弹塑性力学讲义应力

第1章 应 力

1. 1 应力矢量

物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为

T (n ) =S

F

s ∆∆∆0lim

→

B

∆S

A

C

P

n ∆F

x

y

z

图1.1 应力矢量定义

在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为

T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z

（1.1）

式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。

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除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。实际应用

中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。

显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。所有这些应力矢量构成该点的应力状态。

由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：

T(-n)= -T(n) （1.2）

1.2 应力张量

人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。因此有三个正面和三个负面。

图1.2 一点的应力状态

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考察作用在法线为e x ，e y 和e z 三个正面上的应力矢量T (e x )、T (e y )和T (e z )，每个应力矢量沿空间坐标轴e x ，e y 和e z 有三个分量，其中一个分量垂直于作用面，是正应力，两个分量平行于作用面，是剪应力，于是 T (e x )＝σx e x +τxy e y +τxz e z T (e y )＝τyx e x +σy e y +τyz e z （1.3）

T (e z )＝τzx e x +τzy e y +σz e z

三个应力矢量共9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的9个分量

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡στττστττσz zy

zx yz y yx xz xy x 对角上的元素是正应力，非对角上的元素是剪应力，剪应力有两个下标，前一个下标代表作用面的法线方向，后一下标代表力的作用方向。

在使用张量表述的教科书里，下标x 、y 、z 往往用1、2、3取代，九个应力分量常记为：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡σσσσσσσσσ=σ333231232221131211 ij

应力正、负号规定是：正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。这个规定正好反映了作用力与反作用力定律。图1.2中的应力均为正值。式（1.3）使用张量可以表示为

T (e i )＝σik e k

（1.3a ）

应当指出：物体内各点的应力状态，一般说来是不同的，为非均匀分布，即各点的应力分量应为空间坐标x 、y 、z 的函数。所以，应力张量σij 与给定的空间位置有关，提及应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。从下节中我们将知道，应力张量σij 完全确定了一点的应力状态。

1.3 Chauchy 公式（斜面应力公式）

一点的应力状态中，若已知三个互相垂直面上的应力矢量，其它任意一斜面上

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10 的应力矢量可从该点的平衡条件中导出。

图1.3所示的微四面体由三个负面和一个斜面组成，设斜面的外法线单位矢量为

n ＝l e x +m e y + n e z

（1.3b ）

斜面∆ABC 的面积为dS ，则三个负面的面积分别是

∆BOC = ldS ∆AOC = mdS ∆AOB = ndS

四面体的体积为

dV =

3

1

dh dS 式中dh 是四面体的高。

n

T (-e )

T (-e )

T (-e )

T (n )

e x

y e O

A

B

C

z

x z e y

x

y

z

图1.3 四面体上的应力矢量

由微四面体的平衡条件得：

T (n )dS +T (-e x )ldS + T (- e y )mdS + T (- e z )ndS +X

3

1

dh dS =0

式中X 是单位体积力矢量，T (-e x )、T (-e y )和T (-e z )分别是法向为-e x ，-e y 和-e z 微面上的应力矢量。上式中的最后一项是比前面项高一阶的小量，可忽略不计，考虑式（1.2），上式可表示为

T ( n )＝T (e x )l +T (e y )m +T (e z )n

（1.4）

这就是著名的Chauchy 公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微四面体的平衡条