高三数学大一轮复习 2.1 函数及其表示
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基础自测 1． 设一个函数的解析式为 f(x)＝2x＋3，它的值域为
{－1,2,5,8}，则此函数的定义域为__－_2_，__－_12_，__1，__52_． 解析 由函数的定义，结合函数的解析式可求．
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2．函数 y＝ x＋1＋2－1 x的定义域为_[_－__1_,2_)_∪__(_2_，__＋__∞__) _．
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变式训练 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝|xx|，g(x)＝1－，1x，≥x0<，0； (2)f(x)＝ x· x＋1，g(x)＝ x2＋x； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 解 (1)由于函数 f(x)＝|xx|的定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，而 g(x)＝1－，1x，≥x0<，0 的定义域为 R，所以它们 不是同一函数．
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(2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 .显 然，值域是集合 B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、 值域 和对应关系 . (4)相等函数：如果两个函数的 定义域和 对应关系完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
4．函数与映射的关系 由映射的定义可以看出，映射是 函数 概念的推广， 函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集 合 A，B 必须是非空数集 .
精品课件
[难点正本 疑点清源] 1．映射的特征
映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是 “一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对 多”的对应．故判断一个对应是否为映射的方法是： 首先检验集合 A 中的每个元素是否在集合 B 中都有 象；然后看集合 A 中每个元素的象是否唯一．另外 还要注意，映射是有方向性的，即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的．
解析
x＋1≥0 2－x≠0
，∴x≥－1 且 x≠2.
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3．设函数 f(x)＝11x－12xx<0x≥0
，若 f(a)＝a，则实数
a 的值是__23_或__－__1_．
解析 当 a<0
当时，a≥1a＝0 时a，，∴1－a＝12a－＝1a. ，∴a＝23.
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4．设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下
面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关
系的有
(D )
A．①②③④ C．②③
B．①②③ D．②
解析 由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象， 并且一个 x 对应着一个 y，据此排除①Fra Baidu bibliotek，③中值域为 {y|0≤y≤3}不合题意．
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5．下列各组函数是同一函数的是 A．y＝|xx|与 y＝1 B．y＝|x－1|与 y＝x1－－1x，，xx><11 C．y＝ x2与 y＝ 3 x 3 D．y＝xx32＋＋x1与 y＝x
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对映射定义搞清如下几点 (1)“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不 言中”；对应关系未必都能用解析式表达． (2)A 中的每一个元素都有象，且唯一；B 中的元素未必 有原象，即使有，也未必唯一． (3)若对应关系为 f，则 a 的象记为 f(a)．
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2．函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合 A 与集 合 B 只能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非空 数集 B 的映射． (2)映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A、 B 若不是数集，则这个映射便不是函数．
(1)y＝1，y＝x0； (2)y＝ x－2· x＋2，y＝ x2－4； (3)y＝x，y＝3 t3； (4)y＝|x|，y＝( x)2. 思维启迪 从函数的三要素的角度来判断是否为同一 函数．只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函数.
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解 (1)y＝1 的定义域为 R，y＝x0 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，∴它们不是同一函数． (2)y＝ x－2· x＋2的定义域为{x|x≥2}． y＝ x2－4的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}， ∴它们不是同一函数． (3)y＝x，y＝3 t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同， ∴它们是同一函数． (4)y＝|x|的定义域为 R，y＝( x)2 的定义域为{x|x≥0}， ∴它们不是同一函数．
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
§2.1 函数及其表示
基础知识 自主学习
要点梳理 1．函数的基本概念
(1)函数的定义 设 A ，B 是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的 任意 个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A →B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A .
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2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.
3．映射的概念 设 A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对 应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集 合 B 中都有唯一定的元素 y 与之对应，那么就称对 应 f：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.
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()
解析 y＝|xx|＝1－，1，x>x0<，0， 排除 A； y＝|x－1|＝1x－－x1，，xx≥ <11，， 排除 B； yy＝ ＝xx32x＋ ＋2＝x1＝|x|x＝，定x－义x 域xx、≥<0对0应，关y系＝均3 x相3 ＝同x．，排除 C.
答案 D
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题型分类 深度剖析
题型一 对函数概念的准确理解 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
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探究提高 函数的三要素是：定义域、值域、对应关 系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系 唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函 数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效 果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看 对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照 这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上 的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质； 若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判 断．
基础自测 1． 设一个函数的解析式为 f(x)＝2x＋3，它的值域为
{－1,2,5,8}，则此函数的定义域为__－_2_，__－_12_，__1，__52_． 解析 由函数的定义，结合函数的解析式可求．
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2．函数 y＝ x＋1＋2－1 x的定义域为_[_－__1_,2_)_∪__(_2_，__＋__∞__) _．
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变式训练 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝|xx|，g(x)＝1－，1x，≥x0<，0； (2)f(x)＝ x· x＋1，g(x)＝ x2＋x； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 解 (1)由于函数 f(x)＝|xx|的定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，而 g(x)＝1－，1x，≥x0<，0 的定义域为 R，所以它们 不是同一函数．
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(2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 .显 然，值域是集合 B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、 值域 和对应关系 . (4)相等函数：如果两个函数的 定义域和 对应关系完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
4．函数与映射的关系 由映射的定义可以看出，映射是 函数 概念的推广， 函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集 合 A，B 必须是非空数集 .
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[难点正本 疑点清源] 1．映射的特征
映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是 “一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对 多”的对应．故判断一个对应是否为映射的方法是： 首先检验集合 A 中的每个元素是否在集合 B 中都有 象；然后看集合 A 中每个元素的象是否唯一．另外 还要注意，映射是有方向性的，即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的．
解析
x＋1≥0 2－x≠0
，∴x≥－1 且 x≠2.
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3．设函数 f(x)＝11x－12xx<0x≥0
，若 f(a)＝a，则实数
a 的值是__23_或__－__1_．
解析 当 a<0
当时，a≥1a＝0 时a，，∴1－a＝12a－＝1a. ，∴a＝23.
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4．设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下
面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关
系的有
(D )
A．①②③④ C．②③
B．①②③ D．②
解析 由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象， 并且一个 x 对应着一个 y，据此排除①Fra Baidu bibliotek，③中值域为 {y|0≤y≤3}不合题意．
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5．下列各组函数是同一函数的是 A．y＝|xx|与 y＝1 B．y＝|x－1|与 y＝x1－－1x，，xx><11 C．y＝ x2与 y＝ 3 x 3 D．y＝xx32＋＋x1与 y＝x
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对映射定义搞清如下几点 (1)“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不 言中”；对应关系未必都能用解析式表达． (2)A 中的每一个元素都有象，且唯一；B 中的元素未必 有原象，即使有，也未必唯一． (3)若对应关系为 f，则 a 的象记为 f(a)．
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2．函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合 A 与集 合 B 只能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非空 数集 B 的映射． (2)映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A、 B 若不是数集，则这个映射便不是函数．
(1)y＝1，y＝x0； (2)y＝ x－2· x＋2，y＝ x2－4； (3)y＝x，y＝3 t3； (4)y＝|x|，y＝( x)2. 思维启迪 从函数的三要素的角度来判断是否为同一 函数．只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函数.
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解 (1)y＝1 的定义域为 R，y＝x0 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，∴它们不是同一函数． (2)y＝ x－2· x＋2的定义域为{x|x≥2}． y＝ x2－4的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}， ∴它们不是同一函数． (3)y＝x，y＝3 t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同， ∴它们是同一函数． (4)y＝|x|的定义域为 R，y＝( x)2 的定义域为{x|x≥0}， ∴它们不是同一函数．
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
§2.1 函数及其表示
基础知识 自主学习
要点梳理 1．函数的基本概念
(1)函数的定义 设 A ，B 是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的 任意 个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A →B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A .
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2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.
3．映射的概念 设 A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对 应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集 合 B 中都有唯一定的元素 y 与之对应，那么就称对 应 f：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.
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()
解析 y＝|xx|＝1－，1，x>x0<，0， 排除 A； y＝|x－1|＝1x－－x1，，xx≥ <11，， 排除 B； yy＝ ＝xx32x＋ ＋2＝x1＝|x|x＝，定x－义x 域xx、≥<0对0应，关y系＝均3 x相3 ＝同x．，排除 C.
答案 D
精品课件
题型分类 深度剖析
题型一 对函数概念的准确理解 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
精品课件
探究提高 函数的三要素是：定义域、值域、对应关 系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系 唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函 数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效 果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看 对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照 这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上 的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质； 若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判 断．