 一 7 ! 一 ~ 压不下 3x 一一
- 劣一11 V 劣+ 0
7 8 2以 年全国初 中数学联赛 1 2 5 刃 J .中等数学 ,2( 为(7 ) . X = 2 20 0 年全国初 中数学竞赛天津赛区预赛 =J 2 6 1 .中等数
二(a 一 ) (ab + be + ea ) = O # b 又 a 护b , 则 ab + 6e + ea = O #
故 " (a + 6 ) 一6, ( "+ " , ) = ( "一b ) (a6 + be + ea ) = 0 # 因此 , "(a + 6) = 6, (a + " = 2 0 10 . , ) 例4 设 实数 x ! ! 同时满足 y :
的方法 , 按照主元 a 降幂排列 , 一般可顺利找
到 因式 分解 的方法 .
解 由题 设知
(6 + " + ( b + " .a + 6e (6 + " = o )a, ) ) 井 (b + e)( e + a ) (a + 6 ) 二 0
2
确 定恒 等式成 立的 个数
例2 已知 a ! ! 1 R ,且 6 e
(20 0 , 我 爱 数 学 初 中 生 夏 令 营 数 学 竞 1
赛)
= 分析 >给出的条件等式与求值代数式
结构Leabharlann Baidu一致 , 根据 已知条 件 等式 又 无法 确 定 a !
条件和所求代数式的整体结构的分析后得到
的正确 判 断 , 是 解 题 经 验 的 积 累 和 试 验 的 结 果.
4 解方 程 (组 ) 例5 求方程
U
l
l
C
l
因式分解是初 中数学的基础 , 在代数式
的恒等变 形 !化 简 !求 值 !证 明 以及 解方 程
一a + 6 + e .
则存在 整 数 无 使 下 列 等 式 成 立 的 有 ,
个.
+
(组) ! 等式 ! 不 整数问题甚至某些几何问题
中都有着广泛的应用.本文通过具体实例分 类介绍.
一 "
一 2 十 e k 1 l
+
1
1
l
+ 瓜下 下
二 石气五 乒 万
+
l
1
求恒等式 中的待定系数 例1 当 n 为任意实数 ! 为某一特定整 k
+ 丁 T 篇,
b/ 0
eZ +1 一a Z 十 + bZ +I + eZ + 1 k k 1 k k
l
数时 , 等式
n (n + I) (n + 2 )(n + 3) + l 二( " + k + l) . , n 成立. 则 k 二 .川
为 3 , 若有 有理 数根 只能是 一1 或 一 . 3 解 原 方程 可化 为
2尹+:= 6了 +6,
3 23 + x = 9 2 + 8 .
试 求 2 0 8 (二一l ) . + 2 0 9 (y 一l ) . + 20 10 (z 一 ) . 的值. [, 1 2 ( 首届 青 少 年 数 学 周 ( 宗 沪 杯 ) 数 学 竞
\ a o c / \ C I C一
二一 一 6(x 2)(, 一 2)(z一 2)(x + l), (, + l), (:+ l)2 劝 (x 一 ) (y 一2 )(: 一 ) # 2 2
故式 ¹ 成立.
同理 , 式 º也成立, 而式 » ! 不成立. ¼
从 而 , 等 式成立 的个数 为 2 .
从而 ,满足条件的直角三角形有三个.
= 评注 > 形如
舒 + a + 叮 + a, 二(x + a ) (y + a ) x
5.已知 a ! !"是实数.若 b
6 2 + e Z 一a Z Z be ! eZ + a Z 一b Z Z ea ! a Z + b Z 一eZ Za b
及其他的各种变形和推广形式在解决与整数 相 关 问题 中的应 用 , 确 实也 是 解 决 整 数 问题 的锐利武器.
» (上+李+工 二几 石+ ).\ 口 U C I
尹 一 l
c1 一 k Z
+
¼夸+去+
a 口
k z c1 一
一a Zk + b Z几+ e Zk .
(2 10 , 太原市初中数学竞赛) 0
(2 1 , 全 国高 中数学联 赛新疆 维吾尔 0 0 自 治区预赛 )
=分析 >因为题设等式左边是多项式, 右
边是乘积的形 式, 所 以, 只需将左边 分解 因
=分析 >本题的条件等式是一个分式等
式 , 比较 复 杂.如何 让字母 a ! !"的关 系更 加 b
式.而因式分解选用的方法是运用整体思想
和完全 平方 公式 来处理. 解 注 意到 ,
简洁明了, 是解决本题的关键.先将条件等式 去分母 整理 成f a , 6 , " 二0 的形式 , 再将 ( ) ( f a ,b, " )因式分解 即可.对 于字母个数较多
因为 a ! 均为正整数 ,所以 ,不妨设 a < 友 b 解得
(a ,6 ,e ) 二 ,解 ,2 ) , (8 ,15 ,17 ) , (9 ,12 , 15 ). (7 5
4.振石丽万 + 沁" 1 一 4涯的 是 值
(20 9 , 北京市中学生数学竞赛复赛 (高 0
一)) 提 示 :参见本 刊 20 r 年第 5 期. o
= 2 2 r 我爱数学初中生夏令营数学竞赛 =J . 中等数 2 0 o ]
学 , 20 10 ( 11 ).
= ] 3
首届青 少年数学 周 (宗 沪杯 )数 学 竞赛 =J 2 中等数 .
学 , 2仪为(4 ).
7 8 2 1 青少年 数学 国际城 市 邀请 赛 =J . 中等数 学 , 4 0 ]
学 , 20 10 (6 ).
中
等
数
学
数 学 竞 赛 的 此 泥 主宝 典
天津 师范大 学 ! 津 市数 学 学会 !中 国数 学会 普及 工作委 员会主 办 天 . 针 对性 强 :全 国唯一专 门从 事数 学竞赛 辅导 ! 指导 的刊物 . 权 威性 高 :与权 威机构 联合 主办 , 全 国著 名 奥赛专 家亲 自撰稿
+ 62
2
, 二 ! " 李(" !
一 气厂口 力( 口 + b , + 口
3
+ Za b
+ bZ
整理 得
a6 一 (a + b ) + 18 二 6 0 幼 (a 一 )( 6 一 ) 二 二 x ls 二 x 9 二 x 6. 6 6 18 1 2 3
(加r ,全国高中数学联赛陕西赛区预赛) o 提示 : 参见本刊 20 0 年第 7 期. 1
=1 8 2 1 年 太原 市 初 中数 学竞 赛 =J . 中等 数学 , 2 1 0 0 ] 0 0
(1 ). 2
称使得 矿 + 扩+ c 二 恒成立的正整数 n 为 n 0 /好 数 0. 则不 超 过 2 0 7 的正 整 数 中好 数 的 个 数为 ( ).
(A )2 (C )2 ( 6 ) X (B ) l 5 , X> 4 (D )2 ( 7 ) X
3 求代数 式 的值 例3 已知
[l + 6 (x + l).(了 l) .(: + l) .卜 " +
劝 (x 一 )(y 一 )(: 一 ) 二 . 2 2 2 0
不 失一般 性 ,令 x 一 二 2 0 .
依次代人 已知等式知 y = : = 2 .
故 2 叨8 (卜 一. +2 姗 (, 一 + 2 010 (:一 . ) 1). 2)
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