2015年考研数学真题答案(数一)

n 1
an x 1
n
的条件收敛点，进而得
an x 1
n 1
n
的收敛半径为
1，收敛区间为
0,2 ，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
nan x 1 的收敛区间仍为
n 1
n
因而 x 0,2 ，
3与 x
3 依次为幂级数
n 1
nan x 1
n
的收敛
点、发散点 . 4 、设 D 是第一象限中曲线 在 D 上连续，则
2
1 a ，b a
2
5 、设矩阵 A
1Baidu Nhomakorabea1
，若集合
{ 1,2} ，则线性方程组
Ax
b 有无穷多个
解的充分必要条件为 （ A） （ C）
a a
,d ,d
（B ） （D ）
a a
,d ,d
【答案】 (D) 【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★
1 1
【详解】
1 a a
2
1 d d
2
1 0 0 3
（ B） 3 （ C） -5
2, EY
1, DX
3, 则 E X X
Y
2
（ D） 5
【难易度】★★★ 【详解】
2 2
E X X
Y
2
E X D X
XY E
2
2X
E X
E XY 2E X
2E X 5
X
E X E Y
二、填空题： 9 ～ 14 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 . 请将答案写在答题纸 ．．． 指定位置上 . 9 、 lim
1 得， 2 r cos sin
2
1, r
由 4 xy
1 得， 4 r cos sin
2
1, r
1 2sin 2
2
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
1 3 4 sin 2 1 2sin 2
所以
D
f ( x, y )dxdy
1 1 2 4
d
f (r cos , r sin ) rdr
1 d d
Y
0)
.
1 2
( X , Y ) ~ N (1,0,1,1,0)， 0
X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X , Y 独立 P ( X 1)Y 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
X 1~ N (0,1) ， P XY Y
P X 1 0, Y
0
P X 1 0， Y
0
6
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
x
x0 ，
因 此， S
1 2
AB
f ( x0 )
1 f ( x0 ) 2 f ( x0 )
f ( x0 )
4 .即 满足 微 分 方程 ：
y y
2
1 8
，解 得：
1 y
1 8
x
c. 1 2 8 4
2
又因 y (0)
2 ，所以 c
，故 y
x
.
17、 （本题满分 10 分） 已知函数 导数 . 【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★ 【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模 故 .，
D 1 1
2 xy
1,4 xy
1 与直线 y
x, y
3 x 围成的平面区域， 函数 f ( x, y)
f ( x, y )dxdy
（ A）
2 4
d
sin 2 1 2sin 2 1
f ( r cos , r sin )rdr
（ B）
2 4
d
sin 2 1 2sin 2 1
f ( r cos , r sin ) rdr
f ( x) 的图形可知，曲线 1 3
y
f ( x) 存在两个拐点，故选
(C).
2 、设 y 则（） （ A） a （ C） a
1 2
e
2x
x
e 是二阶常系数非齐次线性微分方程
x
y
ay
by ce 的一个特解，
x
3, b 3, b
1, c 2, c 1.
1.
（ B） a （ D） a
3, b 3, b
1 1 0
1 a 1 a 1 a 2 d d
1 1 2 1 d
A, b
1 2 1 4
Ax a
b 有无穷多解 1或 a 2且 d
R( A ) 1或 d
R( A, b ) 2
6 、设二次型
f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x
Py 下的标准形为 2 y1
2
y2
2
y3 ，其中 Qy 下的标准形为
（ C）
3 4
d
sin 2 1 2sin 2
f ( r cos , r sin )dr
（D ）
3 4
d
sin 2 1 2sin 2
f ( r cos , r sin )dr
【答案】 (D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由
y
x 得，
4
；由 y
3 x 得， 1 sin 2
3
由 2 xy
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题 :1 ～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．． 指定位置上 . 1 、设函数 f ( x) 在 （拐点个数为（）
.
[ u( x) v( x)]'= u '( x)v( x)
( Ⅱ ) 设函数
u1 ( x), u2 ( x )...un ( x) 可导， f ( x)
P( AB)
【答案】 (C) 【考点】 【难易度】★★ 【详解】
P ( A) P( A)
P( AB ), P( B ) P( B) P ( A) 2 2 P( AB ) P ( B)
P ( AB)
P ( AB)
（ C） 故选
8 、设随机变量 （ A） -3 【答案】 (D) 【考点】
X, Y 不相关，且 EX
n
3 、若级数
n 1
a n 条件收敛，则 x
3与 x
3 依次为幂级数
n 1
nan x 1 的：
（ A）收敛点，收敛点 （ C）发散点，收敛点 【答案】 (B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
n 1
（ B）收敛点，发散点 （ D）发散点，发散点
an 条 件 收 敛 ， 故 x
2 为幂级 数
2
P
(e 1, e 2, e 3 ) ，若 Q 2 y1 2 y1
2
(e 1, e 3 , e2 ) ，则 f ( x 1 , x2 , x3 ) 在正交变换 x
（ B） 2 y1 （ D） 2 y1
2
（ A） （ C）
y2 y2
2
y3 y3
2
y2 y2
2
y3 y3
2
2
2
2
2
2
2
【答案】 (A) 【考点】二次型 【难易度】★★
3z) dxdydz
【答案】
【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】 由轮换对称性，得
dx dy zdx dydz = 6 ò zdz òò ( x + 2y + 3z) dxdydz = 6 òòò òòò
0 W W Dz
1
5
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其中 Dz 为平面
3
0 是等价无穷小，
a ， b ， k 值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★ 【详解】
f (x)
x
a ln(1
x)
bx sin x
x a x
x
2
x
3
2
a 2
3
3
b x
2
x
3
bx x
x
3
3!
3
x
3
1 a x
a 3
x
3
x
f ( x) 与 g ( x)
kx 是等价无穷小
1+a 0 a b 0 2 a k 3
x
ln cos x x
2
0
【答案】
1 2
【考点】极限的计算
4
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【难易度】★★
【详解】
lim
x
ln cos x x
2
0
lim
x
ln(1 cos x 1) x
2
0
lim
x
cos x 1 x
2
0
lim
x
0
1 2 x 2 2 x
1 2
2
10、
-
(
sin x 1 cos x
2 2 2
-1 2 0
13、 n 阶行列式
n 1
0 0
0
2
-1 2
【答案】 2
【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】 按第一行展开得
=2
n+1
- 2
( X , Y ) 服从正态分布 N (1,0,1,1,0) ，则 P( XY
14、设二维随机变量 【答案】 【考点】 【难易度】★★ 【详解】
,+
连续，其 2 阶导函数 f ( x ) 的图形如下图所示，则曲线 ）
y
f ( x) 的
（ A） 0 （ C） 2 【答案】 (C)
（ B） 1 （ D） 3
【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于 数异号，因此，由 0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
0 0
1 0
1 0
x Ax
y ( Q AA) y
T
T
2y1
2
y2
2
y3 ，故选 (A)
2
A, B 为任意两个随机事件，则 P ( AB) P ( A) P ( B) P( A) 2 P ( B)
（ B）
P ( AB)
P ( A) P( B ) P ( A) 2 P( B )
（ C）
P ( AB)
（ D）
2, c 2, c
1. 1.
【答案】 (A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】
1 2
e ,
2x
1 3
e 为齐次方程的解，所以
x
2 、 1 为特征方程
2
+a
b
0 的根，从而 1.
a
1 2
3,b 1 2
2, 再将特解 y
xe 代入方程 y
1
x
3y
2y
x ce 得： c
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2
【详解】由
0 1 0
0 0 1
x
Py ，故 f
x Ax
T
y ( P AP) y
T
T
2 y1
2
y2
2
y3 且： P AP
2
T
0 0
3
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1 Q P 0 0
所以 f 7 、若 （ A）
T
0 0
0 1 PC , Q AQ
T
2 C ( P AP) C
T T
0 0
0 1
【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图：
7
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x
x0 处的切线方程为 l ： y
f ( x0 )( x
x0
x0 )
f ( x0 ) f ( x0 )
f ( x0 )
，则 AB
l 与 x 轴的交点为： y
0 时， x
f ( x0 ) f ( x0 )
三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸 ．．． 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 . 15、 （本题满分 10 分） 设函数 f ( x ) 求
x a ln(1 x )
bx sin x ， g ( x)
kx ，若 f ( x) 与 g ( x) 在 x
1 时， z
e
z
xyz x cos x z x (0,1)
2 ，则 Fx Fx Fz 1，
yz 1 sin x ， Fy
z y
(0,1)
xz ， Fz
xy ，
dx
又当 x
0, y
0 ，所以
Fy Fz
0 ，因而 dz
(0,1)
12、设
是由平面
x
y
z
1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
(x 2 y
1 4
2
(1 x) 在约束条件 x (1 y)
2
2
y
2
2
xy (x
2
3 y
2
0 下的最值 . xy 3)
构造拉格朗日函数
F ( x, y, )
(1 x)
8
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F
令
x F y F
2 (1 2 (1 x
2
x) y) y
2
2 x 2 y xy 3
y x 0
0 0 可得 (1,1), ( 1, 1) , ( 2 , 2 ), ( 1, 2)
其中 z(1,1)
4, z( 1, 1)
0, z( 2 , 1)
9
z( 1,2) 3.
综上根据题意可知
f ( x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数为
18、 （本题满分 10 分） ( Ⅰ ) 设函数
u( x ), v( x ) 可导，利用导数定义证明 u( x) v( x)' u1 ( x)u2 ( x )...un ( x), 写出 f ( x) 的求导公式
2
x ) dx
2
【答案】
4
【考点】积分的计算 【难易度】★★ 【详解】
2 2
(
sin x 1 cos x
2
x )dx
z
2
2 0
xdx
4 2 确定，则 dz
(0,1)
11、若函数 z 【答案】
z( x , y ) 由方程 e
xyz+x cos x
.
【考点】隐函数求导 【难易度】★★ 【详解】令
F ( x, y, z)
z= z截空间区域 W所得的截面，其面积为
1
1 2
(1- z)
2
.所以
1 2 1 3 2 1 x + 2y + 3z dxdydz 1 z dz = 3 z dz = = 6 zdx dydz = 6 z × ( ) 2z + z ( ) òòò òòò ò 0 ò 0 2 4 W W
(
)
2
0
0 0 2
f ( x, y)
x
y
xy ，曲线 C : x
y
2
xy
3 ，求 f ( x, y ) 在曲线 C 上的最大方向
gradf ( x, y )
1 y ,1 x
1 y
2 2
故 f ( x , y ) 在曲线 C 上的最大方向导数为 即就求函数
(1
x ) ，其中 x, y 满足 x
2
2
y
2
xy
3，
z
(1
y)
16、 （本题满分 10 分） 设函数在
a b k
1 1 2 1 3
f ( x ) 定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的
x0
I
， 曲线 y
f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处
的切线与直线
x
x0 及 x 轴所围成的区域的面积为
4 ，且 f (0)
2 ，求 f ( x ) 的表达式 .