小学奥数三阶幻方讲解归纳 PPT
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三年级下数学-思维拓展训练-简单的三阶幻方 全国通用PPT课件(10张)
这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将
连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3 个数的和都相等。
请你动手填一填！
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45÷3=15 幻和
29 4
75 3 61 8
二四为肩，六八为足 上九下一，左七右三
五居中间
（1）幻和=九个数之和÷3
4等、。5、6、7、8、9、10、11、12
每条对角线上的三个自然数的和均相等（这个相等的 1B、=3在6-31×1-53=（2三0，行E三=3列6-）11的-6正=1方9，形F方=格36中-2，0-1既2不=4重复也不遗漏的填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的
和（均3）相九等个（连这续个的相自等然的数和中叫，做第幻5和个）是，中通心常数这，样第的二图、形叫做三阶幻方。
1、在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复 五四居、中 六间、八个数是四个角上的数。
这7、个8图、案9、用1现0、在1的1、数1字2、翻1译3出、来14，、就15是三阶幻方，也就是将连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个数的和都相
也不遗漏的填上9个连续的自然数，使每行、每列、 等这。个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将连续的九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个数的和都相
2、 三阶幻方中的规律： 等G=。36-18-5=13 ，A=36-12-13=11
2C、=1三2, 阶D幻=3方6中-1的2-6规=律18：
（1）幻和=九个数之和÷3 1中+心2+数3+=43+65÷+63+=71+28+9=45
最新三阶幻方(1)教学讲义PPT课件
第13条
病者脉数，无热，微烦，默默但欲卧， 汗出，初得之三、四日，目赤如鸠眼； 七、八日，目四眦黑。若能食者，脓已 成也，赤豆当归散主之。
名词
▲鸠眼：鸠，鸟名，即斑鸠，其目色赤。 ▲目四眦：眦，眼角；目四眦，即二眼的内
角、外角。
提要
★本条论述狐惑病的酿脓的证治
合篇意义： 1.病因：均属热性病范畴。
2.症状：三者临床都有变幻无常的神志方 面症状，如百合、狐惑之精神症状，
（古人认为此三病都很奇怪）
第1条
论曰：百合病者，百脉一宗，悉致 其病也。意欲食复不能食，常默默，欲 卧不能卧，欲行不能行，欲饮食，或有 美食，或有不用闻食臭时，如寒无寒， 如热无热，口苦，小便赤，诸药不能治， 得药则剧吐利，如有神灵者，身形如和， 其脉微数。
三阶幻方(1)
将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入下面的格子中， 使每个横行、竖行、斜行三个数加起来 的和都是15。
幻方的来源及神奇传说
根据记载，传说夏禹治水 时, 在洛水里出现了一只大 乌龟, 龟背上刻有奇特的图 案（如图），古代人们把这 个图取名为“洛书”，也有 的称作“河图”，我国宋代 数学家杨辉称之为“纵横 图”。
提要
★本条论述狐惑病的临床表现及内服方和 外治法。
分析
1．临床表现可分为两部分： ①一般临床症状： 状如伤寒：初起有恶寒发热――湿热伤及营卫 默默欲眠，目不得闭，卧起不安――湿热内扰心神 不欲饮食，恶闻食臭――－湿热扰胃 面目乍赤、乍黑、乍白―――非指颜色突变，乃指 颜色深重――为气血失调，病气见于面
病因病机： 热病之后余热未清， 情志不遂，郁而化火 《医宗金鉴》
阴液受伤，心肺阴虚内热——心主血脉，肺 主治节而朝百脉，人体之脉同出一源，为心 肺所统，心肺正常，则气血调和而百脉皆得 其养。如心肺一病，则百脉皆病，所以“百 脉一宗”之“宗”，实际上是指心肺。
小学三年级奥数 第三章第二节 洛书.幻方
2
7 6
8
1
每一行，每一列，每一条对角线上的三个 数的和，有什么特点?
1、幻方的定义（三阶幻方）
8+5+2=15 4 3 8 9 5 1 2 7 6
2 7 +6 15
宫健快乐奥数园
4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15 4+5+6=15
4 9 3 5 +8 +1 15 15
每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格，叫 “幻方”。 这个相等的和叫三阶幻方的幻和。
8
X
(10+20+30+40+50-30)/2=60 10+50=60 20+40=60
9 10
13 14
11 12 15 16
4个 4个 4个 4个 请让它们分别交换吧! 数的 数的 数的 数的 和 和 和 和 = = = = 34 34 34 34
它就是对称交换法
对 数字依次先排好, 上下中间交叉换,左右中间交叉换,其他地方不要变 比 以前 现在 一 1 2 3 4 1 15 14 4 下 12 6 了 7 8 7 9 5 6 ， 8 10 11 5 9 10 11 12 哪 13 3 2 16 些 13 14 15 16 数 1 2 3 4 位 置 5 6 7 8 有 9 10 11 12 变 化
2 7 6
9
4
2
7
6 1 ② 8
8
5 1
7
3 ① 9 4 8
2 6
5 3
1
2 7
9 5
4 3
6
1 8
8 3 4 4 9
《三阶幻方》课件
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4 3ห้องสมุดไป่ตู้
9 5
2 7
8
1
6
练习1：
17
4
12
6 11 16 10 18 5
练习2：
15
3 12 5
7 10 13 8 17
21
上下对易，左右相更
25 11 4 4 17 10 10 23 24 24 12 5 18 6 6 7 25 13 1 19 20 20 8 21 14 2 2 3 16 16 9 21 22 22 15
5
1
四维挺进
11 4 17
24 12 5
7 25 13
20 8 21
3 16 9
10
23
18
8
9
6
8
1
6
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构 造过程。
1 6
11 7
2
3
16
21 17
12
13
8
9
4
5
22
23
18
19 24 25
14
15 20
10
25子斜排
25 24 20
11
4 12
7
8
3
16
5
10
17
18 23 6
13
小学奥数三阶幻方解归纳PPT课件
.
4
提高：
?
a
?
1
2
2a-1 2
a
2a-2 1
.
5
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
.
6
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
（ 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
123456789
返回
.
3
三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
.
7
杨辉构造法
.
8
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用一 次,使每一横行、竖列、对角线上三 个数的和都相等.
.
9
生活中的幻方
.
10
小结：
完成三阶幻方的步骤： ①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
.
11
§探索神奇的幻方
三阶幻方初探
.
1
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
小学奥数--三阶幻方
小学奥数 三阶幻方幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 三阶幻方的规律：（1）幻和= 九个数之和 ÷3； （2）中间数=幻和÷3（3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
73 84 63 二、例题讲解 672159834例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
19 1410 18 812介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种：492357816第四种：294753618第五种：672159834第六种：834159672第七种：276951438第八种：438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
小学奥数专题巧解三阶幻方APPT课件
7、 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
48
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
5 26
图1
图3
5
图2
8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
9
12 3 8 94 76 5
方案一
12 3 654 789
方案二
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。
5
6
3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
图1
2、将 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 5 ， 7 这九
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
276 951 4 38
.
一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方.
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
(精选课件)三阶幻方
1
洛书
2
综合与实践
根据北周甄鸶注《数 术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
3
神奇的幻方
4 92 3 57 8 16
4
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
5
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
17
探寻神奇的幻方
492 357 816
三阶幻方
四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。
18
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]
19
杨辉法
20
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
这
个 8 17 5
幻 方
11
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
12
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
13
17 12 15
小学奥数专题巧解三阶幻方A
用3～11这九个数补全 图2中的幻方，并求幻和。
5
2 056
图1
图3
04
在图3的空格中填入不大
于15且互不相同的自然
数使每一横行、竖行和
对角线上的三个数之和
都等于30。
9
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上 1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等，这样的 3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。
一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续 的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任 一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和 叫做幻和，n叫做阶. .
2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2
M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2
3、A=（B+C）÷2
E=（B+D）÷2
F=（G+D）÷2
H=（C+G）÷2
AG E DM C HBF
四、反三阶幻方及解法
反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填 上九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等， 这样的3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
这九
个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。
4、把3、7、11、15、19、23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构造三阶幻方。
01
把3、7、11、15、19、 23、27、31、35、39 这九个数填入下图，构 造反三阶幻方。
小学奥数三阶幻方讲解归纳新选
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九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
生活中的幻方
小结：
完成三阶幻方的步骤： ①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
123456789
返回
三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相 邻的两数字和的一半
492 3 57 816
提高：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?2
2a-1 2
a
a
?
1
2a-2 1
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
6
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
§探索神奇的幻方
三阶幻方初探
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
奥数教程-第9讲-三阶幻方
【5】用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列 、每条对角线的和都是60.
【6】下图是一个三阶幻方.求"?"是多少.
【7】从1～13这13个数中选12个数填到下图，使每一横 行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等.这时 所选的12个数是哪12个数?每一行的和是多少?每一列的 和是多少?
【例4】
【随堂练习4】图9-6是一个三阶幻方，请填出其他数字。
【例5】已知图9-7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的 乘积都相等.请填出其他的数.
【解析】
【随堂练习5】已知图9-9中，每一行、每一列、每条对角线上3 个数的乘积都相等. 请填出其他的数.
【例6】已知图9-10是一个三阶幻方，每一行、每一列、 每条对角线的和都等于2037.求画有"?"的格子填的数是多 少.
【10】将8个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和 等于36.如果总和为37、38、39，你还能填吗?
【10】将8个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和 等于36.如果总和为37、38、39，你还能填吗?
【11】在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使得 每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并 且其中有一个数是10.
【例3】
【随堂练习3】如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以 组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多 少?中央的那个数是多少?
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归纳总结方法
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方法1： 空白格，数字排列有规则； 从小到大站成排； 中间数站中间； 小手大手要拉着； 第2第4很特殊，总是挨着老大站； 剩下数字也好办，三个缺一用减法； 缺啥找啥你会做。
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三阶幻方
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数 的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
大数学家杨辉的构造方：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
生活中的幻方
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
123456789
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三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
规律4：角上的数字=对角相 邻的两数字和的一半
三 阶 幻 方
提高：
2
2a-1 2
a
a
?
1
2a-2 1
练一练：
完成下列三阶幻方：
① -2 2 6 ②
③
5 01