弹塑性力学讲义应力
弹塑性力学1
n = n1 e1 + n2 e 2 + n3 e3 = ni ei
ni = n ⋅ ei = cos(n, ei ) dSi = cos(n, ei )dS = ni dS
dS dS3
第一章 应力与平衡
一、固体中的应力状态
• 任意斜面上应力矢量的Cauchy应力公式
dSi = cos(n, e i )dS = ni dS
与
σ ij
的关系
′
(σ ij = σ ⋅ e j )
(i )
σ i′j′ = σ (i ) ⋅ e j′
= e i′ ⋅ σ ⋅ e j′ = e i′ ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ e j ′ = (α i′i e i ) ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ (α j′j e j ) = α i′iα j ′jσ mnδ imδ nj = α i′iα j′jσ ij
一点应力状态
σ = n ⋅ σ (n) σ j = niσ ij
(n)
t = n ⋅ σ t j = niσ ij
第一章 应力与平衡
二、应力张量
u
u = ui e i
ui
u1 u2 u 3
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ σ 32 σ 33 31
σ 11 − σ 0 σ 12 σ 13 0 σ 22 − σ σ 23 → σ 21 σ σ 32 σ 33 − σ 0 31 S11 S12 S13 = S 21 S 22 S 23 应力偏(斜)张量 S S32 S33 31
• 一点应力状态与应力标号
弹塑性力学第二章教学内容
z y
z
技
大
学
力
学
教 研
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，
室 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
,
i, j x,y,z
zx zy z
西 南 科 技
大 二维应力状态与平面问题的平衡方程
学
力 学 教 研 室
二维应力状态与平面问题的平衡方程
一、平面问题
物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标
Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量，
指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
力和应力的概念
2. 内力
西物
南 科
体 在外力作用下
技
大
学
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
力
学
当内力场足以和外
教
力平衡时，变形不
研
再继续
室
平衡
附加 的内 力场
二、应力的定义
西 南
科 技 大
化简后可得：xx
yx
y
Fbx
dxdy0
学 力
x
x
yx
y
Fbx
0
学 教 研
同理可求出：
y
y
xy
x
Fby
0
室
二维应力状态的平衡方程
x
x
yx y
Fbx
0
y
y
xy x
Fby
0
x
x
yx y
Fbx
0
西 南
y
y
xy x
弹塑性力学 第02章应力状态理论
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
弹塑性力学应力分析
解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
弹塑性力学讲义应力
第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
上篇弹性力学第1章应力8除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：T(-n)= -T(n) （1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
弹塑性力学课件
.
第三讲：应力应变分析
. 弹塑性力学研究生核心课程 任晓丹
同济大学建筑工程系
October 10, 2016
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
EulerCauchy 应力原理
Ti
( n)
= lim
∆Fi dFi = ∆s→0 ∆S dS
任晓丹
任晓丹 第三讲：应力应变分析
σij − σδij = 0
应力分析 应变分析 应力应变关系
应力偏量
定义静水应力： 1 1 1 σm = Tr(σ ) = σii = (σ1 + σ2 + σ3 ) 3 3 3 应力偏量定义为： sij = σij − σm δij 应力偏量表示纯剪应力状态，对于很多材料，是其重要的破 坏控制机制，所以应力偏量应用十分广泛。 J1 、J2 和 J3 分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变 量。由于 J1 = 0，因此，一点的应力状态也可以用 I1 、J2 和 J3 表示。
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
（第二）平衡方程
合力矩为零 ∫ MO = ∫∂ Ω =
∂Ω
∫ r × TdS + ϵijk xj Tn k dS +
Ω
∫
r × FdΩ ϵijk xj Fk dΩ = 0
Ω
第一项 ∫ R1 =
∂Ω
∫ ϵijk xj σmk nm dS =
Ω
′ ′ βki tk = σij nl βlj ⇒ βmi βki tk = δmk tk = tm = βmi σij nl βlj
应力转轴公式 (张量表达)
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
弹塑性力学第三章 应力与应变讲解
?
2?
zx
l3l1
?? ?
?n ?
p2
?
?
2 n
?
（3.10)
??
其中第2式 ? n ? pili ? ? ijlil j
(3.11)
8 应力分量的坐标变换规律
应力张量是一个二阶张量，因此，在数学上，应力张量 的各分量在坐标变换时，要服从二阶张量的坐标变换规 律。容易证明，如果坐标系仅作平移变换，则同一点的 各应力分量是不会发生变化的；只有在坐标系作旋转变 换时，同一点的各应力分量才会改变。下面证明给出坐 标旋转时应力张量所服从的规律。
同理可以写出其它应力分量，经整理后可简写为
? i ' j ' ? li 'il j ' j? ij
(3.13)
上式就是应力张量各分量在坐标旋转变换时所服从的变换 规律，它恰好符合二阶张量定义，剪应力互等表明它是对 称张量。
3.2 主应力与主应力空间
3.2.1 主应力和主方向
在受力物体内一点任意方向的微分面上，一般都有正应力 分量和剪应力分量存在。由应力张量的坐标变换规律知，当 通过同一点的微分面发生转动时，其法线也发生改变，相应 的正应力和剪应力数值也会变化。在微分面的不断转动过程 中，将会出现这样的微分面，在该面上只有正应力而剪应力 为零。只有正应力而没有剪应力的平面称 为主平面，其法线 方向称为应力主方向，简称主方向，其上的正应力称为主应 力。 根据主平面的定义，若设n为过物体内任意一点M的主平面 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
? X?0
1
px? S ? ? x (? S ?l1) ? ? yx (? S 以上方程两边同时除以
弹塑性力学-01应力分析
A x
pv2px 2p2 ypz2
l2
1 2m 2 2 2n2
2 3
2 v
pv2
2 v
l2 1 2 m 2 2 2 n 2 3 2v 232
3、应力圆
123
v l21 m 22 n 23
v 2 l21 2 m 22 2 n 23 2 v 2
l2m 2n21
1 2 a , 2 0 , 3 a
ma x1 23
3a 2
39
例2：已知某点的应力状态为： x 0, y 20, z 10, xy10, yz0, zx20
求：作用于过该点，方程为 3x 3y2z1 的平面外 侧的正应力和切应力。
解： l:m:n3: 3:2
l2m 2n21
p xl x m yx nzx p ylx ymy nzy p zlx zm y znz
李同林
• 工程弹塑性力学
杨伯源、张义同
• 工程弹塑性力学
毕继红、王晖
• 弹塑性力学引论
杨桂通
• 弹性力学（上、下册） 徐芝伦
• 塑性力学
夏志皋
• 岩土塑性力学原理 郑颖人 沈珠江
. 14
第一章 应力分析
§ 1－1 应力状态 § 1－2 应力张量及分解 § 1－3 等斜截面上的应力、应力状态参数 § 1－4 平衡微分方程
x
a
lco ay,smsxyian
n
xco assian yco assian xy co2as
ax 2ysi2n axy co2as
37
3. 主应力和最大切应力
v 3I1v 2I2 vI30
I1xyzxy
I 2 xy yz zx x 2 y y 2 z z 2 xxy x 2y
弹塑性力学课件
3
3
方程 3 I1 I 2 I3 0 称为应力状态的特征方程， 它有三个实根，并规定
2 3 2 1 2 2
2
2 n 2 2 12 32 n1 2 1 3 n12 2 3 n2 3 2 1 3 n1 n1
1 3 2 2 4 1 3 n1 1 3 n1 2 3 n2 3 2 1 3 2 2 4 1 3 n1 1 3 n1 2 3 n2 0 2 1 3 2 2 n1 1 3 n1 2 3 n2 0 2
位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
一点的应力状态
z
z
zy yz
zx
x
x
xz
xy yx
y
y
一点的应力状态
z
N τyx τxy σy σx τxz τzx σz y
τyz τzy
2 2 2 J 2 S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx
1 2 2 2 2 S x S y S y S z S z S x S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx 3 1 2 2 2 2 2 S x S y S z2 S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx 3 2 2 1 2 2 2 2 S x S y S y S z S z S x S xy S yz S zx 6 1 2 2 2 S1 S 2 S 2 S3 S3 S1 6 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6
2-弹塑性力学-应力分析
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
应力的坐标变换(例题讲解) 应力的坐标变换(例题讲解)*
实际应用:晶体取向, 实际应用:晶体取向,织构分析等
应力莫尔圆**: 应力莫尔圆 :
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书) 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书)
不计体力) (不计体力)
物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 对弹性变形和塑性变形均适用. 对弹性变形和塑性变形均适用.
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
推导原理:
– 静力平衡条件: 静力平衡条件: –
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
八面体应力的求解思路: 八面体应力的求解思路:
σij (i, j = x, y, z) →σ1,σ2 ,σ3 →σ8,τ8
↓→I1,I2 →↑
因为
2 2 τ8 = (I1 3I2 ) 3
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
等效应力( 2.6 等效应力(equivalent stress) )
通常规定: 通常规定:
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3
τ max = σ1 σ 3
2
则有最大剪应力:
或者: 或者: 其中: 其中: 且有:
τ max = max{ 12 , τ 23 , τ31 } τ τ12 = ± σ1 σ 2
2 ,τ 23 = ±
σ 2 σ 3
2
,τ31 = ±
σ3 σ1
2
τ12 +τ 23 +τ31 = 0
弹塑性力学第三章 应力与应变讲解
式中：n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位 矢量。全应力和应力分量之间有
n pn n
n pn s
pn2
2 n
(3.3)
研究具体问题时，总是在一个可以选定坐标系里进 行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系 方向进行分解。
p 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
则该主平面上的应力矢量 n 可表示为
pn n (3.14)
或
px py
l1 l2
(3.15)
pz
l3
式中： 表示主应力
将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得
(
x
)l1
设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得 到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表：
x
y
z
X’ l11 cos(x ', x) l12 cos(x ', y) l13 cos(x ', z)
要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（3 .18)有 非零解，则其系数行列式必须为零。
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 z
(3.19a)
方程组(3.19)也可以写成
det ij ij 0
(3.19b)
式（3.19)展开后，得
对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整
弹塑性力学1 应力分析PPT课件
xy
x
y
斜截面法向 斜截面切向
xy
x S v
Scos
v
y Ssin
静力平衡 方程
(注意应 力符号规
定)
vS(xScos)cos(ySsin)sin (xyScos)sin(xySsin)cos
vS(xScos)sin(ySsin)cos (xySsin)sin(xyScos)cos
斜截面上的应力 分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表 示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都换 成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
总应力 pv pv2xpv2ypv2z
正应力 vlP vxmvP ynvPz
l2x m 2y n 2z 2 lm x y 2 m y z n 2 nzl x
原因：一旦应力状态确定后，其主应力便已确定，当坐标变 换时，虽然每个应力分量都将随之变化，但主应力的值是不 变的。所以Ii的值是不变的。
（应力不变量的意义）
主应力空间
vlP vxmvP ynvPzl21m22n23
pv2pv2xpv2ypv2z l21 2 m 22 2 n 23 3v 2v 2
x v yx zx
xy y v
zy
xz yz 0 z v
v 3I1 v 2I2 vI30
1,2,3 li, mi, ni
应力不变量
I1xyz
I2xyyzzx x 2 yy 2 zz 2x
I 3 xyz 2 xy yz z xxy 2 zyz 2 xzx 2y
当坐标变换时，应力不变量的值是不变的。
l2 m2 n2 1
0
l2 1v2( (1v2)2 ()1 (v3 )3)
弹塑性力学_第7章 应力分析
上述方程可以改写成如下形式
I1 I 2 I3 0
3 2
三个应力不变量
I1 x y z
2 2 I 2 y z z x x y 2 xy yz zx 2 2 2 I 3 x y z x yz y zx z xy 2 yz zx xy
解得
l 2 2 m 2 2 n 2 2
于是
1 =
2 - 3
σ3
2 3 - 1 2= 2 1 - 2 3 = 2
σ1
σ2
§7-5 等倾面上的正应力
等倾面的概念 等倾面的方向 l2+m2+n2=1 等倾面上的正应力
1 3 l mn 3 3
1 v ( 1 2 3 ) 3
等倾面上的剪应力
v2 pv2 v2 1 2 1 2 2 ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) 2 3 9 1 [2( 12 22 32 ) 2( 1 2 2 3 3 1 )] 9 1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 9
由于上式l2、m2、n2恒为正，右边分子分母同号。 设σ 1＞ σ 2 ＞ σ 3，第二式分母为负，分子必为负
2 ( v 1 )( v 3 ) v 0
也就是
τ
( v
1 3
2
) (
2 2 v
1 3
2
)2
σ3 σ2 σ1
同理
( v
τ
令
李同林 弹塑性力学 第2章 应力理论 应变理论
yx l1 ( y n )l 2 yz l 3 0 zx l1 zy l 2 ( z n )l 3 0
( x n )l1 xy l 2 xz l 3 0
（2—12）
ij ij n l j 0
ij ij lii l jj
（2—10）
3、平面应力状态
◆
注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。
x x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
2 2 n Px2 Py2 Pz2 n
2 2 ( 1l1 ) 2 ( 2l2 ) 2 ( 3l3 ) 2 ( 1l12 2l2 3l3 )
( )l ( )l ( 1 3 )l ( 2 3 )l 3
xy y zy
xz yz 或 z
x xy xz ij yx y yz （2—3） zx zy z
据剪应力互等定理 一个对称的二阶张量。
ij ji (i j) ,应力张量应是
z′
2 2 2 x x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 2 yz l12 l13 2 zx l13 l11 2 2 2 y x l 21 y l 22 z l 23 2 xy l 21l 22 2 yz l 22 l 23 2 zx l 23 l 21 2 2 2 z x l31 y l32 z l33 2 xy l31l32 2 yz l32 l33 2 zx l33 l31
弹塑性力学讲义
弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。
变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。
塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。
2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。
数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。
卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。
两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。
显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。
它描述了单调应力-应变过程。
为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。
记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。
理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。
弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形 过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
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第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
上篇弹性力学第1章应力8除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：T(-n)= -T(n) （1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
因此有三个正面和三个负面。
图1.2 一点的应力状态上篇 弹性力学 第1章 应力9考察作用在法线为e x ，e y 和e z 三个正面上的应力矢量T (e x )、T (e y )和T (e z )，每个应力矢量沿空间坐标轴e x ，e y 和e z 有三个分量，其中一个分量垂直于作用面，是正应力，两个分量平行于作用面，是剪应力，于是 T (e x )＝σx e x +τxy e y +τxz e z T (e y )＝τyx e x +σy e y +τyz e z （1.3）T (e z )＝τzx e x +τzy e y +σz e z三个应力矢量共9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的9个分量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡στττστττσz zyzx yz y yx xz xy x 对角上的元素是正应力，非对角上的元素是剪应力，剪应力有两个下标，前一个下标代表作用面的法线方向，后一下标代表力的作用方向。
在使用张量表述的教科书里，下标x 、y 、z 往往用1、2、3取代，九个应力分量常记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡σσσσσσσσσ=σ333231232221131211 ij应力正、负号规定是：正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
这个规定正好反映了作用力与反作用力定律。
图1.2中的应力均为正值。
式（1.3）使用张量可以表示为T (e i )＝σik e k（1.3a ）应当指出：物体内各点的应力状态，一般说来是不同的，为非均匀分布，即各点的应力分量应为空间坐标x 、y 、z 的函数。
所以，应力张量σij 与给定的空间位置有关，提及应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。
从下节中我们将知道，应力张量σij 完全确定了一点的应力状态。
1.3 Chauchy 公式（斜面应力公式）一点的应力状态中，若已知三个互相垂直面上的应力矢量，其它任意一斜面上上篇 弹性力学 第1章 应力10 的应力矢量可从该点的平衡条件中导出。
图1.3所示的微四面体由三个负面和一个斜面组成，设斜面的外法线单位矢量为n ＝l e x +m e y + n e z（1.3b ）斜面∆ABC 的面积为dS ，则三个负面的面积分别是∆BOC = ldS ∆AOC = mdS ∆AOB = ndS四面体的体积为dV =31dh dS 式中dh 是四面体的高。
nT (-e )T (-e )T (-e )T (n )e xy e OABCzx z e yxyz图1.3 四面体上的应力矢量由微四面体的平衡条件得：T (n )dS +T (-e x )ldS + T (- e y )mdS + T (- e z )ndS +X31dh dS =0式中X 是单位体积力矢量，T (-e x )、T (-e y )和T (-e z )分别是法向为-e x ，-e y 和-e z 微面上的应力矢量。
上式中的最后一项是比前面项高一阶的小量，可忽略不计，考虑式（1.2），上式可表示为T ( n )＝T (e x )l +T (e y )m +T (e z )n（1.4）这就是著名的Chauchy 公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微四面体的平衡条上篇 弹性力学 第1章 应力11件。
将斜面应力矢量T ( n )沿坐标轴方向分解T ( n )＝T x e x +T y e y +T z e z（1.5）注意：T x 、T y 、T z 是T (n )沿坐标轴方向的分量，一般不是斜截面上的正应力和剪应力。
将式（1.3）和式（1.5）代入式（1.4），则式（1.4）可用分量的形式表示为 T x ＝σx l +τyx m +τzx n T y ＝τxy l +σy m +τzy n （1.6）T z ＝τxz l +τyz m +σz n若下标x 、y 、z 用1、2、3取代，而l 、m 、n 用n 1、n 2、n 3代替，式（1.4）和式（1.6）的张量形式分别就是 T ( n )＝n i T (e i ) （1.7a ）T j = n i σij 或 T ( n )=n •σ（1.7b ） 式中“•”是张量点积符号，见附录1。
Chauchy 公式有两个重要的应用。
（1）求斜截面的各种应力。
斜截面上的正应力σn 是应力矢量T (n )沿其法线方向的投影，考虑到式（1.3a ）和式（1.5），因此有σn =T (n )•n = T x l + T y m + T z n（1.8a ）将式（1.6）（或式（1.7））代入式（1.8a ）得：σn ＝σx l 2+σy m 2+σz n 2+2τxy lm +2τyz mn +2τzx nl＝σij n i n j（1.8b ）上式中使用了后面的剪应力互等定理式（1.11）利用式（1.5）可以算出斜截面应力矢量的大小，为222)(z y x T T T ++=n T斜截面上的剪应力分量是22)(n n n T σ-=τ（2）确定力边界条件（见1.5节）。
例1-1 在物体内的一点，应力张量是上篇 弹性力学 第1章 应力12 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=504030401ijσ求在321212121e e e n +-=面上的法向正应力和切向剪应力。
解： 利用式（1.7）求该斜面上应力矢量的三个坐标分量是3132121111σ+σ+σ=n n n T )4(21021121-⨯+⨯-⨯==2221-= 230213210213232221212-=⨯+⨯-⨯=σ+σ+σ=n n n T2252521021)4(213332321313+-=⨯+⨯--⨯=σ+σ+σ=n n n T 该斜面上的正应力为22272252212321)2221(21332211-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯=++=σn T n T n T N 该斜面上的剪应力为24827212332221+=σ=N －＋＋T T T S1.4 平衡方程物体处在平衡状态，其内部的每一点都应处在平衡状态。
使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此我们可推导平衡微分方程。
如图1.4所示的微六面体，取直角坐标系的坐标轴与边重合，各边的长度分别为dx 、dy 、dz 。
在微六面体x =0的面上，应力是σx 、τxy 、τxz ；在x=dx 面上的应力，根据应力函数的连续性并按Taylor 级数相对x =0的面展开，略去高阶项，它应是dx xdx x dx x ∂τ∂+τ∂τ∂+τ∂σ∂+σxz xz xy xy xx 、、上篇 弹性力学 第1章 应力13同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。
最后，所有各面上的应力如图1.4所示。
图1.4 微单元体的平衡考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得：dxdz dxdz dy y dydz dydz dx x yx yx yx x x x τ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂τ∂+τ+σ-⎪⎭⎫⎝⎛∂σ∂+σ 0=+τ-⎪⎭⎫⎝⎛∂τ∂+τ+Xdxdydz dxdy dxdy dz z zx zx zx整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得：0=+∂τ∂+∂τ∂+∂σ∂X zy x zxyx x （1.9a ）同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得：0=+∂τ∂+∂σ∂+∂τ∂Y zyxzy y xy （1.9b ）上篇 弹性力学 第1章 应力140=+∂σ∂+∂τ∂+∂τ∂Z zy x zyz xz （1.9c ）式（1.9）就是弹性力学的平衡微分方程。
注意式（1.9）中X 、Y 、Z 是单位体积里的体积力矢量X 沿x 、y 、z 方向上的分量，即X ＝X e x +Y e y +Z e z（1.10）考虑图1.4中微单元体的力矩平衡。
对通过形心C 点平行于z 方向的轴取矩。
凡作用线通过C 点或方向与z 轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零，于是力矩平衡方程在略去高阶项后只剩两项(τxy dydz )dx -(τyx dxdz )dy =0由此可得：τxy ＝τyx（1.11a ）同理，对沿x 和y 方向的形心轴取矩得： τyz =τzy τxz = τzx（1.11b ）这就是剪应力双生互等定理。
这个定理以后将经常被使用，使用时不再单独说明。
下面从物体整体平衡的角度推导平衡微分方程。
从物体中任意截取一个脱离体Q ，它的边界为Γ，在Q 内部作用有体积力矢量X ，在边界Γ上作用有应力矢量T (n )。
脱离体静力平衡要求作用在它上面的合力应为零，即()0=+⎰⎰QX n T dQ d ΓΓ （1.12a ）将式（1.4）代入上式，得：[]0)()()(=+++⎰⎰Qz y xX e T e T eT dQ d n m l ΓΓ（1.12b ）使用散度定理式（A2.19），式（1.12b ）可写成⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+∂∂Q X e T e T e T dQ z y x z y x )()()(=0 由于脱离体Q 是任意的，因此上篇 弹性力学 第1章 应力15X e T e T e T +∂∂+∂∂+∂∂zy x z y x )()()(= 0 （1.12c ）将式（1.3）和式（1.10）代入上式，我们有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂τ∂+∂τ∂+∂σ∂X z y x zx yx x e x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂τ∂+∂σ∂+∂τ∂Y z y x zy y xy e y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂σ∂+∂τ∂+∂τ∂Z z y x z yz xz e z =0 上式就是平衡微分方程式（1.9）的矢量表示形式。