理论力学-动量定理

90o
ω O
ϕ
vB B
系统的总动量
p = 2lm (-sinϕi + cosϕj) ω
动量定理与动量守恒
♣ 质点系的动量定理
对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有： 对质点系中第 个质点应用牛顿第二定律有： 个质点应用牛顿第二定律有
d (mi vi ) = Fi = Fii + Fie dt
个质点上的力（ 其中 F ii 为质点系中其它质点作用在第 i 个质点上的力（即 内力）； 内力）； 质点系以外的物体作用在第 个质点上的力（ F ei 为质点系以外的物体作用在第 i 个质点上的力（即外 力）。 质点的动量对时间的一阶导数， 质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于作 用在质点上的力
参考性例题 1
y vA A
解：第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p = mA vA + mB vB
建立Oxy 建立Oxy 坐标系。
yA = 2lsinϕ xB = 2lcosϕ
ω O
ϕ
vB B
ɺ ɺ vA = yA = 2lϕ cosϕ = 2lω cosϕ ɺ ɺ vx = xB = −2lϕ sinϕ = −2lω sinϕ B
p = mvc = ∑mi vi
i
dp = ∑Fe i dt i
d vC dp =m = ∑Fe i dt dt i
d vC = aC dt
maC = ∑Fe i
i
质心运动定理
maC = ∑Fe i
i
质心运动定理——质点系的总质量与质心加速度的 质点系的总质量与质心加速度的 质心运动定理 乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。 乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。
动量定理
♣ 质点系的动量
质点系中所有质点动量的矢量和， 质点系中所有质点动量的矢量和，称 为质点系的动量。 为质点系的动量。
P = ∑ m vi i
i
质点系的动量是质点系整体运动的基本特征之一。具体计算 时可采用其在直角坐标系的投影形式。
px = ∑mvix , py = ∑mviy , pz = ∑mviz i i i
t2
质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。 质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。
I = ∫ Fdt
t1
t2
称为力 F 在时间间隔t1-t2内的冲量 冲量 称为力 F 的元冲量 元冲量
dI = Fdt
动量定理与动量守恒
♣ 质点系动量守恒定律
t2
dp = ∑Fe , i dt i
p = −2lm sinϕi + 2lm cosϕj ω ω = 2lm (-sinϕi + cosϕj) ω
参考性例题 1
解：第二种方法：先确定系统的 质心，以及质心的速度，然后计 算系统的动量。
vA A v
C
质点系的质心在C 质点系的质心在C处，其速度 矢量垂直于OC，数值为 矢量垂直于OC，数值为vC = lω lω vC = lω(－sin ϕ i＋cos ϕ j ) lω 系统的总质量 mC= mA+ mB=2m =2m
ω O
求：图示位置时，系统的总动量。
ϕ
B
参考性例题 1
以滑块A 组成的质点系 解：以滑块A和B组成的质点系 统为研究对象。 为研究对象。 求这一质点系的动量可以用两 种方法： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
A
ω O
ϕ
B
第二种方法：先确定系统的质 心，以及质心的速度，然后计算 系统的动量。
p = mvC
这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心 速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的 动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 动量所描述的并不是质点系运动的全部，因为它不能描述 质点系的转动效应。
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝ 椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 滑块A 的质量均为m 柄OC和连杆AB的质量忽略不计； OC和连杆AB的质量忽略不计； 曲柄以等角速度ω 曲柄以等角速度 绕O 轴旋转；图 示位置时，角度ϕ为任意值。
p2 − p1 = ∑∫ Fie dt = ∑Iie
i t1 i
如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。 如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。
p2 = p1 = C1
这就是质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律(theorem of the conservation of 质点系动量守恒定律 momentum of a system of particles)。 式中 C1 为常矢量，由运动的初始条件决定。
动量定理应用举例 动量定理应用举例
例题1
解：1. 确定系统的动量表达式。建立坐 标系如图示。根据
p = ∑mi vi = (∑mi vix ) i+ (∑mi viy ) j
i i i
取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v， 各物块相对四棱柱体的速度为vr，则
e FRx = 0, px = C2
式中C2为常量，由运动初始条件决定。
第10章 动量定理 章
质心运动定理
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质心运动定理
质心运动定理(theorem 质心运动定理(theorem of the motion of the center of mass) 是质点系动量定理的另一种形式。 是质点系动量定理的另一种形式。
ɺɺ mxC = ∑Fe ix i e ɺɺ myC = ∑F iy i ɺɺ mzC = ∑Fe iz i
质心运动定理 在直角坐标系中的投影式为：
ɺɺC , ɺɺC , ɺɺC——质心加速度在直角坐标轴上的投影 x y z
质心运动定理
——守恒形式 守恒形式
maC = ∑Fe i
动量定理应用举例 动量定理应用举例
例题1
图示系统中，三个重物的质量分别为 m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳 子相连接，四棱柱体的质量为m4 。如略 去一切摩擦和绳子的重量。 求： 1．系统动量的表达式； 2．系统初始静止，当物块1下降s时， 假设物体相对四棱柱体的速度已知，四 棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位 移。 3．若将上述系统放在有凸起的地面上， 如图所示，当物块1下降s时，系统对凸起 部分的水平压力。
隔板
水池
抽去隔板后， 抽去隔板后，将会 发生什么现象？ 发生什么现象？
？
水
光滑台面
第10章 动量定理 章
动量定理
动量定理
♣ 质点系的动量 ♣ 质点系的动量定理 ♣ 质点系的动量定理的守恒形式
动量定理
质点的动量 —— 质点质量与质点速度的乘积
p = mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬 的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍 可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。
第10章 动量定理 章
几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例
几个有意义的实际问题
地面拔河与太空拔河， 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
？
几个有意义的实际问题
偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？ 偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？ 这种运动有什么规律？ 这种运动有什么规律？ 会不会上下跳动？ 会不会上下跳动？
动量定理与动量守恒
♣ 质点系动量守恒定律
实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式：
dpy dpx dpz e = ∑F , = ∑Fe , = ∑Fe ix iy iz dt dt dt i i i
若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒 质点系的动量在该坐标轴上守恒。例 质点系的动量在该坐标轴上守恒 如
理论力学
第三篇 动力学
第10章 动量定理 章
第10章 动量定理 章
从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理， 从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理， 质点系的动力学普遍定理 即动量定理、动量矩定理和动能定理。 即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中 质点的动力学普遍定理。 我们已研究过质点的动力学普遍定理 我们已研究过质点的动力学普遍定理。 质点系动力学普遍定理， 质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运 动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能） 动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）与 其上作用的力系特征量（主矢、主矩） 其上作用的力系特征量（主矢、主矩）和功之间的关 每个定理都具有明显的物理意义。 系，每个定理都具有明显的物理意义。 与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。 与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。
xC = C3 。
动量定理应用举例 动量定理应用举例
求解动力学问题的步骤基本相同， 求解动力学问题的步骤基本相同，但是采用不同 的定理时，都有一些需要特别注意之处。 的定理时，都有一些需要特别注意之处。应用动量 定理和质心运动定理时， 定理和质心运动定理时，需要特别注意这两定理的 守恒形式。 守恒形式。
d (∑mi vi ) = ∑Fie dt i i
动量定理与动量守恒
♣ 质点系的动量定理
d (∑mi vi ) = ∑Fie dt i i
dp = ∑Fe i dt i
这就是微分形式的质点系动量定理 微分形式的质点系动量定理 动量定理(theorem of the momentum of the system of particles)，即：质点系的动量对时间的变化率等于 ) 质点系所受外力系的矢量和。 质点系所受外力系的矢量和。