立体几何试题及答案

数学试题

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．若直线l ∥平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是

（D ）

A ．l ∥a

B ．l 与a 异面

C ．l 与a 相交

D ．l 与a 没有公共点

2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( B )

3．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为

（B ）

A ．1:2:3

B ．1:4:9

C ．2:3:4

D ．1:8:27 4．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为

（ B ）

A ．π12

B ．π24

C ．π36

D ．π48

5．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球

的表面积为 （D ）

A .π7

B .π14

C .π21

D .π28

6.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于

（ B ）

A ． 510

B ． 5

15

6

5

6

5

y

D 1

C 1

E

C

B

O

D

F A

A 1

B 1

C ．

54 D ． 3

2 7.函数64-+-=x x y 的最小值为（ A ） A 2 B

2 C 4 D 6

8.若()1,∞-∈x ，则函数2

22

22-+-=x x x y 有（ C ）

A 最小值1

B 最大值1

C 最大值1-

D 最小值1-

9．设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a 2≤x ≤2a ；②a

2≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ；

④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( C )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

10.设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ

③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ//

其中正确命题的序号是（ A ）

A ．①和② B.②和③ C ．③和④ D ．①和④ 11．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ C ）

A ．75°

B ．60°

C ．45°

D ．30° 12．已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论不正确的是( D )

12题图 13题图 A ．CD ∥平面PAF

B ．DF ⊥平面PAF

C ．CF ∥平面PAB

D ．CF ⊥平面PAD

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,

根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是_ 11π _____.

14、在北纬 45的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经 70与东经

160的经度圈上，设地球的半径为R ，则A 、B 两点的球面距离是

R π3

1

； 15．如图,正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的

中点,点F 在CD 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =

15题图 16题图

16. 如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将容器倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH 的面积不会改变；（3）棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值，其中所有正确命题的序号是（1）（3）（4）。 17．(本小题满分10分)设函数1|)(-=x x f （Ⅰ）解不等式2)()(<+x g x f ；

（Ⅱ）对于实数y x ,，若1)(,1)(≤≤y g x f 解： （Ⅰ）令|2||1|-+-=x x y ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-<<≤-=2,3221,11

,23x x x x x y

作出函数|2||1|-+-=x x y 所以2)()(<+x g x f 的解集为)2

5,21(．（Ⅱ）因为

A B

C

D E F 1

A 1

B

1

C

1D

5

2

)(2)()1|2(|2|1||1)2(|2|1||)1(2)1(||12|≤++=+-+-≤+-+-≤---=+-y g x f y x y x y x y x

所以 5|12|≤+-y x ．--------10分

18．（本小题满分12分）已知函数x x

b

ax x f ln 2)(++=． （Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，2

1

=

x 处取得极值，求a ，b 的值； （Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）21

()2b f x a x x '=-

+，

由(1)0

1

()02

f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ，可得 1313a b ⎧

=-⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

． （Ⅱ）函数)(x f 的定义域是),0(+∞，

因为(1)2f '=，所以12-=a b ．

所以222

2(21)(1)[2(21)]

()ax x a x ax a f x x x

+--+--'== 要使)(x f 在),0(+∞上是单调函数，只要()0f x '≥或()0f x '≤在),0(+∞上恒成立．

……………………10分

当0=a 时，2

1

()0x f x x +'=

>恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上是单调函数； 当0

12122>-=-=a

a a x ，

此时)(x f 在),0(+∞上不是单调函数；

当0>a 时，要使)(x f 在),0(+∞上是单调函数，只要120a -≥，即1

02

a <≤ 综上所述，a 的取值范围是1

[0,]2

a ∈．

19.（12分）如图，正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G

分别是AB ，AD ，AA 1的中点,

（1）求证AC 1⊥平面EFG ，

（2）求异面直线EF 与CC 1所成的角。

A